Ugelli subespansi M 1 P. d P 2. Report to: Dario Isola

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1 Ugelli subespansi Report to: Dario Isola Il flusso che si genera a valle di un ugello subespanso è di natura alquanto complessa e una sua descrizione quantitativa e qualitativa può essere difficile. Nell ambito delle approssimazioni della gasdinamica, è possibile sapere molto di ciò che succede al flusso in una parte molto vicina all ugello (dove la turbolenza e la viscosità non hanno ancora distrutto la sua architettura), ma la sua conoscenza quantitativa-analitica è limitata a casi particolari e regioni particolari del campo di moto. Consideriamo gas ideale politropico, isoentalpico, isoentropico in totale assenza di onde d urto. Sulla sezione M 1 P 1 d P x b Figura 1: Geometria. 1

2 di efflusso si hanno condizioni omogenee, univocamente definite per un gas ideale e politropico da M 1 e P 1, dove il flusso arriva subespanso (P 1 > P ). Per raccordarsi con la pressione esterna è quindi necessaria una espansione fino alla pressione P = P atm e la presenza di due angoli sulla sezione di efflusso ci induce a pensare correttamente che si sviluppi un ventaglio di espansione, come mostrato in figura, che aumenti la velocità del flusso e l angolo di deviazione fino ad ottenere la pressione desiderata. I dati iniziali del problema sono: M 1 =.8 P 1 = 1.5 atm P = 1 atm d = 10 cm x b = 13 cm θ C+ C Figura : Espansione In questo tipo di condizioni, possiamo usare la relazione isoentropica ( P 0 P = 1 + γ 1 ) γ M γ 1 = F (M), per ricavare il Mach dopo l espansione a ventaglio P 0 P 1 P P 0 = F (M 1) F (M ),

3 a partire da i dati dell esercizio: si ottiene M = Utilizziamo a questo punto le caratteristiche (che esistono e sono reali poichè il flusso è supersonico) per conoscere la deviazione del flusso. L intera regione mostrata in figura è una regione di onde semplici, per cui le caratteritiche C sono rette e gli invarianti di Reimann R + sono uguali per tutte le C+. L invariante di Reimann R + è definito come: R + = θ ν(m), per cui sulla sezione di efflusso avremo R + 1 = ν(m 1 ) = visto che siamo in una regione d onde semplici, possiamo dire che a valle della espansione ogni invariante di Reimann R + avrà lo stesso valore precendete, per cui: R + 1 = R + = θ ν(m ) da cui otteniamo una relazione per la deflessione che vale: θ = o. La linea tratteggiata in figura rappresenta quindi una discontinuità di contatto. La pressione è costante, ma non il Mach e la velocità. Se l ugello fosse di diametro infinito questa rappresenterebbe la soluzione ma, poichè non è così, è necessario considerare l interazione tra la parte sotto e quella sopra. Infatti simmetricalmente è presente una espansione uguale e opposta e, per schematizzarla, sarà sufficiente inserire una linea simmetria che come un muro rifletta ciò che succede al piano di sotto, come mostrato nella figura 3. Figura 3: Riflessione. 3

4 Dal Sabetta: Come rappresentato nelle figure, le due espansioni dopo aver interagito dando luogo ad una regione a due famiglie, vanno ad incidere sul confine del getto. Per rispettare la condizione al contorno che la pressione debba essere costante e pari a P, l onda di espansione deve riflettersi come un onda di compressione e di conseguenza l angolo θ formato dal confine del getto diminuisce gradualmente fino ad assumere un valore negativo uguale ed opposto a quello della regione 3. Si osservi che i punti sul confine del getto, avendo tutti la stessa pressione P, hanno anche lo stesso valore di M, [...]. All interno del getto invece la pressione, pur essendo mediamente ugale a P, non è costante e si verificano zone di flusso uniforme con valori di pressione biù bassa (zona 6) o più alta (dopo la compressione successiva alla zona 10, il minimo della discontinuità) della pressione esterna. Le onde di compressione riflettendosi a loro volta sul confine del getto danno luogo a nuove onde di espansione ed il fenomeno si ripete indefinitamente con una serie di allargamente e restrizioni del getto. Natuaralmente questa descrizione non ha tenuto conto dei fenomeni dissipativi che si hanno invece nella realtà. Per effetto di questi fenomeni si ha un mescolamento fra il gas del getto e quello dell ambiente esterno che porta alla distruzione del getto ad una breve distanza dall uscita dell ugello. La regioni 1, 3, 6, 10 sono di flusso uniforme. Le regioni, 5, 8 sono di onde semplici. Le altre sono a caratteristiche curve e non possono essere affrontate con metodi manuali, ma è necessario un approccio numerico al problema. Il che significa che se il nostro punto si trova all interno di questa regione non possiamo dire nulla sul valore del Mach. Naturalmente sulla mezzeria θ = 0. 4

5 Calcoliamo la pendenza dell ultima caratteristica C che si stacca dall angolo (quella più orizzontale per intenderci): dy ( ) = tan θ µ(m ) dx con ( ) µ(m) = tan 1 1 M 1 ottenendo così dy dx = cui corrisponde un angolo α = o. Usiamo l equazione della retta y = d/ + dy dx x per conoscere l intercetta con l asse x axis = 0.5cm. Il nostro punto non si trova dopo questo punto, dove avremmo saputo dire qualcosa, perchè sarebbe bastato utilizzare ancora le equazioni usate precedentemente per capire la compressione (e quindi la variazione di M) necessaria a raddrizzare il flusso, ma dobbiamo verificare anche che non si trovi nella regione di flusso omogeneo, facendo la stessa cosa ma con la prima caratteristica che parte dall angolo. dy ( ) 1 = tan µ(m 1 ) = dx a cui corrisponde x axis = 13.07cm. Il punto x b si trova prima di questo, per ciò possiamo dire che è nella regione di flusso omogeneo orizzontale e uniforme. 5

6 Il Sabetta sostiene che il fenomeno si ripeta all infinito. Ciò non è almeno sempre vero, poichè la compressione può causare una coalescenza delle caratteristiche dando così origine ad un urto curvo, che viene anche raddrizzato dalla presenza della regione di flusso uniforme. Tale sistema di urti è detto a botte. Il suo studio è decisamente complicato. Quello che è mostrato qui, può essere riprodotto in maniera analoga nel caso di ugello sovraespanso, notando che la presenza dell angolo causa la nascita di un urto obliquo, sarà necessario utilizzare le relazioni di salto e quelle di Prantl Mayer Mi dispiace ma non posso garantire sulla correttezza dei conti, se ci sono errori fatemelo sapere al più presto, ne va anche della mia reputazione! :o) 6