1 Funzioni. M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "1 Funzioni. M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler"

Transcript

1 1 Funzioni M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler

2 A function f from set A to set B is a rule of correspondence that assigns to each element x in the set A exactly one element y in the set B. Y X è il dominio Corrispondenza uno ad uno Y è il codominio Nell esempio sopra l insieme X rappresenta gli studenti del corso di matematica. L insieme Y rappresenta i voti ottenuti in matematica (da 1 a 10). Ad ogni studente deve essere assegnato un solo voto ma diversi studenti possono avere lo stesso voto.

3 Funzione Una funzione è una relazione in cui ad ogni elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio. x f(x) y

4 Funzione Data la funzione f: x y = f(x) la variabile x è chiamata indipendente, perché ad essa può essere assegnato un qualunque valore ammissibile del dominio, la variabile y è chiamata dipendente, perché il valore assegnato dipende da x. La notazione f(x) si legge f di x e rappresenta il valore della funzione nel punto x.

5 Funzione L immagine di una funzione è l insieme di tutti i valori y che sono corrispondenti di qualche valore di x f X = y Y y = f x, x X Il grafico di una funzione è l insieme x, f x, x X, y = f(x) X Y.

6 Valore della funzione in un punto Data la funzione f(x) = 2x + 6, la notazione f(3) significa che la variabile x è sostiuita dal valore 3. f(x) = 2x + 6 f(3) = 2(3) + 6 f(3) = 12

7 Grafico di una funzione.esempio y y = 4 5 x per x = 0 y = 0 per x = 5 y = 4 ( 0, 0) ( 5, 4) x

8 Sistema di coordinate cartesiane Il sistema di coordiante cartesiane è composto dall asse delle x (orizzontale) e da quello delle y (verticale). Essi si incontrano nell origine e dividono il piano in 4 quadranti: 6 II Quadrante (-,+) 4 2 I Quadrante (+,+) III Quadrante (-,-) -2-4 IV Quadrante (+,-) -6

9 Test della retta verticale Test della retta verticale: dato il grafico di una funzione allora ogni linea verticale attraversa il suo grafico solo in un punto. 9

10 Test della Retta Verticale Il grafico sotto rappresenta una funzione? sì 10

11 Test della Retta Verticale E il grafico di una funzione? NO 11

12 Quali dei seguenti grafici rappresentano una funzione? (a) (b) (c) (d) (a) and (c)

13 Proprietà delle funzioni Una funzione f: X Y è detta essere iniettiva se e solo se x, x X, x x f x f x In altre parole la funzione f è iniettiva se a due elementi distinti di X corrispondono due elementi distinti di Y. 13

14 A function f from set A to set B is a rule of correspondence that assigns to each element x in the set A exactly one element y in the set B X è il dominio Y è il codominio

15 La relazione sotto è una funzione? NO Allo studente 2 sono stati assegnati due diversi voti!

16 La seguente relazione è una funzione? No, perchè 3 non ha un corrispondente. Ogni studente deve ricevere un voto L insieme X è il Dominio L insieme Y è il codominio

17 Proprietà delle funzioni Una funzione f: X Y è detta essere suriettiva se e solo se y Y x X y = f x oppure f X = Y In altre parole la funzione f è suriettiva se l immagine coincide con il codominio, o se tutti i valori di y sono corrispondenti di qualche x. Una funzione f: X Y è detta essere una corrispondenza biunivoca o biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva. Torniamo agli esempi iniziali. 17

18 La relazione sotto è una funzione? Sì. E iniettiva? E suriettiva? L insieme X è il dominio L insieme Y è il codominio L esempio sopra mostra che ogni studente ha ottenuto lo stesso voto..

19 La seguente relazione è una funzione? E iniettiva? E suriettiva? In questo caso ogni studente ha ottenuto un solo voto. Più di uno studente ha ottenuto lo stesso voto e nessuno ha ottenuto come voto 8 (non tutti i valori di y sono corrispondenti) L insieme X è il Dominio E una funzione! L insieme Y è il codominio

20 X è il dominio Corrispondenza uno ad uno Y è il codominio

21 Inversa di una funzione Una importante proprietà della biezione è che ammette una funzione inversa. La funzione inversa della biezione f: X Y è la funzione f 1 : Y X f -1 (y) = x se f(x) = y. 21

22 Inversione Esempio 1: f(linda) = Moscow f(max) = Boston f(kathy) = Hong Kong f(peter) = Lübeck f(helena) = New York f è biettiva. La funzione inversa f -1 è definita: f -1 (Moscow) = Linda f -1 (Boston) = Max f -1 (Hong Kong) = Kathy f -1 (Lübeck) = Peter f -1 (New York) = Helena Solo le biezioni sono funzioni invertibili 22

23 Esempio 2: Linda Boston Inversione f Max New York f -1 Kathy Peter Helena Hong Kong Moscow Lübeck In questo caso la funzione f -1 :Y X non esiste, perchè non è definita per ogni y e assegna due valori all elemento New York. 23

24 Esempio Data la funzione y = 2x 3 trovare la funzione inversa, se esiste. Soluzione: Per trovare la funzione inversa di f x = 2x 3, x = f 1 y, la variabile x deve essere espressa in funzione della variabile y: Da y = 2x 3 2x = y + 3 x = y Quindi f 1 y = y+3 2

25 Il grafico di una funzione f e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I quadrante y = f(x) y = x y = f -1 (x) y = x

26 Test della retta orizzontale Se una retta orizzontale interseca una curva più di una volta, la funzione non ammette inversa. Applicando il Test della retta orizzontale stabilire quali grafici ammettono inversa.

27 Test della Retta Orizzontale Se una retta orizzontale interseca una curva più di una volta, l inversa non è una funzione. Applicando il Test della retta orizzontale,stabilire quali grafici ammettono inversa.

28 Funzione composta Date due funzioni f: X Y, g: Y Z la funzione composta di f con g è denotata con g fè una funzione g f: X Z ed è tale che per ogni x, g f x = g(f x ) Si calcola prima per ogni x il valore f x e quindi g y con y = f x 28

29 X f Y g Z x y z g f

30 Funzione composta Esempio: Date le funzioni f x = 3x e g y = e y, f: R R, g: R R trovare la funzione composta g f g f 1 = g f 1 = g 3 = 21 4 = 17 g f x = g f x = g 3x = 7 3x 4 = 21x 4 x y=f x =3x y z=g y =7y 4 z 30

31 Funzione composta La funzione composta di una funzione con la sua inversa è la funzione identità: f 1 f x = f 1 f x = x i: x x 31

32 Esercizi 1. Trovare il campo di esistenza o dominio della seguente funzione f x = x 2 [x 2] 2. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 2 x [x 0 o x 1] 3. Trovare il campo di esistenza della seguente 3 funzione f x = x 3 x [R] 4. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x+5 [x 1 e x 3] x 2 4x+3 5. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 2 4 x + 6 [R]

33 6. Trovare il campo di esistenza o dominio della seguente funzione f x = 1 4x 2 [ 1 2 x 1 2 ] 7. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 2 4 [x 2 o x 2] 8. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = 3x 1 [x 1e x 2 ] x 2 3x+2 9. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x+1 [x 2] x 2 4x+4

34 10.Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x [R] 11.Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 3 2x + 1 [R] 12.Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x+5 [R] x 2 +x+1

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. A x 1. x. x 3..y 1.y.y 3 B C.y 5 x 4..y

Dettagli

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi

Dettagli

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte):

MATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte): MATEMATICA a.a. 014/15 1a. Funzioni (II parte): Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Funzioni reali. Campo di esistenza. Funzioni pari e dispari Funzione iniettiva y=f() 1 3 X 4 y 6 Y y y 1 y 3 y

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 24 1 Generalità 2 Funzioni reali

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Crescente Decrescente Crescente Estremi di una funzione f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. f ( ) f ( d) per ogni

Dettagli

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Funzioni: definizioni e tipi Definizione di funzione Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice funzione o applicazione da A a B una relazione che associa ad ogni elemento dell insieme A uno ed un solo

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta 1 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta L equazione generale della funzione retta è y = a x + b dove a, b sono numeri reali fissati. Il termine b si chiama termine noto e dà l ordinata dell intersezione tra

Dettagli

Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI. Corso di Analisi Matematica A.A. 2009 / 2010.

Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI. Corso di Analisi Matematica A.A. 2009 / 2010. Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI Corso di Analisi Matematica A.A. 009 / 00 Le Funzioni Fabio Memoli indice Il Concetto di Funzione Funzioni Reali Di Variabile

Dettagli

5. Concetto di funzione. Dominio e codominio.

5. Concetto di funzione. Dominio e codominio. 5. Concetto di unzione. Dominio e codominio. Intro (concetto intuitivo) Che cosa e una unzione? Esempi di unzioni? Concetto di unzione Il concetto di unzione è legato all esistenza di una relazione tra

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

05 - Funzioni di una Variabile

05 - Funzioni di una Variabile Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 05 - Funzioni di una Variabile Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Le Funzioni Modulo Esponenziali Logaritmiche Definizione di modulo o valore assoluto Se x è un generico numero reale, il suo modulo o valore assoluto è: x = x se x 0 -x se x

Dettagli

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge

Dettagli

Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune

Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune Capitolo 1 Richiami sulle funzioni 1.1 Richiami di teoria Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune nozioni sulle funzioni e sui vettori. Per tale motivo in

Dettagli

3. Generalità sulle funzioni

3. Generalità sulle funzioni ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 3. Generalità sulle funzioni A. A. 2013-2014 1 DALLA RETTA REALE AL PIANO CARTESIANO L equivalenza tra numeri reali e punti di una retta permette

Dettagli

Coordinate cartesiane nel piano

Coordinate cartesiane nel piano Coordinate cartesiane nel piano O = (0, 0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente (non decrescente) in un intervallo I se f ( 1 ) < f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1

Dettagli

Liceo Classico Statale Vittorio Emanuele II Matematica in analisi

Liceo Classico Statale Vittorio Emanuele II Matematica in analisi Liceo Classico Statale Vittorio Emanuele II Matematica in analisi Le funzioni Definizione di funzione Dati due insiemi A e B, si definisce funzione una relazione che associa ad ogni elemento di A uno e

Dettagli

1. Funzioni e grafici elementari

1. Funzioni e grafici elementari 1. Funzioni e grafici elementari Davide Catania davide.catania@unibs.it Esercitazioni di Analisi Matematica 1 A.A. 2016/17 Funzioni e grafici Grafici deducibili Funzioni periodiche Funzioni simmetriche

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B FUNZIONI Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y () y viene chiamato immagine di e indicato anche

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili Ottavio Serra Esercizi di calcolo Funzioni invertibili Una funzione f: A B iniettiva e suriettiva è biunivoca e perciò invertibile. Ricordo che f è iniettiva se per tutti gli, y di A, f() = f(y) implica

Dettagli

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II).

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II). Matematica I, 02.10.2012 Funzione inversa. Funzioni elementari (II). 1. Sia f : A B una funzione reale di variabile reale (A, B R); se f e biiettiva, allora la posizione f 1 (b) = unico elemento a A tale

Dettagli

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G.

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ 1 V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. A1 DEFINIZIONE DI FUNZIONE 2 Diapositiva 2 A1 Autore; 08/09/2015 DEFINIZIONE DI FUNZIONE X Y E una funzione! g a b c d e f.1.2.3.4

Dettagli

ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI A. MARTINI Castelfranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni n n n n

ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI A. MARTINI Castelfranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni n n n n 0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni. Insieme delle parti. Partizione di un insieme 3. Prodotto cartesiano 4. Deinizione di relazione 5. Deinizione di unzione 6. Funzioni

Dettagli

Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1

Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 CAPITOLO 8. LE FUNZIONI. 1. Generalità sulle funzioni.. Le rappresentazioni di una funzione. 3. Le funzioni reali di variabile reale. 4. L espressione

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al più un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1

Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 CAPITOLO 8. LE FUNZIONI. 1. Generalità sulle funzioni.. Le rappresentazioni di una funzione.. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.. Le funzioni

Dettagli

ESERCIZI SU FUNZIONI. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile in x=0?(motivare le risposte).

ESERCIZI SU FUNZIONI. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile in x=0?(motivare le risposte). ESERCIZI SU FUNZIONI. 1) Disegnare il grafico della funzione f : R R così definita y = f(x)= x +1 se x 0 -x 2 +1 se x < 0. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione

Dettagli

Liceo Scientifico A. Romita Programma di Matematica Anno scolastico 2016/2017 Prof.ssa Santella Mariagrazia

Liceo Scientifico A. Romita Programma di Matematica Anno scolastico 2016/2017 Prof.ssa Santella Mariagrazia Liceo Scientifico A. Romita Programma di Matematica Anno scolastico 2016/2017 Prof.ssa Santella Mariagrazia Classe III sez. A Modulo 1 Unità didattica 1 Ripetizione della risoluzione delle equazioni di

Dettagli

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione

Dettagli

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE 1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di

Dettagli

Funzioni funzione univocità relazione univoca variabile dipendente variabile indipendente primo insieme secondo insieme

Funzioni funzione univocità relazione univoca variabile dipendente variabile indipendente primo insieme secondo insieme Funzioni Chiamiamo unzione un insieme di coppie ordinate che goda della seguente proprietà: non possono appartenere alla stessa unzione due coppie ordinate che abbiano lo stesso primo elemento e diversi

Dettagli

I2. Relazioni e funzioni

I2. Relazioni e funzioni I2. Relazioni e funzioni I2. Relazioni Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Esempio I2. Dati gli insiemi ={ldo, runo, Carlo} e ={nna, arbara} si consideri la relazione, espressa in

Dettagli

Funzione Composta. Il campo di esistenza della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso.

Funzione Composta. Il campo di esistenza della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso. Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f(g()) notazione funzionale (f g)() = f(g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene

Dettagli

FUNZIONI E LORO PROPRIETA'

FUNZIONI E LORO PROPRIETA' FUNZIONI E LORO PROPRIETA' Definizione: Dati due insiemi A e B si dice funzione di A in B una qualunque legge che faccia corrispondere ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Si indica con

Dettagli

x dove fx ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di

x dove fx ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di 7. Funzioni limitate ed illimitate, funzioni inverse Definizione: Una funzione f: A Bsi dice limitata superiormente od inferiormente se il suo condominio è un insieme limitato superiormente od inferiormente.

Dettagli

y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni:

y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni: Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali y = senx, y = cos x, y = tgx, la funzione

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E FUNZIONI

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E FUNZIONI TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E FUNZIONI La trasformazione geometrica del piano in sé è una corrispondenza biunivoca tra i punti di un piano; è indicata con t ed è un applicazione del piano in se che trasforma

Dettagli

1 Funzioni reali di una variabile reale

1 Funzioni reali di una variabile reale 1 Funzioni reali di una variabile reale Qualche definizione e qualche esempio che risulteranno utili più avanti Durante tutto questo corso studieremo funzioni reali di una variabile reale, cioè Si ha f

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Funzioni reali di variabile reale Consideriamo le seguenti situazioni: Il volume V di una sfera di raggio r è dato dalla formula V = 4 3 r3. Dopo t anni, la massa rimasta di una quantità iniziale m 0 di

Dettagli

Nome Cognome. Classe 3D 25 Febbraio Verifica di matematica

Nome Cognome. Classe 3D 25 Febbraio Verifica di matematica Nome Cognome. Classe D Febbraio Verifica di matematica ) Data l equazione: k 6 a) Scrivi per quali valori di k rappresenta un ellisse, precisando per quali valori è una circonferenza b) Scrivi per quali

Dettagli

FUNZIONI. }, oppure la

FUNZIONI. }, oppure la FUNZIONI 1. Definizioni e prime proprietà Il concetto di funzione è di uso comune per esprimere la seguente situazione: due grandezze variano l una al variare dell altra secondo una certa legge. Ad esempio,

Dettagli

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.

Dettagli

FUNZIONI Prima lezione : rudimenta

FUNZIONI Prima lezione : rudimenta FUNZIONI Prima lezione : rudimenta Supponiamo di avere due insiemi, A e B. Supponiamo ad esempio che A sia l insieme dei giocatori di una squadra di pallavolo, come quella nell immagine: e supponiamo che

Dettagli

Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))

Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x)) Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f (g()) notazione funzionale = f (g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene al

Dettagli

ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE

ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 4 Dicembre 2012 L espressione

Dettagli

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE Vogliamo ora limitare la nostra attenzione a quelle funzioni che hanno come insieme di partenza e di arrivo un sottoinsieme dei numeri reali, cioè A, B R. Es6. Funzione

Dettagli

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE J.C. MAXWELL Data Pag. di PROGRAMMA SVOLTO. Docente : Varano Franco Antonio.

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE J.C. MAXWELL Data Pag. di PROGRAMMA SVOLTO. Docente : Varano Franco Antonio. Materia: Matematica. Docente : Varano Franco Antonio. Classe : 3 C Liceo Scientifico, opzione Scienze Applicate. ATTIVITA CONTENUTI PERIODO / DURATA LE ISOMETRIE. LE FUNZIONI. LA RETTA. Le isometrie, la

Dettagli

Quadro riassuntivo di geometria analitica

Quadro riassuntivo di geometria analitica Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

Progettazione modulare Percorso di istruzione di 3 livello, Servizi Socio Sanitari Modulo n.1: Insiemi numerici e funzioni MATEMATICA

Progettazione modulare Percorso di istruzione di 3 livello, Servizi Socio Sanitari Modulo n.1: Insiemi numerici e funzioni MATEMATICA Progettazione modulare Modulo n.1: Insiemi numerici e funzioni DURATA PREVISTA Ore in presenza 12 Ore a distanza 5 Totale ore 17 individuare le caratteristiche di un insieme numerico; classificare le funzioni,

Dettagli

RELAZIONI E FUNZIONI

RELAZIONI E FUNZIONI Esprimendo la legge di Hardy -Weinberg, abbiamo utilizzato la lettera p per esprimere la probabilità, in senso frequentista, dell allele A nella popolazione. Abbiamo quindi calcolato la probabilità del

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.

Dettagli

3^C - Funzioni. Determina il campo di esistenza della funzione y= x x 3 x 5 0 x 5

3^C - Funzioni. Determina il campo di esistenza della funzione y= x x 3 x 5 0 x 5 3^C - Funzioni Determina il campo di esistenza della funzione y= x 5 2 2 x 3 x 5 0 x 5 { 2 x 3 0 x 3/2 CE : x 3 2 Determina il codominio della funzione y= x 2 6 x Parabola di vertice V 3,9 e concavità

Dettagli

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE 1 Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = (1 + 2x) 4 nel suo punto di intersezione con l asse y 2 Scrivi l equazione della retta tangente

Dettagli

Equazioni e disequazioni goniometriche

Equazioni e disequazioni goniometriche 1 Equazioni e disequazioni goniometriche Restrizione di una funzione Nel definire la funzione logaritmica come inversa di quella esponenziale, avevamo ricordato che: Una funzione è invertibile se e soltanto

Dettagli

2ALS. Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica.

2ALS. Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica. 2ALS Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica. Si consiglia il libro: Matematica-recupero dei debiti formativi e ripasso estivo 2 ISBN 978-88-24741279

Dettagli

FUNZIONI TRA INSIEMI. Indice

FUNZIONI TRA INSIEMI. Indice FUNZIONI TRA INSIEMI LORENZO BRASCO Indice. Definizioni e risultati.. Introduzione.. Iniettività e suriettività.3. Composizione di funzioni 4.4. Funzioni inverse 5. Esercizi 5.. Esercizi svolti 5.. Altri

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione

FUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione FUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione 1 E data la funzione f(x) = sin(2x 5) Allora: (a) dom (f) = {x IR : 1 2x 5 1} (b) im (f) = [ 1, 1] (c) f ha periodo T= π 5 (d) f ha periodo T= 2π 5 2 La funzione

Dettagli

Verifica di matematica. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (x; y) è assegnata la curva Γ di equazione: 2

Verifica di matematica. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (x; y) è assegnata la curva Γ di equazione: 2 0 Marzo 00 Verifica di matematica roblema Si consideri l equazione ln( + ) 0. a) Si dimostri che ammette due soluzioni reali. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (; ) è assegnata la

Dettagli

Indice degli argomenti

Indice degli argomenti Indice degli argomenti 1 Teoria degli insiemi 2 Numeri 3 Calcolo combinatorio 4 Approssimazioni, propagazione degli errori, percentuali 5 Funzioni reali 6 Funzioni lineari 7 Programmazione lineare 8 Funzioni

Dettagli

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 013-014 ESERCIZI RELATIVI A SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO Esercizio 1: Fissato su una retta un sistema di riferimento

Dettagli

ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012

ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 1. Esercizi 3 1. Studiare la seguente funzione FINO alla derivata prima, con tracciamento di grafico ed indicazione

Dettagli

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo Capitolo Funzioni. Concetti preliminari Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo f : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento A un unico

Dettagli

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione

Dettagli

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.

Dettagli

Introduzione. Test d ingresso

Introduzione. Test d ingresso Indice Introduzione Test d ingresso v vii 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5 Intervalli... 12 1.6 Valoreassolutoedistanza...

Dettagli

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione Definizione Si dice funzione (o applicazione)

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO E INDICAZIONI LAVORO ESTIVO. a. s CLASSE IIIC. Insegnante Pellegrino Innocenza. Disciplina MATEMATICA

PROGRAMMA SVOLTO E INDICAZIONI LAVORO ESTIVO. a. s CLASSE IIIC. Insegnante Pellegrino Innocenza. Disciplina MATEMATICA PROGRAMMA SVOLTO E INDICAZIONI LAVORO ESTIVO a. s. 2016-2017 CLASSE IIIC Insegnante Pellegrino Innocenza Disciplina MATEMATICA PROGRAMMA SVOLTO Equazioni e disequazioni algebriche Ripasso di equazioni

Dettagli

2.3. Esercizio. Disegnare il grafico delle seguenti funzioni f(x) = x x, g(x) = max(0, cos(x)), h(x) = min(0, sin(x))

2.3. Esercizio. Disegnare il grafico delle seguenti funzioni f(x) = x x, g(x) = max(0, cos(x)), h(x) = min(0, sin(x)) ANALISI Soluzione esercizi 4 ottobre 0.. Esercizio. Disegnare il grafico delle funzioni f(x) = x 4, g(x) = x 3, r(x) = min(0, x 3 ), s(x) = 3 x Esistono software che disegnano i grafici di moltissime funzioni

Dettagli

Verso il concetto di funzione

Verso il concetto di funzione Verso il concetto di funzione Il termine funzione già appare in alcuni scritti del matematico Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine venne usato in riferimento a espressioni analitiche

Dettagli

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Abbiamo già visto che in un sistema di assi cartesiani ortogonali, è possibile determinare l equazione di una retta r non parallela agli assi coordinati,

Dettagli

Introduzione alla II edizione. Introduzione. Test d ingresso

Introduzione alla II edizione. Introduzione. Test d ingresso Indice Introduzione alla II edizione Introduzione Test d ingresso v vii ix 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5

Dettagli

Esercizi di Matematica Discreta - Parte I

Esercizi di Matematica Discreta - Parte I Esercizi di Matematica Discreta - Parte I 7 ottobre 0 AVVISO: Sia i testi che gli svolgimenti proposti possono contenere errori e/o ripetizioni Essi sono infatti opera di vari collage e, per ovvie questioni

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Funzioni elementari: logaritmi 1 / 11

Funzioni elementari: logaritmi 1 / 11 Funzioni elementari: logaritmi 1 / 11 Logaritmi La funzione logaritmica é definita come g: (0,+ ) R x log a x con a > 0 e a 1. 2 / 11 Logaritmi La funzione logaritmica é definita come g: (0,+ ) R x log

Dettagli

Esercizi sullo studio di funzione

Esercizi sullo studio di funzione Esercizi sullo studio di funzione Seconda parte Come visto nella prima parte, per poter descrivere una curva, data la sua equazione cartesiana esplicita y f () occorre procedere secondo l ordine seguente:

Dettagli

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3)

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3) Matematica 2 Derivate Esercizi y=sen( 4 3) y' =cos( 4 3)(4 3 3) y=logsen( 4 1 3) y' = sen( 4 +3) cos(4 +3)(4 3 +3) y=sen 2 ( 4 3) y' =2sen( 4 3 )cos( 4 3)(4 3 3) Funzioni ad una sola variabile y=f() è

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Esercizi relativi al capitolo 2

Esercizi relativi al capitolo 2 Esercizi relativi al capitolo. Funzioni pari e dispari Stabilire se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari.. f (x) = x 4 x. f (x) = 3 x 3 + x 3. f (x) = x3 3 x+x 4. f (x) = x sin

Dettagli

Lezione 5 Geometria Analitica 1

Lezione 5 Geometria Analitica 1 Lezione 5 Geometria Analitica 1 Donato A Ciampa In questa lezione richiameremo alcune nozioni della geometria analitica, quali le trasformazioni del piano in se stesso e le varie equazioni relative alla

Dettagli

Funzioni elementari. Tutorial di Barberis Paola - agg grafici con GEOGebra - software open source

Funzioni elementari. Tutorial di Barberis Paola - agg grafici con GEOGebra - software open source Funzioni elementari Proporzionalità diretta e inversa Retta, funzione identità e funzione costante Parabola, funzione quadratica e cubica Funzione omografica Funzione esponenziale e logaritmica Funzioni

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le funzioni

Unità Didattica N 2 Le funzioni Unità Didattica N Le funzioni 1 Unità Didattica N Le funzioni 05) Definizione di applicazione o funzione o mappa. 06) Classificazione delle funzioni numeriche 07) Estremi di una funzione, funzioni limitate.

Dettagli

, per cui le due curve f( x)

, per cui le due curve f( x) DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina di 9 eas matematica http://spazioinwind.libero.it/adolscim DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO

SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO SIMMETRIE RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI ASSE X: P ( x,y ) a P1 ( x, y ) ; punto medio: M1 ( x,0) ASSE Y: P ( x,y ) a P ( x, y ),

Dettagli

Indice. 1 Cenni di logica. 2 Elementi di teoria degli insiemi. 3 Relazioni e funzioni. 4 Strutture algebriche

Indice. 1 Cenni di logica. 2 Elementi di teoria degli insiemi. 3 Relazioni e funzioni. 4 Strutture algebriche Indice 1 Cenni di logica 2 Elementi di teoria degli insiemi 3 Relazioni e funzioni 4 Strutture algebriche Silvia Pianta - Laura Montagnoli Geometria I - Prerequisiti - UCSC A.A. 2015/2016 1 / 36 1. Cenni

Dettagli