Misure di tendenza centrale

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Faustina Giuliani
6 anni fa
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* Moda * Mediana 51 Medie ferme Le medie

1 Misure di tendenza centrale Misure di tendenza centrale Medie ferme Medie di posizione * Media aritmetica * Media geometrica Ecc. * Moda * Mediana 51 Medie ferme Le medie ferme si calcolano usando tutti i valori a disposizione. Rischio: è possibile che valori molto alti o molto bassi con poca frequenza possano falsare il valore centrale, o meglio quello rappresentativo dei dati. 52 Docente: Ivan Zivko 1

2 È la somma di tutti i valori diviso il loro numero totale. Media aritmetica: 1 f1 2 f2... N n n i1 f n i N f i 53 Esempio 1: considera le note di 5 studenti: 3, 4, 5.5, 6, Docente: Ivan Zivko 2

3 Osservazione: la media aritmetica si può calcolare disponendo anche solo delle frequenze relative. 1 1 f f 1 rel.1... n f N... f n n rel. n 1 f1 N... n fn N 55 Esempio 2: se i dati sono molti e dobbiamo suddividerli in una tabella bisognerà usare le frequenze. NOTE N. Studenti (Freq. Assoluta) Freq. relativa TOTALE Docente: Ivan Zivko 3

4 Esempio 2: per calcolare la media aritmetica si possono usare sia le frequenze assolute che quelle relative Se i dati sono suddivisi in classi per calcolare la media aritmetica bisogna prendere i valori centrali delle classi. Esempio 3: salario dei dipendenti. Classi di stipendio (in migliaia di CHF) Numero dipendenti (Freq. Assoluta) Centro classi [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ TOTALE Docente: Ivan Zivko 4

5 È chiaro che suddividendo i dati in classi perdiamo delle informazioni, e quindi commetteremo un piccolo errore. L errore dovuto all uso delle classi sarà: a err. 2 a 59 La media aritmetica ha in genere una buona stabilità, che cresce con l'aumentare dei dati. Quando nei dati ci sono valori estremi particolarmente pesanti la media aritmetica può essere molto influenzata da essi anche se in realtà non hanno una grande frequenza. 60 Docente: Ivan Zivko 5

6 Medie Ferme: media geometrica La media geometrica viene usata per dati che variano in progressione temporale, per esempio per gli indici. Media geometrica: N f1 f f n n 61 Medie Ferme: media geometrica Esempio: È dato un bene di valore C. Questo bene nel primo anno aumenta il valore dell 8%, nel secondo del 12%, nel terzo del 9% e nel quarto del 5%. Si vuole trovare l aumento percentuale medio. Da ciò si possono trovare i moltiplicatori: M C (1 0.08) 1 M 2 M1 (1 0.12) C (1 0.08) (1 0.12) ecc. 62 Docente: Ivan Zivko 6

7 Medie Ferme: media geometrica Quindi alla fine dei quattro anni l aumento si calcolerà come segue: C (1 0.08) (1 0.12) (1 0.09) (1 0.05) C C Il moltiplicatore medio sarà: Che equivale a un aumento percentuale annuo del % 63 Medie Ferme: media geometrica Se avessimo fatto la media aritmetica avremmo ottenuto un aumento dell 8.5%. Se per ogni anno usiamo questo aumento non otteniamo il risultato esatto. 64 Docente: Ivan Zivko 7

8 Medie di posizione Come detto quando ci sono valori estremi troppo grandi la media aritmetica non va più bene. Non possiamo semplicemente non tenere conto di questi valori, perchè non seguiremmo i principi fondamentali della statistica. A differenza delle medie ferme con le medie di posizione possiamo anche cercare il valore medio di variabili qualitative. 65 Medie di posizione: Moda La moda è quella media che viene associata alla modalità con frequenza più alta. Essa è tanto più esatta quanto più la sua frequenza è elevata rispetto alle altre (se è maggiore del 50% è molto buona). Se le frequenze sono simili la moda perde la sua efficacia. Se ci sono due modalità con frequenza uguale si dice che la classe è bimodale. 66 Docente: Ivan Zivko 8

9 Medie di posizione: Moda Esempio 1: colore dei capelli di un gruppo. Colore capelli Frequenza assoluta Castani 70 Biondi 30 Moda Castani Rossi 30 Altro Medie di posizione: Moda Il calcolo diventa un po più complicato se abbiamo dei dati suddivisi in classi. Prima di tutto bisogna determinare la classe modale, che è semplicemente la classe con frequenza più elevata. Per trovare il valore modale si userà la formula poi: Moda L inf a 68 Docente: Ivan Zivko 9

10 Medie di posizione: Moda L inf. 1 2 Limite inferiore della classe modale (Freq. assoluta classe modale) (Freq. ass. classe precedente) (Freq. assoluta classe modale) (Freq. ass. classe successiva) a ampiezza delle classi 69 Medie di posizione: Moda Esempio 2: altezze di un gruppo. Classi (Altezza) Freq. assoluta [158, 162[ 4 [162, 166[ 7 [166, 170[ 13 [170, 174[ 18 [174, 178[ 8 Totale Docente: Ivan Zivko 10

11 Medie di posizione: Moda La classe modale è la classe [170, 174[. Usando la formula: (18 13) 5 Moda (18 13) (18 8) Si definisce mediana di un insieme di elementi, disposti in ordine crescente o decrescente, il valore che occupa la posizione centrale. Esempio 1: se il numero di elementi è dispari. 8, 12, 7, 4, 9, 10, 55 Bisogna prima metterli in ordine crescente. 4, 7, 8, 9, 10, 12, 55 Mediana 9 72 Docente: Ivan Zivko 11

12 Esempio 2: se il numero di elementi è pari. 36, 72, 82, 84, 98, 105 I due valori centrali sono 82 e 84, perciò: Mediana Se i dati sono molti, e quindi vengono rappresentati in una tabella per determinare la mediana si guardano le frequenze cumulate. La mediana è quella modalità in cui la frequenza cumulata supera il 50%. 74 Docente: Ivan Zivko 12

13 Esempio 3: numero di interrogazioni per studente. Numero interrogazioni Freq. assoluta Freq. cumulata Totale 75 Esempio 3: in questo caso la frequenza cumulata viene superata nella seconda modalità, quindi: Mediana 1 76 Docente: Ivan Zivko 13

14 Se i dati sono suddivisi in classi bisogna prima di tutto determinare la classe mediana, che è la classe in cui la frequenza cumulata supera il 50%. Poi per trovare il valore mediano si userà la formula: Mediana L inf. N 2 f cumulata classe precedente f classe mediana a 77 Esempio 3: prendiamo l esempio delle altezze. Classi (Altezza) Freq. assoluta Freq. cumulata [158, 162[ 4 4 [162, 166[ 7 11 [166, 170[ [170, 174[ [174, 178[ 8 50 Totale Docente: Ivan Zivko 14

15 La classe mediana è la classe [170, 174[. Usando la formula: Mediana Docente: Ivan Zivko 15

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