Lavoro compiuto da una forza :

Transcript

1 v(t ) m Lavoro di una forza per uno spostamento infinitesimo v(t ) v(t 3 ) del suo punto di applicazione : dw cos Lavoro da a : W dw unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m Joule Esempio: attr attr lavoro della forza d attrito dinamico: W Dmgu attr =- D mgu v mgu s mgs u Lavoro compiuto da una forza : s D D

2 z z z (I) mg Lavoro della forza peso: (III) (II) dz cos mg mg mg cos mgdz W mg mg dz mg( z z ) lavoro indipendente dal cammino percorso: W (I) = W (II) = W (III) la forza peso é un esempio di forza conservativa U.Gasparini, isica I

3 Potenza istantanea: E il lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante: Unità di misura (S.I.) : P( t) dw( t) dt [P] = [W] / [t] = J / s W ( Watt ) Se è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v, la potenza sviluppata dalla forza è: P( t) ( t) dt ( t) v( t) Potenza media: P ltre unità di misura di uso pratico: W t lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato. Lavoro: KWh KW 36s J chilowattora Potenza: h. p W cavallo vapore U.Gasparini, isica I 3

4 Campo vettoriale E definito quando in ogni punto di una data regione dello spazio è dato un vettore, ossia siano date tre funzioni dei punti dello spazio, in generale indipendenti, che rappresentino le componenti (ad es. cartesiane) di un vettore. Esempio: campo vettoriale delle velocità delle particelle di un fluido in moto. Campo di forza : campo vettoriale che rappresenta, in ogni punto dello spazio in cui è definito, la forza cui un punto materiale è soggetto quando si trova in quel punto introduzione del concetto di azione a distanza In situazioni statiche ( sorgenti della forza indipendenti dal tempo) è un utile strumento matematico; in situazioni dinamiche (sorgenti della forza in moto), è indispensabile per la decrizione dei fenomeni fisici. U.Gasparini, isica I 4

5 Campo di forza conservativo Campo di forza per il quale il lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso sia nullo : ( r ) per qualsiasi curva chiusa r ( r ) Equivalentemente: per qualsiasi coppia di punti, e per qualsiasi percorso, che li congiunge U.Gasparini, isica I Per una forza conservativa, il lavoro per andare da un punto ad un punto non dipende dalla traiettoria seguita, ma e unicamente funzione delle posizioni di e

6 U.Gasparini, isica I 6 Campo di forza conservativo L equivalenza delle due definizioni precedenti di campo conservativo e immediata:,, ) ( ) ( ) ( r r r r, ) ( r r,, ) ( ) ( r r,, ) ( ) (

7 Energia cinetica Energia cinetica di un punto materiale di massa m e velocità v : Ek mv ( dimensioni: Ek kgm s mkgms mn J Per un punto materiale in moto da un punto ad punto sotto l azione di una forza risultante vale il teorema dell energia cinetica : ) E E E W k k k v m E k mv E k v mv U.Gasparini, isica I 7

8 Teorema dell energia cinetica s(t) a W ma ma a N a T dv( t) dv( t) ut dt dt v u N T dv ( t ) dt m dv ( t ) m dv ( s ( t )) m dv ( s ) ( t) dt dt dt v(t) U.Gasparini, isica I mv dv ( s ) mvdv mv mv E E dv k k 8

9 Esempio: moto lungo un piano inclinato privo d attrito Condizioni iniziali:, v mg a l la reazione vincolare non compie lavoro dalla legge di Newton: a d ( t) dt g sin Integrando l equazione del moto: U.Gasparini, isica I v( t) g sint ( t) g sin t, ( t f ) t f v v( t ) g sint g sin f f f Utilizzando il teorema dell energia cinetica, si giunge allo stesso risultato: = f Ek Ek Ek i mv f Wi f mg sin v g f sin g sin lavoro della forza peso

10 Per un campo di forza conservativo, si definisce energia potenziale la funzione dei punti dello spazio tale che la sua differenza tra due qualsiasi punti, sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza del campo per andare da a (lungo un qualsiasi percorso): E ( r ) E ( r ) E ( r ) W ( r ) ossia: Energia potenziale p p p E ( r ) E ( r ) W E ( r ) ( r ) p p p E p E p (, y, z ) u z u o r uy E E (, y, z ) E (, y, z ) ( r ) p p p z (, y, z ) dz ] (, y, z) u y (, y, z) uy (, y, z) u r z [ (, y, z ) d y (, y, z ) dy z l energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria ( al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario)

11 Energia meccanica E la somma dell energia cinetica e dell energia potenziale : E ( r, v) E E ( r ) M k p Vale il principio di conservazione dell energia meccanica : nel moto di un corpo in un campo di forze conservativo, la sua energia meccanica è costante : per due punti qualsiasi, della traiettoria : Infatti: Ek E p Ek E p E E W E E E k k p p p teorema dell energia cinetica definizione di energia potenziale Ek E p Ek E p U.Gasparini, isica I

12 z z Esempio: energia potenziale della forza peso: U U U mg mgdz mg( z z ) g (,, g) ( d, dy, dz) z mg O Il punto può essere scelto nell origine: O z U U mgz U U mg( z z ) O [ ovvero, considerando il percorso O: U UO mg( z zo) U U mg( z z ) mg( z z ) U mg( z z )] O O O O Posto : U O. U ossia, per il generico punto P di coordinata z : U U( z ) mgz U( z) mgz U.Gasparini, isica I

13 z Esempio: conservazione dell energia meccanica nel moto di un corpo sotto l azione della forza peso. v h mg i f E M mv mgh E M mv v [ dall equazione del moto si giunge allo stesso risultato: v ( t) v v ( t) v gt z z z( t v v gh z( t) h vzt gt f ) t f v v z z hg / g vz f v z gt f v z v z v z hg v z hg v f vf vzf v v z gh v gh]

14 z t l v Esempio: conservazione dell energia meccanica nel moto di un pendolo semplice. z E i M ( cos ) mv mgz E f M mv mgz (N.: la forza di tensione t del filo NON compie lavoro) mv mv mg( z z). v() z ( cos) v In particolare, per =: v g(cos cos ) v v g( cos ) v gz ( si noti che e la stessa velocita di caduta di un grave lasciato cadere lungo l asse z con velocita iniziale v sotto l azione della sola forza peso; cio e dovuto al fatto che l altra forza presente, la tensione del filo, non compie lavoro e quindi non contribuisce alla variazione di energia cinetica) N.: la soluzione trovata e corretta per oscillazioni di qualsiasi ampiezza (non solo per piccole oscillazioni, per le quali e valida la soluzione dell equazione del moto armonico: ( t) sin( t )

15 . z v v l sin Conservazione dell energia meccanica nel moto di un pendolo semplice. v() d esempio, se imponiamo come condizioni iniziali: ( t ), v la soluzione ottenuta dalla conservazione dell energia da, per la velocita finale nella posizione : v ( ) g( cos ) g cos / Imponendo le stesse condizioni iniziali sulla soluzione dell eq. del moto armonico (valida per piccole oscillazioni): ( t) sin( t ) sin ( t) cos( ) cos / t cos d( t) Quindi: v( t) sin( t) dt e quando (tf) =, ossia : cos( t f ) sin( ) t f v f... v( t ) f v f g g / coincidente con la soluzione trovata dalla cons.dell energia

16 orza elastica: ( ) ku costante elastica : [k] = N / m (il comportamento elastico dei materiali, cioè per deformazioni riproducibili che non inducono modificazioni irreversibili della struttura, è descritto da una legge di questo tipo, detta legge di Hooke ) ( ) ku Lavoro compiuto dalla forza elastica: W ( ) kd k k( ) Energia potenziale: Lavoro ed energia potenziale di una forza elastica per il generico punto : E p E p ( ) E p ( ) W k( ) E p ( ) E p ( ) k( ) Scelto e posto: ( ). u E p E k p ( )

17 z In presenza di forze sia conservative che non conservative ( o dissipative ), vale l equazione del bilancio energetico : E ( r, v) ( E E ( r )) W Infatti: E z i f k M k p NC energia potenziale associata alle forze conservative presenti ) lavoro compiuto dalle forze non conservative i tot tot f i Ek W ( C NC WCons. WNC ( Ep Ep) Esempio: moto lungo un piano scabro attr mg l E ilancio energetico f k E ( E E ) i E M mvi mgz E f M f p mv f mvi i k mv f mgz i i i p E D M W NC W NC mv f mvi mgzi W NC att mg cos D mg cos E i M W attr

18 Gradiente di una funzione scalare La relazione che definisce l energia potenziale di un campo di forza conservativo: E ( r ) ( r ) p può essere invertita, introducendo il concetto di gradiente di una funzione scalare: data una funzione scalare V ( r ) = V(,y,z), si definisce il gradiente di V il vettore, indicato con V, tale che per qualsiasi spostamento infinitesimo dr risulti: V dr dv V ( r dr ) V ( r ) V ( r ) V cosdr dv V P V dr cos P Il prodotto scalare del vettore gradiente di V nel punto P (individuato dal vettore posizione r ) con il vettore dr è uguale alla variazione infinitesima della funzione V( r ) tra il punto r e il punto r+dr ( dr ) V r dv dr U.Gasparini, isica I 8

19 Gradiente di una funzione scalare (II) La derivata direzionale ( limite della variazione per unità di spostamento della funzione V( r ) lungo la direzione di r ): dv V r r V r lim ( ) ( ) V cos V dr r r é massima (cos = ) quando dr é diretto lungo la direzione del gradiente di V il gradiente di V é un vettore diretto lungo la direzione di massima variazione (per unità di spostamento) della funzione V( r ); il suo modulo é uguale al valore della derivata direzionale di V( r ) lungo tale direzione; il verso è quello in direzione dei valori crescenti di V Superfici a egual valori di V V P dr dv dv V V dr dr dr dv dr dv dr dr dv dr V(,y,z ) = V V(,y,z) = V U.Gasparini, isica I 9

20 Esempio: gradiente di una funzione scalare V(,y) unzione V(,y) definita in uno spazio bidimensionale (,y) (per es.: V(,y)= h altezza del suolo s.l.m.) : V(,y) 4 3 y y V= V= V V P P V=3 V=4 curve di egual livello V P 3 Il gradiente di V in ogni punto P è un vettore nel piano (,y) diretto perpendicolarmente alle curve di egual livello (ossia lungo la direzione di massima pendenza del terreno)

21 Esempio (I): curve di livello ( isoipse ) di una mappa bidimensionale h y h Il gradiente della funzione scalare altitudine h(,y) e molto maggiore lungo la parete Sud del massiccio della Marmolada che non lungo il ghiacciaio del versante Nord U.Gasparini, isica I

22 Esempio (II): curve di egual pressione atmosferica ( isobare ) in una mappa metereologica y p Il gradiente del campo scalare della pressione atmosferica p(,y) sugli Stati Uniti nel giorno considerato e molto maggiore nella regione dei Grandi Laghi che non al largo delle coste della California o della lorida p p U.Gasparini, isica I

23 Rappresentazione del gradiente in coordinate cartesiane Per una funzione V( r ) = V(,y,z) : dv V ( r dr ) V ( r) V ( d, V (, y, z) y dy, d z dz) V (, V (, y, z) y y, dy z) V (, y, z) z dz derivate parziali V (, y, z) V (, y, z) lim Dalla definizione di gradiente: V dr dv V ( r dr ) V ( r ) V dr V d V dy V dz dv U.Gasparini, isica I V V V y z y z V (, y, z) V (, y, z) y V (, y, z) z rappresentazione del vettore gradiente in coordinate cartesiane ortogonali

24 Rappresentazione del gradiente in coordinate polari Per una funzione V( r ) = V(r,,) : dv V ( r,, ) V ( r,, ) V r dr d (,, ) d r lo spostamento dr ha componenti polari: dr dru rdu r sindu z r r sin P=( r,, r u r u dr u U.Gasparini, isica I 4 P =( r+dr, +d, +d V dr V dr V rd V r sind dv V r r V r, V V, V r d d y dalla definzione di gradiente: r sin V

25 Dalla definizione di energia potenziale: E d y orza : gradiente dell energia potenziale de p ( r ) ( r ) E y dy E dz ( d ydy z dz) z p p p (, y, z) (, y, z) E E p p (, y, z) (, y, z) y ( r ) E ( r ) La forza (conservativa) e il E p (, y, z) z (, y, z) gradiente, cambiato di segno, z dell energia potenziale ad essa associata Esempio: dall energia potenziale della forza peso : E p (, y, z) mgz c ( r ) E ( r ) p z y E p (, y, z) E p (, y, z) y E p (, y, z) mg z p (,, mg) 5

26 z E p (, y, z) costante y E p Superficie equipotenziale: de E p Il vettore: p E p luogo dei punti dello spazio aventi lo stesso valore dell energia potenziale per uno spostamento lungo la superficie, per definizione: de p E p è in ogni punto dello spazio perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per quel punto. Esempio: superfici equipotenziali della forza peso z E P = - mg E p ( z) mgz = costante y U.Gasparini, isica I mg 6