e sia z un numero complesso tale che z1-a,da==)rr_néh - 0 impli-chi l:= -1 (21-A) : R- n ==) Dn L- \

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1 3,6 56 3,6 TEOR I A SPETTRALE La teoria spettrale degli operatori lieari- eo spazio di Hilbert é f odata, coe per gi spazi f i-ito-dimes ioal j-, sula defiizioe di- risolvete di u operatole' Sia (A,DA) e sia z u umero complesso tale che z-a,da==)rr_éh sia ua trasformazioe biuivoca di DR z-a) ossia (2-A) I - 0 impli-chi l:= Er defiita aora a trasformazioe i i R [il codomiio di Z.A 0 (codizioe * ); VErSA - (2-A) : R- ==) D L- \ ñ L,operatore (2_A)- si defiisce i risolvete soddisfatte due ulteriori codizioi : ci A se soo (**) Rr-A b deso i H (***) (2-A)- é limitato L'isieme degli z complessi per i quali soo soddisfatte e tre codiz ioi ( * **,***), sj- chiaa ltisiere risolvete, e, o idicheremo co RES(A) I complemetare i A. di RES(A) é chiamato o spettro di A e verrá id j.cato co <f (A). E' coveiete i-dividuare varie compoeti delo spettro, e precisamete: Pa(A), o spettro putuale to discreto) di A: i: ri-s ieme dei vaf pel cui cade a codiz j.oe (*.), ossia per cui, esiste almeo u vettorc o u0 co Alz>= z lz>. z si chj-ara i tal caso Ll autovalore di A, 9lz> u autovettore apparteete a 'autovalore z ' ' r'! a r.l ll

2 L57 Cr(A),lospettrocotiuodiA:bltisiemedegliztali o (***), ovvero, equivaletemere, tali che esiste ua successioe di vettori lzr) I=-,2,...co2,fr z,)=lpercuiesisteilliite im I questa situazioe ma illimitato. ( 2 -A) lz,> (2 -A) - esiste desamete defiito p(a). o spettro residuo di. A: é f isieme deglt z C, Per i or"ti-é,riolutu r" codizioe **, ossia esiste almeo u vettore ortogoale a Rr-A; ció comporta che I.,,(2-A)f > - 0 = <(z-a )l,l> e quidi 7 b elo spettro putuale di A'' Notiamo che co:(a) e g(a) soo caratteristici dele ifiite dimesioi. Ioltre o é piü seplicemete a equazioe agli autovalori A!= z! a determiare o spettro di u operatore. Ifie, a differeza da caso fiito-dimesioale, o si ha alcua garazía a priori. che o Spettro o sia vuoto. Vedremo ifattiesempi di operatori co tutto i piao complesso come lsieme risolvete, che ammettoo come estesioe u operatore co spettro putuale che ivade tutto i piao.omplesso. E' solo lj.mitadosi a classi palticolari di operatori (autoaggiuti, uitari, compatti) che si potrá mettere u po' d'ordi-e ea teoria spettrale ' 3.6. Prime Proprietá ed eserpi ' Teor Sia A u operatore limitato co orma I{; aj'ora fo sp"ttro ai é coteuto ei cerchio lzl < M Dim.: sia tzl > v' Aora (2-A)F = 0 implica f = 0; ioltre R é deso, i quato ache A- é liitato co la SteSSa orotá-ái A. 'If j.e, o pub esistere alcua successioe lt r> che defiisca u puto deo spettro cotiuo, irr quato rr ll t - 2,l*Rl, ll trl-allz,>ll >-ltl <z,lz,>,rl >_ (lzl- M) <z,l z,>2

3 3,6 5rl Esepi. ) Sia topeiatore i., def iito da T (- \ - ( L lzrzzr... rzr...) = lzzrz3r... rz+,...) T verrá chiamato foperatore di "shift" (cfr. eserc.3-34), Si ha ovviamete ll Tll = e quidi RES(T)? { l l> l. Lrequa- ioe agli autovalori ( t 7 \rzr"3r... rz*,...) = (z,rzzr...rz ha per soluzioe l)> = (,\, \tr" 'r ^-'r" ) che é i!, per ogi complesso co lll. é facile costruire ua successioe cli vettori lrr - I ll v,rll I tf,, il (ad esempio Y = l)) dove l4l. s ioe e I ==>l.perlll = V tali che '. RES(T) = Pa(T) = Cs(T) = f(r) = 2) Sia a lroperatore { t l > } Itrl,J { trl = } A (lrisieme vuoto). defiito ). I coctru- i Lr(a,b) daa espress].oe (Qf ) (x) = x f(x) a é limitato o fiiti se etrabi J^ x'frt*)f ' gli estremi del 'itervallo /^b..) 2 2 dx < max( a, b ) 2 Lo tr(x)f (a,b) sodx

4 59 L I operatore iverso (z -O) - é dato sempliceete da ((2-q -r)(*) = Se z o limitato ua r Se z appart roperatore Ioltre é i mediato f(x) z - x cade ellritervallo (a,b), (2-0) - é ovviamete b 2 I t(x),, z - x I Gx S max lr-*l-z iltll' iee all iverso fitervallo (a,b), é ecessario restrigere a quelle f(x) tali che f/(z-x) sia i LZ. costruire ua successioe di vettori frr(x) co orma uoe (Q- z)f ==) 0, z (a,b); ad es. Si trova ifatti f (x) I = J ' I t 0 altrove f*-rl, z [(Q-z)tllt = G-z)' d*. [ " * Flzt < /z Abbiao perció diostrato che RES(Q) = {réa It dg^,a}, Cq(Q) = [a,b], Pa(Q) =f(q) si oterá che ii risolvete (zt-q;- é ua fuzioe alitica di z che preseta u taglio i corrispodeza del- o spettro cotiuo. Ifatti <f,(2-q)-g, = h f J a f(x) g (x) z-x dx Se f e g soo cotiue, Ia discotiuitá attraversc-r i taglio é data da <f, (xo+i6 -Q)-g, - <.f; (xo-i -Q)-g, - 2 ' (xo) s(xo) (Cfr. S 3.6.2)

5 3,6, 60 Es.3) Sia(D*,C*)'operatore defiito ai S3.5.. I risolvete é determiato daa soluzioe de'equazioe (z - D*)f(x) = 8(x), f C* ossia dalltequazioe differezial.e lieare de primo ordie i f '(x) + z f(x) = g(x) che ha soluzioe geerale x ( f (x) = A exp(izx). exp(iz(x-y)) ) a La codizioe f é C* implica (f(a) =f(b) =0) g(y) dy I A - 0 I rb ( J^ exil- ízy) e}'t dy = 0 Duque i.o o*ilio di ala fuzioe exp(-izx), z-d, o é e percib SO 9!, besi ortogoale RES(D*)=Pc(D*)=Ca(D*) = Q, f(d. ) (. Sia ivece D ltestesioe di D* che S i o ttiee elimi-ado Ia codizioé f(b)=6, e mateedo s t to f(a) =9. Aora dlr i codomiio di (2^D z I ) é deso e ( D-) ammette iverso Iimitato e desamete áefiito per or> i. z, e cioé RES(D_) = A (Idetico risultato si avrebbe scabi Si vedao ache 9i eserc.ns 9,0, 4 do a co b). Es.4) Sia a 'operatore i () defi i I t o A^ ^ r- r -,r!- ) d, " r u Z r... t L t... t - 2 \ r " Z t - cofdomiio o ^= [ze(2 i, lr.,*,'.. ]. z 2 \.., Z ^,,,.. ) ll r I

6 6 L'operatore é illimitato. L'equazioe agli autovalori '. t ( ^ 2 - r ' \ ( t a, tr ztt"'ril zr +t"') = ^ ttlrtzr'."rl., "Zr'... ) ha come s o uz i.oe t'^ - 7 = 7 " - (-)rá X + che determia u vettore di {. per ogi a complesso. Duque abbiamo urr esempio di spettro fiutuale che riempie ltitero piao complesso. (Cfr. eserc.20, 2, 22) Proprietá aalitiche de risolvete. Gi elemeti di matrice del tir fi.tito-dimesioali, soo fuzioi 'razioali, e duque fuzioi aalitiche dappertutto eccetto che pel' u umero fiito di poi, che costituiscoo o spettro de'operatore. Nel caso dello spazio di Hilbert e proprietá aalitiche de risolvete o soo cosi serpl ic j-, tuttavia vale acora il seguete Teor risolvete (2-A)- é aalitico i z rlelltitoro di ogi osi puto uto delf isiee ri solvels solvete. Di.: a serie O f t-t /-r \ 0 -z)'-((z'-a) -'''+ ) coverge ad u operatore l iitato se lz-z'lllft'l-a) - il.. Duque se z'éfes(a) e lr-t'l, / ll Cr't-l-ll, ra serie def ii-sce 'operatore (2- -, i che mostra che RES(A) é u isieme aperto e che i risolvete é sviluppabile i serie di poteze elf itoro di ogi puto di RES(A). Ua dimostrazioe piü dettagliata fa uso delf idetitá (lemma 2.2.5) (2-A)- = (z'-a)- + (z'-z)(z'-a) -'(t -A)- -he ci rrñ it r erare $ per otteere q * Ua equaziotre de tipo x = Xo + K x si "itera" sostituedo a x che sta a destra co ltespressio Xo+KXr otteedo x = Xo + K (xo + K (xo + K (... Cfr. Eserc.Ir-67).