UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE Corso di Laurea Specialisica in Scienze Saisiche, Economiche, Finanziarie ed Aziendali PREVISIONI ROBUSTE CON IL LISCIAMENTO ESPONENZIALE ED IL METODO DI HOLT-WINTERS RELATORE: Prof.ssa Luisa Bisaglia LAUREANDA: Francesca Mazzucchi MATRICOLA: 5368 ANNO ACCADEMICO 00-0

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3 Indice INTRODUZIONE... 5 Capiolo : IL LISCIAMENTO ESPONENZIALE Il lisciameno esponenziale semplice Il meodo di Hol Il meodo di Hol-Winers Il meodo sagionale addiivo Il meodo sagionale moliplicaivo... 3 Capiolo : LISCIAMENTO ESPONENZIALE ROBUSTO La Robusezza Simaore di ipo M e funzione di Huber Il modello di lisciameno esponenziale basao sullo simaore di ipo M 0.4 Pre-pulizia dei dai....5 Un nuovo meodo di lisciameno robuso I parameri di lisciameno... 7 Capiolo 3: CONFRONTO TRA PREVISIONI DA MODELLI DIVERSI I modelli considerai Local linear rend model L esperimeno di Mone Carlo... 3 CONCLUSIONI BIBLIOGRAFIA

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5 INTRODUZIONE Il lisciameno esponenziale è una semplice ecnica uilizzaa per lisciare e prevedere una serie emporale, senza la necessià di adaare un modello paramerico. Esso si basa su uno schema di calcolo ricorsivo, in cui le previsioni sono aggiornae per ogni nuova osservazione. Il lisciameno esponenziale è a vole considerao come un meodo ingenuo di previsione, eppure in praica è spesso usao con buone performance. Il meodo di Hol- Winers, indicao anche come doppio esponenziale è un esensione del lisciameno esponenziale progeao per serie soriche con rend e sagionalià. Il meodo di Hol-Winers è uno srumeno ampiamene uilizzao per la previsione dei dai aziendali che conengono sagionalià, variazioni di rend e correlazione sagionale. Il lisciameno esponenziale e il meodo di Hol-Winers sono però sensibili a eveni insolii o valori anomali (oulier). I valori anomali influiscono sui meodi di previsione in due modi: in primo luogo, i valori lisciai sono calcolai ramie equazioni di aggiornameno che coinvolgono valori correni e passai della serie compresi i valori erraici. In secondo luogo i valori anomali influiscono sulla selezione dei parameri uilizzai nel sisema ricorsivo di aggiornameno. Quesi parameri, dei anche cosani di 5

6 lisciameno, regolano il grado di lisciaura e sono sceli in modo da minimizzare la somma del quadrao degli errori di previsione. Perano, il meodo del lisciameno esponenziale non è robuso in presenza di valori anomali e può comporare previsioni meno precise. In queso lavoro ho ripreso l aricolo di Gelper, Fried e Croux (009) che propongono una versione robusa del meodo del lisciameno esponenziale e Hol-Winers in presenza di valori anomali. L algorimo di smoohing robuso si basa su un meccanismo di pre-pulizia dei dai che prima idenifica e quindi da meno peso ai valori anomali. Il sisema ricorsivo robuso applica le ecniche sandard di arroondameno per la prepulizia dei dai ed è perano molo facile da implemenare. La pre-pulizia dei dai è faa raramene, in paricolare per le serie soriche non sazionarie, eppure quesa migliora significaivamene le presazioni di previsione. Nel primo capiolo di quesa esi descrivo il lisciameno esponenziale e meodo di Hol-Winers, nel secondo capiolo analizzo il meodo robuso descrio da Cipra (99), basao sullo simaore M e queso nuovo meodo robuso proposo da Gelper, Fried e Croux (009), basao sulla pre-pulizia dei dai e su uno simaore di scala robuso. Nel erzo capiolo, ramie un esperimeno di Mone Carlo, confroniamo le performance di previsione del meodo di lisciameno classico con i re meodi basai sulla pre-pulizia dei dai. 6

7 Capiolo IL LISCIAMENTO ESPONENZIALE. Il lisciameno esponenziale semplice Il lisciameno esponenziale è una semplice ecnica uilizzaa per lisciare e prevedere una serie sorica senza la necessià di dover adaarle un modello paramerico. Esso si basa su uno schema di calcolo ricorsivo, in cui le previsioni sono aggiornae per ogni nuovo dao osservao. Il meodo del lisciameno esponenziale è spesso usao in ambio aziendale per le previsioni nel breve periodo, per la sua flessibilià e semplicià d uso. Daa una serie sorica, che è osservaa in,,t, supponiamo di volere prevedere h dove h> è l orizzone emporale. Si indica con ˆ h / la previsione faa al empo. Se la serie non presena sagionalià e rend sisemaico, scopo del lisciameno esponenziale è quello di simare il livello della serie e di uilizzare quesa sima per prevederne i valori fuuri. Queso livello è calcolao ramie una media ponderaa di ue le osservazioni disponibili, dove i pesi della combinazione lineare sono sceli in modo ale da 7

8 8 dare maggiore peso alle osservazioni più receni e peso minore alle osservazioni passae, formalmene: l l w l w l con w w w l l l l l,3,..., 0; ~ dove w j è il peso assegnao a per il calcolo della media ponderaa. Può essere scria anche come: 0,,..., ~ 0 j w w c c l l j j j j j Il lisciameno esponenziale è deo ale perché la serie viene sosiia dalla successione ~ oenua da:... ~ 0 c c c con pesi definii dalla successione esponenziale 0, 0,,...,, ) ( 0 < < λ λ j c c j j La serie lisciaa (livello) con cosane di lisciameno λ è pari a: j j n j ) ( ~ 0 λ λ e la previsione h passi in avani viene calcolaa come: h ~ ˆ /

9 dove ~ è una media ponderaa di ue le osservazioni disponibili. Quese osservazioni influenzano la previsione con inensià decrescene all aumenare della disanza dal empo. Il valore di λ deermina di quano l osservazione correne influenza il valore fuuro. Per cui più queso è vicino a 0 più la previsione è rigida, cioè più influenzaa dalle osservazioni passae, quindi la mia previsione sarà molo simile alla vecchia; viceversa più è prossima a più la previsione è flessibile cioè influenzaa dalle osservazioni più receni. La precedene si può anche scrivere nel seguene modo: ˆ ~ λ h/ λ ( ) () ~ cioè come una media ponderaa ra la previsione faa al empo - e l ulima osservazione, il cui peso è ano più fore quano più grande è la cosane. Appare chiara la logica di aggiornameno sequenziale del meodo (la previsione viene modificaa dall osservazione più recene) ed il ruolo della cosane di lisciameno che esprime la vischiosià del sisema. ~ Per simare la funzione () è necessario avere un valore iniziale di λ e di. λ viene simao mediane algorimi numerici, per esempio con i minimi quadrai si cerca quel valore che minimizza: T m ( ˆ / ) ~ Per quano riguarda usualmene si prende: 9

10 ~ se λ è più vicino ad ~ ~ ( se λ è ) / molo piccolo, o anche, per esempio, Se e/o la cosane di lisciameno sono grandi, la scela di ale valore è ininfluene. Per uleriori approfondimeni sul lisciameno esponenziale si veda Di Fonzo, Lisi (005) o Piccolo (990).. Il meodo di Hol Poiché il lisciameno esponenziale non è adeguao in presenza di rend e/o di sagionalià, Hol (959) propone una procedura che cerca di separare il livello emporaneo della serie sorica dal rend e uilizza due medie ponderae disine per simare in maniera dinamica enrambe le componeni del modello. Se indichiamo con F la sima del rend e ~ la sima del livello o serie lisciaa, le formule di aggiornameno sono dae da: ~ λ ( λ )( ~ F ) F λ ( ~ ~ ) ( λ ) F () dove λ e λ sono le cosani di lisciameno e sono comprese ra 0 e. Quese due relazioni mosrano che: 0

11 - la sima del livello viene oenua come media pesaa della serie osservaa all ulimo isane emporale disponibile e del valore previso per al periodo -; - la sima del rend viene oenua uilizzando una media pesaa di due sime: l ulima sima aggiornaa per il rend F -, e la sima del rend ~ ~ oenua come differenza degli ulimi due livelli simai. Una vola simae ali componeni la previsione è oenua combinando le informazioni nel modo seguene: ˆ ~ / h F con h h (3) Queso meodo è più flessibile del lisciameno esponenziale semplice in quano fa uso di due parameri (λ e λ ) al poso di uno solo. In analogia a quano descrio per il lisciameno esponenziale semplice, se i parameri sono grandi le previsioni sono molo influenzae dai valori preseni; se invece sono piccoli le previsioni sono molo perequae, cioè il peso del passao è fore. Per la scela delle due cosani di lisciameno possiamo uilizzare o un meodo soggeivo in base a quale imporanza voglio dare al passao o meodi più obieivi, come la minimizzazione rispeo a λ e λ della quanià T, λ ) ( ˆ ) m S( λ. Per poer uilizzare la () è necessario avere dei valori di parenza per ~ e F.

12 Quesi possono essere oenui da con i minimi quadrai ordinari in un periodo di avvio. Più specificamene, regredendo rispeo al empo, per... m, produce un inercea ˆ α 0 e una pendenza ˆβ 0 e di conseguenza ~ m αˆ 0 ˆ β m 0 F m ˆ β 0 (4).3 Il meodo di Hol-Winers In presenza di sagionalià non è possibile uilizzare direamene i meodi visi fin qui per fare previsioni, anche se il meodo di Hol viso nel paragrafo precedene può essere facilmene generalizzao per includere anche una componene sagionale, come descrio da Winers (960). Dobbiamo dunque includere una equazione ricorsiva per enere in considerazione anche la componene sagionale. Di seguio disinguiamo ra il meodo sagionale addiivo e quello moliplicaivo..3. Il meodo sagionale addiivo Il meodo di Hol-Winers sagionale addiivo si basa sull ipoesi che nelle vicinanze di la serie sorica sia esprimibile come: L F S

13 dove S è un faore sagionale di periodo pari a s. Per fare previsioni dobbiamo simare, araverso le segueni equazioni ricorsive L, F e S : L S F λ ( λ ( L λ ( 3 S L s L ) ( λ ) ) ( λ )( L ) ( λ ) 3 S F s F ) con 0< λ, λ,λ 3 <, la cui inerpreazione e la scela dei parameri può essere effeuaa in base a crieri analoghi a quelli visi in precedenza. Nella prima equazione L viene inerpreaa come la serie lisciaa correa dalla sagionalià. La serie lisciaa ~ è quindi definia come la somma di L e la componene lisciaa di S ~ L S Le previsioni sono oenue da: ˆ / L hf S q [ h / s] h h qs dove [z] indica il più piccolo inero maggiore o uguale a z. Per poer calcolare le previsioni è necessario disporre di valori iniziali per L,F e S, per uleriori deagli vedi Di Fonzo, Lisi (005)..3. Il meodo sagionale moliplicaivo Per il meodo sagionale moliplicaivo in prossimià di la serie sorica è daa da: 3

14 4 S F L * ) ( e di conseguenza le formule ricorsive per simare i vari parameri divenano: s s S L S F L L F F L S L ) ( ) ( ) ( ) )( ( 3 3 λ λ λ λ λ λ sempre con 0< λ, λ,λ 3 <. La previsione è quindi uguale a: ] / [ ) * ( ˆ / s h q S hf L qs h h con le sesse condizioni del modello addiivo. Il modello di Hol-Winers sagionale include gli alri modelli come casi paricolari: infai ponendo λ 3 0 oeniamo il modello non-sagionale, ed il lisciameno esponenziale semplice se poniamo anche λ 0, Piccolo (990).

15 Capiolo LISCIAMENTO ESPONENZIALE ROBUSTO I meodi di lisciameno esponenziale e Hol-Winers fin qui visi non sono robusi rispeo alle osservazioni anomale,nel senso che le sime delle previsioni possono essere noevolmene influenzae da ouliers: osservazioni esremamene grandi o esremamene piccole porano a valori ali o bassi della serie lisciaa influenzandola per un cero periodo e peggiorando le previsioni. Per oenere delle previsioni migliori in presenza di ouliers, sono necessari dei meodi più affidabili per quesa ecnica.. La Robusezza In queso lavoro il conceo di robusezza che usiamo è quello di robusezza rispeo alla conaminazione (ouliers). Queso conceo, come riporao in Venura (004), desidera ener cono, nel modello saisico e nell inferenza, della possibile presenza nel campione di dai anomali, ossia di una qualche frazione di osservazioni che non sono rappresenaive della popolazione oggeo di sudio. Quesi dai anomali 5

16 possono essere causai da errori di rilevazione o di codificazione, ma anche deerminai da una lieve eerogeneià della popolazione, riconducibile a disribuzioni con code pesani. Anche i problemi consegueni all arroondameno dei valori o alla riduzione in classi, possono essere raai in queso ambio. In genere, i dai sono rienui di buona qualià se la frazione di dai anomali non supera l %. Anche una non correa specificazione del modello può essere la causa della presenza nel campione osservao di dai anomali, ossia di osservazioni disani dalla maggioranza dei dai. Idenificao un modello che si adai alla maggioranza dei dai osservai, obieivo della saisica robusa è quello di individuare delle procedure ae a prevenire effei causai da valori anomali molo disani o da osservazioni influeni, ossia osservazioni che hanno un peso rilevane nella deerminazione di una quanià di ineresse. In paricolare, la saisica robusa si occupa di deerminare delle procedure di inferenza con buone proprieà (consisenza ed efficienza), necessarie per prevenire perdie di efficienza se i dai provengono proprio dal modello ipoizzao, e robuse rispeo a piccole e moderae deviazioni dal modello. 6

17 . Simaore di ipo M e funzione di Huber In saisica gli simaori di ipo M rappresenano un ampia classe di simaori che vengono oenui come minimi di somme di funzioni di dai, come per esempio simaori dei minimi quadrai o simaori di massima verosimiglianza. Uno simaore M può essere definio come uno zero di una funzione di sima, che spesso è la derivaa prima di un alra funzione saisica, come per esempio, una sima di massima verosimiglianza che è spesso definia come uno zero della derivaa della funzione di verosimiglianza. Più formalmene, sia : (, ) R, una funzione doaa di derivaa (x, ) (/)(x, ) non-negaiva, convessa e due vole differenziabile. Uno simaore M è definio da quel T n per cui n i ρ( e ) ρ( X i n i i, T ) n min! T n o, equivalenemene, spesso è più semplice uilizzare al poso di ρ la sua derivaa prima ρ ϕ n i ϕ (X i, T n ) 0 Una buona proprieà degli simaori M è che sono asinoicamene normali. Ci sono diverse funzioni obieivo che possono essere uilizzae e che soddisfano i requisii specificai sopra: se ρ(e i ) e i abbiamo le sime dei minimi quadrai ordinari (OLS), se ρ(e i ) e i abbiamo le sime LAD (Leas absolue deviaion regression), ma le più indicae sono la funzione di perdia di Huber o la biquadraica. 7

18 Nella seguene abella si mosra la funzione obieivo e la funzione peso per i minimi quadrai, Huber e la biquadraica: Tabella : Funzione obieivo e funzione peso per i minimi quadrai, Huber e biquadraica. John Fox (00) Nella figura seguene vengono comparae le funzioni obieivo, con le corrispeive ψ e le funzioni peso per i re simaori M riporai nella abella sopra. 8

19 Figura: Funzione obieivo, ϕ e funzione peso per I minimi quadrai (in alo), Huber (in cenro) e biquadraica (in basso). John Fox (00) Tra quese funzioni la più indicaa è quella di Huber poiché quesa è una funzione uilizzaa per la sima robusa che permee la cosruzione di una sima in cui l effeo dei valori anomali è ridoo, e il raameno dei valori non-oulier è sandardizzao. Huber (964) descrive la funzione di perdia a rai come: ρ ( x) (/ ) x k( x k se / ) x k alrove 9

20 Quesa funzione è, per piccoli valori di x quadraica e lineare per valori grandi. La derivaa prima è ϕ( x) x se x < k sign( x) k alrove Cipra (99) applica lo simaore M al lisciameno esponenziale per oenere delle previsioni robuse, come vediamo nel prossimo paragrafo..3 Il modello di lisciameno esponenziale basao sullo simaore di ipo M Uno dei meodi che ci permee di avere delle migliori previsioni anche in presenza di ouliers è quello sviluppao da Cipra (99). Egli propone un meodo di lisciameno esponenziale di Hol-Winers robuso, basao sullo simaore M. Nel caso del lisciameno esponenziale, il valore della serie lisciaa al empo, è la soluzione del seguene problema di minimizzazione ~ -i arg min ϑ ( λ) ( i i ϑ) 0

21 Per oenere la robusezza, secondo lo simaore M, l equazione quadraica nell equazione sopra è sosiuia da un adeguaa funzione ρ applicaa ai dai: ~ arg min i -i ( i ϑ) ( λ) ρ σ ϑ (6) dove σ sima la scala dei residui r - ŷ/-. Prendendo una funzione ρ che aumena più lenamene della funzione quadraica, l effeo degli ouliers è ridoa. Cipra (99) uilizza una funzione ρ con derivaa ρ ϕ e ϕ è la funzione di Huber visa nel paragrafo precedene con k,645. Per le sime di scala, Cipra (99) propone di uilizzare ˆ σ.5 ( ) ˆ λσ r λσ σ (7) dove il paramero di λ σ è un alro paramero di smoohing che assume valori ra zero e uno. Dopo manipolazioni algebriche e facendo uso di un algorimo dei minimi quadrai pesai ierao (IWLS), si oengono formule ricorsive per i meodi di lisciameno proposi da Cipra (99). Per maggiori deagli si veda o Cipra (99) o Croux, Gelper, Fried (008)..4 Pre-pulizia dei dai Per una correa specificazione di un modello saisico, o per oenere delle previsioni il più aendibili possibili, è essenziale avere dei dai di buona qualià. Ci sono diversi meodi per correggere valori errai o mancani, così come gli

22 ouliers. Dopo aver individuao le unià in cui una o più variabili presenano valori anomali, esisono due possibili alernaive: escludere i valori anomali dall analisi saisica o verificare se gli oulier individuai corrispondono o meno a siuazioni errae, o se invece, corrispondono alla siuazione reale del rispondene rispeo al caraere rilevao. Quindi, raandosi non di errori, ma di valori esremi, è necessario verificare se essi corrispondono o meno ad unià influeni, cioè se la loro inclusione o esclusione ha o meno un impao imporane sulle sime. Nel primo caso (esclusione oale degli oulier) possono essere inrodoe gravi disorsioni nei risulai finali, dal momeno che, se gli oulier corrispondono a valori reali, si rinuncia a informazioni in ogni caso corree, che rappresenano modalià possibili dell'evolversi del fenomeno in oggeo. Quesa soluzione è acceabile solo nel caso in cui gli oulier corrispondano ad osservazioni errae e non influeni. Il secondo caso, che prevede il raameno degli oulier per l analisi saisica, inroduce normalmene disorsioni negli simaori uilizzai. Esisono re approcci al raameno degli oulier in fase di sima: modifica dei valori degli oulier, sosiuendoli ad esempio con la media della serie; deerminazione per gli oulier di nuovi pesi che engano opporunamene cono dell'impao che le unià anomale hanno sul fenomeno nel suo complesso; uilizzo di ecniche di sima robuse, cioè poco sensibili alla presenza nei dai di valori anomali, come viso con il meodo di Cipra.

23 Nel prossimo paragrafo sarà illusrao un meodo per la pre-pulizia degli ouliers come descrio nel secondo approccio..5 Un nuovo meodo di lisciameno robuso In queso paragrafo, viene mosrao un nuovo approccio diverso da quello di Cipra, proposo da Gelper, Fried e Croux (009), e, come dimosrano nel loro lavoro, con performance migliori. L idea è quella di sosiuire le quanià osservae nell equazione () con una versione pulia *. L equazione ricorsiva robusa del lisciameno esponenziale è semplicemene daa da: ~ * λ ( ) ~ λ e analogamene per il sisema di Hol dell equazione () ~ F λ * λ ( ~ ( λ )( ~ ~ F ) ( λ ) F ) (9) Sia per il lisciameno esponenziale che per il meodo Hol-Winers, la serie pulia * è oenua come: * ˆ ˆ σ / / ˆ σ ˆ ψ (0) dove la funzione ψ è applicaa agli errori di previsione un passo in avani sandardizzai. Come in precedenza, le previsioni sono calcolae ramie l equazione (3). La scala di ali errori di previsione è simaa da σ. La funzione ϕ riduce l influenza di osservazioni anomale. Prendiamo come funzione ϕ la funzione di Huber visa prima: 3

24 x se x < k ( x) sign( x) k alrove ϕ () La pre-pulizia sulla base della funzione ϕ di Huber può essere inerpreaa come la sosiuzione dei valori anomali (ali o bassi) con valori più probabili. Più specificamene, se la differenza ra il valore osservao e il suo valore previso al empo - è piccolo, il valore pulio * è semplicemene il valore osservao. D alra pare, se lo scaro ra il valore previso e quello osservao è roppo grande, l osservazione è consideraa come un valore anomalo e viene sosiuia da un valore dipendene da una cosane posiiva, k, che regola l idenificazione dei valori anomali. Una scela comune di k è, assumendo impliciamene una disribuzione normale degli errori di previsione un passo in avani r - /-. Se k è poso uguale a infinio, la procedura di smoohing robusa si riduce al meodo classico. Il processo di pre-pulizia nell equazione (0) fa uso di una scala simaa σ di errori di previsione un passo in avani. Quesa scala può semplicemene essere simaa applicando una qualunque scala robusa su ui i valori precedeni di r. Per esempio, si porebbe considerare la deviazione assolua media (MAD), definia come σˆ MAD S ( rs ) med s rs med s r s Tuavia, queso assume impliciamene che la scala rimanga cosane. Un opzione che consene di usufruire di una scala leggermene variabile è quello di simare σ con la seguene equazione di aggiornameno 4

25 5 ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ r σ λ σ σ ρ λ σ σ σ () in cui facciamo uso di una funzione di perdia limiaa ρ. Qui, è saa scela la funzione di bi-peso definia da alrove c k x se k x c x k k ) ) ) / ( ( ( ) ( 3 ρ (3) dove c k è una cosane che serve per oenere la consisenza del paramero di scala per una disribuzione degli errori normale. Per una scela comune di k abbiamo c k,5. Lo simaore di scala in () corrisponde allo simaore di scala, τ, di Yohai e Zamar (988), calcolao in modo ricorsivo. Queso simaore di scala, τ, è esremamene robuso, ma allo sesso empo efficiene quasi come la deviazione sandard. L equazione () fornisce una procedura molo più robusa della sima della scala rispeo alla (7). Infai, la scala simaa in (7) può essere resa arbirariamene grande da valori esremamene anomali nei dai, dal momeno che l impao di r è ancora illimiao. Combinando il sisema di Hol robuso dell equazioni (9) e il processo di pre-pulizia nell equazione (0) si oiene il seguene schema ricorsivo: ) ( ) ~ ( ~ ~ ˆ ˆ ) ( ~ ~ F F F F λ λ σ σ λ ϕ (4) Le previsioni di possono essere oenue mediane l applicazione direa della formula di previsioni (3), come per il meodo classico. Le osservazioni anomale

26 non influenzano i valori lisciai quano nel meodo classico, dando previsioni più accurae in presenza di ouliers. Nel seguio ci riferiamo alle equazioni di cui sopra, insieme con l equazione (), come meodo robuso di Hol-Winers, abbreviao RHW. E imporane noare che quesa procedura fornisce ancora un meodo di previsione facile da implemenare. Le scele che sono sae fae per la funzione ϕ, la funzione ρ e per la sima di scala sono sandard nella leeraura moderna relaiva alla saisica robusa. Non solo le equazioni di aggiornameno devono essere affidabili per valori anomali, ma anche rispeo ai valori di parenza. Per il valore di parenza nel lisciameno esponenziale, si suggerisce di uilizzare la mediana delle prime m osservazioni, invece della media. Per il meodo Hol-Winers, la regressione dei minimi quadrai ordinari nell equazione (4) viene sosiuia con lo simaore mediano, dove ˆ α 0 e ˆβ 0 in (4) sono dae da ˆ β 0 med med 0 i j ˆ α med i ( ˆ β i) i 0 i i j j per i, j,..., m. La regressione mediana ripeua ha dimosrao di avere buone proprieà per il lisciameno delle serie soriche. Un valore di parenza della sima della scala ricorsiva nella () si oiene dal MAD dei residui di regressione in queso periodo di parenza. 6

27 .6 I parameri di lisciameno Come già spiegao nel capiolo precedene ci sono diversi meodi per scegliere i parameri di lisciameno λ e λ. Un primo approccio è quello soggeivo e si basa su quano peso devono avere le osservazioni preseni rispeo a quelle passae. Se si crede che i valori auali debbano avere un grande peso, allora devono essere presi valori grandi dei parameri. Un alro crierio è quello di uilizzare una procedura basaa sui dai che oimizza un cero crierio. Per ogni λ nel lisciameno semplice, o per ogni possibile combinazione di valori λ e λ nel meodo di Hol, si calcola la serie degli errori di previsione r. I migliori parameri di smoohing sono quelli che minimizzano l errore quadraico medio di previsione (MSFE) MSFE( r, r,..., r T T ) r T Tuavia, poiché abbiamo a che fare con serie emporali conaminae, il crierio MSFE ha uno svanaggio: un errore di previsione di grandi dimensioni porebbe provocare un esplosione di ale saisica e porare a scegliere parameri di lisciameno che endono a zero. Per queso moivo viene consigliaa una versione più affidabile dell MSFE basao sullo simaore di scala τ : T r τ ( r, r,..., rt ) s ρ T s 7

28 dove s,48 med r, vedi Gelper, Fried e Croux (009). Queso simaore richiede una funzione limiaa, per la quale è saa scela la funzione bi-peso come nella (3). L effeo di errori di previsione esremamene grandi viene ridoa da queso crierio. Possono essere considerai anche alri crieri come ad esempio l errore di previsione medio o la mediana assolua. Per maggiori deagli si veda Gardner (006) 8

29 Capiolo 3 CONFRONTO TRA PREVISIONI DA MODELLI DIVERSI 3. I modelli considerai In queso capiolo viene presenao uno sudio basao su serie di dai simulai per confronare le performance delle previsione ra il meodo classico ed i meodi robusi di Hol-Winers per dai con rend. Per quano riguarda il meodo classico, per selezionare i parameri di smoohing si uilizza il crierio MSFE. L oimizzazione rispeo a λ e λ è effeuaa ramie una ricerca a griglia, cioè si prendono quei parameri che minimizzano l MSFE. Il meodo classico di Hol, indicao con HW, viene confronao con il modello robuso presenao nel capiolo precedene, il meodo di Hol robuso (RHW) che viene consigliao da Gelper, Fried e Croux (009). Per illusrare l imporanza dell uso di uno simaore di scala robuso nelle equazioni ricorsive, si è anche applicao il meodo RHW proposo, con lo simaore di scala non robusa dell equazione (7) al poso della (). Quesa variane sarà abbreviao come RHW. 9

30 Per i meodi robusi, i parameri di perequazione sono sceli in modo oimale con una semplice ricerca a griglia secondo il crierio τ dell equazione (6). Inolre, il paramero smoohing λ σ, necessario nella (7) e nella (), è fissao a 0., come specifica l aricolo di Gelper, Fried e Croux (009) e la lunghezza del periodo di parenza è fissao a m 8. Come accennao prima, il meodo di Hol robuso proposo in (9) vale per le equazioni classiche di aggiornameno per una serie emporale pre-pulia. Invece di uilizzare il meodo di pulizia proposo nella (0), possono essere usai alri semplici schemi di pre-puliura in cui i valori anomali sono sosiuii da valori adaai. Alcuni sisemi di rouine rifiuano i valori esremi e li sosiuiscono con le medie, dove il valore è dichiarao come esremo quando si ha una disanza di più di deviazioni sandard dalla media. Un ovvio inconveniene di queso approccio è che esso non può essere applicao a serie emporali con rend. Quindi, come alernaiva al calcolo della media, viene calcolaa una rea di regressione Gardner (999). Più precisamene per raare andameni socasici, la rea di regressione viene calcolaa localmene all inerno di una finesra, per ogni osservazione, viene adaao, mediane i minimi quadrai ordinari, un rend lineare a parire dai dai -,..., -n in una finesra di ampiezza n 0, e calcolao il valore ŷ. Quindi definiamo un limie superiore e limie inferiore, come: UB ˆ σˆ OLS LB ˆ σˆ OLS 30

31 dove σˆ OLS è la deviazione sandard dei residui di regressione. Ogni vola che la serie osservaa supera i limii, vale a dire > UB o <LB, è sosiuio dal suo valore simao. Dopo la fase di pre-pulizia, il meodo classico di Hol dell equazione () viene applicao alla serie pulia. Quesa regola del sigma per la pre-pulizia è uleriormene denominao HWC ed è incluso nello sudio di simulazione. Vengono confronae le performance di previsione nel caso in cui i dai simulai vengono generai da un local linear rend model. 3. Local linear rend model Il modello che viene uilizzao per generare le serie soriche uilizzae nell esperimeno Mone Carlo, è il modello con rend localmene lineare (local linear rend model). Queso modello specifica che la serie osservaa è composa da un livello non osservao α e dal rend β nel modo seguene: α e, e ~ N (0, σ ) (7) dove α e β sono dai da: α α β η, η ~ N(0, σ ) η β β ν, ν ~ N(0, σ ) ν (8) 3

32 Si assume che il ermine d errore e nell equazione (7) segua una disribuzione normale sandard e a σ η e σ ν dell equazione (8) viene assegnao il valore 0., per coerenza con l esperimeno riporao in Gelper, Fried e Croux (009) 3.3 L esperimeno di Mone Carlo In queso lavoro ho riprodoo lo sudio di simulazione condoo da Gelper, Fried e Croux (009) per valuare le performance di previsione de vari meodi di lisciameno. Quindi ho simulao, con l uilizzo di R, 5000 serie indipendeni di lunghezza 05, uilizzando le prime 00 osservazioni per l algorimo di smoohing e le osservazioni dalla 0 alla 05 per valuare le performance di previsione. Ho confronao gli errori di previsione da a 5 passi in avani per 4 differeni schemi di simulazione. Quesi schemi corrispondono alle 4 possibilià per il ermine d errore e dell equazione (7) e sono riporai nella seguene abella. e i. ~ i. d. CD Dai pulii N(0,) SO Ouliers simmerici e i. i. d ~. (- ε ) N(0,) εn(0,0), dove la probabilià di oulier ε 0.05 AO Ouliers asimmerici e i. i. d ~. (- ε ) N(0,) εn(0,), dove la probabilià di oulier ε 0.05 FT Errori disribuii con -Suden... e i ~ i d 3 Tabella : Schemi di simulazione 3

33 Per il periodo 0,,05 non si permeono ouliers, in quano quesi sono imprevedibili per naura. In queso modo vengono calcolai 5000 errori di previsione per ogni meodo e per ogni schema di simulazione per h e h5 passi in avani. Il primo schema di simulazione, che indicheremo con CD, è quello di riferimeno, dove le serie seguono un local linear rend model non conaminao, quindi abbiamo serie di dai pulii. Dalla figura, che rappresena i boxplo degli errori di previsione da a 5 passi in avani, si noa che i residui variano aorno allo 0 e la dispersione degli errori di previsione è circa la sessa per ui i meodi, con l eccezione dell approccio HWc. Dalla abella 3, che ripora l MSFE ed il τ per ogni passo di previsione, possiamo noare, come è ovvio aendersi, che per i dai pulii non c è una grande differenza ra il meodo di Hol-Winers ed i meodi con pre-pulizia dei dai. Solo il meodo HWc, ha delle performance peggiori, che vengono accenuae con il crescere dei passi di previsione. I due crieri MSFE e τ sono molo simili, la loro differenza è minima. Quindi per il modello di riferimeno il meodo classico (HW) ha delle performance leggermene migliore rispeo al modello con pre-pulizia dei dai robuso (RHW). h h h3 h4 h5 HW MSFE τ HWc MSFE τ RHW MSFE τ RHW MSFE τ Tabella 3: Errori di previsione per dai pulii (CD) 33

34 Leggende: : meodo HW sandard : meodo HWc: pre-pulizia classica 3: meodo RHW :pre-pulizia robuso con σ non robuso 4:meodo RHW: pre-pulizia robuso con σ robuso Figura : Boxplo degli errori di previsione per dai pulii 34

35 Nel secondo esperimeno, una piccola frazione delle osservazioni è sosiuia da valori anomali simmerici (SO), vale a dire con la sessa probabilià di osservare un valore esremamene grande o piccolo. Più specificaamene, viene sosiuio in media il 5% dei ermini di errore e della (7) con esrazione da una disribuzione normale con media zero e deviazione sandard 0. Tabella 4: Errori di previsione per ouliers simmerici (SO) seing h h h3 h4 h5 HW MSFE τ HWc MSFE τ RHW MSFE τ RHW MSFE τ Dai boxplo in figura 3 si noa che anche con queso modello i residui variano aorno allo 0, ed il meodo RHW ha una minore dispersione rispeo a ui gli alri meodi. Queso può essere viso anche dalla abella 4, dove l MSFE ed il τ sono più piccoli per il meodo RHW. Noiamo anche che il meodo RHW e RHW sono molo simili ra loro. I due meodi in generale hanno performance di previsione paragonabili ma a vole i meodi RHW hanno errori di previsione molo più grandi. Ciò dimosra il vanaggio di una pre-pulizia dei dai e una sima di scala robusi come nel meodo RHW. 35

36 Leggende: : meodo HW sandard : meodo HWc: pre-pulizia classica 3: meodo RHW :pre-pulizia robuso con σ non robuso 4:meodo RHW: pre-pulizia robuso con σ robuso Figura 3: Boxplo degli errori di previsione per ouliers simmerici 36

37 Il erzo schema è simile al precedene, ma qui i dai conengono valori erraici asimmerici (AO) al poso di quelli simmerici. Si sosiuisce in media una piccola frazione ε 0.05 dei dai pulii esrai da una normale di media 0 e varianza. Si noa che con quesa imposazione, cioè con valori anomali asimmerici, il meodo HWc lavora molo meglio rispeo a prima e se consideriamo l MSFE è il meodo migliore; però se prendiamo in considerazione il τ il meodo RHW, cioè quello robuso, ha delle performance leggermene migliori sui primi re passi di previsione. E imporane noare come con dai asimmerici applicare un meodo di prepulizia dei dai pora a delle performance decisamene migliori rispeo al meodo classico HW. Tabella 5: Errori di previsione per ouliers asimmerici (AO) seing h h h3 h4 h5 HW MSFE τ HWc MSFE τ RHW MSFE τ RHW MSFE τ

38 Leggende: : meodo HW sandard : meodo HWc: pre-pulizia classica 3: meodo RHW :pre-pulizia robuso con σ non robuso 4:meodo RHW: pre-pulizia robuso con σ robuso Figura 4: Boxplo degli errori di previsione per ouliers asimmerici 38

39 Nei due precedeni schemi (SO e AO), i valori anomali si verificano con probabilià ε. Nella successiva definizione di schema di simulazione, ogni osservazione segue una disribuzione di Suden con re gradi di liberà che denominiamo (FT). Dai boxplo e si noa che i meodi robusi (RHW e RHW) hanno delle presazioni migliori rispeo al meodo classico HW e al meodo basao sulla regressione. Quindi, non solo in presenza di valori anomali, ma anche per le serie emporali seguendo lo schema FT, c è un guadagno in ermini di accuraezza delle previsioni uilizzando un valido approccio. La abella 6 indica anche che in caso di errori -Suden l MSFE è il più piccolo per il meodo RHW. Il crierio τ ci fa noare le migliori performance di previsioni del meodo RHW rispeo agli alri. Tabella 6: Errori di previsione per errori disribuii con -Suden con 3 g.d.l. (FT) seing h h h3 h4 h5 HW MSFE τ HWc MSFE τ RHW MSFE τ RHW MSFE τ

40 Leggende: : meodo HW sandard : meodo HWc: pre-pulizia classica 3: meodo RHW :pre-pulizia robuso con σ non robuso 4:meodo RHW: pre-pulizia robuso con σ robuso Figura 5: Boxplo degli errori di previsione per errori disribuii con una -Suden con 3 g.d.l. 40

41 Nella seguene abella vengono riporai i parameri di lisciameno uilizzai per i vari meodi e modelli. Si noa che il meodo classico HW ed il meodo RHW vengono minimizzai dagli sessi parameri, menre il meodo HWc si scosa, soprauo per il modello con valori anomali asimmerici. HW HWc RHW RHW λ λ λ λ λ λ λ λ CD 0,58 0,38 0,59 0,35 0,58 0,39 0,58 0,38 SO 0,5 0,35 0,57 0,35 0,54 0,36 0,5 0,35 AO 0,35 0,4 0,47 0,3 0,38 0,7 0,35 0,4 FT 0,50 0,33 0,54 0,34 0,5 0,34 0,50 0,33 4

42 4

43 CONCLUSIONI In queso lavoro ho preso in esame dei meodi robusi per fare previsioni in presenza di valori anomali con il meodo del lisciameno esponenziale e Hol- Winer. In ambio aziendale il meodo del lisciameno esponenziale e Hol-Winer sono spesso uilizzai, poiché sono semplici da applicare e molo compeiivi rispeo a modelli di previsione più complicai. Tuavia in presenza di valori anomali, le presazioni di quesi meodi peggiorano noevolmene. Abbiamo viso ramie un esperimeno Mone Carlo che uilizzando un meodo di pre-pulizia dei dai si possono oenere dei buoni risulai. Quesi meodi hanno il vanaggio di coninuare ad applicare il meodo di Hol- Winers non sulla serie originale, ma su una serie pulia; quindi coninuiamo ad avere un meodo facile da implemenare e ricorsivo ma con delle performance migliori. Tra quesi meodi quello con delle performance migliori è il meodo di pre-pulizia proposo da Gelper, Fried e Croux (009) e riporao nell equazione (0) I vanaggi di queso meodo sono che (i) può essere applicao a dai non sazionari, anche con rend socasico, (ii) è robuso rispeo alla presenza di 43

44 valori anomali di grandi dimensioni, (iii) è semplice da calcolare, e (iv) il suo schema ricorsivo consene la pre-pulizia coninua della serie. 44

45 BIBLIOGRAFIA Cipra T. (99). Robus exponenial smmohing. Journal of Forecasing : Croux C, Gelper S. e Fried R. (008). Compuaional aspecs of robus Hol-Winers smooing based on M-esimaion. Applicaions of Mahemaics, Vol 53, No.3, Di Fonzo T. e Lisi F. (005). Serie Soriche Economiche,Carocci Fox J. (00). Robus Regression. Appendix o An R and S-PLUS Companion o Applied Regression. Gardner E. (006). Exponenial smoohing: he sae of he ar. Par II. Inernaional Journal of Forecasing. : Gardner E. (999). Noe: Rule-Based Forecasing vs. damped-rend exponenial smoohing. Managemen Science 45: Gelper S, Fried R. e Croux C. (009). Robus forecasing wih exponenial and Hol-Winers Smoohing. Journal of Forecasing 9: Pace L, Salvan A. (996). Teoria della saisica. CEDAM Padova Pace L, Salvan A. (005). Inroduzione alla saisica. cap Piccolo D. (990). Inroduzione all analisi delle serie soriche. La Nuova Ialia Scienifica Pelagai M: (000). L approccio alla saisica robusa basao sulla funzione d influenza: appuni per un seminaio. Ricci V. (006). Dispensa: Principali ecniche di regressione con R. Venura L. (004). Noe di Saisica Robusa: Approccio basao sulla Funzione di Influenza. 45

46 Yohai V, Zamar R. (998). High breakdown esimaes of regression b means of he minimizaion of an efficien scale. Journal of he American Saisical Associaion 83: