Corso di Idraulica Agraria ed Impianti Irrigui

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1 Corso di Idraulica Agraria ed Impianti Irrigui Docente: Ing. Demetrio Antonio Zema Lezione n. 3: Idrostatica Anno Accademico Generalità L idrostatica è quella parte dell idraulica che studia le azioni esercitate dai liquidi quando si trovano in stato di quiete Nei liquidi in quiete le singole particelle non subiscono nel tempo alcun spostamento relativo 2

2 Forze di massa e di superficie Forze esterne che possono agire su un sistema continuo: Le forze di massa agiscono su tutte le particelle in proporzione alla loro massa (es. forze di gravità) Le forze di superficie si esercitano attraverso la superficie esterna del continuo (es. forze esercitate su di un fluido dalle pareti del recipiente che lo contiene) 3 Sforzo Nella meccanica dei sistemi continui hanno importanza non solo le forze esterne,, ma anche le sollecitazioni interne Per caratterizzare lo stato della sollecitazione in un sistema di forze a risultante nulla che ha dato luogo alla rottura, è necessario far riferimento ad una particolare grandezza qual è la forza per unità di superficie R A R A 4

3 Sforzo Se consideriamo il solido diviso in due parti da una superficie A ed assumiamo pari a R la risultante delle forze agenti dall esterno sulla parte di sinistra,, il rapporto R/A dà un idea dello stato di sollecitazione cui internamente è sottoposto il corpo 5 Sforzo Si voglia conoscere lo stato di sollecitazione in un punto M della superficie A Individuato un elemento superficiale infinitesimo da intorno al punto, si definisce sforzo nel punto M dell elemento elemento da di normale n il rapporto φ n = dr/da da, dove R è la risultante delle forze agenti su tale elemento Lo sforzo φ n è un vettore e le sue dimensioni sono quelle di una forza su una superficie La sua unità di misura nel S.I. è il pascal (Pa), pari ad 1 N/m 2, mentre nel S.T. è il kg/m 2 6

4 Sforzo Per definire lo sforzo φ n è essenziale fare riferimento alla superficie su cui tale sforzo agisce 7 Spinta La spinta su una superficie A è la risultante degli sforzi elementari agenti sulla superficie stessa: Π = φ n A da Essa, ovviamente, ha le dimensioni di una forza 8

5 Pressione In un fluido in quiete tutte le componenti tangenziali degli sforzi dovranno essere nulle Esisteranno pertanto soltanto componenti normali: : tutti gli sforzi sono diretti perpendicolarmente alle superfici su cui agiscono 9 Pressione In un fluido in quiete,, gli sforzi agenti su tutte le superfici infinitesime passanti per il punto M risultano uguali fra loro indipendentemente dalla giacitura della superficie su cui agiscono (sistema( isotropo rispetto agli sforzi) 10

6 Pressione Il modulo di questi sforzi si definisce pressione; ; di solito la pressione si indica con la lettera p Lo sforzo φ n agente sull elemento di versore normale n è rappresentato dal prodotto pn 11 Pressione La pressione ha le stesse dimensioni dello sforzo e quindi la stessa unità di misura (nel S.I. il pascal = N m - 2, nel S.T. il kg m - 2 ) 1 2 [ ML ] T 12

7 Equazione fondamentale dell idrostatica Il cilindretto ad asse verticale,, isolato in seno alla massa liquida in quiete, è un particolare corpo in quiete, soggetto alla forza peso dg,, alla spinta dπd che il liquido esterno esercita sulla sua base, ed alla sua spinta dπd 1 che il liquido esterno esercita sulla sua superficie laterale 13 Equazione fondamentale dell idrostatica A questo cilindretto si può applicare l equazione l cardinale della statica,, che in questo caso si scrive come: Proiettandola lungo la verticale (orientata ad esempio positivamente verso il basso), dπd 1, essendo normale alla verticale, ha una proiezione nulla e l equazione l si scrive: da cui: dg + d Π = d p = γ h Π 1 dg + d Π = 0 γhda pda = 0 14

8 Equazione fondamentale dell idrostatica La pressione su qualunque elemento di superficie orizzontale è proporzionale all affondamento affondamento h dell elemento elemento sotto la superficie libera ed equivalente precisamente al peso G di una colonna liquida di altezza h [metri] e di sezione 1 m 2 Pertanto la pressione cresce col crescere dell affondamento del punto sotto la superficie libera 15 Equazione fondamentale dell idrostatica Assunto un piano di riferimento z = 0 e indicato ancora con h l affondamento sotto il pelo libero per due punti 1 e 2 si può scrivere l eguaglianza l geometrica: z 1 + h 1 = z 2 + h 2 16

9 Equazione fondamentale dell idrostatica poiché p 1 = γ h 1 e p 2 = γ h 2, si ha l equazione: l p z + γ = cost p1 z 1 + = z2 + γ p2 γ Equazione fondamentale dell idrostatica (o legge di Stevino) 17 Quota e altezza piezometrica Altezza geodetica L equazione fondamentale dell idrostatica indica che la somma della quota geodetica z di un punto rispetto ad un riferimento orizzontale e del rapporto p/γ rimane costante all interno di un fluido in quiete Il rapporto p/γ,, che ha le dimensioni di una lunghezza, prende il nome di altezza piezometrica e viene di solito indicato con h La somma z + p/γ si chiama invece quota piezometrica 18

10 pa Distribuzione della pressione in un fluido in quiete In un fluido in quiete la quota piezometrica è costante: per calcolarla, basta conoscere la quota del punto e la pressione nello stesso La pressione varia linearmente con la quota all interno della massa fluida e diminuisce con essa, poiché il coefficiente angolare è negativo Le superfici isobariche (p = cost) ) sono piani orizzontali dp = ρg dz 19 Distribuzione della pressione in un fluido in quiete z=z0 z=zs p / γ a p.c.i.a. p.c.i.r. h γ z=0 p=p + γ h p-p = γ h a a p = γ z + cost γ Equazione di una retta di coefficiente angolare γ 20

11 pa Distribuzione della pressione in un fluido in quiete z=z0 z=zs p / γ a p.c.i.a. p.c.i.r. h γ z=0 p=p + γ h p-p = γ h a a Sulla superficie libera di un liquido agisce sempre una pressione p a detta pressione atmosferica p = pa + γ h 21 Pressione assoluta e relativa Pressione assoluta (p): esprime lo sforzo normale assoluto agente su un elemento di superficie immerso in acqua Pressione relativa (p( r ): differenza tra la pressione assoluta e la pressione atmosferica: p = p r p a 22

12 Piano dei carichi idrostatici I punti per i quali si ha p r = 0 (superficie libera) appartengono ad un piano che viene chiamato piano dei carichi idrostatici relativi (p.c.i.r.( p.c.i.r.) I punti per i quali si ha p a = 0 giacciono su un piano che viene chiamato piano dei carichi idrostatici assoluti (p.c.i.a. p.c.i.a.) 23 Piano dei carichi idrostatici La distanza fra i piani dei carichi idrostatici relativo ed assoluto è pari a: z = s z 0 pa γ Nel caso in cui p a assuma il valore di Pa, si ha: Nm z z = Nm 2 = s m 24

13 Calcolo della pressione in un fluido in quiete Dalla legge di Stevino in un fluido in quiete la pressione assoluta o relativa in un punto è pari al prodotto del peso specifico del fluido per l affondamentol del punto stesso sotto il corrispondente piano dei carichi idrostatici p = γh p r * = γh Ne deriva che, nota la pressione in un punto, il piano dei carichi idrostatici sovrasta il punto stesso di una quantità pari all altezza altezza piezometrica h = p/γ 25 Distribuzione della pressione in un fluido in quiete 26

14 Diagramma delle pressioni Rappresenta il modo in cui la pressione varia lungo una parete, sia essa verticale, orizzontale o inclinata Il diagramma ha andamento lineare e parte da zero se la parete per il quale lo si traccia contiene il pelo libero 27 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Fluidi non miscibili 28

15 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido 29 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido + fluido a pressione uguale a p atm 30

16 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido + fluido a pressione maggiore di p atm 31 Variazione della pressione all interno di un liquido: applicazioni Gas sovrapposto ad un liquido + fluido a pressione minore di p atm 32

17 Misura della pressione Unità di misura kg/m 2 Pa kg/cm 2 bar atm Torr kg/m 2 1 9, , , ,0736 Pa 0, , , ,5 10 kg/cm , ,98 0,97 735,56 bar 1, ,02 1 0,99 750,06 atm , ,033 1, Torr 13,59 133,3 0, , , Piezometro 34

18 Tubo di Venturi Σ A 2g m γ m γ Q = = cost 2 α 1 m γ 35 Manometro semplice p A = γ h = γ man 36

19 Manometro metallico o Bourdon Indicazione in kg/cm 2 o kg/m 2 p 4 =10 n in kg/m 2 37 Manometro differenziale γ δ = m γ γ 38

20 Equazione globale dell idrostatica Forza di massa (G) e di superficie (Π)( agenti sull elemento di volume V occupato dal fluido G + Π = 0 Equazione globale dell idrostatica 39 Equazione globale dell idrostatica Caso 1: G Il corpo risale in superficie 40

21 Equazione globale dell idrostatica Equazione di equilibrio applicata al corpo intero Π + G = 0 Equazione globale applicata al volume immerso che si immagina occupato dal fluido G G = peso del volume immerso 41 Legge di Archimede Ne deriva che: Π = -G e P = G G Legge di Archimede un corpo immerso in un fluido riceve una spinta (Π ) dal basso verso l alto l pari al peso del volume di fluido spostato (G ) 42

22 Equazione globale dell idrostatica Caso 2: P = G Peso proprio del corpo immerso La spinta non dipende dalla profondità di immersione 43 Equazione globale dell idrostatica Caso 3: Reazione del fondo 44

23 Spinta su una superficie piana p 0 = γ h 0 = pressione nel baricentro Il modulo della spinta (S) è uguale al prodotto tra la pressione nel baricentro (p 0 ) e l area l della superficie piana (A) S = p 0 A = γ h 0 A 45 Spinta su una superficie piana Su una superficie parzialmente immersa,, di altezza h e larghezza L, la spinta S vale: S = p o L h S = γ h o L h S = γ (h/2) L h 46

24 Spinta su una superficie piana Sulla stessa superficie, questa volta completamente immersa,, la spinta S vale: S = p o L a S = γ h o L a S = γ (a/2+h) L a 47 Spinta su una superficie piana In alternativa, calcolando l area l del diagramma delle pressioni e moltiplicando per la profondità della parete, la spinta S è: S = γ (a/2+h) L a 48

25 Spinta su una superficie piana Per definire completamente la spinta S bisogna individuare la retta di applicazione della forza e quindi il punto in cui S incontra la parete (centro di spinta, C) La spinta agisce sempre ortogonalmente alla superficie e la sua retta di azione passa per il baricentro del diagramma delle pressioni Il centro di spinta C non coincide con il baricentro G della superficie premuta dall acqua, acqua, ma sarà sempre posto più in basso Solo nel caso di spinta su superficie orizzontale sarà C = G 49 Spinta su una superficie piana Nel caso di parete rettangolare parzialmente immersa (diagramma delle pressioni triangolare) la retta di applicazione della spinta S passa ad una distanza pari ad un terzo dell altezza del diagramma a partire dalla base 50

26 Spinta su una superficie piana Sia A una superficie immersa in un liquido e giacente su un piano che forma un angolo α con l orizzontalel Retta (o linea) di sponda: intersezione della superficie A con il p.c.i. 51 Spinta su una superficie piana Coordinate del suo punto di applicazione o centro di spinta: ξ, η y p.c.i. x0 ξ A η x 52

27 Spinta su una superficie piana Si applicano le equazioni di equilibrio dei momenti attorno agli assi y ed x L ascissa del centro di spinta (ξ) è data dal rapporto tra il momento d inerziad ed il momento statico della superficie su cui si esercita la spinta, entrambi calcolati rispetto alla retta di sponda ξ = I y M y 53 Spinta su una superficie piana Per l ordinata (η) del centro di spinta, si ha: η = I M xy y L ordinata del centro di spinta è data dal rapporto tra il prodotto d inerziad ed il momento statico della superficie A rispetto alla retta di sponda 54

28 Spinta su una superficie curva (con applicazione dell equazione equazione globale) Equazione globale (G G + Π = 0) applicata al volume ABC: Π = Π ABC + Π AC G + Π ABC + Π AC = 0 Spinta esercitata dal fluido su ABC: - Π ABC S = - Π ABC = G + Π AC 55 Elementi di statica delle superfici piane Momento del primo ordine o momento statico M X = A y da M y = x da A 56

29 Elementi di statica delle superfici piane Momento del secondo ordine o momento di inerzia I y = A x 2 da I x = 2 A y da 57 Elementi di statica delle superfici piane Prodotto di inerzia o momento centrifugo I xy = A x y da 58

30 Elementi di statica delle superfici piane Teorema di Varignon h c = γ I/S h c = affondamento del centro di spinta rispetto alla superficie libera γ = peso specifico dell acqua S = spinta idrostatica I = momento di inerzia della superficie su cui agisce la spinta rispetto alla superficie libera 59 Elementi di statica delle superfici piane Teorema di Varignon I si calcola come: I = I o + Ah 2 o I o = momento di inerzia baricentrico A = area della superficie h o = distanza tra il baricentro della superficie e la superficie libera 60

31 Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche più comuni Momento statico S = A a cm 3 H 3 2 ( H 2 2 h H ) 2 BH H ( BH ) 2 H ( BH bh ) 2 61 Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche più comuni 62