E, ds. - Flusso totale uscente dalla superficie chiusa S: è la somma di tutti i flussi elementari, al tendere a zero delle aree infinitesime: r )

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1 Flusso del campo elettico e legge di Gauss. - Si definisce supeficie gaussiana una ipotetica supeficie S chiusa, che contiene un volume V. - La legge di Gauss mette in elazione i valoi dei campi elettici su questa supeficie, con le caiche contenute all inteno del volume acchiuso dalle supefici, attaveso la nozione di Flusso. n ds E - Flusso elementae: consideata una supeficie infinitesima ds che contiene il punto P, piana, abbastanza piccola pe cui si possa itenee che il campo elettico E(P) non vai in modulo, diezione e veso sulla supeficie e detta n la nomale uscente (ispetto alla supeficie totale) a questa supeficie, si definisce flusso elementae dφ la quantità scalae ) dφ E (P) n (P)dS(P) E (P) ds(p) E (P) ds(p) cos θ E, ds dove ) ds : vettoe aeale ds(p)n(p) vettoe di modulo uguale all aea della supeficie oientato come la nomale. -Il flusso elementae è positivo se E è uscente dalla supeficie, negativo se E è entante in essa, nullo se E è paallelo alla supeficie (o E). - Flusso totale uscente dalla supeficie chiusa S: è la somma di tutti i flussi elementai, al tendee a zeo delle aee infinitesime: ) Φ E(P) n(p)ds(p) E(P) ds(p) i ( ) i cap7b S

2 Flusso del campo elettico. -Il flusso può essee definito nello stesso modo pe qualsiasi quantità vettoiale: pe esempio pe la velocità (pe misuae il flusso d aia attaveso una supeficie chiusa o apeta). -L unica diffeenza qua è che non vi è niente di mateiale che passa attaveso la supeficie, il campo elettico non è associata a mateia: la appesentazione attaveso linee di foza sono la sola cosa ipoteticamente mateiale nei disegni, ma sono come abbiamo visto linee immaginaie che sevono a visualizzae il campo elettico. Si può ovviamente definie il flusso anche pe il campo gavitazionale (foza gavitazionale esecitata su una massa m pe unità di massa m), come pe il campo elettico. n E - Se le linee di foza sono come nel disegno sopa, il flusso totale è nullo, peché nella pate infeioe il campo è in diezione contaia alla nomale uscente. Nei disegni sotto, a sinista il flusso uscente è negativo peché la caica è negativa e il campo è entante, antipaallelo alla nomale uscente. A desta a secondo dove metto la supeficie il flusso cambia valoe n E Φ - Φ < Φ > cap7b

3 Flusso del campo elettico e legge di Gauss. - Legge di Gauss: Il flusso del campo elettico attaveso qualunque supeficie chiusa è uguale alla somma algebica delle caiche in esse contenute diviso pe la costante dielettica del vuoto. q S S q 4 S q -q Φ(E) q int ε o - Applicazione e note: Le quatto caiche ceano TUTTE il campo E(non visibile in figua). Il flusso attaveso sia la supeficie S che la supeficie S è lo stesso, peché entambe acchiudono le stesse caiche: q q q (E) Φ S ε o - flusso attaveso S : S 4 Φ S q q q (E) 4 ε o - Le caiche non devono essee puntifomi, possono anche essee distibuzioni di caiche, e nel caso la distibuzione di caica sia contenuta solo in pate dento la supeficie gaussiana, nel calcolo del flusso si tiene conto solo della pate di caica contenuta. Povae a veificae che la legge di Gauss è valida pe una caica puntifome positiva posta al cento di una supeficie sfeica gaussiana di aggio. Φ (E) cap7b

4 Applicazioni della legge di Gauss. - Pe tutti i campi elettici, statici o meno, vale la legge di Gauss, che appesenta una delle popietà del campo elettico, e una delle 4 leggi di Maxwell, che danno le popietà del campo elettomagnetico. Ma è anche utile pe calcolae i valoi dei campi elettici in paticolai condizioni di simmetia e in casi in cui usae il pincipio di sovapposizione è complicato: pe esempio il campo ceato da una distibuzione unifome sfeica di caica. S n ρ - Supponiamo che la sfea di aggio sia piena di caica positiva con caica totale, distibuita unifomemente con densità di volume dq (C/m dv 4 π ) - Pe agioni di simmetia, è possibile vedee che il campo elettico ceato dalla caica è adiale, uguale, in modulo, in tutti punti che si tovano alla stessa distanza dal cento della sfea caica, e in paticolae sulla supeficie sfeica gaussiana S tatteggiata in figua. Pe ogni punto P di questa supeficie la nomale è dietta nello stesso veso del campo elettico (angolo ta E e n Uguale a zeo) pe cui il flusso del campo elettico (incognito) attaveso S è: Φ E(P) ds(p) E()dS E() ds E()4 π S S cap7b 4 S

5 Applicazioni della legge di Gauss. - pe la legge di Gauss, il flusso attaveso S è anche uguale alla caica contenuta divisa ε ο : S Φ ε - Uguagliando le due espessioni pe il flusso attaveso S, che è una geneica supeficie gaussiana estena alla caica, a distanza dal cento si tova che il campo elettico di una sfea caica, pe i punti esteni alla sfea ( > ) è: E( > ) 4πε n - All esteno della sfea caica il campo uguale a quello che ceeebbe la stessa caica puntifome concentata nel cento della sfea e nell oigine del sistema. S i q() n iapplicando il pocedimento a una supeficie gaussiana S i INTENA alla sfea, si tova pe < q() E( < ) 4πε dove q() è la caica contenuta all inteno e vale q() ρ π π 4 uindi: 4 π 4 E( < ) k 4πε - All inteno il campo aumenta lineamente con la distanza, è nullo al cento cap7b e sulla supeficie della sfea i due campi (inteno e esteno)sono 5 uguali.

6 Applicazioni della legge di Gauss. Sfea cava - Sfea cava. Oa la caica sia distibuita sulla supeficie di una sfea cava (mostata in sezione in figua). La densità di caica è supeficiale e vale dq σ (C/m ) ds 4 π - Si può dimostae ancoa che S S i n E( > ) 4πε E ( < ) mente all inteno non vi è nessuna caica q(<) pe cui All esteno di una sfea cava e una piena con la stessa caica i campi elettici sono indistinguibili. cap7b 6

7 Enegia potenziale elettostatica e potenziale elettico - La foza di Coulomb ( e quindi la foza ottenuta con il pincipio di sovapposizione e dovuta a caiche elettiche feme) è consevativa. - uesto significa che se un sistema di caiche agiscono su una caica estena, il lavoo fatto pe muovee questa caica da un punto a un alto è indipendente dal cammino fatto o dalla paticolae taiettoia, ma dipende solo dal punto iniziale e finale consideato. - Ad ogni punto dello spazio è possibile assegnae una enegia potenziale elettostatica, (definita a meno di una costante) puché ci siano almeno due caiche pesenti: la caica che cea la foza e la caica che la subisce. - Supponiamo di avee una caica q puntifome, positiva in un punto dello spazio che coincide con l oigine del sistema di ifeimento e che non ci sia niente alto intono. L enegia potenziale elettostatica associata alla foza esecitata dalla caica q su una seconda caica q è definita come il lavoo, cambiato di segno, che viene compiuto pe potae la caica q dall infinito ad un punto a distanza dalla caica: U q q q q () L d 4π ε 4 π ε q q (JNm) - nella definizione è implicita l assunzione che l enegia sia zeo all infinito, e si usa la possibilità di scegliee il cammino più comodo e la caica q è mossa su un cammino che è nella stessa diezione della foza (lungo una linea di foza). Si nota che si ottiene la stessa enegia se le caiche q e q invetono il uolo, ovveo è q che esecita la foza e q potata a cap7b 7 distanza dalla caica q.

8 Enegia potenziale elettostatica e potenziale elettico U q q q q () L d 4π ε 4 π ε q q - uesta enegia viene chiamata anche enegia di configuazione, peché è l enegia che deve essee fonita al sistema delle due caiche: a) pe fomae il sistema se le caiche hanno lo stesso segno: l enegia di configuazione è positiva, segno che il lavoo deve essee compiuto dall esteno applicando alla caica in movimento una foza pai ma di segno contaio alla foza di epulsione elettostatica; b) pe sepaale, se le caiche hanno segno opposto: l enegia di configuazione è negativa, il sistema si è fomato spontaneamente e pe sepaalo deve essee fatto lavoo conto la foza di attazione.. -Una volta che il sistema delle caiche q e q è fomato, entambe esecitano una foza su una eventuale caica q che dall infinito venga potata a distanza dalla caica q e a distanza dalla caica q. Ovveo: l enegia potenziale elettostatica è dovuta a tutte le caiche che si tovano a esecitae una foza su una caica che non e consideata pate del sistema di caiche agenti. uando si dice un elettone ha enegia potenziale elettostatica di tot Joule, significa che esiste da qualche pate una distibuzione di caiche feme che cea un campo elettico, e che se una caica estanea alla distibuzione si tova nel campo isente di una foza elettostatica e quindi l elettone ha potenzialmente enegia elettostatica. L enegia dell elettone peso come esempio dipende dalla sua distanza dalle caiche che ceano il campo, ma anche dalla caica dell elettone stesso. Pe studiae la potenzialità che la distibuzione di caica fonisce a qualsiasi caica si pefeisce palae di POTENZIALE ELETTICO, potenziale associato al campo ceato dalla distibuzione della caica. cap7b 8

9 Potenziale elettico -Il campo elettostatico E(), essendo la foza elettostatica pe unità di caica, è anch esso consevativo. -uesto significa che pe ogni cuva nello spazio che unisce due punti distinti i e f il lavoo fatto dal campo elettico sulla caica di pova q è indipendente dalla foma della cuva, ma dipende solo dai punti di inizio i e di fine f, o il lavoo fatto su una cuva chiusa è nulla f f E() consevativo q E() dl q E() dl E() consevativo q i E() dl - Nelle elazioni sopa dl e dl indicano due vettoi infinitesimi su due pecosi diffeenti, tangenti alle cuve stesse. i dl - P dl dl V() - E()d V( ) cap7b 9 f i - Il potenziale elettico in un punto dello spazio è associato al campo elettostatico che vi è ed è definito come il lavoo pe unità di caica di pova pe potae la caica stessa dall infinito al punto P( definito attaveso il suo vettoe posizione ). - Il potenziale elettico è anche l enegia potenziale fonita dal campo elettostatico E() pe unità di caica che subisce il campo (U()/q). Si misua in Volt (V) J/CNm/C. Si assume che il potenziale all infinito sia nullo, in accodo alla convenzione pe l enegia

10 Potenziale elettico: La diffeenza di potenziale ta due punti è una quantità misuabile ed è definita dal lavoo pe unità di caico compiuto dal campo elettico pe spostae la caica da un punto i a un punto f, cambiato di segno V V( f ) -V() - i f i E() d La diffeenza di enegia potenziale di una caica q che si muove ta i due punti nel campo è conseguentemente definita come U q V Supefici equipotenziali sono le supefici su cui il potenziale ha il medesimo valoe: spostandosi su queste supefici la diffeenza di potenziale (d.d.p.) è nulla. Il campo elettico è sempe pependicolae alle supefici equipotenziali (se così non fosse, il campo avebbe una componente sulla supefici e la diffeenza di potenziale ta due punti non saebbe nulla), il veso è nella diezione del potenziale decescente. Linea di foza V sulla supeficie V V V V E V max La diezione e il veso di massima vaiazione del potenziale definiscono la diezione e il veso di vaiazione del gadiente del potenziale. La diezione coincide con la diezione delle linee di foza, il veso è opposto al veso delle linee di foza. cap7b

11 Potenziale elettico: Potenziale dovuto a una caica puntifome posta in un punto individuato dal vettoe posizione : V() L 4πε q -' d 4 πε q - ' V( ) V <V - V - Potenziale di una caica negativa posta in E () Lo stesso potenziale della caica puntifome ( in valoe e foma) si misua anche se esso è geneato da una distibuzione di caica sfeica,all esteno della distibuzione stessa: una sfea caica o un guscio sfeico caico con la stessa caica totale q geneano all esteno (> aggio delle sfee) un campo come se la caica fosse una caica puntifome concentata al cento della sfea stessa, piena o vuota che sia. uindi il potenziale è lo stesso. V() > V( ) 4 π ε cap7b

12 Potenziale elettico: 4 Le cose cambiano pe il potenziale di queste distibuzioni all inteno: Il campo all inteno è nullo pe il guscio sfeico e questo significa che la diffeenza di potenziale ta un qualsiasi punto P all inteno del guscio e la supeficie è nullo: V V(P) -V() - E() d p uesto significa che: V(P) V() costante pe ogni < 4πε P Pe la sfea piena, il campo all inteno della sfea è in modulo E() k (lineae con la distanza dal cento( pe cui pe un punto geneico si ha: V V() -V() - kd V() k( k( 4π ε cap7b ) V() Calcolae quanto vale il potenziale al cento della sfea piena. ) o k k( 4π ε )

13 Potenziale elettico: 5 Pe ottenee il potenziale di un insieme di caiche distibuite in vai punti basta sommae algebicamente i potenziali: il potenziale è una funzione scalae e il calcolo è molto più semplice anche nel caso di distibuzioni di caiche continue in confonto al calcolo del campo elettico coispondente: Date N caiche q i posizionate nei punti i, il potenziale totale nel punto, che non deve coincidee con nessuno dei punti i è:, N qi ρ(')dv(') V() V() 4πε πε - i 4 - ' La seconda espessione è la genealizzazione della pima quando la distibuzione di caica è continua su un volume (una sfea piena pe esempio): se la distibuzione>>d caica è di supeficie o di linea fomalmente iscivee il potenziale pe l appopiata distibuzione. V z POTENZIALE DI DIPOLO: V(P) Vi i 4πε P q - 4πε Pe >>d si ha: q q d cosθ - θ -q q cap7b d/ d/ x q qdcos p - θ pqdi V(P) 4 πε 4π ε 4πε d d - d cosθ d cosθ d cosθ >>d

14 V> z Supefici equipotenziali di un dipolo allineato sull asse z (sezione veticale passante pe il dipolo stesso). - V V< Su un piano oizzontale a quota z, le supefici equipotenziali sono simili a quelle di una caica positiva. z V< V> - V Supefici equipotenziali sul piano oizzontale a quota z di un dipolo allineato pependicolamente all asse z. Il potenziale ha un massimo positivo a desta, e un massimo negativo a sinista. E nullo su tutto il piano x. - cap7b 4

15 z Linee equipotenziali di una caica positiva sul piano oizzontale a quota z. Il potenziale ha un massimo positivo al cento. Se la caica ha simmetia sfeica, sfee con la stessa caica si diveso aggio e divese pofondità danno isultati uguali in supeficie. Sono necessaie alte analisi pe distinguee le caatteistiche della sogente. σ V V V E x Il potenziale geneato da una distibuzione piana di caica infinita vale: σ V(x) x V(x ) ε L assunzione V(x) è convenzionale, ma può essee posto potenziale nullo in un qualunque punto (pe esempio a distanza d dal piano). La ddp non cambia. Le supefici potenziali sono piani paalleli alla distibuzione. cap7b 5

16 elazione ta potenziale e campo elettico La diffeenza di potenziale ta due punti in una zona dello spazio dove vi sia un campo elettico E è definito come: f V V( ) - V( ) - E() dl f i i Se si considea una vaiazione infinitesima si può scivee : dv E() dl E() dl cosθ d V-dV dv E() dl cosθ E() d E() A) V d E V θ E() dl cosθ E l() dl E l() B) l i dl f A) Il campo elettico si può ottenee calcolando le vaiazioni (infinitesime) del potenziale lungo la diezione di massima vaiazione e cambiando di segno ( il campo è il gadiente vettoiale del potenziale) B) la componente del campo elettico lunga la diezione l si ottiene consideando le vaiazioni del potenziale lungo quella diezione ( pe questo vi è il simbolo di deivata paziale). Se pe esempio la diezione è la diezione x: E x - V(x,y,z)/ x. Analogamente pe le alte diezioni in un sistema catesiano E y - V(x,y,z)/ y, E z - V(x,y,z)/ z. Poiché l enegia di una caica che si tova immesa in un campo elettostatico E(x,y,z) il cui potenziale sia V(x,y,z) è: U(x,y,z) V(x,y,z) e la foza sulla caica è: F(x,y,z) E(x,y,z) Le componenti della foza possono essee tovate calcolando le vaiazioni dell enegia potenziale cambiate di segno: F x - U(x,y,z)/ x F y - U(x,y,z)/ y F z - U(x,y,z)/ z. cap7b 6