Serie Borlini Alex

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1 Serie numerica >> Prefazione Progressione lista ordinata e finita di elementi. Successione lista ordinata e infinita di elementi (numeri reali chiamati termini), {a n }=a 1, a 2, a 3 Successione di Fibonacci: lista ordinata e infinita di numeri naturali in cui ogni numero è la somma degli ultimi 2 precedenti ( ). Convergenza di una successione Si dice che una successione {a n } converge a un numero reale a e si scrive lim a n = a n se per ogni numero reale positivo (ε>0) esiste un intero N, che eventualmente dipende da ε, tale che n N, allora a n -a <ε. se a finito => la successione converge se a => la successione diverge se a non esiste => la successione diverge Se a esiste (finito o infinito) la successione è regolare altrimenti, se non esiste, è irregolare. Teorema di unicità Se una successione convergente possiede un unico limite. Se una successione converge è limitata (o superiormente o inferiormente). Tutte le successioni monotone limitate convergono. >> Serie (infinite) Idealmente una serie potrebbe essere considerata come la somma degli elementi di una successione o come somma di infiniti addendi (idealmente perché l operazione di somma è definita solo per un numero finito di addendi) a 1 + a 2 + a 3 + +a n + è detta serie numerica. I numeri a 1, a 2.. sono detti termini della serie e a n è il termine generale della serie. Le somme parziali ennesime sono definite come la somma dei primi enne termini della serie. Se il limite, per n che tende a infinito, della successione delle somme parziali: - esiste ed è finito e risulta s, la serie è convergente e ha per somma s, - infinito, la serie è divergente, - non esiste, diremo che la somma è irregolare. Proprietà (per ogni n appartenente ai numeri naturali): - monotona crescente: a n+1 a n - strettamente monotona crescente: a n+1 > a n - monotona decrescente: a n+1 a n - strettamente monotona decrescente: a n+1 < a n - oscillante: a n+1 * a n <0 - costante: a n+1 = a n - limitata inferiormente: ЗL a n L - limitata superiormente: ЗM a n M Se una serie è monotona limitata la serie è convergente. Teorema di invarianza del carattere di una serie per soppressione di un numero finito di termini iniziali: se da una serie sopprimo un numero finito di termini iniziali il suo carattere non varia ma la sua somma potrà cambiare. Serie Borlini Alex

2 Teoremi Se Σ a n e Σ b n convergono => Σ (a n + b n ) converge c є R, Σ (c*a n ) = c*σ a n Se Σ a n converge => Σ (c*a n ) converge Serie di Mengoli (Serie Telescopica) 1 n=1 n(n+1) = 1 (convergente con somma 1) >> La serie geometrica q n =1 + q + q 1 + q 2 + q 3 + q 4 Nella serie geometrica ogni elemento è il suo precedente moltiplicato per q e quindi il rapporto tra un elemento e il suo precedente è costante (uguale a q) e il suo valore viene chiamato ragione. q 1 Non esiste -1<q<1 Converge a 1/(1-q) q 1 Diverge a + >> Serie armonica generalizzata (1/n α ) n=1 α>1 converge α 1 diverge >> Condizione necessaria di convergenza Se una serie è convergente il suo termine generale è infinitesimo. Questa condizione,però, non è necessaria per garantire la convergenza della serie ma, se il termine generale di una serie non è infinitesimo allora la serie data non è convergente >> Serie a termini positivi La serie a termine positivi è una serie in cui tutti i termini sono positivi o nulli (o viceversa tutti negativi). Una serie a termini positivi o converge o diverge positivamente (è regolare). Se il termine generale non è infinitesimo allora la serie a termini positivi è divergente. Per determinare il carattere della serie utilizziamo i seguenti criteri sufficienti per la convergenza: Primo Criterio del confronto Se una serie a termini positivi è convergente, ogni sua minorante è convergente. Se è divergente, ogni sua maggiorante è divergente. Secondo Criterio del confronto Date due serie a termini positivi, i cui termini generali sono a n e b n, si consideri il limite, per n che tende a infinito, della divisione tra a n e b n, se la serie con termine generale b n - è convergente e il limite è finito, allora anche la serie con termine generale a n è convergente Serie Borlini Alex

3 - è divergente e il limite è non nullo (finito o infinito), allora anche la serie con termine generale a n è divergente. Criterio del Rapporto Data una serie positivi se esiste ed è finito il limite, l,per n che tende a infinito, del rapporto tra i termine generale e il suo precedente allora - la serie converge se il risultato è 0 l<1 - la serie è divergente se il risultato è maggiore di 1 - il criterio non dà un indicazione sul carattere della serie se l=1 Criterio della Radice Data una serie positivi se esiste ed è finito il limite, l, per n che tende a infinito, della radice ennesima del termine generale allora - la serie converge se il risultato è 0 l<1 - la sere è divergente se il risultato è maggiore di 1 - criterio non dà un indicazione sul carattere della serie se l=1 >> Resto ennesimo Il resto ennesimo di una serie convergente è la somma della sua serie residua dopo l indice n. Una serie e la sua serie residua dopo l indice n hanno lo stesso carattere, qualunque sia n, ma non la stessa somma. >> Serie a termini di segno alterno Data una serie si dice che essa è di segno alterno quando i termini di indice pari hanno segno negativo, opposto rispetto a quello dei termini di indice dispari. n=1 (-1) n-1 a n = a 1 -a 2 + a 3 -a 4 + >> Criterio di Leibniz Se i termini di una serie di segno alterno sono in valore assoluto monotoni decrescenti e se il termine generale è infinitesimo allora la serie è convergente e - la somma s>0 e s<a 1 - il resto è minore, in valore assoluto, del valore assoluto del termine di indice (n+1) r n = s - s n r n < a n+1 >> Serie a termini di segno qualsiasi Una serie si dice a termini di segno qualsiasi se contiene sia infiniti termini positivi sia infiniti termini negativi. >> Serie assolutamente convergente Una serie a termini di segno qualunque si dice assolutamente convergente quando la serie formata dai valori assoluti dei suoi termini, è convergente. Se una serie a termini di segno qualunque, è assolutamente convergente, allora è convergente semplicemente (la convergenza assoluta implica la convergenza semplice). Serie Borlini Alex

4 >> Serie di funzioni Si definisce serie di funzione l espressione f n (x) dove le funzioni f n (x) sono definite, per ogni n appartenente a N. Le funzioni f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), f n (x), sono dette termini della serie. La funzione f n (x) è il termine generale della serie. Data una serie di funzioni si chiama dominio o insieme (intervallo) di convergenza della serie l insieme di tutti i valori di x appartenenti a R per cui la serie è convergente. Il centro di convergenza è il punto di mezzo dell intervallo di convergenza. >> Serie di potenze Una serie di funzioni si dice serie di potenze con centro x0 se è nella forma a n (x-x 0 ) n Il termine a n rappresenta i coefficienti della serie. >> Teorema di Abel Se una serie di potenze converge in un punto x 0 allora converge per tutti i valori che distano da questo punto per meno di x 0. Viceversa divergerà per tutti i punti che distano da questo punto più di x. 0 >> Teoremi per determinare il raggio di convergenza 1) Data una serie di potenze e si abbia il limite, per n che tende a infinito, del rapporto tra un qualsiasi coefficiente numerico e il suo precedente uguale ad α - infinito allora la serie converge solo per x=0 - uguale a 0 allora la serie converge per qualunque valore di x - maggiore di 0 e finito allora la serie - converge per tutti i valori tali che 1/α <x<1/α - diverge per tutti i valori tali che x<-1/α v x>1/α - mentre nulla si può dire per x =±1/a 2) Data una serie di potenze e si abbia il limite, per n che tende a infinito, della radice ennesima del coefficiente numerico della serie uguale ad α - infinito allora la serie converge solo per x=0 - uguale a 0 allora la serie converge per qualunque valore di x - maggiore di 0 e finito allora la serie - converge per tutti i valori tali che 1/α <x<1/α - diverge per tutti i valori tali che x<-1/α v x>1/α - mentre nulla si può dire per x =±1/a r=1/a La serie converge per tutti i valori di x interni all intervallo (-r,r) e diverge per tutti i valori di x esterni a questo intervallo. Il numero r è detto raggio di convergenza della serie. Serie Borlini Alex

5 >> Serie di Taylor e Mac Laurin di una funzione Premesse: Differenziale: si chiama differenziale di una funzione f(x) derivabile, il prodotto della derivata prima della funzione per l incremento della variabile indipendente. d f(x)= f (x) * h = f (x) * x Polinomio di primo grado che mi approssima la funzione f (x +h) = f(x) + f (x)*h f (x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )*(x-x 0 ) Polinomio di Taylor f -*-*- f(x)= i (x 0 ) i! x*(x-x 0 ) i Serie di Taylor i=0 f f(x)= i (0) i! * x i Serie di Mac-Laurin i=0 Ovviamente ad entrambi sono applicabili tutti i teoremi visti per le serie di potenze. In particolare la serie di Taylor avrà come intervallo di convergenza un intervallo con centro x0, e la serie di Mac-Laurin un intervallo con centro nell origine.. In generale, diremo che una funzione f(x), indefinitamente derivabile nell intervallo I, è sviluppabile in serie di Taylor con punto iniziale x0 (x0 I) nell intervallo I, se per ogni x di I, f(x) è la somma della somma della serie di Taylor. Se poi x0=0 I, diremo che f(x) è sviluppabile in serie di Mac-Laurin nell intervallo I. Nei casi più comuni f(x) è sviluppabile in serie di Taylor o Mac-LAurin nell intervallo di convergenza della serie di potenze. Criterio di sviluppabilità Se f(x) è una funzione indefinitamente derivabile nell intervallo I e se esiste un numero K >0 tale che per ogni n N e per ogni x I sia f (n) (x) < K allora la funzione f(x) è sviluppabile in serie di Taylor in I. Nelle applicazioni sono molto usati gli sviluppi in serie di Mac-Laurin; infatti se una funzione, di solito trascendente, è sviluppabile in serie di Mac-Laurin, allora la funzione è approssimabile con un polinomio nella variabile x. Serie Borlini Alex