Sviluppi di Taylor. Andrea Corli 1 settembre Notazione o 1. 3 Formula di Taylor 3. 4 Esempi ed applicazioni 5

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1 Sviluppi di Taylor Adrea Corli settembre 009 Idice Notazioe o Liearizzazioe di ua fuzioe 3 Formula di Taylor 3 4 Esempi ed applicazioi 5 I questo capitolo aalizziamo l approssimazioe di ua fuzioe regolare di ua variabile reale co poliomi di grado arbitrario (poliomi di Taylor). Si tratta di approssimazioi locali, che dao cioè risultati soddisfaceti i u itoro di u puto prefissato. Il caso particolare i cui =, ovvero la liearizzazioe di ua fuzioe, è cosiderato i dettaglio vista la sua importaza. Notazioe o Defiizioe. Siao f e g due fuzioi reali di variabile reale defiite i u itoro di u puto x 0 R, eccettuato al più il puto x 0. Si dice che f è u o piccolo di g per x che tede a x 0, i simboli f(x) = o ( g(x) ) per x x 0, se f(x) x x 0 g(x) = 0. Si oti che o è ecessario richiedere che f e g siao defiite el puto x 0 i quato la defiizioe coivolge esclusivamete il ite delle due fuzioi per x che tede a x 0. Osservazioe. Se f = o(g) per x x 0 e g è ifiitesima i x 0, allora ache f è ifiitesima i x 0. Fissato ifatti 0 < ɛ <, da g(x) < ɛ defiitivamete e f(x) g(x) < ɛ defiitivamete segue f(x) < ɛ < ɛ defiitivamete. I questo caso f è duque u ifiitesimo di ordie superiore a g e questo motiva la otazioe f = o(g): la lettera o sta per zero (o usato perché darebbe luogo ad ambiguità di otazioe) e suggerisce duque che la fuzioe f è uo zero (u ifiitesimo di ordie superiore) della fuzioe g. Esempio. Siao f(x) = x, g(x) = x, x 0 = 0; allora x = o(x) per x 0. Aalogamete x 3 = o(x ) per x 0. e x = o(x ) per x 0 per ogi N. cos x = o(x) per x 0; questo segue dalla regola di de l Hospital o ricordado che per x 0. cos x x Osservazioe. Se f = o(g) per x x 0, allora f = c o(g) per x x 0, per ogi umero reale f(x) c 0. Ifatti se x x0 g(x) = 0 allora ache f(x) x x 0 cg(x) = 0. I simboli: o(g) = c o(g) per ogi c 0.

2 Nella Defiizioe. o si richiede che le fuzioi f e g siao ifiitesime i x 0 : così, presa g =, la otazioe f(x) = o() per x x 0 equivale a x x0 f(x) = 0, cioè a richiedere che f sia ifiitesima. Esempio. si x = o() per x 0, log( + x) = o() per x. o() (x x 0 ) = o ( (x x 0 ) ) per x x 0. Se ifatti f(x) = o() per x x 0 allora f(x) (x x 0 ) x x 0 (x x 0 ) = 0. Liearizzazioe di ua fuzioe I molti casi si è iteressati al comportameto di ua fuzioe f i u itoro di u puto x 0. Se f è derivabile essa può essere allora rimpiazzata dalla sua liearizzata el puto x 0. Si tratta di questioi già viste i precedeza (la retta tagete) ma che vegoo riprese ora da u diverso puto di vista e per motivare la sezioe seguete. Defiizioe. Sia f : (a, b) R ua fuzioe derivabile, x 0 (a, b); la fuzioe liearizzata di f el puto x 0 è la fuzioe l x0 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). (.) Il grafico di l x0 è la retta tagete al grafico di f el puto ( x 0, f(x 0 ) ). Naturalmete liearizzate i puti diversi sarao diverse, i geerale, e questo spiega il fatto che abbiamo esplicitato x 0 ella otazioe l x0. L errore che si commette rimpiazzado f co l x0 è E,x0 (x) = f(x) l x0 (x) dove l idice ricorda che si tratta di u errore dovuto ad ua approssimazioe lieare (cioè co u poliomio di grado ). Esso o solo ha la proprietà che E,x0 (x) = o() per x x 0, proprietà questa comue agli errori relativi a tutte le approssimazioi lieari p(x) = f(x 0 ) + m(x x 0 ), m R, ma di più E,x0 (x) = o(x x 0 ) per x x 0. (.) Ifatti E,x0 (x) x x 0 = f(x) f(x 0) f (x 0 )(x x 0 ) x x 0 = f(x) f(x 0) x x 0 f (x 0 ) 0 per x x 0. La fuzioe l x0 è l uica fuzioe lieare rede l errore o(x x 0 ) ivece che o(). I questo seso essa è la migliore approssimazioe lieare di f el puto x 0. Si oti che da (.) segue f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ) che scriveremo brevemete come f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) all ordie per x x 0. Esempio. La liearizzata di e x el puto 0 è la fuzioe + x. si x + 3 x per x π 6 ; log( + x) x per x. L equazioe del moto di u pedolo di braccio l e massa m è θ + g l si θ = 0 dove θ = θ(t) è l agolo di deviazioe dalla verticale, g l accelerazioe di gravità. Si tratta di ua equazioe differeziale di difficile soluzioe aalitica. Poiché si θ θ al primo ordie

3 per θ 0, per piccole oscillazioi (e per brevi itervalli di tempo) l equazioe può essere rimpiazzata dall equazioe liearizzata θ + g l θ = 0 che forisce immediatamete la soluzioe geerale θ(t) = A cos(ωt + θ 0 ), ω = g l, dove l ampiezza A e lo sfasameto θ 0 soo determiati dalle codizioi iiziali. 3 Formula di Taylor La sezioe precedete mostra come approssimare localmete ua fuzioe derivabile co ua fuzioe lieare, cioè co u poliomio di grado. Ci poiamo ora il problema di approssimare localmete ua fuzioe co poliomi di grado arbitrario, cercado ua stima opportua dell errore commesso. Affrotiamo dapprima il problema della ricerca del poliomio approssimate i maiera ituitiva. Nelle prime due righe della Tabella riassumiamo quato visto fiora; la terza riga è relativa all approssimazioe che stiamo cercado, co l errore desiderato. Il coefficiete α è determiato impoedo che l errore sia o ( (x x 0 ) ), cioè [ f(x) f(x0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + α(x x 0 ) ] x x 0 (x x 0 ) = 0. (3.) ordie approssimazioe errore 0 f(x 0 ) o() f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + α(x x 0 ) o(x x 0 ) o ( (x x 0 ) ) Tabella : Ricerca della approssimazioe al secodo ordie. Applicado due volte la regola di de l Hospital si trova f(x) x x 0 [ f(x0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + α(x x 0 ) ] (x x 0 ) = x x 0 f (x) [ f (x 0 ) + α(x x 0 ) ] (x x 0 ) f (x) α = = 0 x x 0 se e soltato se α = f (x 0), da cui l approssimazioe al secodo ordie f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). No è difficile a questo puto cogetturare la forma delle approssimazioi di ordie maggiore; ad esempio quella di ordie 3 si otterrà da quella di ordie aggiugedo il termie f (x 0) 3! (x x 0 ) 3. Il fattoriale a deomiatore è il risultato della derivata terza di (x x 0 ) 3. Per motivare l espressioe dell errore el teorema seguete si oti all ordie 0 si ha f(x) = f(x 0 ) + o() (3.) i cosegueza della cotiuità di f. Se f è di classe C, dal Teorema del valor medio di Lagrage segue f(x) = f(x 0 ) + f (c)(x x 0 ) (3.3) dove c è u puto compreso tra x 0 e x. Pertato l errore o() che compare i (3.) è precisato i f (c)(x x 0 ). Questi calcoli elemetari redoo plausibile il seguete risultato, del quale omettiamo la dimostrazioe. 3

4 Teorema 3. (Formula di Taylor co resto di Lagrage) Sia f C + ([a, b]), x 0 [a, b]. Per ogi x [a, b] esiste c compreso tra x 0 e x tale che f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ) + f (+) (c) ( + )! (x x 0) +. (3.4) La formula (3.4) prede ache il ome di sviluppo di Taylor di f. Il poliomio T,x0 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ) è il poliomio di Taylor di f di ordie e cetro x 0. Idicato co E,x0 (x) = f(x) T,x0 (x) l errore, o resto, la (3.4) si scrive come f(x) = T,x0 (x) + E,x0 (x). Nel caso i cui x 0 = 0 la formula (3.4) prede il ome di formula o sviluppo di McLauri e il poliomio T,0 (x) = T (x) = f(0) + f (0)x + f (0) x f () (0) x viee detto poliomio di McLauri di f di ordie. Il termie f (+) (c) (+)! (x x 0 ) + è l errore espresso ella forma di Lagrage. Se = 0 la formula (3.4) si riduce ifatti alla (3.3), cioè al Teorema di Lagrage. Poiché f è supposta di classe C + ell itervallo [a, b] e segue che la derivata f (+) è cotiua e duque che f (+) ha massimo M per il Teorema di Weierstrass. Pertato E,x0 (x) M ( + )! (x x 0) +. Nel caso i cui o sia idispesabile ua espressioe precisa del resto come quella della formula (3.4) si può ricorrere al seguete risultato. Teorema 3. (Formula di Taylor co resto di Peao) Sia f C ([a, b]), x 0 [a, b]. Allora f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ) +o ( (x x 0 ) ). (3.5) Dimostrazioe. Poiché f C ([a, b]) applichiamo la formula di Taylor co resto di Lagrage all ordie : otteiamo f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f ( ) (x 0 ) ( )! (x x 0 ) + f () (c) (x x 0 ). Poiché f () è cotiua e il puto c è compreso tra x 0 e x si ha che f () (c) = f () (x 0 ) + o(). Pertato dall Esempio. f () (c) (x x 0 ) = f () (x 0 ) (x x 0 ) + o() (x x 0) = f () (x 0 ) (x x 0 ) + o( (x x 0 ) ). Dall Osservazioe. si ha o((x x 0) ) = o ( (x x 0 ) ) e allora (3.5). 4

5 Si otio le differeze tra i Teoremi 3. e 3.: i etrambi i casi la fuzioe f è approssimata co lo stesso poliomio di Taylor, ma metre el primo si ha l espressioe precisa dell errore E,x0 (x) = f (+) (c) (+)! (x x 0 ) + (la fuzioe f era supposta di classe C + ), el secodo si ha la stima E,x0 (x) = o ( (x x 0 ) ) (ora f è solo supposta di classe C ). Esempio 3. La fuzioe e x è di classe C ; calcoladoe le derivate i 0 la formula di McLauri dà e x = + x + x x + o(x ). Si oti che l approssimazioe è sempre per difetto se x > 0; se x < 0 l approssimazioe è per difetto se è dispari e per eccesso se è pari. La fuzioe si x è di classe C ; dal calcolo delle sue derivate successive i 0 si trova lo sviluppo di McLauri si x = x x3 3! + x5 x+ 5! ( ) (+)! + o(x+ ). I maiera aaloga cos x = x! + x4 4! ( ) x ()! + o(x ). Si oti che lo sviluppo di McLauri della fuzioe (dispari) si cotiee solo poteze dispari, quello della fuzioe (pari) cos cotiee solo poteze pari. Si cosideri la fuzioe log( + x); si ha D log( + x) = ( ) ( )!( + x) e duque lo sviluppo di McLauri è log( + x) = x x + x ( ) x + o(x ). Se α R lo sviluppo di McLauri della fuzioe ( + x) α è ( + x) α = + αx + α(α ) x ( α ) x + o(x ) dove il coefficiete biomiale geeralizzato è defiito da I particolare ( α ) = α(α )... (α + ) + x = + x x 8 + o(x ). Riassumiamo di seguito gli sviluppi delle fuzioi elemetari trovati sopra. e x = + x + x x + o(x ) (3.6) si x = x x3 3! + x5 x ( ) 5! ( + )! + o(x+ ) (3.7) cos x = x! + x4 x ( ) 4! ()! + o(x ) (3.8) log( + x) = x x + x3 x ( ) 3 ( ( + x) α α(α ) = + αx + x α o(x ) ) x + o(x ). (3.9) Esercizio 3. Si cosideri ua fuzioe f (ad esempio di classe C ); provare che se f è pari (dispari) allora il poliomio di McLauri di f cotiee solo poteze pari (dispari). 4 Esempi ed applicazioi Icomiciamo questa sezioe mostrado tramite esempi alcui metodi di calcolo del poliomio di Taylor di ua fuzioe e del relativo errore. Esempio 4. Alcui sviluppi di Taylor possoo essere dedotti da altri per sostituzioe di variabili. Dallo sviluppo (3.6) rimpiazzado x co x troviamo e x = x + x... + ( ) x + o(x ). 5

6 Per addizioe e sottrazioe seguoo allora sih x = x + x3 3! x+ ( + )! + o(x+ ) cosh x = + x! x ()! + o(x ). Sempre da (3.6) ma rimpiazzado x co x si ottiee e x = + x + x x + o(x ). Da (3.9) co α = /3 e rimpiazzado x co x 3 si ottiee 3 + x 3 = + 3 x3 9 x6 + o(x 9 ). Per applicare lo sviluppo (3.9) co α = osserviamo che ( ) = ( ). Duque + x = x + x... + ( ) x + o(x ). Rimpiazzado x co x si trova (si ricordi la serie geometrica) x = + x + x +... x + o(x ). Esempio 4. Nel caso di fuzioi composte il calcolo delle derivate può essere lugo e igombrate. Il calcolo del poliomio di Taylor può essere facilitato compoedo gli sviluppi delle sigole fuzioi. Lo sviluppo di McLauri al terz ordie della fuzioe log( + si x) può essere dedotto da quelli delle fuzioi si x e log( + y): ) log( + si x) = log ( + x x3 6 + o(x6 ) = x x3 6 + o(x6 ) ) (x x3 6 + o(x6 ) + 3 = x x + 6 x3 + o(x 3 ). ) 3 (x x3 6 + o(x6 ) + o(x 3 ) Facciamo ora qualche commeto a proposito dell errore commesso ell approssimazioe. Osservazioe 4. Ua stima più precisa dell errore può essere fatta se alcui termii del poliomio di Taylor soo macati. E questo il caso della fuzioe seo. Lo sviluppo di McLauri al primo ordie dà si x = x + o(x); poiché ello sviluppo al secodo ordie maca il termie relativo a x si trova si x = x + o(x ). Si oti che dalla semplice aalisi del poliomio di McLauri abbiamo guadagato u ordie ella stima dell errore. Aalogamete cos x = + o(x), cosiderado lo sviluppo al primo ordie. Pertato le stime dell errore riportate i (3.7) e (3.8) possoo essere migliorate rispettivamete i o(x + ) e o(x + ). Osservazioe 4. La formula (3.4) vale per ogi x dell itervallo [a, b], ma l errore di solito è tato più grade quato più x è lotao da x 0. Cosideriamo ad esempio lo sviluppo al primo ordie di McLauri di e x co resto di Lagrage, e x = + x + ec x. Sul puto c o abbiamo alcua iformazioe se o che è compreso tra 0 e x. Perciò se x = il resto è stimabile co e/ 0.8, metre se x = allora la stima è e /

7 Cocludiamo questa sezioe citado, tra le applicazioi, la possibilità di effettuare calcoli approssimati. Esempio 4.3 Vogliamo calcolare il umero e a meo di u errore di 0.0. Dalla formula di McLauri co resto di Lagrage abbiamo e x = + x + x x + ec (+)! x+, co c tra 0 e x. Posto x = troviamo e = e c ( + )! co c [0, ]. Poiché e c e < 3 deduciamo che scegliere allora = 5 (poiché 6! = 70). Perciò e c (+)! < 3 (+)! < 00 e = Esercizio 4. Trovare gli sviluppi di McLauri di +x, e x, arctg x. se ( + )! > 300; basta Esercizio 4. Sviluppi di Taylor di cetri diversi dao aturalmete risultati diversi (si pesi alle rette tageti al grafico di ua fuzioe). Calcolare gli sviluppi di Taylor di ordie della fuzioe e x ei puti 0, ± e disegare u grafico approssimativo. Risposta. T,0 (x) = + x + x, T,(x) = e + e(x ) + e(x ), T, (x) = e + x+ + (x+). e e 7