Il piano d ammortamento (francese) prevede un totale di 20 rate semestrali pari a: D a 14, 2888 Il debito residuo dopo 10 semestri sarà:

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1 Gli esercizi sono suddivisi per argomenti. A) Piani d ammortamento. ) I esonero 003. Un individuo si accorda per restituire un importo di 300 mila euro mediante il versamento di rate costanti semestrali per 0 anni al tasso effettivo annuo di interesse del 7%. Dopo le prime 0 rate semestrali versate regolarmente il debitore incontra un periodo di difficoltà finanziarie nel quale paga solo gli interessi per semestri e sospende completamente il versamento delle rate per altri due semestri; a questo punto si accorda per restituire il prestito nei tempi previsti versando rate semestrali di un nuovo ammortamento francese condotto sul nuovo valore del debito D al tasso annuo del 0%. Calcolare: a) L importo del debito residuo in corrispondenza dell ultima epoca in cui i pagamenti avvengono regolarmente; b) l importo di D ; c) l importo delle nuove rate ricontrattate ; d) il tasso di costo su base annua dell operazione complessiva. Il tasso semestrale equivalente al tasso annuo del 7% è dato da i/ = + i = 0,0344. Il piano d ammortamento (francese) prevede un totale di 0 rate semestrali pari a: D R = = = 0.995,4. a 4, i/ Il debito residuo dopo 0 semestri sarà: D0 = R a = 0.995, 4 8,345 = 75.3,76. 0 i/ A questo punto, il debitore paga solo gli interessi per due semestri, perciò il debito residuo rimane immutato: D = D0. Le due quote interessi valgono: I = D0 i/ = 6.05,98. Per i successivi due semestri, il debitore non paga nulla: il nuovo debito residuo si capitalizza quindi per due semestri, ossia per un anno. Si avrà quindi D' = D4 = D0 ( + i) = 87.39,05. Per determinare le nuove rate, calcoliamo il tasso semestrale equivalente al tasso annuo del 0%: Compiti svolti Dott. Giovanni Masala

2 j/ = + j = 0,0488. Il piano d ammortamento finale prevede 6 rate semestrali costanti, il cui importo è: D ' R ' = = ,99. a6 j/ Infine, per determinare il tasso di costo dell operazione complessiva, scriviamo l equazione di equilibrio (consideriamo come unità di misura temporale il semestre): 0 4 V( x) = R a + I a ( + x) R' a ( + x). 0 x x 6 x Osserviamo che le due quote interesse sono considerate come una rendita differita di 0 periodi mentre le ultime 6 rate sono considerate come una rendita differita di 4 periodi. Abbiamo indicato con x il tasso di costo semestrale (la nostra incognita). Dobbiamo quindi risolvere l equazione V( x ) = Si tratta di un equazione di grado elevato, perciò faremo ricorso al metodo dell interpolazione lineare per ottenere un valore approssimato della soluzione. Prendiamo come soglie i 0 ed i i tassi semestrali equivalenti al 7 e 0% rispettivamente: V(0,0344) = A0 = > V(0,0488) = A = < La formula dell interpolazione è: i i0 x = i0 + ( A A0) = 0,0364. A A0 Il tasso di costo su base annua varrà quindi TIC = ( + x) = 0,074. La soluzione esatta (ottenuta per via informatica) è TIC = 0,0739. ) Aprile 004. Un individuo si accorda per restituire un importo di euro mediante il versamento di rate annuali per cinque anni al tasso effettivo annuo di interesse del 7,75%. Le prime due rate sono uguali mentre le successive tre rate hanno ciascuna un importo triplo delle prime. Calcolare: a) Il debito residuo all epoca 3; b) la nuda proprietà all epoca ; c) l usufrutto all epoca ; d) il tasso del prestito nell ipotesi che tutte le rate siano pari al doppio della prima rata del piano d ammortamento originale. Compiti svolti Dott. Giovanni Masala

3 Indichiamo con R la prima rata incognita. La successione delle rate sarà quindi ( RR ; ;3 R;3 R;3 R )/(;;3;4;5). La somma dei valori attuali delle rate all epoca zero deve dare l ammontare del debito, perciò si ha: R a + 3 R a ( + i) = i 3 i ossia: R = = 7.94,89. a 3 ( ) i a 3 i i + + Conoscendo le rate ed il tasso d interesse, possiamo stendere il piano completo utilizzando le consuete relazioni: N R QI QC DR , , , , 7.94, , , , , , , , , , , , , , ,9 0 Avremo perciò: D N 3 = ,65 QC QC QC = + + = , 3 ( + i) ( + i) ( + i) QI3 QI4 QI5 U = + + = 8.489,66 3 ( + i) ( + i) ( + i) Per quanto riguarda l ultimo punto, scriviamo l equazione di equilibrio finanziario: V( j) = R a = indicando con j il tasso incognito. Risolviamo l equazione V( j ) = per interpolazione lineare. Prendiamo come soglie j 0 = 5% e j = 7%. Si ha: V(0,05) = A0 =.0.6,0 > V(0,07) = A = ,30 < La formula dell interpolazione fornisce: 5 j Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 3

4 j j j = j + A A = 0,0579. ( ) A A0 La soluzione esatta (ottenuta per via informatica) è j = 0, ) I esonero 00. Il creditore di un ammortamento di un importo di euro che si è convenuto di restituire in 0 anni mediante il versamento di rate di un ammortamento italiano al 0%, cede all epoca 6 i futuri incassi ad un terzo soggetto che paga un prezzo tale da garantirsi un rendimento lordo dall operazione del 3%. Calcolare: a) Il prezzo pagato dal terzo soggetto; b) il rendimento netto che il terzo soggetto realizza dall operazione se le quote interessi che incasserà sono gravate da una tassazione del 0% (ovvero se delle future quote interessi il 0% viene perduto per la presenza di tasse). Il prezzo pagato sarà la somma dei valori attuali all epoca 6 delle rate successive (utilizzando un tasso del 3%). Riportiamo il piano d ammortamento dell epoca 6 in poi: n QC QI R DR Perciò avremo: P = = , ,3,3,3,3 Le quote interesse, tassate del 0%, varranno dall epoca 7 (3.00;.400;.600;800) mentre le nuove rate saranno (3.00;.400;.600;0.800). Il rendimento netto si ottiene quindi risolvendo l equazione di equilibrio: Vi ( ) = , i + ( + i) + ( + i) + ( + i) =. Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 4

5 Risolviamo quindi per interpolazione lineare prendendo come seconda soglia i = 3% (il rendimento netto sarà senz altro minore del 3%). Utilizzando quindi la nota formula, si ottiene i 0,89%. 4) Febbraio 003. Un piano di ammortamento su un importo di.000 è restituito in 5 anni al 5% mediante il versamento di 5 quote capitali di cui la prima pari a 00, la seconda pari a 00, la terza pari a 0, la quarta e la quinta uguali. Calcolare nuda proprietà ed usufrutto all epoca al tasso di valutazione del 6%. Indichiamo con x l importo incognito della quarta e quinta rata. Avremo: x+ x=.000 x= 350. Conoscendo quindi tutte le quote capitale ed il tasso del 5%, possiamo facilmente stendere il piano d ammortamento completo: n QC QI R DR ,5 367,5 0 A questo punto, basta applicare la definizione di nuda proprietà ed usufrutto (valutati ad un tasso j=6%): N() = + + = 605, j ( + j) ( + j) ,5 U() = + + = 78, j ( + j) ( + j) 5) Giugno 003. Un individuo si accorda per restituire un prestito mediante il versamento di 5 quote capitali di cui la prima pari a euro e le altre ciascuna pari alla precedente più euro; il tasso è pari al 4,5%. Calcolare: a) Il debito residuo all epoca 3; b) la nuda proprietà all epoca utilizzando il tasso del 6,5%; c) l usufrutto all epoca utilizzando il tasso del 6,5%. La successione delle quote capitale sarà: (00.000;5.000;50.000;75.000; ) perciò l ammontare del Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 5

6 debito sarà euro. Conoscendo quindi tutte le quote capitale ed il tasso del 4,5%, possiamo facilmente stendere il piano d ammortamento completo: n QC QI R DR Il debito residuo all epoca tre vale euro. A questo punto, basta applicare la definizione di nuda proprietà ed usufrutto (valutati ad un tasso j=6,5%): N() = + + = 75.55,8 3 + j ( + j) ( + j) U() = + + = , j ( + j) ( + j) 6) Giugno 00. Un azienda si finanzia emettendo un prestito obbligazionario dell importo di di euro che si impegna a rimborsare mediante un ammortamento a rimborso unico, con rate annuali al 9,5% in 0 anni. Calcolare nuda proprietà ed usufrutto del prestito al tasso di valutazione del % all epoca 6. Il piano d ammortamento è strutturato nel modo seguente. Le quote capitale sono tutte nulle tranne l ultima: QC 0 = Il debito residuo è costante a tutte le epoche (tranne che all epoca 0 dove ovviamente si annulla) e vale , perciò le quote interesse sono tutte uguali e valgono: I = ,095 = La nuda proprietà si ottiene quindi attualizzando all epoca 6 l unica quota capitale QC 0 al tasso j=%: 4 N(6) = , = 04.69,8. L usufrutto si ottiene attualizzando all epoca 6 tutte le successive quote interesse: U() = a = 63.05, , Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 6

7 7) I esonero 00. Stendere il piano di ammortamento francese di un prestito dell importo di 300 mila euro di durata quadriennale, al tasso effettivo annuo i del 7%, con interessi anticipati. Ricaviamo dapprima: v = = = 0, i,07 d = v = 0,0654 Abbiamo all epoca 0: QC0 = 0 QI0 = DR0 d = 9.66,7 R0 = QI0 Le rate successive, costanti, valgono: DR0 v R = = R4 = = 8.774,4. a4 i Le quote capitale si ottengono dalle relazioni: 4 QC = R v ( =,,3,4). Si ottengono quindi per differenza le quote interesse ed il debito residuo. Osserviamo che devono valere le relazioni DR d = QI ( = 0,,,3). Il piano d ammortamento completo è il seguente: Epoca Quota Capitale Quota Interessi Rate Debito Residuo ,7 9.66, , , ,4 3.43, , , , , ,0 5.45, , , , ,4 0 B) Forza d interesse. ) Giugno 004. Data la seguente forza d interesse (intensità istantanea di interesse) Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 7

8 0, i δ () t = + t a) Scrivere il fattore di attualizzazione in funzione di t; b) calcolare il valore attuale di un importo pari a 00 disponibile dopo 4 anni se il tasso i è pari al 3,5%. Il fattore di attualizzazione si ottiene, per definizione, dalla seguente relazione: t δ ( s) ds vt () Osserviamo che nel calcolo dell integrale, abbiamo indicato con s la variabile d integrazione in modo da non creare confusione con l epoca finale t. Calcoliamo preliminarmente l integrale della forza d interesse: t t t 0 = e. 0, i t δ () s ds= ds= 0, i ds= 0, i [ log( + s) ] s s 0 = = 0, i log( + t) Di conseguenza (per una proprietà dei logaritmi): 0, i 0, ilog( + t) log( + t) 0, i vt () = e = e = ( + t). Il valore attuale richiesto sarà: 0, 0,035 VA = 00 v(4) = 00 ( + 4) = 98,8797. ) Febbraio 003. Data la seguente forza d interesse (intensità istantanea di interesse) 3 i t δ () t = + t a) Scrivere il fattore di capitalizzazione in funzione di t; b) calcolare il montante di un capitale pari a.000 dopo 3 anni e mezzo se il tasso i è pari al 6%. Il fattore di capitalizzazione si ottiene, per definizione, dalla seguente relazione: t δ ( s) ds rt () Osserviamo che nel calcolo dell integrale, abbiamo indicato con s la variabile d integrazione in modo da non creare confusione con l epoca finale t. Calcoliamo preliminarmente l integrale della forza d interesse: 0 = e. Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 8

9 t t t 3 i s 3 i s 3 i t δ ( s) ds ds ds log( s ) + s + s = = = + = 3 i = log( + t ) Di conseguenza (per una proprietà dei logaritmi): 3 i 3 i 3 i log( + t ) log( ) + t rt () = e = e = ( + t). Il montante richiesto sarà:,50,06 M =.000 r(3,5) =.000 ( + 3,5 ) =.6,83. 3) Settembre 00. i Data la forza d interesse δ () t = : + i t. esplicitare la formula della legge di capitalizzazione;. calcolare il valore in t = 0 di uno zero coupon bond che paga 00 dopo 8 mesi se i = 0,06. Il fattore di capitalizzazione si ottiene, per definizione, dalla seguente relazione: t δ ( s) ds rt () Osserviamo che nel calcolo dell integrale, abbiamo indicato con s la variabile d integrazione in modo da non creare confusione con l epoca finale t. Calcoliamo preliminarmente l integrale della forza d interesse: t t 0 = e. i t δ ( s) ds = ds = [ log( + i s) ] 0 = log( + i t) + i s 0 0 Di conseguenza (per una proprietà dei logaritmi): log(+ it ) rt () = e = + it. Il valore dello zcb sarà: 00 V = 00 v( 8/) = = 9, ,06. 4) Giugno 00. Sapendo che la forza d interesse vigente sul mercato è δ () t = α + β t, calcolare il montante di 00 dopo 3 anni se α = 0,0 e β = 0,0; indicare i valori di α e β che rendono scindibile il regime finanziario individuato dalla forza d interesse proposta. Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 9

10 Il fattore di capitalizzazione si ottiene, per definizione, dalla seguente relazione: t δ ( s) ds rt () Osserviamo che nel calcolo dell integrale, abbiamo indicato con s la variabile d integrazione in modo da non creare confusione con l epoca finale t. Calcoliamo preliminarmente l integrale della forza d interesse: t t 0 = e. t δ() s ds = ( α + β s) ds = α s + β s = α t + β t Di conseguenza:. + t t rt () = e α β. Il montante richiesto sarà: 0, ,5 0,0 9 M = 00 r(3) = 00 e = 66,59. Infine, il regime finanziario è scindibile se la forza d interesse è costante (ossia non dipendente dal tempo). Basta quindi imporre β = 0 per eliminare la dipendenza dal tempo ed α qualsiasi (ma positivo affinché δ abbia significato finanziario). La condizione β = 0 si può anche ottenere dalla condizione: d () t 0 0 dt δ = β =. 5) febbraio 004. Verificare se il regime finanziario la cui legge di capitalizzazione è: rt () = ( + i t ) sia scindibile o meno. Determiniamo la forza d interesse: '( ) () d log () r t i δ t = r t = = t. dt r() t + i t Vediamo immediatamente che la forza d interesse non è costante ma dipende dal tempo t. Di conseguenza, il regime finanziario non è scindibile. Possiamo inoltre verificare che r t + t r t r t C) Rendite. ( ) ( ) ( ) Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 0

11 ) Aprile 004. Una rendita ha rate pari a 300, 00 e 00 in corrispondenza delle scadenze 6 mesi, un anno e due anni e mezzo. Utilizzando il tasso del 5% calcolare la rata costante che fornisce lo stesso montante. Il montante della prima rendita (dopo due anni e mezzo) vale:,5 M = 300,5 + 00, = 743,3975. Indichiamo con R la rata incognita, il montante della seconda rendita sarà:,5 M = R,5 + R,5 + R= 743,3975,5 ( ) R,5 +,5 + = 743, ,3975 R = = 09, ,5,5,5 ) I esonero 003. Una rendita ha durata quadriennale e rate costanti pari a 00; utilizzando il tasso del 5% calcolare l importo della rata semestrale di una rendita frazionata in semestri di pari durata (4 anni) finanziariamente equivalente alla precedente. Due rendite sono equivalenti se hanno per esempio lo stesso valore attuale. Il valore attuale della prima rendita è: VA = 00 a = 354,59. 40,05 Indichiamo con R la rata semestrale costante della seconda rendita. Il tasso semestrale equivalente sarà i / =,05 = 0,0470. Avremo quindi la condizione: 354,59 VA = R a = 354,59 R = = 49, i/ a 3) Aprile 003. Una rendita possiede rate costanti pari a 00 e durata triennale. Considerando un tasso del 5% calcolare tre rate di cui la seconda è il doppio della prima e la terza è il doppio della seconda tali da fornire lo stesso valore attuale delle rate precedenti. Le due rendite sono finanziariamente equivalenti. Il valore attuale della prima rendita è: VA = 00 a = 544,65. 30,05 8 i / Compiti svolti Dott. Giovanni Masala

12 Indichiamo con R la prima rata incognita (le altre due saranno quindi R e 4R). Avremo quindi la condizione: R R 4R 4 VA = + + = 544,65 R 544,65 3 3,05,05,05 + +,05,05,05 = 544,65. R = = 87, ,05,05,05 Le altre due rate varranno perciò 75,08 e 350,6. 4) Giugno 003. Una rendita quadriennale possiede rate in progressione aritmetica. Sapendo che la prima rata vale 300, determinare le rimanenti rate in modo che la rendita data sia equivalente ad una rendita perpetua con rate pari a 00. La struttura costante dei tassi è fornita da δ = 0,05. Le due rendite dovranno avere lo stesso valore attuale. Conoscendo δ, ricaviamo il tasso d interesse su base annua ed il fattore di attualizzazione: δ i = e = 0,053 δ v = e = 0,95 Il valore attuale della rendita perpetua sarà: R 00 VA = = =.950, 4. i 0,053 Per quanto riguarda la prima rendita, indichiamo con x la sua ragione; il suo valore attuale sarà quindi: 3 3 VA = 300 v + (300 + x) v + (300 + x) v + ( x) v. La condizione VA = VA fornisce quindi un equazione di primo grado in x, la cui soluzione è x = 75,07. 5) Settembre 003. Sapendo che la forza d interesse vigente sul mercato è δ () t = α + β t con α = 0,00 e β = 0,00, determinare l importo x affinché la rendita R : 00;00;300;400 / ;;3;4 sia equivalente alla rendita ( ) ( ) ( ) ( ) R : x ;00;50;00 / ;;3;4. Conoscendo la forza d interesse, possiamo facilmente determinate il fattore di attualizzazione (vedere esercizi sulla forza d interesse): Compiti svolti Dott. Giovanni Masala

13 ( α t+ 0,5 β t ) ( 0,00 t+ 0,5 0,00 t ) vt () = e = e. Avremo perciò: v() = 0,9980 v() = 0,9940 v(3) = 0,988 v(4) = 0,980 Il valore attuale della prima rendita è: VA = 00 v() + 00 v() v(3) v(4) = 987,048. Il valore attuale della seconda rendita è: VA = x v() + 00 v() + 50 v(3) + 00 v(4). Dall uguaglianza VA = VA, deduciamo quindi: 987, v() 50 v(3) 00 v(4) x = = 544,54. v() D) Operazioni finanziarie. ) Febbraio 004. Un intermediario finanziario acquista l operazione finanziaria I =(P ; 5; 05)/(0; ; ) e l operazione finanziaria I = (P ; 4; 4; 4; 04)/(0; ; ; 3; 4). t δ t = 0,075 Sapendo che la forza d interesse vigente sul mercato è () calcolare i prezzi delle due operazioni finanziarie. A partire dalla forza d interesse, possiamo dedurre il fattore di attualizzazione attraverso il consueto integrale. Si trova: v() = 0,9493 ( ) 0,075 v() = 0,8863 vt () = + t v(3) = 0,844 v(4) = 0,8086 I prezzi delle due operazioni saranno quindi: P = 5 v() + 05 v() = 97,8075 P = 4 v() + 4 v() + 4 v(3) + 04 v(4) = 94,799 ) Aprile 004. Un prestito di euro viene restituito mediante il versamento di rate bimestrali costanti al tasso annuo del 6% in 5 anni. t + Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 3

14 Parallelamente l importo preso a prestito viene investito in un fondo azionario che rende il 7% il primo anno, il 9% il secondo e terzo anno, il 4% il quarto anno ed il 7% il quinto. Calcolare il saldo netto finale dell investitore (tenendo ovviamente conto della restituzione graduale del prestito). Calcoliamo dapprima l importo delle rate. Il tasso bimestrale equivalente sarà: /6 i/6 = ( + i) = 0, perciò R = = =.583,5. a 5, i/6 Esaminiamo il saldo netto in un periodo generico. Il capitale ad inizio periodo, C t, viene capitalizzato al tasso previsto dal fondo azionario. Dobbiamo sottrarre inoltre le rate bimestrali, le quali si capitalizzano al tasso in vigore per quel periodo (avremo quindi nel complesso il montante di una rendita frazionata). Indicato con C t + il capitale a fine periodo, avremo perciò: it + Ct+ = Ct ( + it+ ) R s = C ( ) 6( it ) t + it+ R + /6 ( i t+ ) /6 (con t = 0,,,3,4 ). Otteniamo in questa maniera: C = ,47 C = ,63 C3 = 45.86,00 C4 = ,04 C5 = 5.66,38 Il saldo netto finale è C 5. 3) I esonero 00 (recupero). Calcolare il TIR del BTP che scade tra tre anni, paga una cedola pari a 3 ogni semestre, rimborsa 00 alla scadenza e costa oggi 98,8. Calcolare anche il REA (o VAN) del titolo utilizzando un tasso del 3% semestrale. Lo scadenzario del BTP è: ( 98,8;3;3;3;3;3;03) /(0;0,5;;,5;;,5;3). Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 4

15 Indichiamo con v il fattore di attualizzazione semestrale. Per determinare il TIR dobbiamo preliminarmente risolvere l equazione: v+ 3 v + 3 v + 3 v + 3 v + 03 v = 98,8. Risolvendo per interpolazione lineare si ottiene v 0,9688. Deduciamo quindi il TIR semestrale i/ = 0,03 ed infine il TIR annuale v i = ( + i ) / 6,55%. Per quanto riguarda il calcolo del REA, determiniamo il fattore di attualizzazione semestrale: v = = 0,9709. Per definizione, avremo:, REA = 98,8 + 3 v+ 3 v + 3 v + 3 v + 3 v + 03 v =,. 4) Giugno 004. Due operazioni finanziarie a e b sono così congegnate: a=(-.000; 800; 0; 600; 00)/(0;;;3;4) b=(-.000; 400; 400; 400; X)/(0;;;3;4) Calcolare il valore del flusso X per il quale le due operazioni risultano finanziariamente equivalenti. Le due operazioni hanno lo stesso prezzo, pari a.000. Potremo quindi imporre che abbiano lo stesso TIR. Per calcolare il TIR della prima operazione, dobbiamo risolvere la seguente equazione di equilibrio finanziario: = i ( + i) ( + i) Con la consueta tecnica dell interpolazione lineare, si ottiene i 6,98% (basta prendere come soglie di interpolazione per esempio i 0 = 0% ed i = 30% ). Imponendo che la seconda operazione abbia lo stesso TIR, dobbiamo risolvere in X l equazione: X = , 698 (, 698) (, 698) (, 698) Si tratta di un equazione di primo grado, la cui soluzione è X = 67,97. 5) I esonero 00. Un azienda pone in essere un investimento che a fronte di un uscita immediata di euro assicura 7 entrate di.900 euro ciascuna. Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 5

16 Per l importo iniziale l azienda si finanzia al 50% con capitale che ha già a disposizione e per il restante 50% mediante un prestito che si impegna a restituire versando 5 rate di un ammortamento francese al 7%. Calcolare: a) I flussi netti dell operazione che si trovano sull asse dei tempi; b) il tasso di rendimento dell operazione complessiva. Lo scadenzario della prima operazione è: ( 0.000;.900;.900;.900;.900;.900;.900;.900). La rata del piano d ammortamento varrà R = =.9,45 a 50,07 per cui lo scadenzario della seconda operazione è: (5.000;.9,5;.9,5;.9,5;.9,5;.9,5;0;0). I flussi netti dell operazione complessiva (ottenuti sommando algebricamente i flussi delle singole operazioni epoca per epoca) sono: ( 5.000;680,55;680,55;680,55;680,55;680,55;.900;.900). Infine, il TIR dell operazione complessiva si ottiene risolvendo l equazione di equilibrio finanziario: ,55 a i 6 7 ( + i) + ( + i) =. Si trova con il metodo dell interpolazione lineare i 8,%. 6) I esonero 003. Un azienda pone in essere un investimento che gli costa oggi e fornisce entrate pari a il primo anno e il secondo. Per l importo iniziale di l azienda si finanzia in base a due possibili alternative: I) un ammortamento a rimborso unico al 5% con contestuale reinvestimento degli importi netti in entrata al 3%; II) mediante rimborso graduale nel quale utilizza gli importi in entrata per pagare le rate ed estinguere il debito più rapidamente possibile. Calcolare: a) quale delle alternative di finanziamento è più conveniente per l impresa (suggerimento: utilizzare i saldi netti finali delle operazioni); b) il tasso implicito della sola operazione di investimento. La prima operazione di investimento ha per scadenzario: A: ( 0.000;7.000;8.000) /(0;, ). Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 6

17 Consideriamo l alternativa I). Il piano d ammortamento a rimborso unico prevede il pagamento di una quota interesse all epoca uno pari a ,5 =.500 mentre all epoca due abbiamo il pagamento dell interesse e del capitale preso a prestito, ossia complessivamente.500. Lo scadenzario sarà quindi: R = (0.000;.500;.500) /(0;;). Il saldo delle due operazioni A ed R sarà quindi: S : (0;5.500; 3.500). L importo disponibile all epoca uno può essere reinvestito al 3%, perciò il saldo finale all epoca due sarà: 5.500, =.75. Consideriamo l alternativa II). Abbiamo il seguente piano d ammortamento (rimborso di un debito di al tasso del 5%: n QC QI R DR La prima entrata di è utilizzata come prima rata. La quota interesse vale ,5 =.500, di conseguenza la prima quota capitale vale = Il debito residuo all epoca uno sarà = Potremo perciò dedurre la quota interesse all epoca due: ,5 = 675. La quota capitale all epoca due dovrà essere pari a (debito residuo all epoca uno) mentre la rata da pagare all epoca due sarà: = Tenendo conto dell entrata di 8.000, all epoca due, il saldo netto sarà: =.85. L alternativa II) risulta quindi più vantaggiosa, in quanto produce all epoca due un saldo netto maggiore. Il tasso dell operazione di investimento si ottiene risolvendo l equazione di equilibrio finanziario (dividendo tutti gli importi per.000 ): v + 7v 0= 0 v= = 0,763 6 i = 3,05% v Abbiamo tralasciato la soluzione negativa, priva di significato finanziario. 7) Giugno 00. Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 7

18 Calcolare il TIR di un investimento che si ottiene comprando.000 titoli descritti dal seguente scadenzario: (-98; 5; 5; 5; 5; 05)/(0; ; ;3; 4; 5) nel caso in cui metà del capitale necessario per l acquisto sia frutto di un prestito che viene rimborsato in 5 anni a rimborso unico al tasso del 3% annuo. Il numero di titoli non influenza il risultato (perciò ne prendiamo uno). La metà del capitale, pari a 49, è rimborsato con un piano d ammortamento le cui quote interesse valgono 49 0,03 =,47. Lo scadenziario del piano d ammortamento sarà quindi: (49;,47;,47;,47;,47; 50,47). Il saldo netto delle due operazioni è: ( 49; 3,53; 3,53; 3,53; 3,53; 54,53) /(0;;;3;4;5). Il TIR si ottiene infine risolvendo l equazione di equilibrio finanziario: 54,53 3,53 a + = i 5 ( + i) Si trova con il metodo dell interpolazione lineare i 7,90%. E) Struttura dei tassi per scadenze. ) Febbraio 004. Sul mercato sono quotati i seguenti tre titoli: a=(-95;00)/(0;); b=(-98;5;05)/(0;;); c=(-00;4;6;08)/(0;;;3). Desumere i tassi a pronti ed i tassi a termine. Ricaviamo i fattori di attualizzazione. Dal titolo a abbiamo: 95 = 00 v(0,) v(0,) = 0,95. Dal titolo b abbiamo: 98 5 v(0,) 98 = 5 v(0,) + 05 v(0, ) v(0, ) = = 0, Dal titolo c abbiamo: 00 = 4 v(0,) + 6 v(0, ) + 08 v(0,3) 00 4 v(0,) 6 v(0,) v(0,3) = = 0, I tassi a pronti si ottengono ora, per definizione, dai relativi fattori di attualizzazione: Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 8

19 i(0,) = = 5, 63% v(0,) i(0, ) = = 6,34% v(0,) i(0,3) = = 5,95% 3 v(0,3) Per quanto riguarda i tassi a termine, infine, utilizziamo le relazioni di coerenza: v(0,) i(0,, ) = = 6,9705% v(0,) v(0,) i(0,,3) = = 5,5494% v(0,3) v(0,) i(0,,3) = = 6, 576% v(0,3) ) II esonero 003. Dati i seguenti tre titoli: z = (-98; 06) / (0; ); z = (-98; 5; 05) / (0; ; ); z 3 = (-98; 6; 6; 06) / (0; ; ; 3) desumere la struttura dei tassi a pronti ed a termine e calcolare il prezzo della seguente obbligazione: b = (P; 7; 7; 07) / (0; ; ; 3). Ricaviamo i fattori di attualizzazione. Dal titolo z abbiamo: 98 = 06 v(0,) v(0,) = 0,945. Dal titolo z abbiamo: 98 5 v(0,) 98 = 5 v(0,) + 05 v(0, ) v(0, ) = = 0, Dal titolo z 3 abbiamo: 98= 6 v(0,) + 6 v(0,) + 06 v(0,3) 98 6 v(0,) 6 v(0, ) v(0,3) = = 0,89 06 I tassi a pronti si ottengono ora, per definizione, dai relativi fattori di attualizzazione: Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 9

20 i(0,) = = 8,633% v(0,) i(0, ) = = 6,040% v(0,) i(0,3) = = 6,758% 3 v(0,3) Per quanto riguarda i tassi a termine, infine, utilizziamo le relazioni di coerenza: v(0,) i(0,, ) = = 3,9604% v(0,) v(0,) i(0,,3) = = 8, 070% v(0,3) v(0,) i(0,,3) = = 6,064% v(0,3) Il prezzo dell obbligazione b sarà: P = 7 v(0,) + 7 v(0,) + 07 v(0,3) = 00, ) II esonero 003. Dati i seguenti zero coupon bond: z = (-97; 04) / (0; ); z = (-99; 08) / (0; ) ed il titolo con cedole b 3 = (-00; 5, 5, 05) / (0;,, 3), calcolare la struttura dei tassi a pronti ed a termine nonché il TIR del portafoglio composto da tre titoli del primo tipo, due del secondo e due del terzo. Ricaviamo i fattori di attualizzazione. Dal titolo z abbiamo: 97 = 04 v(0,) v(0,) = 0,937. Dal titolo z abbiamo: = 08 v(0, ) v(0, ) = = 0, Dal titolo b 3 abbiamo: 00= 5 v(0,) + 5 v(0,) + 05 v(0,3) 00 5 v(0,) 5 v(0,) v(0,3) = = 0, Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 0

21 I tassi a pronti si ottengono ora, per definizione, dai relativi fattori di attualizzazione: i(0,) = = 7, 65% v(0,) i(0, ) = = 4, 4466% v(0,) i(0,3) = = 4,9806% 3 v(0,3) Per quanto riguarda i tassi a termine, infine, utilizziamo le relazioni di coerenza: v(0,) i(0,, ) = =,7483% v(0,) v(0,) i(0,,3) = = 6,0569% v(0,3) v(0,) i(0,,3) = = 3,880% v(0,3) Lo scadenzario del portafoglio è: ( 689;3;6;0) /(0;;,3). Il TIR si ottiene risolvendo l equazione = i ( + i) ( + i) Si ottiene con il metodo dell interpolazione lineare: i 5,34%. F) Arbitraggio. ) Giugno 00. Sapendo che, sul nostro mercato finanziario di riferimento, v(0; ) = 0,94 e v(0; ; 3) = 0,86 verificare se la presenza di uno zero coupon bond unitario z = (-0,83; ) / (0; 3) apre possibilità di arbitraggio e, eventualmente, calcolare il profitto realizzabile impostando una strategia con saldo positivo in t = 0. La conoscenza dello zcb. ci consente di determinare il fattore di attualizzazione v (0,3) = 0,83. Verifichiamo la relazione di coerenza: v(0,) v(0,,3) = 0,94 0,86 = 0,8084 < 0,83 = v(0,3). Compiti svolti Dott. Giovanni Masala

22 La non coerenza consente di elaborare una strategia di arbitraggio con saldo positivo all epoca zero. La strategia consiste nel vendere l operazione più cara ed acquistare l operazione meno cara, in modo da ottenere un saldo netto positivo. Nel nostro caso abbiamo: v(0,3) > v(0,) v(0,,3). Perciò venderemo (in un operazione a pronti) una unità dello zcb. Parallelamente, acquisteremo (in un operazione a termine) una unità dell operazione v (0,,3). Inoltre acquisteremo (in un operazione a pronti) 0,86 unità dell operazione v (0,), in modo da ottenere un saldo nullo all epoca uno. Queste tre operazioni sono riassunte nella tabella sottostante: Operazioni T = 0 T = T = 3 Prima o. f. +0, Seconda o. f. 0-0,86 + Terza o. f. -0, ,86 0 Saldo +0, Osserviamo quindi il saldo netto positivo all epoca zero: v(0,3) v(0,) v(0,,3) = 0,06. La prima operazione equivale ad un finanziamento, mentre le altre due sono degli investimenti (notare i segni degli importi nella tabella). ) II esonero 003. Sapendo che, sul nostro mercato finanziario di riferimento, v(0; ) = 0,90 e v(0; ; 6) = 0,96 verificare se la presenza di uno zero coupon bond unitario z = (-0,834; ) / (0; 6) apre possibilità di arbitraggio e, eventualmente, calcolare il profitto realizzabile impostando una strategia con saldo positivo in t = 0. La conoscenza dello zcb. ci consente di determinare il fattore di attualizzazione v (0,6) = 0,834. Verifichiamo la relazione di coerenza: v(0,) v(0,,6) = 0,90 0,96 = 0,864 > 0,834 = v(0,6). La non coerenza consente di elaborare una strategia di arbitraggio con saldo positivo all epoca zero. La strategia consiste nel vendere l operazione più cara ed acquistare l operazione meno cara, in modo da ottenere un saldo netto positivo. Nel nostro caso abbiamo v(0,6) < v(0,) v(0,,6). Perciò acquisteremo (in un operazione a pronti) una unità dello zcb. Parallelamente, venderemo (in un operazione a termine) una unità Compiti svolti Dott. Giovanni Masala

23 dell operazione v (0,,6). Inoltre venderemo (in un operazione a pronti) 0,96 unità dell operazione v (0,), in modo da ottenere un saldo nullo all epoca uno. Queste tre operazioni sono riassunte nella tabella sottostante: Operazioni T = 0 T = T = 6 Prima o. f. -0, Seconda o. f. 0 +0,96 - Terza o. f. +0,864-0,96 0 Saldo +0, Osserviamo quindi il saldo netto positivo all epoca zero: v(0,) v(0,,6) v(0,6) = 0,03. La prima operazione equivale ad un investimento, mentre le altre due sono dei finanziamenti (notare i segni degli importi nella tabella). G) Duration. ) Giugno 00. La struttura dei tassi a pronti è espressa sul mercato dalla seguente equazione: i(0, t) = 0,06 0,005 ( t ). Calcolare la duration di primo e secondo ordine del titolo (-98; 0; 0; 0)/(0; ; ; 3). Calcolare i tassi a termine i(0, t-, t) per t=,, 3. Calcolare il fattore di montante m(0,, 3) espresso su base annua. Determiniamo i tassi a pronti, sostituendo a t il valore richiesto: i(0,) = 6%, i(0,) = 5,5%, i(0,3) = 5%. I fattori di attualizzazione saranno: v(0,) = = 0, i(0,) v(0, ) = = 0,8985 ( + i(0,) ) v(0,3) = = 0, ( + i(0,3) ) Deduciamo quindi i tassi a termine: Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 3

24 v(0,) i(0,, ) = = 5,004% v(0,) v(0,) i(0,,3) = = 4,007% v(0,3) v(0,) i(0,,3) = = 4,5035% v(0,3) Il fattore di montante richiesto sarà m(0,,3) = [ + i(0,,3) ] =,09. Per il calcolo delle duration, applichiamo la definizione: 0 v(0,) + 0 v(0, ) v(0,3) D = =, v(0,) + 0 v(0, ) + 0 v(0,3) 0 v(0,) + 0 v(0, ) v(0,3) D = = 7, v(0,) + 0 v(0, ) + 0 v(0,3) ) Settembre 003. Dati i seguenti tre titoli obbligazionari: z = (-98; 00) / (0; ); z = (-97; 00) / (0; ); z 3 = (-96; 3; 3; 03) / (0; ; ; 3). Determinare i tassi a pronti e a termine e calcolare il prezzo P e la duration della seguente obbligazione: b = (P; 4; 4; 04) / (0; ; ; 3). Ricaviamo i fattori di attualizzazione. Dal titolo z abbiamo: 98 = 00 v(0,) v(0,) = 0,98. Dal titolo z abbiamo: 97 = 00 v(0, ) v(0, ) = 0,97. Dal titolo z 3 abbiamo: 96 = 3 v(0,) + 3 v(0, ) + 03 v(0,3) 96 3 v(0,) 3 v(0,) v(0,3) = = 0, I tassi a pronti e a termine si ottengono con le consuete relazioni. Si ha: i(0,) =,0408% i(0,, ) =,0309% i(0, ) =,5346% i(0,,3) = 5,854% i(0,3) = 4,549% i(0,,3) = 0,864% Il prezzo dell obbligazione è dato da: Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 4

25 P = 4 v(0,) + 4 v(0, ) + 04 v(0,3) = 98,85. Per il calcolo delle duration, applichiamo la definizione: 4 v(0,) + 4 v(0,) v(0,3) D = =,884 4 v(0,) + 4 v(0, ) + 04 v(0,3) 4 v(0,) + 4 v(0, ) v(0,3) D = = 8, v(0,) + 4 v(0,) + 04 v(0,3) 3) II esonero 003. Dato un titolo fornito di Duration pari a 4 e prezzo pari a 99 calcolare il suo presumibile cambiamento di valore a seguito di una variazione dei tassi di mercato del % a partire da un livello corrente del 7%. La formula che fornisce il cambiamento di valore è la seguente: D 4 V = V i = 99 0,0 = 7, i,07 Il prezzo finale sarà perciò: Vf = V + V = 99 + ( 7, 409) = 9,598. Il prezzo finale è quindi diminuito, in accordo con il fatto che il tasso d interesse è aumentato. 4) II esonero 003. Dato un titolo fornito di Duration pari a,5 e prezzo pari a 99 calcolare il suo presumibile cambiamento di valore a seguito di una variazione dei tassi di mercato del,5% a partire da un livello corrente del 6%. La formula che fornisce il cambiamento di valore è la seguente: D.5 V = V i = 99 ( 0,05) =+ 5, i,06 Il prezzo finale sarà perciò: Vf = V + V = ,8373 = 04,8373. Il prezzo finale è quindi aumentato, in accordo con il fatto che il tasso d interesse è diminuito. H) Immunizzazione. ) Aprile 003. Calcolare le quote dei titoli z e z che immunizzano un portafoglio composto da un uscita L = 500 che si verifica in t = essendo z e z i seguenti: Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 5

26 z = (-95; 00) / (0; ); z = (-96; 0) / (0; 3) ed essendo il tasso di mercato costante e pari a 0,08. Partendo dai prezzi dei due titoli calcolare anche il costo del portafoglio di attività. Ci poniamo nell ipotesi di evoluzione dei tassi per shift additivi. Lo scadenzario del portafoglio delle entrate è α z+ β z (00 α; 0;0 β ) /(;;3) avendo indicato con α e β le quote di composizione incognite. In virtù del teorema di Fisher-Weil, dobbiamo utilizzare il vincolo di bilancio ed il vincolo di duration: vincolo di bilancio (il valore, all epoca zero, del portafoglio delle attività deve coincidere con il valore della passività): t t V(0, θ) = V(0, u) θ ( + i) = u ( + i). Calcoliamo i valori attuali del portafoglio delle attività e della passività: 3 V (0, θ) 00α,08 = + 0β,08 = 9,596α + 87,35β V(0, u) = 500,08 = 48,6694 per cui otteniamo la prima condizione: 9,596α + 87,35β = 48,6694. vincolo di duration (la duration delle attività coincide con la duration della passività): D (0, θ ) = D (0, u) t t t θ ( + i) t u ( + i) = t t θ ( + i) u ( + i) 3 00α, β,08 D (0, θ ) = 48,6694 D (0, θ) = 0,6α + 0,6β mentre la duration dell unica uscita è semplicemente. Otteniamo perciò la seconda condizione 0, 6α + 0,6β =. Poniamo infine a sistema le due condizioni: 9,596 α + 87,35 β = 48,6694 0,6 α + 0,6 β = Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 6

27 α =,348 il quale possiede la soluzione β =,4545 (possiamo risolvere per sostituzione o con la regola di Cramer). Il costo del portafoglio sarà: C =, , = 455,54. ) Aprile 00. Siano dati i seguenti 3 titoli obbligazionari (i cui valori teorici coincidono con i prezzi): b = (-97,9; 4; 04)/(0; ; ) b = (-99,65; 5; 5; 05)/(0; ; ; 3); b 3 = (-99,55; 5; 5; 5; 05)/(0; ; ; 3; 4). Sapendo che la struttura dei tassi di mercato è piatta ed è espressa da un tasso istantaneo δ pari al 5% calcolare le quote del portafoglio formato dai tre titoli b, b, b 3 che immunizzano il vettore di uscite (0; 00; 0; 00; 0)/(0; ; ; 3; 4) nell ipotesi in cui si desideri avere una duration di ordine dell attivo pari a, volte quella del passivo. Ci poniamo nell ipotesi di evoluzione dei tassi per shift additivi. Calcoliamo innanzi tutto il tasso annuale. Dalla relazione δ = 0,05 = log( + i) 0,05 si ricava i= e = 0,057 ed inoltre v = 0,953 + i =,057 =. Lo scadenzario del portafoglio delle entrate è α b+ β b + γ b3 (4α + 5β + 5 γ;04α + 5β + 5 γ;05β + 5 γ;05 γ) /(,,3, 4) avendo indicato con α, β e γ le quote di composizione incognite. In virtù del teorema di Redington, dobbiamo utilizzare i vincoli di bilancio, duration e dispersione. vincolo di bilancio (il valore, all epoca zero, del portafoglio delle attività deve coincidere con il valore delle passività): t t V(0, θ) = V(0, u) θ ( + i) = u ( + i). Calcoliamo i valori attuali del portafoglio delle attività e delle passività: Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 7

28 α 3 ( ) + β ( ) + v v v v v + γ (5v+ 5v + 5v + 05 v ) = 00 v+ 00 v ,908 α + 99,6547 β + 99,5506 γ = 8,94 vincolo di duration (la duration delle attività coincide con la duration delle passività): D (0, θ ) = D (0, u) t t θ ( + i) t u ( + i) = t t θ ( + i) u ( + i) (4α + 5β + 5 γ) v+ (04α + 5β + 5 γ) v D (0, θ ) = + 8, (05β + 5 γ) + 40 γ α ( ) v v v v + = + 8,94 8, β (5v+ 0v + 35 v ) + γ (5v+ 0v + 5v + 40 v ) + 8,94 =,0597α +,575β +,045γ mentre la duration delle uscite è: v v 00 v v D (0, u) = = =, v+ 00 v 8,94 Il secondo vincolo sarà perciò:,0597 α +,575 β +,045 γ =,95004 vincolo di dispersione (la dispersione delle attività è maggiore della dispersione delle passività): () () D (0, θ ) =, D (0, u) t θ v t u v t =, t t θ v u v La dispersione delle uscite è: 3 () 00 v v D (0, u) = = 4, v+ 00 v La dispersione delle entrate è: t t Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 8

29 D () (4α + 5β + 5 γ) v+ 4 (04α + 5β + 5 γ) v (0, θ ) = + 8, (05β + 5 γ) v γ v α (4v+ 46 v ) + = + 8,94 8,94 β v+ v + v + γ v+ v + v + v + 8,94 =,0984α + 4,65β + 7,930γ ( ) ( ) Il vincolo di dispersione sarà:,0984 α + 4,65 β + 7,930 γ =, 4,8007 = 5,760 Mettiamo infine a sistema le tre condizioni: 97,908 α + 99,6547 β + 99,5506 γ = 8,94,0597 α +,575 β +,045 γ =,95004,0984 α + 4,65 β + 7,930 γ = 5,760 il quale risolto con il metodo di Cramer fornisce la soluzione: α = 3,884 β = 4,055 γ =, ) II esonero 003. Calcolare le quote dei titoli z e z che immunizzano un portafoglio composto da un uscita L = 00 che si verifica in t = essendo z e z i seguenti: z = (-00; 05) / (0; ); z = (-99,; 5; 5; 05) / (0; ; ; 3) ed essendo il tasso di mercato costante e pari a 0,05. Ipotizzando, inoltre un aumento dei tassi di mercato di 3 punti percentuali, calcolare il valore netto del portafoglio (valore attività meno valore passività) in corrispondenza della duration. Partendo dai prezzi (che, come si vede, sono pari a 00 e 99,) dei due titoli calcolare anche il costo del portafoglio di attività. Ci poniamo nell ipotesi di evoluzione dei tassi per shift additivi. Lo scadenzario del portafoglio delle entrate è α z+ β z (05α + 5 β;5 β;05 β)/(;;3) avendo indicato con α e β le quote di composizione incognite. In virtù del teorema di Fisher-Weil, dobbiamo utilizzare il vincolo di bilancio ed il vincolo di duration: Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 9

30 vincolo di bilancio (il valore, all epoca zero, del portafoglio delle attività deve coincidere con il valore della passività): t t V(0, θ) = V(0, u) θ ( + i) = u ( + i). Calcoliamo i valori attuali del portafoglio delle attività e della passività: 3 V (0, θ) = (05α + 5 β),05 + 5β, β,05 = = 00α + 00β V(0, u) = 00,05 = 8, 4059 per cui otteniamo la prima condizione: 00α + 00β = 8, vincolo di duration (la duration delle attività coincide con la duration della passività): D (0, θ ) = D (0, u) t t t θ ( + i) t u ( + i) = t t θ ( + i) u ( + i) 3 (05α + 5 β),05 + 5β, β,05 D (0, θ ) = 8, 4059 D (0, θ) = 0,55α +,576β mentre la duration dell unica uscita è semplicemente. Otteniamo perciò la seconda condizione 0,55α +,576β =. Poniamo infine a sistema le due condizioni: 00 α + 00 β = 8,4059 0,55 α +,576 β = α = 0,8385 il quale possiede la soluzione β = 0,9756 (possiamo risolvere per sostituzione o con la regola di Cramer). Il costo del portafoglio sarà: C = 0, , , = 80,53. Lo scadenzario del portafoglio delle attività, tenendo conto dei valori di α e β appena ricavati sarà: (9,9; 4,88;0,44) /(; ; 3). Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 30

31 Tenendo conto di un aumento dei tassi di 3 punti, il nuovo valore del portafoglio in corrispondenza della duration (epoca due) sarà: 0,44 V '() = 9,9,08+ 4,88+ = 00,0774.,08 Infine, il valore netto del portafoglio in corrispondenza della duration è: V () = 00, = 0,0774 > 0. Otteniamo un importo positivo, a conferma del fatto che il nostro portafoglio è immunizzato. I) Modello binomiale CRR. ) II esonero 003. Valutare, mediante il modello binomiale di CRR, una opzione put dotata delle seguenti caratteristiche: - prezzo corrente del sottostante pari a 0; - strie price pari a 0,5; - tasso ris free pari a 0,05; - fattore binomiale moltiplicativo u pari a,; - fattore binomiale moltiplicativo d pari a 0,9; - durata uniperiodale. Calcolare, inoltre, le quote di composizione a e b del portafoglio replicante. Calcoliamo dapprima i pay-off in caso di rialzo e ribasso rispettivamente: Pu = Max( K A u;0) = Max(0,5 0,;0) = Max(,5;0) = 0 Pd = Max( K A d;0) = Max(0,5 0 0,9;0) = Max(,5;0) =,5 Il valore dell opzione è la media ponderata (tramite le probabilità neutralizzate) dei valori attuali dei pay-off. La probabilità neutralizzata è data da: + i d,05 0,9 π = = = 0,5. u d, 0,9 Perciò il valore dell opzione è. π Pu + ( π) Pd 0, ,5,5 P = = = 0, i,05 Il portafoglio replicante è un portafoglio costituito da una quota α di azioni ed una quota β di zcb ris-free (il cui prezzo è, con valore a scadenza + i ), con lo scopo di replicare il valore dell opzione in caso di rialzo e di ribasso. Le quote si ottengono risolvendo il sistema: A u α + ( + i) β = Pu A d α + ( + i) β = Pd Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 3

32 Il primo membro della prima equazione rappresenta il valore del portafoglio in caso di rialzo, che abbiamo uguagliato al pay-off dell opzione in caso di rialzo. Interpretazione analoga per la seconda equazione (situazione in caso di ribasso). La soluzione generale del sistema è: Pu Pd,5 α = = = 0,5 A ( u d) 0 0,3 u Pd d Pu,,5 β = = = 5,743 ( + i) ( u d),05 0,3 Osserviamo infine che per evitare opportunità di arbitraggio, il prezzo del portafoglio replicante dovrà valere il prezzo dell opzione. Abbiamo perciò una maniera equivalente di calcolare il prezzo dell opzione, ossia: P = α A + β = 0, ,743 = 0,743. ) II esonero 00. Valutare, mediante il modello binomiale di CRR, una opzione call dotata delle seguenti caratteristiche: - prezzo corrente del sottostante pari a 0; - strie price pari a 9,5; - tasso ris free pari a 0,05; - fattore binomiale moltiplicativo u pari,; - fattore binomiale moltiplicativo d pari 0,9; - durata uniperiodale. Calcolare, inoltre, le quote di composizione a e b del portafoglio replicante. Calcoliamo dapprima i pay-off in caso di rialzo e ribasso rispettivamente: Cu = Max( A u K; 0) = Max(0, 9,5; 0) = Max(,5; 0) =,5 Cd = Max( A d K; 0) = Max(0 0,9 9,5; 0) = Max( 0,5; 0) = 0 Il valore dell opzione è la media ponderata (tramite le probabilità neutralizzate) dei valori attuali dei pay-off. La probabilità neutralizzata è data da: + i d,05 0,9 π = = = 0,75. u d, 0, 9 Perciò il valore dell opzione è: π Cu + ( π) Cd 0,75,5 + 0,5 0 P = = =, i,05 Il portafoglio replicante è un portafoglio costituito da una quota α di azioni ed una quota β di zcb ris-free (il cui prezzo è, con valore a scadenza Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 3

33 + i ), con lo scopo di replicare il valore dell opzione in caso di rialzo e di ribasso. Le quote si ottengono risolvendo il sistema: A u α + ( + i) β = Cu A d α + ( + i) β = Cd Il primo membro della prima equazione rappresenta il valore del portafoglio in caso di rialzo, che abbiamo uguagliato al pay-off dell opzione in caso di rialzo. Interpretazione analoga per la seconda equazione (situazione in caso di ribasso). La soluzione generale del sistema è: Cu Cd, 5 α = = = 0,75 A ( u d) 0 0, uc d dc u 0,9,5 β = = = 6, 486 ( + i) ( u d),05 0, Osserviamo infine che per evitare opportunità di arbitraggio, il prezzo del portafoglio replicante dovrà valere il prezzo dell opzione. Abbiamo perciò una maniera equivalente di calcolare il prezzo dell opzione, ossia: P = α A + β = 0,75 0 6, 486 =,074. 3) Giugno 004. Valutare, mediante il modello binomiale di CRR, una opzione put dotata delle seguenti caratteristiche: - prezzo corrente del sottostante pari a 0; - strie price pari a 0; - tasso ris free pari a 0,04; - fattore binomiale moltiplicativo u pari,5; - fattore binomiale moltiplicativo d pari 0,9; - durata biperiodale. Calcoliamo dapprima i pay-off all epoca due nei tre casi possibili (due rialzi, due ribassi, un rialzo ed un ribasso): P = K A u = = = uu dd Max( ;0) Max(0 0,5 ;0) Max( 3,5;0) 0 P = K A d = = = Max( ;0) Max(0 0 0,9 ;0) Max(,9;0),9 P = Max( K A u d;0) = Max(0 0,5 0,9;0) = Max( 0,35;0) = 0 ud Il valore dell opzione è la media ponderata (tramite le probabilità neutralizzate) dei valori attuali dei pay-off. La probabilità neutralizzata è data da: Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 33

34 + i d,04 0,9 π = = = 0,56. u d,5 0,9 Perciò il valore dell opzione è: π Puu + π ( π) Pud + ( π) Pdd 0,44,9 P = = = 0,340. ( + i),04 Osservazione. Nel caso di un opzione call, dobbiamo solamente cambiare il calcolo dei pay-off, che assume la forma seguente: Cuu = Max( A u K; 0) Cdd = Max( A d K; 0) C = Max( A u d K; 0). ud Compiti svolti Dott. Giovanni Masala 34