METODO FEM: ASSEMBLAGGIO DEGLI ELEMENTI FINITI

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1 METODO EM: ASSEMBAGGIO DEGI EEMENTI INITI A. Bacchetto Copyright ADEPON Ttti i Diritti iservati - METODO EM: ASSEMBAGGIO DEGI EEMENTI INITI Andrea BACCHETTO * * Ingegnere Civie Strttre; Dottorato di icerca in Meccanica dee Strttre ; SK Engineering & esearch Centre INTODUZIONE a sozione dee eqazioni differenziai che governano n probema strttrae, mediante a formazione deboe deo probema stesso, viene ricondotta aa sozione di na serie di eqazioni agebriche. Qesto è permesso daa discretizzazione dea strttra tramite na mesh (magia) di eementi finiti. Tai eqazioni, opportnamente ordinate in n sistema ineare, in scrittra matriciae, possono essere raggrppate nea forma segente: () K f dove K è a matrice gobae di rigidezza de sistema, è i vettore degi spostamenti (incognita de probema) ed f è i vettore dee forze appicate (termine noto de probema). integrazione dee reazioni differenziai si sottodomini ( i) individati dai singoi eementi finiti (igra ) permette di vatare e matrici (di massa, di rigidezza, ecc.) per ognno di qesti eementi. a sozione de probema deve necessariamente tiizzare no strmento che riesca a trattare ttte e singoe matrici come n nica matrice de sistema. É qindi indispensabie esegire n operazione di assembaggio. igra SEMPICE ESEMPIO DI ASSEMBAGGIO Assembaggio : i compesso dee operazioni necessarie per mettere insieme e varie parti precostitite, di macchinari, apparecchi o manfatti, taora anche figre. Daa definizione sopra riportata si evince che i processo di assembaggio prevede, na vota creati i singoi oggetti (matrici degi eementi), a formazione di n nico pezzo (matrice gobae), mediante n opportna operazione di assembaggio. Per comprendere cosa significa assembare e matrici degi eementi finiti, inizieremo considerando esempio descritto nee figre sottostanti. Modeiamo n asta agente soo a sforzo normae (per a qae nico grado di ibertà coinvoto è qeo aa trasazione orizzontae) in de differenti modei: modeo tipo A: na soa asta (igra, sinistra); modeo tipo B: de aste (igra, destra). igra

2 METODO EM: ASSEMBAGGIO DEGI EEMENTI INITI A. Bacchetto Copyright ADEPON Ttti i Diritti iservati - Per i modeo tipo A vagono e segenti reazioni di eqiibrio rispettivamente a nodo ed a nodo : () dove / è a rigidezza assiae de eemento e è a reazione vincoare a nodo. In forma matriciae i sistema () pò essere riscritto nea forma segente: () Per i modeo tipo B, dove i de eementi sati per a modeazione de asta hanno na nghezza pari aa metà di qea de asta stessa, si rende necessario scrivere n set di reazioni di eqiibrio per ognno degi eementi. Per asta a vagono e segenti reazioni che forniscono i vaori dee forze ai nodi e : (4) Per asta b vagono e segenti reazioni che forniscono i vaori dee forze ai nodi e : (5) eqiibrio de nodo deve essere assicrato mediante imposizione de gagianza dee forze che nascono a nodo considerato appartenente sia a asta a che a asta b. a reazione di eqiibrio di tae forze viene impostata come sege: (6) a scrittra de sistema che descrive i modeo tipo B rista qindi i segente: (7) a b b a

3 METODO EM: ASSEMBAGGIO DEGI EEMENTI INITI A. Bacchetto Copyright ADEPON Ttti i Diritti iservati - a scrittra matriciae de sistema (7) si presenta nea segente forma: (8) OSSEVAZIONE : I termini corrispondenti ad eementi diversi, ma contribenti ao stesso nodo (termini riqadrati in (8)), vengono sempicemente sommati ne corrispondente termine dea matrice gobae. OSSEVAZIONE : i termini in posizione ij ni dea matrice sono da interpretare come na non interferenza tra a forza appicata a nodo j e o spostamento de nodo i. In generae si pò affermare che operazione di assembaggio prevede che i gradi di ibertà ocai (appartenenti a eemento) che contribiscano ao stesso grado di ibertà gobae (de intero modeo), vengano opportnamente sommati, costitendo n nico vaore a interno dea matrice gobae. ASSEMBAGGIO DI EEMENTI INITI MONODIMENSIONAI Con esempio precedente si è cercato di chiarire in maniera diretta i significato di assembaggio di de eementi finiti. Con esempio che viene proposto ne segito si esegirà na nova operazione di assembaggio introdcendo a matrice di rotazione. Tae matrice permetterà di trasformare i sistema di riferimento ocae de eemento in qeo gobae. Si noti che a strttra proposta non è caricata, focaizzeremo infatti attenzione a soo assembaggio dee matrici di rigidezza. estensione a matrici e vettori coinvoti ne anaisi strttrae segiranno gi stessi principi. Osservando e de aste di tipo trss riportate nea igra, è facie intire che: - i grado di ibertà ocae, contribisce ai gradi di ibertà gobai e v ; - i gradi di ibertà ocai, e, contribiscono a qei gobai e v ; - i grado di ibertà ocae, contribisce ai gradi di ibertà gobai e v. igra (9) Ui cos i Vi sen Ui Vi cos U j Vj sen cos i sen j Prima di esegire a vatazione dea matrice gobae, rista necessario trasformare e matrici dee singoe aste (vatate in n riferimento ocae) riportando i singoi contribti in riferimento comne (qeo gobae). Tae operazione si atta mediante matrici di rotazione che permettono a trasformazione da n sistema di gradi di ibertà ocae a qeo gobae attraverso na sempice rotazione di assi. Per i trss evidenziati in igra a matrice di rotazione permette di passare da n sistema ad n grado di ibertà per ogni nodo ad n riferimento ci sono attivi de gradi di ibertà. dove rappresenta a rotazione de sistema ocae rispetto a qeo gobae, attorno a asse scente da piano dea rappresentazione de modeo.

4 METODO EM: ASSEMBAGGIO DEGI EEMENTI INITI A. Bacchetto Copyright ADEPON Ttti i Diritti iservati - operazione di trasformazione prevede na pre- e post-motipicazione dee matrici di rigidezza ocai con qea di rotazione riportata in (9): () T * K[ 4x4] T K [x] T[x4] [4x] dove K* [x] è a matrice de sistema (). È interessante notare come a matrice di rigidezza di n singoo eemento passa da na dimensione pari a de ad na dimensione pari a qattro: per ogni nodo infatti ci sono de gradi di ibertà gobai; a iveo de eemento asta i gradi di ibertà diventano qindi qattro. Esegendo i prodotti in () si ottiene a segente matrice: () K [44] cos sen cos cos sen cos sen cos sen sen cos sen cos sen cos cos sen cos sen cos sen sen cos sen a matrice in () è qindi a matrice di rigidezza di n eemento trss riportata ne sistema di riferimento gobae. È ora possibie prosegire con operazione di assembaggio. iferendoci aa igra andremo ad individare angoo de asta con e qeo reativo a asta con. Ne risteranno de matrici che per sempicità di esposizione e indicheremo con A e B: () K [ 44] A K [ 44] B a creazione dea matrice gobae, che presenta na dimensione pari a nmero di gradi di ibertà ci gode i sistema rappresentato in igra, viene effettata coma sege: () U V a a a a K [6x6] a a a 4 a4 U a a a b a 4 b a b a b 4 b b4 V U V a4 a4 b b4 44 b b4 b b b 4 b4 b4 b44 U V U V U V OSSEVAZIONE : a possibiità di costrire a matrice di ogni eemento e sccessivamente di assembare in qea gobae permette di poter modeare strttre composte da eementi caratterizzati da proprietà fisico-meccaniche diverse. Tae aspetto è no dei pnti di forza, in base a qae i EM si è imposto come mezzo di indagine sperimentae e di progetto. OSSEVAZIONE 4: operazione di assembaggio è fondamentae per costrire e matrici gobai dea strttra: se a strttra è in campo statico verrà formata soo qea di rigidezza; se invece a strttra è in campo dinamico anche qee di massa e di viscosità. OSSEVAZIONE 5: Per esegire assembaggio dee matrici degi eementi è necessario mappare ttti i gradi di ibertà dea strttra secondo na nmerazione gobae e qindi nivoca. A segito de assegnazione di tae ordine, si faranno corrispondere i gradi di ibertà ocai a qei gobai. 4

5 METODO EM: ASSEMBAGGIO DEGI EEMENTI INITI A. Bacchetto Copyright ADEPON Ttti i Diritti iservati - I TEAI PIANI: PIMI ESEMPI DI DISCETIZZAZIONE Storicamente a prima ideaizzazione dee strttre è qea degi edifici civii, per i qai na discretizzazione ad eementi beam (eementi trave soggetti a sforzo normae, fessione e tagio; svippati secondo a cassica teoria dea trave) o trss (ideai per e modeazioni di strttre reticoari) è stata argamente tiizzata. Per na strttra a teaio o per na reticoare eemento finito di base è i modeo asta, che schematizza e varie membratre (piastri e travi) con eementi monodimensionai i ci nodi coincidono con i nodi strttrai di coegamento tra travi e piastri (igra 4). igra 4 a matrice di rigidezza per n asta soecitata ne piano a tagio, sforzo normae e momento fettente è riportata in (4). Si noti come tae matrice sia n estensione di qea sata negi esempi precedenti dove nico grado di ibertà attivo ristava qea aa trasazione assiae. (4) K * ij EJ EJ 4EJ EJ EJ EJ EJ 4EJ a matrice (4) viene ricavata mediante appicazione di distorsioni (trasazioni e rotazioni) nitarie appicate aternativamente ai nodi. Tae matrice si riferisce infatti ad n vettore nee incognite ordinate come sege: (5) U,v i i, i,j,v j, j T dove è o spostamento assiae, v è o spostamento trasversae e è a rotazione de estremità considerata. Ogni matrice de tipo K* ij rappresenta a matrice di rigidezza di n asta connessa ai de nodi i e j, nea qae E è i modo di easticità de materiae, J è i momento d inerzia baricentrico dea sezione, è a nghezza de asta. I significato di ogni termine dea matrice di ci sopra prende n preciso significato: K* ij è a forza che nasce ne nodo di coordinate i, a segito de appicazione di na forza nitaria ne nodo di coordinate j In qesto caso a matrice di rotazione rista a segente: (6) T cos sen sen cos cos sen sen cos OSSEVAZIONE 6: a matrice di rigidezza presenta n dimensione tae per ci operazione tipo () riporta a matrice ocae a sei gradi di ibertà per eemento, ao stesso nmero di gradi di ibertà. 5

6 METODO EM: ASSEMBAGGIO DEGI EEMENTI INITI A. Bacchetto Copyright ADEPON Ttti i Diritti iservati - ASSEMBAGGIO DI EEMENTI INITI BIDIMENSIONAI operazione di assembaggio per na discretizzazione mediante eementi bidimensionai (she, pate) sege gi stessi principi di qei mostrati nei pnti precedenti. igra 5 Ad ogni nodo viene assegnata na nmerazione ocae, tie aa creazione dee matrici di rigidezza de singoo eemento; a iveo gobae ne viene assegnata na nmerazione in base aa qae si possano esegire a reazioni di eqiibrio dei nodi appartenenti ad eementi differenti (igra 5). 6