Logistica (mn) 6 CFU Appello del 22 Luglio 2010

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1 Logistica (mn) 6 CFU Aello del Luglio 010 NOME: COGNOME: MATR: Avvertenze ed istruzioni: Il comito dura ore e quindici. Non è ermesso lasciare l'aula senza consegnare il comito o ritirarsi. Se dovessero mancare dati negli esercizi il candidato li derivi aggiungendo oortune iotesi che debbono essere motivate ed indicate chiaramente nello svolgimento dell'esercizio. Laddove venga richiesta l'alicazione di uno o iù asetti teorici si richiede di indicare brevemente la teoria utilizzata. Si utilizza la convenzione di anno economico:tutti i mesi hanno 0 giorni (l'anno si comone di 60 gg.) Esercizio 1. Ottimizzazione non lineare Si risolva il seguente roblema di ottimizzazione arg min Esercizio. Ottimizzazione lineare Risolvere il seguente roblema di massimo: x x arg max x 4 x x 10 x 8 x 1, x, x Esercizio. Caso reale: La logistica delle motociclette..1 Modellazione del trasorto Un'azienda imorta motociclette di lusso dall'america e le rivende in tutta Italia. Essa ossiede tre unti di raccolta e stoccaggio resso tre grandi città italiane: Milano, Venezia e Roma. Le motociclette raggiungono l'italia via nave dove oi vengono trasortate via gomma nei vari magazzini. Inoltre, er motivi fideistici, l'azienda utilizza solamente i orti di Venezia, Roma e Genova Nell'esercizio attuale l'azienda ha acquistato 0 motociclette resso due grandi stabilimenti americani: New York (acquistate 5000 unità) e Miami (7000 unità). Le revisioni di vendita sono di 500 unità er l'area coerta dal magazzino di Roma, 500 er l'area di Venezia e 4900 er l'area milanese. Saendo che le distanze fra le città coinvolte sono date dalla seguente tabella, imostare il roblema di trasorto iotizzando che il costo del trasorto via nave di 1 motocicletta sia di 10 euro al miglio marino (mil.) mentre quello via gomma sia di 5 euro al kilometro (km).

2 New York Miami Genova Venezia Roma Milano New York mil 81 mil 695 mil --- Miami mil 465 mil 4499 mil -- Genova 505 mil 409 mil 0 41 km 451 km 11 km Venezia 81 mil 455 mil 41 km 0 40 km 97 km Roma 695 mil 4499.mil 451 km 40 km km Milano km 97 km 604 km 0.) Gestione delle scorte (N.B. si considerano trascurabili gli sostamenti all'interno della stessa città) L'azienda descritta nell'esercizio.1 ossiede diverse rivendite finali ognuna delle quali consta di un magazzino e di un unto vendita. La rivendita adovana si rifornisce dall'unità di stoccaggio di Venezia con un costo fisso di euro a viaggio. Essa ossiede un salone avente caacità massima di 0 unità che uò essere aumentata er brevi o brevissimi eriodi fino a 50 unità. Inoltre, il magazzino riesce a mantenere una motocicletta in condizioni ideali al costo medio di 0 cent al giorno. Saendo che il mercato nell'esercizio attuale viene descritto dalle seguenti costanti: shortage enalty = 10 euro/mese domanda D(t= mese) = 0 motociclette determinare, utilizzando la teoria del lotto economico, la olitica di acquisti che minimizza i costi di gestione del magazzino contemlando la ossibile rottura dello stock..). Teoria. Si suonga che la strategia decisa ai unti.1 e. venga alicata ad inizio anno e che al mese di giugno (metà anno) ci si rendesse conto che nei restanti sei mesi si assisterebbe ad un incremento della domanda del 10%. Il candidato indichi, motivando la risosta, quali modifiche si dovrebbero aortare alla strategia descritta negli esercizi.1 e.. (facoltativo) Nel caso si ritengano necessarie delle modifiche, indicare i ossibili effetti di queste modifiche nelle quantità calcolate.

3 Svolgimento Esercizio 1. Ottimizzazione non lineare Il roblema di minimo assegnato è di tio non vincolato, ertanto le soluzioni si trovano sfruttando le condizioni di rimo e secondo ordine. Condizione necessaria (o del rimo ordine): annullamento del gradiente del funzionale di costo (f) f, f, x =[ x f, x x ]=[ x x 1 ]=[ 0 0] { x = x = { x = = 1 Condizione sufficiente (o del secondo ordine) gli zeri del determinante della matrice Hessiana H debbano avere arte reale maggiore di zero (roblema di minimo). La matrice risulta essere H, x =[ f f ]=[ x 1 f f x x 1 ] Il cui autovalori sono det zi H = z z 1 1 =z 4z =0 z 1, = z 1= z =1 essendo entrambi gli autovalori a arte reale ositiva, il unto è un unto di minimo. Esercizio Ottimizzazione lineare = 1, x = Analizzando il roblema si nota come la variabile x sia di fatto coinvolta in soli due vincoli: quello di ositività ed un limite sueriore. Essa risulta quindi slegata dalle altre, ertanto ossiamo assegnarle il valore che meglio si adatta ai nostri scoi fra quelli leciti ( 0 x 10 ). La variabile influisce in maniera diretta sul valore del funzionale che si deve massimizzare, ertanto la si orrà al rorio valore massimo ovvero x =10 I valori delle altre incognite sono ottenibili risolvendo il roblema ottenuto rimuovendo x dal roblema originale: arg max x x 8 x 1, x Il roblema risulta lineare in due incognite e uò venire facilmente risolto utilizzando il metodo grafico.

4 Riortando il funzionale e zona di ammissibilità si ottiene il seguente grafico in cui in blu viene segnata la curva di livello tangente alla zona di ammissibilità delineata dai vincoli di ositività (gli assi) e non (le linee tratteggiate). da cui si evince come il unto (.4 ; 0.6) sia soluzione del simlesso. er cui la soluzione del roblema originario risulta essere La logistica delle motociclette..1 la modellazione del trasorto. =.4 x =0.6 x =10 La modellazione avviene er assi, identificazione delle variabili, dei vincoli e del funzionale di costo identificazione delle variabili. Analizzando il testo si vede chiaramente come il roblema roosto sia un roblema di trasorto a due stadi, avente la seguente dimensionalità: Sorgenti M = (nell'ordine: New York e Miami) Deositi intermedi = (nell'ordine: Genova, Venezia, Roma) Destinazioni finali N = (nell'ordine: Venezia, Roma, Milano) Questo roblema è caratterizzato dalle seguenti N M =15 variabili 6 variabili : centinaia di motociclette trasortate dalla sorgente i al deosito intermedio. 9 variabili y, j : centinaia di motociclette trasortate dal deosito intermedio alla destinazione j identificazione dei vincoli. I vincoli, nei roblemi di trasorto a due fasi sono di quattro tii:. 1 Vincoli di ositività: non si ossono muovere quantità negative, y, j Vincoli di sorgente: tutte le moto debbono lasciare il orto. ertanto la somma delle merci che lasciano il orto deve essere uguale alla quantità di beni resenti nel orto stesso:, = 5000 e x, = 7000 =1 Vincoli di domanda: ad ogni destinazione finale deve giungere il corretto quantitativo di merce. Come si nota dalle secifiche la quantità rocacciata (0) è sueriore a quella in revisione di vendita (10900 = ). oiché l'azienda in questione ha come mercato di vendita quello italiano, are saggio sostare le 1 unità eccedenti nel vecchio continente onde sulire eventuali variazioni della

5 domanda a costi ridotti in termini di reazione. Rimane il roblema di come suddividere le eccedenze fra i tre magazzini. Indicati con e 1, e ed e le eccedenze assegnate risettivamente ai magazzini di Venezia, Roma, Milano; una ossibile aroccio è quello di dividerle in maniera roorzionale alla domanda attesa. Si ottengono quindi i seguenti valori: e 1 = =5 e = =5 e =1 5 5 =495 I vincoli di domanda risultano quindi essere: y,1 = =1 y, = y, = Vincoli di conservazione del flusso: in ogni deosito il quantitativo della merce entrante deve essere uguale a quello della merce uscente identificazione del funzionale di costo = y, j,, Il funzionale di costo nient'altro è che il costo er unita di merce ( motociclette) del trasorto, ertanto introdotte le seguenti matrici: C=10 [ ] D=5 [ ] si ha che il funzionale di costo risulta essere i =1 C i, D, i y, j=1 j Quindi si ottiene il seguente roblema di minimo: =1 = arg min, =50 x, =70 y,1 =7,5 y, =8,5 y, =5,95 y, j,,, y, j i =1 C i, D, i y, j=1 j

6 . Gestione delle scorte Nel testo si richiede di utilizzare la teoria del del lotto economico er determinare la miglior olitica di movimentazione merci. Dall'analisi del testo si ricavano le seguenti informazioni nella simbologia del lotto economico dove utilizzeremo come unità di temo il mese, come unità di eso la motocicletta e come unità di costo l'euro. a : domanda costante = 0 K : setu-cost = c : roduction cost irrilevante ai fini della richiesta. h : holding cost = 0,0 * 0 = 6 : shortage enalty = 10 Introducendo le grandezze Q : quantità ordinata ogni ciclo S : massima giacenza nel magazzino Si ricava il seguente funzionale di costo Il cui valore minimo si ha er J Q, S = Ka hs ca Q Q Q S Q Q= ak h S= ak h h = 0 6 h = = = = =5 Si noti come la giacenza massima di lungo eriodo imosta sia ari a 5 motociclette quindi comatibile con i vincoli imosti dal roblema. Il ciclo ha durata ari a Q = a = 40 0 mesi = 40 giorni. Variazione della domanda. Se la domanda incrementa del 10% negli ultimi sei mesi (mezzo anno), nell'iotesi di domanda costante ci si uò asettare un aumento comlessivo ari a revisione di vendita mensile * 6 * 10% =545 Avendo scelto di imortare le motociclette eccedenti (1 unità) in Italia ed essendo queste sueriori alla quantità richiesta, nessun ulteriore trasorto si rende necessario. ertanto, il roblema di trasosto non subisce alcuna variazione. La gestione di magazzino deve essere ricalcolata rietendo i recedente secondo i recedenti utilizzando come nuova domanda mensile a new =a 1.1= (facoltativo) In articolare, si dovrebbe assistere ad un incremento della quantità ordinata che viene influenzata in maniera diretta dalla domanda; si ha infatti che = Q a new K new h h = ak 1.1 h = h = 1.1 Q=4 contrariamente il eriodo che intercorre fra un ordine ed il successivo viene a diminuire, infatti si ha che: new = Q new a new = 1.1 Q 1.1a = = 1.1 = =1,71 mesi = 8 giorni