La parabola. Fuoco. Direttrice y

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1 L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino è dt dll figur seguente. D ome si può intuire nel grfio dell esempio, ogni prol present un sse di simmetri he divide l prol in due prti sovrpponiili, detti nhe rmi. Il legme tr i punti del pino he ostituisono il grfio di un prol si può srivere in form di funzione, ioè di legme tr l vriile indipendente x e l vriile dipendente y, pertnto: y x x rppresent l equzione generle di un prol (on sse prllelo ll sse delle y). Il ruolo opertivo dell direttrie e del fuoo nel definire l prol è messo in evidenz dl seguente shem he rppresent il luogo dei punti equidistnti d questi due enti: x Fuoo Direttrie y

2 I segmenti he ongiungono un punto generio dell prol on il fuoo e l direttrie sono ongruenti. Se invertimo il ruolo delle vriili ottenimo: x y y he rppresent l equzione generle di un prol (on sse prllelo ll sse delle x), ioè In questo so il fuoo si troverà sull sse dell x, mentre l direttrie è prllele ll sse delle y. Nel so di prol on sse prllelo ll sse delle x, pertnto, vlgono tutte le onsiderzioni per prol on sse prllelo ll sse delle y sempliemente invertendo il ruolo delle vriili. Rimngono vlide nhe tutte le formule in ui devono essere invertite i ruoli dell vriile x e dell vriile y. Il fuoo he onorre definire l prol è un punto pprtenente ll prte di pino intern l grfio dell funzione, le ui oordinte sono dte d F ; definito nhe F ; Per definire l prol viene utilizzt nhe un rett fiss dett direttrie, l ui equzione è dt d: y o equivlentemente y

3 L sse di simmetri invee è dto dll relzione: x Nell equzione dell prol y x x inoltre, isogn distinguere tr due si: ) >, llor l onvità dell prol è rivolt verso l lto (ioè il grfio dell prol è simile d un U) ) < llor l onvità dell prol è rivolt verso l lto (ioè il grfio dell prol è simile d un U rovesit) D quest ultim osservzione, possimo onludere he esiste un punto prtiolre, rispetto tutti gli ltri è il più sso (so > ) o il più lto (so < ), tle punto viene detto vertie e h oordinte:

4 V ; o equivlentemente V ; Asse di simmetri dell prol Equzione dell prol Tell rissuntiv sulle formule dell prol Prllelo ll sse y Prllelo ll sse x y x x x y y Vertie Fuoo Asse di simmetri Direttrie V ; F ; x y V ; F ; y x Verso onvità: > verso l lto verso destr Verso onvità: < verso il sso verro sinistr Determinre l equzione dell prol Cso : tre punti generii Osservndo l equzione dell prol si può notre he: y x x I prmetri neessri per individure l equzione sono :,,. Riordndo l ondizione di pssggio: dt un funzione e un punto pprtenente d ess, posso sostituire i vlori dell x e dell y ll interno dell equzione dt e ottengo un uguglinz verifit; posso onludere he per tre punti non llineti pss un ed un sol prol. Inftti, dti A ( x ; y ) B ( x ; y ) ( ) C x ; y Sostituiso i vlori delle vriili nell equzione generle dell prol e ottengo tre equzioni yx x xx y x x y x x

5 Che messe sistem mi permettono di individure i tre prmetri,, e quindi di srivere l equzione dell prol pssnte per i punti dti. Cso : vertie e un punto generio Le formule generihe del fuoo, del vertie, dell direttrie sono utili per determinre l equzione di un prol in determinte ondizioni, inftti dto uno dei punti sopr itti, è possiile identifire un ondizione utile per determinre i prmetri,, uguglindo l equzione generi del dto in possesso on l effettivo vlore numerio. Poihé per determinre l equzione di un prol servono tre prmetri, si dovrnno vere tre ondizioni orrispondenti tre equzioni distinte. Esempio Determinre l equzione dell prol pssnte per il punto A (,) e vente vertie nel punto V (, ). Soluzione Devo determinre i prmetri,, dell prol y x x. Poihé l prol pss per il punto A (,) pplio l ondizione di pprtenenz, sostituendo nell equzione generi dell prol ottengo Considero or le oordinte generihe del vertie V ; E le oordinte reli del vertie V (, ). Poihé l formul generle e il dto del prolem desrivono lo stesso punto dovrà essere he le x e le y dell espressione generi e del dto del prolem sino uguli tr loro, ioè Ottengo osì tre ondizioni he messe sistem

6 Permettono di lolre i vlori erti dei tre prmetri. Osservzione Se l posto del vertie venisse dto il fuoo nhe quest ultimo punto d due ondizioni per poter impostre il sistem. Posizione reipro tr rett e prol Rihimimo l interpretzione nliti dell soluzione di un sistem: l soluzione di un sistem di equzioni rppresent i punti di intersezione nel pino rtesino delle equzioni he lo ompongono. Pertnto se mettimo sistem l equzione generi di un prol e l equzione dell sse delle x, ottenimo: y x y E riordndo il metodo del onfronto, ottenimo x x x Che non è ltro he un equzione di seondo grdo, pertnto le soluzioni x, x rppresentno l intersezione dell prol on l sse delle x. Si possono verifire quindi tre possiilità: ) >, llor x x, ioè vi sono due intersezioni tr il grfio dell prol e l sse delle x.

7 oppure ), llor x x, ioè vi è un intersezione tr il grfio dell prol e l sse delle x. oppure ) <, llor non i sono soluzioni, ioè non vi sono intersezioni tr il grfio dell prol e l sse delle x. oppure Le situzioni desritte sopr possono essere generlizzte per rette qulunque, riordndo llor qule si l equzione generle di un rett y mx q, llor possimo srivere y x x y mx q Tle sistem d ome soluzione l posizione tr prol e rett e gli eventuli punti di intersezione.

8 Vi sono due si di prtiolri posizione tr rett e prol Primo so: determinre l tngente in un punto d un prol In quest situzione rett e prol si tono in un punto, pertnto il sistem Dovrà vere un sol soluzione. y x x y mx q Se onoso il punto di tngenz llor dll equzione y y m( x ) posso lolre x l equzione del fsio di rette pssnte per il punto dto, l inognit è il oeffiiente ngolre. Tle oeffiiente ngolre si ottiene risolvendo il sistem: sostituendo l posto dell y nell prim equzione l espressione dell y ottenut nell seond; se rett e prol devono essere tngenti e il sistem deve vere un sol soluzione, l equzione di seondo grdo osì ottenut deve vere un sol soluzione, pertnto, he orrisponde ll ondizione di tngenz il è in funzione del oeffiiente ngolre m, risolvendo pertnto l equzione si ottiene il vlore di m erto per srivere l equzione dell rett tngente ll prol nel punto dto. y P x Dl punto P sull prol si può trire soltnto un rett tngente. Seondo so: determinre l tngente pssnte per un punto dto e in un punto d un prol Questo so è un generlizzzione del primo In quest situzione rett e prol si tono in un punto o due punti, pertnto il sistem

9 y x x y mx q Dovrà vere un o due sol soluzione. Poihé l rett pss per un punto noto l equzione y y m( x ) rppresent il fsio di rette x pssnte per il punto dto, l inognit è il oeffiiente ngolre. Tr tutte le rette del fsio devo determinre quelle tngenti ll prol. Tle oeffiiente ngolre si ottiene risolvendo il sistem ome l punto preedente. I vlori per m possono essere due, in qunto in questo so d un punto esterno ll prol si possono ondurre due tngenti distinte. y P x Posizione reipro tr due prole Dte due prole y x x e y x x le loro intersezioni sono dte dl sistem: y x y x x x E un sistem di seondo grdo he può vere:. due soluzioni, le prole si interseno i due punti. un soluzione, le prole sono tngenti;. nessun soluzione, le prole sono esterne. Se un prol h sse prllelo ll sse delle x e l ltr h sse prllelo ll sse delle y y x x y x y E un sistem di qurto grdo he può vere:. quttro soluzioni, le prole si interseno i quttro punti

10 . due soluzioni, le prole si interseno i due punti. un soluzione, le prole sono tngenti;. nessun soluzione, le prole sono esterne. Osservzione: determinre l equzione dell prol utilizzndo l ondizione di tngenz. Per determinre l equzione dell prol volte si deve utilizzre l ondizione di tngenz per riusire ostruire il sistem di tre equzioni in tre inognite. Allor ogni qul volt veng ssegnt un ondizione in ui un prol si tngente d un ert rett (di ui si onose o si può onosere l equzione, d esempio st vere il punto di tngenz e il oeffiiente ngolre) è possiile impostre il seguente sistem: y x x y mx q In ui m e q sono vlori noti (oppure più in generle deve essere he lmeno due tr prmetri,,, m, q sino vlori onosiuti) Il sistem llor permette di srivere x x mx q D ui si ottiene x x mx q x ( m) x q Imponendo or l ondizione di tngenz si h ( m) ( q) Tle equzione rppresent un ondizione per il sistem per determinre l equzione dell prol ert. Vedimo or luni eserizi ) Determinre l equzione dell prol pssnte per i punti A ( ; ), B ( ;), ( ;) ) C. ) Determinre l equzione dell prol pssnte per il punto A ; e vente il vertie in V ;.

11 ) Determinre le equzioni delle rette tngenti ll prol x x y ondotte dl punto ;. ) Eserizio Poihé sono noti i punti punti generii per ui pss l prol, possimo sostituire ll interno dell equzione generle x x y le oordinte di ognuno di essi per ottenere tre relzioni ( ) ; A ( ) ; B 8 ( ) ;) C Mettendo sistem si ottiene: 8 ( ) ( ) 8 8 8

12 L equzione dell prol è x x y ) Eserizio Poihé è noto punto generii per ui pss l prol, possimo sostituire ll interno dell equzione generle x x y le oordinte di esso per ottenere l relzione ; A Poihé il vertie è noto, e spendo he le sue oordinte generli stilisono l seguente relzione tr i oeffiienti dell prol V ; Possimo quindi uguglire le oordinte generihe del vertie on le oordinte del vertie ssegnte dll eserizio e ottenere quindi:

13 Mettendo sistem le tre ondizioni si ottiene: 8 C.E. 8 ( ) ( ) 8 8 ; non ettile 8 8

14 L equzione dell prol è y x x ) Eserizio Tr tutte le rette pssnti per il punto ;, si devono determinre quelle tngenti. Srivimo il fsio di rette pssnti per il punto ssegnto dl prolem, utilizzndo l equzione y y y m x ( ) x x ; y y m x mx m Per determinre l tngente si dovrà fre il sistem tr l equzione dell prol e il fsio di rette: y x x y mx m x x x x mx m x mx m x mx m x x mx m x x mx m ( m) m x x

15 A questo punto doimo porre l ondizione di tngenz, ioè deve essere per quest equzione ( m ) ( )( m ) 8m m m m m m m m, m 8 ± 8 m ± ± Pertnto le rette tngenti, sostituendo i vlori di m osì trovti nell equzione del fsio di rette y mx m : m : y x y x m : y x y x

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