Definizione classica di probabilità

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1 Corso d Idrologa A.A. 0-0 Teora delle probabltà Prof. Ing. A. Cancellere Dpartmento d Ingegnera Cvle e Ambentale Unverstà d Catana Defnzone classca d probabltà Il concetto d probabltà ha trovato formalzzazone a partre dal XVII secolo, nell ambto della teora de goch d azzardo Ars conjectand, James Bernoull (73) Doctrnes of chance, Abraham De Movre (78) Theore analytque des probabltes, Laplace (8)

2 Samo nan sulle spalle d ggant. Ars conjectand, James Bernoull (73) Doctrnes of chance, Abraham De Movre (78) Theore analytque des probabltes, Laplace (8) Prof. Ing. A. Cancellere Idrologa LM Ingegnera per l Ambente ed l Terrtoro Defnzone classca d probabltà Goco d azzardo: esto ncerto ma che presenta una qualche regolartà sul lungo perodo Defnzone classca d probabltà basata su concett d espermento casuale cu est sono equprobabl e mutuamente esclusv Defnzone classca o a pror: Se un espermento casuale ha n est e se n A d quest est posseggono l attrbuto A, allora la probabltà d A è Pn A /n Prof. Ing. A. Cancellere Idrologa LM Ingegnera per l Ambente ed l Terrtoro

3 Defnzone classca secondo De Movre Defnzone classca secondo De Movre 3

4 Defnzone classca d probabltà Esempo: lanco d una moneta non truccata: est (Testa o Croce), equprobabl (la moneta non è truccata) e mutuamente esclusv (non possono apparre due facce contemporaneamente) Probabltà d avere una T n un lanco est possbl {T,C} -> n Est con l attrbuto rchesto {T} -> na P[{T}]/ Esempo: lanco d un dado non truccato 6 est equprobabl e mutuamente esclusv {,,3,4,5,6} Probabltà d avere 5 -> /6 Esempo: mazzo d 5 carte Probabltà d estrarre un carta d pcche P3/5 Probabltà d estrarre un numero compreso tra 5 e 0 (ncluso) P(64)/5 Esemp d calcolo d probabltà (De Movre) 4

5 Defnzone classca d probabltà La defnzone classca può essere applcata faclmente a molt problem a patto che sano attentamente conteggat tutt possbl est e quell avent l attrbuto rchesto Esempo sbaglato: Probabltà d avere due T n due lanc d una moneta non truccata Possbl est: {TT,CC,TC} P/3 o no? Esempo corretto: Probabltà d avere due T n due lanc d una moneta non truccata Possbl est: {TT,CC,TC, CT} P/4 Defnzone classca d probabltà Esempo sbaglato: Probabltà d estrarre da un mazzo d carte un asso o una carta d pcche Possbl est 5 Est con l attrbuto rchesto 4+37 P7/5??? Esempo corretto: Probabltà d estrarre da un mazzo d carte un asso o una carta d pcche Possbl est 5 Est con l attrbuto rchesto P6/5 5

6 Bernoull, 73 Lmt della defnzone classca La defnzone d probabltà è basata sul concetto d equprobabltà Non applcable se possbl est sono nfnt Esempo: Probabltà d estrarre a caso un numero ntero par Consdero prm 0 numer P5/0/ Consdero prm 00 numer P50/00/. Se però ordno gl nter n modo dfferente:,3,, 5,7,4, 9,,6, 3,5,8 Consdero prm tre numer P/3 Consdero prm se numer P/6/3. 6

7 Defnzone d probabltà frequentsta Consderamo l lanco d una moneta k volte Posso contare quante volte appare T o C e calcolare la frequenza Numero d teste / numero d lanc Numero d lanc k Probabltà: lmte al quale tende la frequenza al crescere del numero d osservazon n un espermento casuale E nfne arrvò Kolmogorov. 7

8 Probabltà assomatca Defnzone astratta che comprende come cas partcolar le defnzon precedent Defnamo: Ω spazo camponaro: collezone o totaltà d tutt possbl rsultat d un espermento concettuale A evento: sottonseme dello spazo camponaro A collezone d tutt sottonsem d Ω A A, Ω A Esempo: lanco d un dado Ω{,,3,4,5,6} Numero par A{, 4, 6} Numero dspar A{, 3, 5} Probabltà assomatca: defnzone Funzone d probabltà P[ ] P[ ]: A -> [0,] R tale che soddsf gl assom:. P[Ω]. P[A] 0 3. Se A, A, è una successone d event a due a due ncompatbl (A A j per j) P U A P [ A ] 8

9 9 P [ ]0 Prendamo A, A, Evdentemente Dall assoma 3 Probabltà assomatca: teorem φ φ U U A [ ] [ ] [ ] P A P A P P φ φ U Probabltà assomatca: teorem Se A, A, A n è una successone d event a due a due ncompatbl (A A j per j) allora: P[A A A n ]P[A ]+P[A ]+ P[A n ] Prendamo A n+ A n+ allora [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] n n n n n A P... P P A P A P A P A P A... A A φ φ φ φ U U U U U

10 Probabltà assomatca: teorem P[A]-P[A c ] A A c Ω; A A c allora: P[Ω]P[A A c ]P[A ]+P[A c ] Notazone In quel che segue, a meno che partcolar esgenze lo rchedano, ometteremo l smbolo ntersezone A B AB 0

11 Probabltà assomatca: teorem P[A]P[AB]+P[AB c ] AAB AB c e AB AB c B AB A ovvamente.. P[A c B]P[B]- P[AB] Probabltà assomatca: teorem P[A B]P[A]+P[B]-P[AB] A B A A c B e A A c B segue: P[A B]P[A A c B]P[A]+P[A c B] P[A]+P[B]-P[A B]

12 Spaz camponar fnt In alcune tpologe d problem (per es. goch d azzardo) lo spazo camponaro è costtuto da un numero fnto d punt n #[Ω] Se è lecto assumere che cascun elemento dello spazo camponaro sa equprobable: P[ω ]P[ω ] P[ω n ] e se noltre: P[A]#[A]/n allora s dmostra che tale funzone d probabltà soddsfa tre assom Segue che la defnzone assomatca comprende al suo nterno la defnzone classca!! Probabltà condzonata Probabltà condzonata: P[A B]P[A B] / P[B] P[A B] / P[B] Esempo: lanco d due monete Ω{TT, TC, CT, CC} P[due teste una testa sulla prma]? Sa A{testa sulla prma}, A{testa sulla seconda} P[A A A] P[A A A]/P[A] P[A A] / P[A] (/4)/(/) /

13 Indpendenza Due event A, B sono ndpendent se e solo se: P[A B]P[A] se P[B]>0 P[A B]P[A] P[B] In pratca l ndpendenza tra due event mplca che l verfcars dell uno non nfluenza la probabltà che s verfch l altro Varable casuale Varable casuale X è una funzone: Ω -> R In pratca qualsas grandezza msurable che presenta varabltà ed mprevedbltà Esempo: lanco d una moneta Assoco X se T, X0 se C Esempo lanco d due dad Esto,j; varable casuale X+j Esempo temperatura meda del mese d Gennao a Catana 3

14 Funzone d rpartzone Funzone R -> [0,] tale che F X ()P[X ] Propretà: F X () -> 0 per -> - Dmostrazone: P[X - ]P[ ]0 F X () -> per -> + Dmostrazone: P[X + ]P[Ω] F X () è monotona non decrescente F X () è contnua a destra Qualsas funzone che soddsfa le precedent propretà è una funzone d rpartzone Esempo d funzone d rpartzone dscreta Lanco d un dado: F X ()/6 per,,3,4,5,6 F X () -> 0 per -> - F X () -> per -> + F X () è monotona non decrescente F X () è contnua a destra 4

15 Esempo d funzone d rpartzone contnua F()P[X<] F X () -> 0 per -> - F X () -> per -> + F X () è monotona non decrescente F X () è contnua a destra Funzon d rpartzone contnue F()P[X<] Nota la funzone d P[ X 90 ] rpartzone è mmedato calcolare la probabltà d non superamento E possble calcolare la probabltà che la la v.c. X sa compresa n un ntervallo F()P[X<] P[ 550 X 000]

16 Funzon denstà d probabltà dscrete Data una varable casuale dscreta, s defnsce funzone denstà d probabltà la funzone: f X ()P[X] Esempo: lanco d un dado f X ()/6 per,,3,4,5,6 Esempo lanco d tre monete Defnamo X numero d teste ne tre lanc Propretà della funzone denstà d probabltà dscreta f X ( ) 0 P[X] 0 sempre F X ( ) 0 f X ( ) P[X ]P[X0]+P[X]+ +P[X] poché X0, X,. sono event dsgunt 0 f X ( ) P [ X ] 6

17 Funzon denstà d probabltà dscrete Esempo lanco d tre monete Defnamo X numero d teste ne tre lanc f X (0) P[X0]P[CCC]/8 f X ()P[X]P[CCT TCC CTC] P[CCT]+ P[TCC] + P[CTC]3/8 f X ()P[X]P[CTT TTC TCT] P[CTT]+ P[TTC] + P[TCT]3/8 f X (3)P[X3]P[TTT]/8 f X () f X () Funzon d denstà d probabltà dscrete Esempo: lanco d due dad con est X e X. Sa YX+X. Qual è la f Y (y)? Y fy(y) /36 3 /36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 0 3/36 /36 /36 X Y Y7 fy(y) X Y 7

18 Funzon denstà d probabltà contnue Se la varable X è contnua non è possble defnre la funzone d denstà come f X ()P[X] poché P[X]0 La funzone denstà è defnta come : P [ X ] FX ( ) Segue che (sotto opportune condzon): f X ( ) d f ( ) X dfx ( ) d Funzon denstà d probabltà contnue Propretà della funzone d denstà contnua: f X ( ) 0 Altrment la F() non sarebbe monotona non descrescente f X ( )d [ X ] P[ Ω] f X ( )d P 8

19 Funzone d denstà contnua f() Una funzone d denstà deve essere tale che l area sottesa sa untara f X ( )d La probabltà d non superamento del valore 90 è data dall ntegrale esteso a 90 e qund dall area della regone azzurra f() P[ X 90 ] 90 f X ( ) d Interpretazone frequenzale della denstà d probabltà e della funzone d rpartzone La denstà d probabltà d una varable contnua può essere vsta come l lmte dell stogramma d frequenza al tendere all nfnto del numero d osservazon, ovvero al tendere a zero dell ampezza d classe La funzone d rpartzone può essere vsta come l lmte della frequenza cumulata (ad es. Webull) al tendere all nfnto del numero d osservazon F(), frequenza Webull n000 FX() Webull n

20 Moment d una dstrbuzone I moment d una dstrbuzone sono degl ndc sntetc della forma della denstà d probabltà Valore atteso o momento del prmo ordne: X dscreta E[ X ] f ( X contnua E[ 0 + X ) X ] f ( ) d Il valore atteso rappresenta la meda della varable casuale poché è la somma (ntegrale) d tutt possbl valor della X pesat per la rspettva probabltà X Moment d una dstrbuzone Varanza o momento del secondo ordne: X dscreta X contnua Var[ X ] Var[ 0 ( E[ X ]) f X ( ) + ( E[ X ] ) X ] f ( ) d X La varanza d una varable casuale è rappresentatva della sua varabltà 0

21 Valore atteso e varanza Denstà d probabltà f() E[X]500 E[X]500 Var[X]00 E[X] Var[X]00 Var[X] F()P[X<] 0.8 E[X]500 Var[X] E[X]500 E[X] Var[X]00 Var[X] Funzone d rpartzone Propretà del valore atteso e della varanza E[aX]aE[X] E[X+X]E[X]+E[X] Var[aX]a Var[X] Var [X+X]Var[X]+Var[X] se e solo se X, X sono ndpendent

22 Funzon d probabltà parametrche dscrete Per rsolvere molt problem pratc è opportuno fare rcorso a funzon d rpartzone (o denstà) preconfezonate dette parametrche, funzone d parametr che d volta n volta vengono adattat al caso n esame Tra le funzon parametrche dscrete pù nteressant dal punto d vsta pratco: Geometrca Bnomale Posson Funzone denstà d probabltà geometrca Una varable casuale X dscreta è dstrbuta secondo una dstrbuzone geometrca con parametro p, se la sua denstà d probabltà è: f X ()p(-p) -,, La stora detro la geometrca è: supponamo d avere un espermento casuale cu possbl est sono successo con probabltà p e nsuccesso con probabltà -p La funzone d denstà geometrca rappresenta la probabltà del numero d nsuccess prma d avere un successo Una v.c. dstrbuta secondo una geometrca ha valore atteso e varanza: E[ X ] p ; p Var[ X ] p

23 Funzone denstà d probabltà geometrca Esempo: lanco rpetuto d una moneta Successo T Insuccesso C Probabltà d successo p/ Qual è la probabltà che o debba lancare la moneta 3 volte prma d avere una testa (successo)? f X (3)p(-p) 3-.5*.5.5 Funzone denstà d probabltà geometrca Esempo: tempo d rtorno Sa X una varable casuale con funzone d rpartzone F() Defnamo tempo d rtorno Tr d un valore o l tempo che ntercorre n meda tra due event X > o Precptazon (mm) T T T 3 TrE[T] ann 3

24 Funzone denstà d probabltà geometrca Tempo d rtorno Defnamo Successo l evento X > o con probabltà p-f( o ) Insuccesso l evento X o Il tempo d rtorno sarà l valore atteso della varable geometrca Y che esprme l numero d nsuccess prma d un successo Tr E[Y ] p F ( X o ) Funzone denstà d probabltà bnomale Una varable casuale X dscreta è dstrbuta secondo una dstrbuzone bnomale con parametr n,p, se la sua denstà d probabltà è: n n f X ( ) p ( p ) per 0,,,..., n La stora detro la bnomale è: supponamo d rpetere n volte un espermento casuale cu possbl est sono successo con probabltà p e nsuccesso con probabltà -p La funzone d denstà bnomale rappresenta la probabltà del numero d success n n rpetzon Una v.c. dstrbuta secondo una bnomale ha valore atteso e varanza: E[ X ] np ; Var[ X ] np( p ) 4

25 Funzone denstà d probabltà bnomale Esempo: rscho Sa X una varable casuale con funzone d rpartzone F() Defnamo rscho d un valore o n n tentatv la probabltà d avere almeno un valore X > o n n tentatv Ad esempo sa X la portata massma annuale n una sezone d un corso d acqua. Il rscho R( o,n) rappresenta la probabltà d osservare n n ann almeno un anno con un valore d portata massma maggore d o Defnamo: Successo l evento X > o con probabltà p-f( o ) Insuccesso l evento X o S l numero d success n n ann R( o,n) P[S ]-P[S0] Applcando la dstrbuzone bnomale: n 0 P[ S 0 ] p ( p ) 0 Il rscho è qund: n 0 R( o,n)-f( o ) n n ( p ) Funzone denstà d probabltà d Posson Una varable casuale X dscreta è dstrbuta secondo una dstrbuzone d Posson con parametro λ, se la sua denstà d probabltà è: f X λ e λ ( )! per 0,,,... E[X]λ Var[X] λ La dstrbuzone d Posson rappresenta l lmte d una dstrbuzone bnomale al crescere d n all nfnto 5

26 Funzon denstà d probabltà contnue Tra le funzon parametrche contnue d nteresse nel campo delle rsorse drche: Normale (erroneamente attrbuta a Gauss) Log-normale Gumbel Funzone d denstà d probabltà Normale Una varable casuale X contnua è dstrbuta secondo una dstrbuzone Normale con parametr µ e σ, se la sua denstà d probabltà è: La dstrbuzone Normale o gaussana è la dstrbuzone che pù d ogn altra trova applcazone n statstca a causa del fatto che approssma altre dstrbuzon e che possede notevol propretà matematche E[X] µ Var[X] σ f X ( ) e πσ µ σ 6

27 Propretà della dstrbuzone Normale Sano X,X,,X k,x n n varabl casual ndpendent dstrbute Normalmente con parametr (µ k,σ k ) La varable casuale Y X +X + +X k + +X n segue una dstrbuzone Normale con parametr: µ n k µ k ; σ n k σ k Teorema del lmte centrale Sano X,X,,X k,x n n varabl casual ndpendent dentcamente dstrbute con valore atteso e varanza µ e σ La dstrbuzone della varable casuale Y (X +X + +X k + +X n )/n tende asntotcamente ad una dstrbuzone Normale con parametr µ e σ /n 7

28 Stma de parametr µ e σ della dstrbuzone Normale Con rfermento ad un campone osservato,, n stmare parametr sgnfca trovare valor d µ e σ tale che la corrspondente dstrbuzone Normale s adatt al meglo a me dat Due metod: Metodo de moment Metodo della massma verosmglanza Il metodo de moment consste nell eguaglare moment teorc della dstrbuzone con quell calcolat sul campone: E [ X ] µ Var [ X ] σ S And then came R.A. Fsher 8

29 Metodo della massma verosmglanza (Fsher) Il metodo della massma verosmglanza consste nel trovare valor de parametr n corrspondenza de qual rsulta massma la probabltà (approssmata) d osservare l campone P[X ] P[ < X +d]f X ()d P[X, X, Xn n ] P[X ] P[X ] P[Xn n ] f X ( ) f X ( ) f X ( n ) dd d Π f X ( ) n L( µ, σ ) f X ( ; µ, σ ) Calcolo della probabltà d non superamento Sa X dstrbuta normalmente con parametr µ e σ P σ [ X ] f X ( t )dt e dt πσ t µ f() t µ σ P[ X ] f X ( t )dt e dt 0.00 πσ

30 Calcolo della probabltà d non superamento L ntegrale non può essere rsolto n forma chusa Possbl soluzon Integrazone numerca EXCEL -> DISTRIB.NORM(, µ, σ,) Matlab -> normcdf(, µ, σ) Valor tabellat Calcolare la varable rdotta u µ σ Funzone d denstà d probabltà log-normale Una varable casuale X contnua è dstrbuta secondo una dstrbuzone log-normale con parametr µ y e σ y, se la varable YlnX è dstrbuta normalmente La denstà d probabltà log-normale è: E[ X ] e f X µ y + σ y ( ) Var[ X ] E[ X ]* e σ y e π σ ln µ y y σ 30

31 Stma de parametr della dstrbuzone log-normale I parametr µ y e σ y possono essere stmat come: Metodo de moment S ln ln + µ y S ln + σ y Metodo della massma verosmglanza µ y n σ y ln / n n ( ln µ ) y / n / Calcolo della probabltà d non superamento La probabltà d non superamento è data dall ntegrale: P y σ [ X ] f X ( t )dt e dt 0 0 π σ y lnt µ y L ntegrale non può essere rsolto n forma chusa Integrazone numerca EXCEL ->.DISTRIB.LOGNORM(, µ y, σ y ) Calcolare la varable rdotta: ln µ y u σ Utlzzare la tabella della dstrbuzone normale MATLAB normcdf(u,0,) y 3

32 Dstrbuzone d probabltà d Gumbel La dstrbuzone d probabltà d Gumbel rappresenta l lmte della dstrbuzone del massmo d n varabl casual al tendere d n all nfnto Funzone d rpartzone: Denstà d probabltà: Moment: f X F X ( ) e ( ) αe e α( β ) α ( β ) e α( β ) ne. 577 β + β α α E [ X ] + π Var[ X ] 6α.8 ˆ α π 6S S ˆ n.577 β e ˆ α ˆ α Adattamento d una dstrbuzone d probabltà Esempo: sere d precptazone annue osservate nella stazone d Caltanssetta nel perodo (30 ann) Anno Precptazone (mm) meda medana std 59.3 var Cv 0.37 Dstrbuzone normale µmeda503.0 σscarto q. medo59.3 Qual è la P[X 600]? P[X 600]F X (600)dstrb.norm(600;503;59.3;).73 Qual è la P[400 X 700]? P[400 X 700]F X (700) - F X (400) dstrb.norm(700;503;59.3;)- dstrb.norm(400;503;59.3;).64 3

33 Adattamento d una dstrbuzone d probabltà Esempo: sere d precptazone annue osservate nella stazone d Caltanssetta nel perodo (30 ann) meda medana std 59.3 var Cv 0.37 Dstrbuzone log-normale (metodo della ma. verosmglanza) µ y meda de logartm6.8 σ y scarto q. medo de logartm.80 µ y n σ y ln / n n ( ln µ ) y / n / Qual è la P[X 600]? P[X 600]F X (600)dstrb.norm((ln(600)-6.8)/.80;0;;).78 P[X 600]FX(600)dstrb.lognorm(600;6.8;.80;).78 Adattamento d una dstrbuzone d probabltà Esempo: sere d precptazone annue osservate nella stazone d Caltanssetta nel perodo (30 ann) Dstrbuzone d Gumbel α β43.7 Qual è la P[X 600]? meda medana std 59.3 var Cv ˆ α π 6S S ˆ n.577 β e ˆ α ˆ α P[ X 600] F X ( ) e e α ( β ).77 33

34 Verfca della bontà d adattamento d una dstrbuzone Una volta stmat parametr sulla base d un campone osservato d dat, è opportuno verfcare l adattamento della dstrbuzone a dat stess Tale verfca può essere condotta n due mod: Controllo grafco Applcazone de test statstc d adattamento Il controllo grafco consste nel confrontare l andamento della funzone d rpartzone con quello della frequenza cumulata (ad es. Webull) Cartogramm probablstc 34

35 Probablty plot In alternatva al cartogramma probablstco, s può rcorrere al cosdetto probablty plot che consste nel rportare n ordnate le osservazon n ordne crescente ed n ascsse l quantle calcolato (tramte la dstrbuzone) n corrspondenza alle frequenze d Webull Se la dstrbuzone s adatta a dat, punt s allneeranno attorno ad una retta Numero d'ordne (mm) F Webull X(F) F/(n+) (F): P[X (F)]F Per es. se la dstrbuzone è normale: Calcolare (o leggere dalle tabelle) l valore della varable rdotta u(f) (F)σ u(f)+µ (mm) (F) (mm) Probablty plot correlaton test Test che consente d verfcare la bontà d adattamento n manera oggettva Basato sul calcolo della statstca: r n ( ) ( ( F) ( F) ) ( ) ( ( F) ( F) ) n Tanto pù elevato è r, tanto mglore è l adattamento n 35

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