1. DOMANDA SULLA CONGRUENZA E IL TEOREMA DI FERMAT : (MOD 23)

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1 Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a disposizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo. 1. DOMANDA SULLA CONGRUENZA E IL TEOREMA DI FERMAT : (MOD 23) [ ] Ho un problema con un esercizio preso sugli appunti del prof. Niesi. L'esercizio è il seguente: calcolare (mod 23). Nella soluzione dell esercizio c'è una cosa che non capisco: Poichè 57 = , per il teorema di Fermat si ha = (11 22 ) = (mod 23) e, calcolando modulo 23, si ha : 11 2 = 121 = 6, 11 3 = 6 11 = 66 = 3, 11 6 = 9,11 12 = 81 = 12, = = 132 = 17. Non capisco perchè 11 3 abbia come risultato -3 mentre io avrei detto fosse 20. Sì è esatto dire che 11 3 = 20 ( usando le classi ), poiché 11 3 = (e passando alle classi modulo 23 ), essendo la classe di 23 uguale alla classe nulla, si ottiene appunto (con le classi!) : 11 3 = 20. Ma è altrettanto esatto dire che 11 3 = -3 ( usando le classi ). E questo perchè 20 e -3 sono equivalenti modulo 23, infatti 20-(-3) = 23 che è un multiplo di 23! Così ad esempio la classe di 45 modulo 23 è 22, ma è anche -1 poichè 45 = Spesso può essere utile lavorare con i rappresentanti negativi, se sono molto più piccoli in valore assoluto dei rappresentanti positivi. Basta tener conto sempre della relazione di equivalenza che in Z 23 dice : due interi sono equivalenti modulo 23 <=> la loro differenza è un multiplo di 23. 1

2 2. DOMANDA SULLA CONGRUENZA E IL TEOREMA DI FERMAT : IL RESTO DELLA DIVISIONE TRA 5 66 E 23 [ ] un esercizio sul teorema di fermat propone la divisione tra 5^66 e 23. il problema è che scrivendolo con fermat ottengo in Z 23 che 5^22 = 1. quindi svolgendo ottengo: 5^66 = (5^22)^3 = 1. Io credo che il resto debba venire 2.. come si dovrebbe procedere? RASSICURANTE Sì è corretto! il resto è 1! 3. DOMANDA SULLA CONGRUENZA E IL TEOREMA DI FERMAT : IL RESTO DELLA DIVISIONE TRA 7 83 E 17 [ ] volevo sapere se è questo il metodo esatto per la risoluzione di esercizi del tipo "Utilizzando teorema fermat calcolare resto della divisione tra 7^83 e 17" soluzione: 7^83=17*q+r 0<=r<=16 83=16*5+3 7^83=(7^16)^5 + 7^3 = 7^3 = -10^3(modulo 17) è corretto? Fin dove ha scritto è corretto, ad eccezione di questa svista : 83=16*5+3 => 7^83=(7^16)^5 + 7^3 Il segno esatto non è il + ma il segno di prodotto per la proprietà delle potenze: x a+b = x a x b E il suo numero finale è 7^3 ( o se preferisce -10^3 ) modulo 17, ma non è il resto cercato! Deve ancora ridurre modulo 17 il numero in questione 7^3, finchè trova appunto un numero compreso tra 0 e 16 (estremi inclusi), ok? 2

3 4. DOMANDA SULLA CONGRUENZA E IL TEOREMA DI FERMAT : IL RESTO DELLA DIVISIONE TRA 4 68 E 23 [ ]avrei una domanda circa l'ultimo esame, nell esercizio dove bisognava calcolare il resto della divisione tra 4^68 e 23 utilizzando il teorema piccolo di Fermat: 4^22 = 1 (Mod 23) quindi 4^68 = (4^22)^3 + 4^2 => (1)^3 + 4^2 MA 4^2 è uguale a 16 ke è minore di 23 allora come faccio a calcolare il resto? Attenzione! 4^68 = (4^22)^3 + 4^2 non è esatto, non si tratta di una somma ma bensì di un prodotto! Allora calcolando tutto modulo 23: 4^68 = (4^22)^3 * (4^2) ( per il piccolo terorema di Fermat) = (1)^3 * (4^2) = 4^2 = 16 Ora poichè abbiamo trovato che in Z 23 4^68=16 con 16, intero minore di 23 e maggiore o uguale a zero, NON dobbiamo procedere ancora a ridurre modulo 23! Siamo arrivati! il resto della divisione di 4^22 per 23 è esattamente 16!! Era... più facile del previsto. 5. UN ESERCIZIO SULLE EQUAZIONI LINEARI IN Z N [ ] in un equazione del tipo classe di 14 * x =classe di 5 in Z 103 dove M.C.D tra (14,103)=1 non riesco a procedere :( A pag 103 (Es ) delle dispense di Niesi c'è la soluzione, l'ha vista vero? Mi dica quali sono i passaggi che non capisce. Ha guardato l'esercizio 3b) della mia esercitazione N. 9 dove si chiede di trovare l'inverso di un elemento in un Zn? Se capisce come si fa a trovare l'inverso allora l'esercizio è quasi fatto. 3

4 6. CLASSI UGUALI IN Z N [ ] perchè la classe di -15 è uguale alla classe di 24 in Z 39? La risposta è: perchè -15 è congruente a 24. ( due classi di equivalenza coincidono quando i loro rappresentanti sono equivalenti, in questo caso la rel. di equiv. è la congruenza). Infatti secondo la def. di congruenza di Gauss: Due numeri interi a, b Z si dicono congruenti modulo n ( n>1), in simboli a b (mod n) se n divide la differenza a-b,ossia se vale a-b=kn con k Z. Se lei chiama a=-15, b=24, n=39 ha che n divide b-a, ossia 39 divide 24-(-15)=24+15=39. Lei dirà che questo torna, ma è il risultato di quale ragionamento? in pratica come faccio a trovare 24? Il modo mentale più spontaneo quando si ha a che fare con numeri negativi o con numeri maggiori di 39 (n) è questo: aggiungere al numero in questione 39 o i multipli di 39 che sono necessari, per portarsi ad avere come rappresentante della classe un numero maggiore o uguale a zero e minore strettamente di 39. Quindi lavorando con le classi in Z 39 ( ometto qua il simbolo di classe, la barra sopra i numeri) si ha : -15 = = 24 Quando invece non si fa il calcolo a mente perché il numero in questione è grande, un modo per arrivare al risultato è quello che ho indicato nell esercizio 2.a) dell esercitazione n. 8 ( pag.8) 4

5 7. CALCOLO DI POTENZE IN Z N : mod (23), mod 13 [ ] Ho svolto questi esercizi ma non ho il risultato, vorrei sapere se sono giusti e se vanno bene come svolgimento per l esame. Calcolare mod (23) Svolgimento : mod (23) p-1 = 22 57/22 = 2 resto = 13 (35 22 ) = = = = = 12 8 = = = = al posto di 12 : = La tecnica nei vari passaggi è corretta, ma attenta alla partenza, poiché si deve calcolare modulo 23, è molto meglio ridurre la base 35 modulo 23 e così la domanda diventa calcolare modulo 23, che offre il vantaggio di lavorare con numeri un po più piccoli. Le ho segnato in rosso un errore-svista. Calcolare mod 13! Svolgimento : (11 60 ) (11 8 ) = (11 12 ) = = = = 10 6 = = = 8 11 = e non 6, siamo modulo 13! La tecnica è corretta, ma sarebbe stato meglio farlo come l esercizio precedente, e utilizzare il piccolo teorema di Fermat, che semplifica subito il calcolo, essendo in Z 13. Le ho segnato in rosso un errore. 5

6 8. DOMANDA SUL TEOREMA DI EULERO [ ] è corretto risolvere l'esercizio sulle dispense di Niesi con la formula di Eulero? Verificare che classe(3)^12 = classe(1) in Z(26) Soluzione (mia): In questo caso non si puo applicare il piccolo Teorema di Fermat poichè 26 non è primo => posso applicare uina sua generalizzazione e cioè il Teorema di Eulero: Prima verifico che MCD(a, n) = 1 => OK, posso applicare il Teorema di Eulero MCD(3, 26) = 1 3 = 26 * = 3 * = 2 * = 1 * 2 Per applicare il Teorema di Eulero devo prima calcolare: fi (n) = fi (26) = fi (13 * 2) = fi (13) * fi (2) Siccome: 13 è primo => fi (13) = 12 2 è primo => fi (2) = 1 ===> fi (26) = 12 Applico ora il Teorema di Eulero secondo cui: classe(a)^fi (n) = classe(1) in Z(n) quindi classe(3)^fi (26) = classe(3)^12 = classe(1) Tesi dimostrata E' Giusta una risoluzione di questo genere o Vi aspettavate qualcosa di diverso? Sì è corretta ed elegante la sua soluzione con il teorema di Eulero! Altrimenti si può fare come ho indicato nell'esercizio 3.a) dell'esercitazione N.8, con il calcolo diretto. Il primo passaggio dell algoritmo euclideo, che ho evidenziato in rosso, è inutile, si inizia dividendo il numero maggiore per il minore. 6

7 9. TEOREMA DI EULERO ED ESPONENTI GRANDI [ ]nell'esercizio in cui Lei ha usato il Teorema di Eulero (esercizio 3.b) dell esercitazione n.9 : ), alla fine dopo aver calcolato fi (n) lo utilizza per dividere l'esponente del numero da calcolare e di cui farne l'inverso in Z(45). Utilizza questo metodo, invece che calcolare la classe di quel numero elevato all'esponente che era 313 (molto maggiore di 45) e poi ridurre la classe calcolata dividendo per 45, perchè appunto l'esponente è molto maggiore rispetto all n di Z(n) giusto? RASSICURANTE Sì! anche perchè 7 ^ 313 la calcolatrice tascabile (la mia) non lo fa :-) 7