alberi completamente sbilanciati

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1 alberi completamente sbilanciati Il numero dei nodi al livello i è 1, per 0 i altezza L altezza h di un albero completamente sbilanciato con n nodi è h = n-1 1 Un albero completamente bilanciato o pieno (full) Definizione: Un albero è pieno se tutte le foglie sono sullo stesso livello e ogni nodo non foglia ha due figli. Il numero dei nodi al livello i è 2 i, per 0 i altezza Il numero dei nodi n di un albero pieno di altezza h è n = 2 h+1-1 Per un albero binario qualsiasi di altezza h e numero di nodi n vale log 2 (n)< h+1 n 2 1

2 log 2 (n)< h+1 n Per ottenere questi limiti per l'altezza di un albero binario in funzione del numero dei nodi osserviamo che: 1. l'albero completamente sbilanciato con n nodi ha altezza massima a parità di nodi. In altre parole è il più alto albero binario con n nodi, infatti ha un solo nodo per ogni livello. L'altezza è n-1. Quindi qualsiasi albero binario con n nodi ha altezza h n-1, da cui h+1 n. 2. l'albero pieno ha il maggior numero di nodi fra gli alberi binari della stessa altezza. Il numero di nodi è 2 h+1-1. Quindi qualsiasi albero binario di altezza h ha un numero di nodi n 2 h+1-1, da cui n < 2 h+1, e passando ai logaritmi si ha log 2 (n)< h+1 3 Un albero binario completo Definizione: un albero binario è completo se tutti i livelli, tranne al più il massimo, hanno il massimo numero di nodi e le foglie sul livello massimo sono più a sinistra possibile. Per ogni n esiste un unico albero binario completo con n nodi 4 2

3 Alt = h-1 Numero nodi n = 2 h -1 Alt = h Numero nodi n = 2 h posso aggiungere altri 2 h - 1 nodi, senza aumentare l altezza. 2 h n 2 h+1-1, da cui h = log 2 (n), n 1. 5 alberi n-bilanciati Definizione: Un albero è bilanciato nel Numero dei Nodi, brevemente n-bilanciato, quando, per ogni sottoalbero t radicato in un suo nodo, il numero dei nodi del sottoalbero sinistro di t meno il numero dei nodi del sottoalbero destro di t è in valore assoluto al più 1. Anche per gli alberi n-bilanciati h = log 2 (n), n

4 n = nodi n = nodi n = 2 2 nodi... n = nodi... n = nodi 7 Se t è un albero n-bilanciato con numero dei nodi n e altezza h,vale 2 h n 2 h+1-1, per ogni n 1. Dimostriamolo per induzione sul numero dei nodi. Per n = 1 è banalmente vero (l altezza è 0). Sia vero per tutti gli alberi con meno di n nodi e sia t un albero con n nodi. t = h h1 t1 t2 h2 n = n1 + n2 + 1 h = max(h1,h2) +1 Per ipotesi induttiva 2 h1 n1 2 h1+1-1 e 2 h2 n2 2 h2+1-1, graficamente: n1 2 h1+1 n2 2 h2+1 2h1 2 h h2 2 h2+1-1 Ma n1-n2 1!! 8 4

5 Poichè n1-n2 1, possiamo avere i seguenti casi, assumendo, senza ledere la generalita, che n2 n1: aso 1: n1 = n2, per cui h1 = h2 n1=n2 2 h1+1 2 h1 2h1+1-1 aso 2: n2 = n1+1 e entrambi cadono nello stesso intervallo, per cui h1 = h2 n1 n1+1 2 h1+1 2 h1 2h1+1-1 aso 3: n2 = n1+1 e cadono in intervalli diversi ma successivi, per cui h2 = h1 +1 n2 = 2 h2 = 2 h1+1 2 h2+1 n1 = 2 h h aso 1: n1 = n2, per cui h1 = h2 n = n1 + n2 + 1 h = max(h1,h2) +1 Per ipotesi induttiva 2 h1 n1=n2 2 h1+1-1, quindi 2*2 h1 2*n1 2*2 h1+1-2 da cui 2 h1+1 2*n1+1 2 h1+2-1 da cui la tesi essendo n = 2*n1+1 e h = h1+1 aso 2: n2 = n1+1 e entrambi cadono nello stesso intervallo, per cui h1 = h2 Per ipotesi induttiva 2 h1 n1 2 h1+1-1, e 2 h1 n2 2 h1+1-1 quindi 2*2 h1 n1+n2 2*2 h1+1-2 da cui 2 h1+1 n1+n2+1 2 h1+2-1 da cui la tesi essendo n = n1+n2+1 e h = h1+1 aso 3: n2 = n1+1 e cadono in intervalli diversi ma successivi, per cui h=h2 = h1 +1 Per ipotesi induttiva 2 h1 n1 2 h1+1-1, e 2 h2 n2 2 h2+1-1, ma allora deve essere n1 = 2 h2-1 e n2 = 2 h2 da cui n1+n2 = 2 h h2 da cui n1+n2+1 = 2 h2 + 2 h2 = 2 h

6 Analogamente si dimostra che in un albero n-bilanciato le altezze dei sottoalberi sinistro e destro dell albero radicato in ogni nodo differiscono in valore assoluto al più di uno. Definizione: Un albero è bilanciato in altezza, brevemente h-bilanciato, quando, per ogni sottoalbero t radicato in un suo nodo, l altezza del sottoalbero sinistro di t meno l altezza del sottoalbero destro di t è in valore assoluto al più 1. Quindi possiamo dire che ogni albero bilanciato nel numero dei nodi è anche bilanciato in altezza. he rapporto c'è tra le classi di albero introdotte fino ad ora? esempio di albero bilanciato in altezza e non bilanciato nel numero dei nodi 11 Questo e' un esempio di albero completo non bilanciato nel numero dei nodi alberi h-bilanciati alberi completi alberi pieni alberi n-bilanciati 12 6

7 A partire da un vettore di interi possiamo costruire ricorsivamente un albero bilanciato nel numero di nodi selezionando a ogni chiamata una radice alla metà del vettore su cui si effettua la chiamata. A B D E F A B 0 1 D E F TreePtr AlbBinBil(int * vett, int i, int j) /*costruisce un albero n-bilanciato a partire da un vettore di indici i e j * prec: vett!=null && i 0 && j 0 *postc: t punta alla radice di un albero n-bilanciato che contiene vett[i],,vett[j]*/ {int m; TreePtr t; if (i <= j) {m = (i+j)/2; t = malloc(sizeof(node)); if (t) t -> elem = vett[m]; else /* malloc ha restituito un puntatore nullo */ fprintf(stderr,"%d non inserito, memoria non disponibile per AlbBibBil.\n",vett[m]); t->lptr = AlbBinBil(vett,i,m-1); t->rptr = AlbBinBil(vett,m+1,j); return t; } return NULL; } 14 7

8 A B D E F i =0,j=5 i =0,j=1 A B D E F A i =0,j=5 A B D E F - A - B - 15 A B D E F - A E - B - A B D E F - A E - B - - D - - F

9 Esercizio 1: si definisca una funzione che dovrà restituire vero se l albero è bilanciato nel numero dei nodi, falso altrimenti. Esercizio 2: si definisca una funzione che dovrà restituire vero se l albero è bilanciato in altezza, falso altrimenti. 17 9