Funzioni lineari e affini. Funzioni lineari e affini /2

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1 Funzioni linari aini In du variabili l unzioni linari sono dl tipo a b l unzioni aini sono dl tipo a b c Il graico di una unzion linar è un piano passant pr l origin il graico di una unzion ain è un piano. curv di livllo di una unzion linar sono smplicmnt dll rtt paralll salvo il caso in cui ab in cui tutto il piano R è un unica curva di livllo. Il gradint di una unzion ain è costant; si ha vidntmnt a b quindi [ a b] Fabio Bllini Funzioni linari aini / Fabio Bllini

2 Altri smpi S la unzion dipnd solo da una dll du variabili oppur il graico ha un asptto molto simil a qullo dl corrispondnt graico di una unzion di una variabil: Fabio Bllini Altri smpi / S l variabili giocano un ruolo simmtrico nl snso ch allora sia il graico di ch l su curv di livllo sono simmtrich risptto alla bisttric dl primo trzo quadrant: Fabio Bllini

3 Ottimizzazion vincolata In Economia i problmi ch si incontrano sono tipicamnt di ottimizzazion vincolata; illustriamo in un paio di smpi i mtodi ch vngono utilizzati più Comunmnt: mtodo di splicitazion dl vincolo mtodo dll curv di livllo mtodo di moltiplicatori di agrang rinviando ai corsi di Matmatica pr l Economia pr una trattazion prcisa ch non può prscindr dalla conoscnza dll matrici dlla algbra linar. Fabio Bllini Esmpio Dobbiamo risolvr il sgunt problma: ma con il vincolo Si tratta di un problma di massimizzazion con un vincolo di uguaglianza; la rgion ammissibil è la circonrnza di raggio unitario: Fabio Bllini

4 Mtodo dll curv di livllo Il mtodo dll curv di livllo o mtodo graico consist nl disgnar la rgion ammissibil l curv di livllo dlla unzion obittivo nl dtrminar graicamnt gli strmanti: E s invc avssi dovuto minimizzar la unzion obittivo sulla stssa rgion ammisibil? Fabio Bllini Mtodo dll curv di livllo / Il punto di massimo assoluto giac sulla più alta curva di livllo ch intrsca la rgion ammissibil; il punto di minimo assoluto sulla più bassa. Fabio Bllini

5 Mtodo di splicitazion dl vincolo Il mtodo graico è applicabil soltanto pr unzioni obittivo molto smplici dll quali siamo in grado di disgnar l curv di livllo. Un altra possibilità è splicitar il vincolo cioè crcar di passar da un vincolo dl tipo g nl nostro smpio ad un vincolo dl tipo h. Nl nostro smpio la circonrnza non è il graico di una unzion: S crchiamo ottniamo vdr il vincolo com composto da du tratti dati da di ricavar ± ; possiamo con [ ]. Fabio Bllini Mtodo di splicitazion dl vincolo / Il problma ma con il vincolo splicitando il vincolo si trasorma ni du problmi ma con [ ] ma con [ ] ch sono problmi di ottimizzaz ion di unzioni di una variabil. Fabio Bllini

6 Mtodo di splicitazion dl vincolo /3 Fabio Bllini. quindi quanto in massimo un di tratta Si o. stazionari punto un è ch cui da cioè s solo s quindi abbiamo Ponndo 3 '' 3 '' ' ' < Mtodo di splicitazion dl vincolo /4 Fabio Bllini. quindi quanto in minimo un di tratta Si o. stazionari punto un è ch volta qusta cui da s solo s quindi abbiamo ponndo analogo tutto dl modo In 3 '' 3 '' ' ' >

7 . Mtodo di splicitazion dl vincolo /5 Una volta trovata la ascissa dl punto di massimo la corrispondnt ordinata si può dtrminar dalla quazion dl vincolo è raggiunto nl punto Q - ; analogamnt nl scondo caso. P ; quindi il massimo il minimo è assunto nl punto Fabio Bllini Mtodo di moltiplicatori di agrang Anch il mtodo di splicitazion dl vincolo è di applicabilità molto limitata; unziona soltanto pr l unzioni di du variabili pr l quali risco a scrivr il vincolo nlla orma. Un mtodo dl tutto gnral valido anch pr unzioni di du variabili ch consnt di ricondurr un problma di ottimizzazion vincolata ad un problma di ottimizzazion libra è il mtodo di moltiplicatori di agrang. Considriamo un problma dl tipo ma con il vincolo g Si introduc una variabil supplmntar moltiplicator di agrang si dinisc la unzion lagrangiana com Fabio Bllini

8 Moltiplicatori di agrang / Fabio Bllini g Sotto ipotsi molto gnrali ch saranno rs prcis ni corsi di Matmatica pr l Economia il problma di ottimizzazion vincolato di partnza è quivalnt al problma di ottimizzazion libro dlla unzion lagrangiana. Vriichiamolo nl nostro smpio calcolando innanzitutto il gradint dlla lagrangiana: Moltiplicatori di agrang /3 Fabio Bllini Troviamo ora i punti stazionari dlla lagrangiana uguagliando a zro il gradint: - : stazionari punti du i ritroviamo quindi 4 4 cui da ottniamo cui da ±

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