Capacità produttiva come impegno vincolante per prevenire l'entrata

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1 Capacità produttiva come impegno vincolante per prevenire l'entrata Gianmaria Martini Introduzione Un aspetto di insoddisfazione del modello di Bain-Sylos Labini è dato dal fatto che, una volta che l'entrata si è verificata, potrebbe non essere ottimale per l'incumbent produrre la quantità pre-entrata. In questo particolare sottogioco (dopo l'entrata), la produzione pre-entrata potrebbe non essere un equilibrio di Nash, ed in tal caso non sarebbe effettivamente realizzata dall'incumbent. L'entrante anticipando questo, avrebbe dunque l'incentivo ad entrare sul mercato. Per risolvere, almeno parzialmente, questo problema, Spence (977) ha elaborato un modello dove il concetto di "vincolo ex-ante irreversibile" viene impiegato per dimostrare che la produzione pre-entrata verrà effettivamente realizzata anche in caso di entrata. Questo modello si applica abbastanza bene alle produzioni dove le imprese hanno sempre l'incentivo a sfruttare tutta la capacità produttiva installata, indipendentemente da quanto avviene intorno a loro. In tal modo la scelta della capacità produttiva coincide con la produzione effettiva. Ipotesi del modello Esistono due periodi, t = e t = 2. Nel primo periodo l'incumbent, impresa, sceglie la capacità produttiva k, nel secondo periodo l'entrante, impresa 2, sceglie se entrare sul mercato oppure no. Se a t = 2 l'impresa 2 entra, sceglie la sua capacità produttiva k2 e deve però sostenere un costo di entrata, che agisce come una vera e propria entry fee, denominata EF. Se avviene l'entrata, essa è sequenziale alla scelta di k, quindi l'incumbent, non più monopolista, agisce come leader alla Stackelberg. Non esistono costi di produzione. Pertanto l'incumbent ha un vantaggio di costo (non deve sostenere l'entry fee) La domanda del mercato è data da p = k k2.

2 Le espressioni dei profitti Il profitto dell'impresa è dato da diverse tipologie, a seconda della situazione in cui si può trovare. Definiamo come d il profitto dell'incumbent se riesce ad impedire l'entrata (d sta per deterrenza), e come s il profitto se agisce come leader alla Stackelberg. Il profitto in caso di deterrenza è allora dato da > pid:=(-k)*k; pid := ( k ) k mentre in caso di entrata il profitto è dato da > pis:=(-k-k2)*k; pis := ( k k2 ) k Il profitto dell'impresa 2 è pari a > pi2:=(-k-k2)*k2-ef; π2 := ( k k2 ) k2 EF in caso di entrata, mentre è pari a 0 se decide di non entrare. Soluzione: equilibrio perfetto nei sottogiochi Come in ogni gioco dinamico ad informazione completa partiamo, per il calcolo della soluzione, dal fondo del gioco, quindi da t = 2. In caso di entrata l'impresa 2 massimizza i suoi profitti rispetto a k2, pertanto impostiamo la condizione del primo ordine per avere un massimo > cpo2:=diff(pi2,k2); cpo2 := 2 k2 + k la risolviamo rispetto a k2 e otteniamo la funzione di reazione, in caso di entrata, dell'impresa 2, data da > k2:=solve(cpo2,k2); k2 := 2 2 k Il comportamento dell'incumbent per prevenire l'entrata La funzione di reazione dell'impresa 2 descrive il suo comportamento in caso di

3 entrata. Se l'incumbent desidera prevenire l'entrata occorre che il profitto dell'impresa 2 sia minore o uguale a 0. Ma il profitto dell'impresa 2, anticipando il suo comportamento lungo la funzione di reazione, può essere scritto come > pi2; 2 2 k 2 EF che è dunque un'espressione funzione della capacità produttiva dell'incumbent. L'impresa può dunque scegliere k in modo tale da non rendere conveniente l'entrata (deterrenza) quando invece essa sarebbe possibile. Infatti, se ad esempio l'entry fee fosse pari a 0 otterremmo, sostituendo temporaneamente > EF:=/0; > pi2; EF := k 2 0 e possiamo rappresentare graficamente tali profitti in funzione di k, ottenendo il seguente grafico > with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > plot(pi2, k=0..2,thickness=3);

4 Si noti che il profitto dell'entrante non è negativo per tutti i possibili valori di k, quindi l'entrata sarebbe possibile. Tuttavia, se k assumesse determinati valori, l'entrata non sarebbe più conveniente. Ovviamente tale situazione dipende anche crucialmente dal valore dell'entry fee. Maggiore è EF maggiore sarà l'intervallo in cui il profitto dell'impresa 2 sarà negativo. Questo si può vedere anche graficamente. Infatti, tornando ad un valore generale di EF si ottiene > EF:='EF'; EF := EF > animate(pi2, k=0..2, EF=0..0.3, color=red, thickness=3);

5 In generale, è possibile identificare il valore di k, denominato kbar, che previene l'entrata. E' quel valore che rende il profitto dell'entrante negativo o uguale a 0, e si ottiene risolvendo la seguente disuguaglianza π2 0 rispetto a k, ossia > dis:=solve(pi2,k); > kbar:=dis[2]; prendiamo il valore di k più basso. dis := + 2 EF, 2 EF kbar := 2 EF Il comportamento strategico dell'incumbent: deterrenza o entrata? Il valore di kbar individuato consente di far deterrenza. Ma all'incumbent conviene evitare l'entrata oppure no? Dipende dal confronto tra i profitti di deterrenza ed i profitti se agisce da leader alla Stackelberg. Possiamo innanzitutto rappresentarli graficamente > plot([pid,pis], k=0.., color=[red,blue],thickness=3);

6 Si noti che essi sono massimi nello stesso punto, ossia per lo stesso valore di k. Tale valore corrisponde alla capacità produttiva del monopolista, ed è pari ad. Infatti derivando sia pid che pis rispetto a k e risolvendo per k si ottiene 2 tale valore. In corrispondenza di tale capacità produttiva i profitti di deterrenza (rossi) coincidono con quelli di monopolio e sono pari a, quelli in caso di 4 entrata (blu) sono pari alla metà di quelli di monopolio ( ). Ma la vera 8 funzione del profitto dell'incumbent non è ne quella rossa ne quella blu. Infatti dipende da dove si posiziona kibar. Se ad esempio, kbar =.2 allora possiamo scrivere la seguente funzione del profitto dell'impresa > prof:=k-> piecewise(0<=k and k<=0.2, (k*(-k))/2, k*(-k)); prof := k > prof(k); piecewise 0 k and k.2,, 2 k ( k ) k ( k )

7 2 ( k ) k k 0 and k.2 0 ( k ) k otherwise e rappresentare in un unico grafico le tre funzioni ottenute (quella verde è quella effettiva) > plot([prof(k),pid,pis], k=0.., color=[green,red,blue], thickness=3); Sulla base di questo grafico è possibile ottenere l'equilibrio perfetto nei sottogiochi. L'impresa sceglierà il punto più alto sulla funzione del profitto effettiva (quella verde). Vediamo infatti come varia la funzione effettiva del profitto facendo variare kbar > prof:=k-> piecewise(0<=k and k<=a, (k*(-k))/2, k*(-k)); prof := k piecewise 0 k and k a,, 2 k ( k ) k ( k )

8 > prof(k); 2 ( k ) k k 0 and k a 0 ( k ) k otherwise rappresentiamo in un unico grafico le tre funzioni ottenute (quella verde è quella effettiva) > graf:=plot([pid,pis], k=0.., color=[red,blue],thickness=3): > graf2:=animate(prof(k),k=0.., a= , color=green, thickness=3): > > display([graf2,graf]); Tipologie di soluzione Possiamo identificare quattro tipologie di soluzione del modello. Entrata bloccata

9 Se kbar, ossia se kbar è minore o uguale alla capacità produttiva di 2 monopolio il problema della deterrenza non si pone. Il grafico è simile al seguente, per kbar =.4, > prof:=k-> piecewise(0<=k and k<=0.4, (k*(-k))/2, k*(-k)); prof := k piecewise 0 k and k.4,, 2 k ( k ) k ( k ) > prof(k); 2 ( k ) k k 0 and k.4 0 ( k ) k otherwise > plot([prof(k),pid,pis], k=0.., color=[green,red,blue],thickness=3); La soluzione prevede dunque che k =. I profitti dell'incumbent 2 coincidono con quelli di monopolio. L'entrata non avviene, quindi k2 = 0. Questa tipologia di equilibrio si verifica tutte le volte che kbar 2.

10 Questo dipende dal valore dell'entry fee. Infatti si ricorda che > kbar; 2 EF e risolvendo per EF otteniamo il valore dell'entry fee compatibile con un'entrata bloccata, vale a dire > solve(kbar<=0.5,ef); RealRange ( , ) Se.625e- EF allora l'entrata è bloccata. I costi di entrata sono talmente elevati che non si pone il problema della concorrenza potenziale. Indifferenza tra deterrenza ed entrata Esiste una particolare tipologia di soluzione dove l'impresa è indifferente tra permettere l'entrata (ed agire come leader alla Stackelberg) e fare deterrenza. Questo si verifica se i profitti massimi in caso di leadership alla Stackelberg (quindi il punto di massimo della funzione pis rappresentata in blu nei precedenti grafici) sono uguali ai profitti di deterrenza, quindi al valore di pid in corrispondenza di kbar. Per identificare questo valore di kbar calcoliamo prima i profitti massimi in caso di entrata. Se k = 2 allora, sostituendo in pis otteniamo: 8. Occorre dunque che pid =, e quindi che = 8 ( k) k 8. Risolvendo tale espressione otteniamo il valore di kbar che rende pis e pid uguali tra loro e pari a. Esso è dato da: 8 > solve((-k)*k=/8, k);, Pertanto occorre che + (il secondo valore sta a sinistra di quindi non puo' essere utilizzato) sia pari a kbar = 2 EF, e quindi risolvendo per EF si ottiene

11 > evalf(solve(/2+/4*2^(/2)=-2*sqrt(ef), EF)); che rappresenta il valore dell'entry fee che porta l'incumbent ad essere indifferente tra deterrenza ed entrata. Graficamente la soluzione ha la seguente rappresentazione > evalf(/2+/4*2^(/2)); > prof:=k-> piecewise(0<=k and k<= , (k*(-k))/2, k*(-k)); prof := k piecewise 0 k and k ,, 2 k ( k ) k ( k ) > prof(k); 2 ( k ) k k 0 and k ( k ) k otherwise > plot([prof(k),pid,pis], k=0.., color=[green,red,blue],thickness=3);

12 Deterrenza Abbiamo individuato che se.625e- EF l'entrata è bloccata, mentre se EF =.536e-2 allora si ha indifferenza. Pertanto se.536e-2 EF e se EF <.625e- abbiamo deterrenza. Questo avviene per un valore di kbar maggiore di 2 e minore di +. In questo caso il grafico di riferimento è il seguente > prof:=k-> piecewise(0<=k and k<=.75, (k*(-k))/2, k*(-k)); prof := k > prof(k); piecewise 0 k and k.75,, 2 k ( k ) k ( k ) 2 ( k ) k k 0 and k.75 0 ( k ) k otherwise

13 > plot([prof(k),pid,pis], k=0.., color=[green,red,blue],thickness=3); La soluzione di equilibrio in questo caso prevede che k = 2 EF, che k2 = 0, e che pid = [ 2 EF ] 2 EF. Entrata 2 L'entrata si verifica se + < kbar, ossia se EF <.536e-2. Il grafico 2 4 di riferimento diventa il seguente > prof:=k-> piecewise(0<=k and k<=.9, (k*(-k))/2, k*(-k)); prof := k > prof(k); piecewise 0 k and k.9,, 2 k ( k ) k ( k ) 2 ( k ) k k 0 and k.9 0 ( k ) k otherwise

14 > plot([prof(k),pid,pis], k=0.., color=[green,red,blue],thickness=3); 2, k2 = 4, quindi π EF vale a dire La soluzione di equilibrio in questo caso è data da k = k2 = EF. 8 4, π = pis quindi pari a 8, e = Conclusioni L'incumbent puo' impedire l'entrata per mezzo della deterrenza, grazie al vincolo di capacità produttiva, solo se il costo di entrata dell'entrante è sufficientemente alto. Altrimenti non puo' impedire l'entrata neanche vincolandosi anticipatamente. Il Postulato di Sylos rimane valido ma solo se esiste un differenziale di costi sufficientemente alto tra incumbent e concorrenza potenziale.

15 Un esempio numerico Supponiamo che p = 00 2 k 2 k2 e che EF = 5. Determinare la soluzione del modello di Spence. Scriviamo i profitti delle due imprese > k2:='k2'; k2 := k2 > pid:=(00-2*k)*k; pid := ( 00 2 k ) k > pis:=(00-2*k-2*k2)*k; pis := ( 00 2 k 2 k2 ) k > pi2:=(00-2*k-2*k2)*k2-5; π2 := ( 00 2 k 2 k2 ) k2 5 Otteniamo la funzione di reazione dell'entrante > cpo2:=diff(pi2,k2); cpo2 := 4 k k > k2:=solve(cpo2,k2); k2 := 25 2 k che possiamo sostituire nel suo profitto > pi2; ( 50 k ) 25 2 k 5 risolvendo rispetto a k otteniamo kbar, dato da > solve(pi2,k); , 50 0 pertanto kbar = Ora possiamo rappresentare graficamente il modello > evalf(50-sqrt(0)); > prof:=k-> piecewise(0<=k and k<= , (k*(50-k)), k*(00-2*k)); prof := k piecewise ( 0 k and k , k ( 50 k ), k ( 00 2 k )) > prof(k); { k ( 50 k ) k 0 and k ( 00 2 k ) k otherwise > plot([prof(k),pid,pis], k=0..50, color=[green,red,blue],thickness=3);

16 > pis; k ( 50 k ) e massimizziamo ottenendo k = 25. Pertanto k2 = 2.5, π = 25 ( ), quindi 625, e π2 = ( 00 2 ( ) ) 2.5 5, pari a > restart; >