Soluzione. a) Per la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare, b) Si sfruttano la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare.

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1 Esercizi svolti 4 Problemi guida 119 IL PRODOTTO SCALARE Problema 4.1. a) Dimostra che (v + w) (v w) = v w. b) Dimostra che v w = 1 4 [ v + w v w ]. Soluzione. a) Per la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare, (v + w) (v w) =v v + w v v w w w = v v w w. b) Si sfruttano la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare. Problema 4.. Ivettoriv, w, u di lunghezza v =4, w = 5, u =3 rispettivamente, soddisfano alla condizione v + w + u =0. Determina v w + w u + u v. Soluzione. Dalla relazione di dipendenza lineare si ricava che w = v u e 5 = w w =( v u) ( v u) = v v + u u +v u =16+9+v u. Si ricava che v u = 0 e che i vettori v e u sono tra loro ortogonali. Dunque, v w + w u + u v = w (v + u)+u v = w w = 5. Problema 4.3. Determina i versori ortogonali a v = i+3j+5k e w = i+j 3k. Problema 4.4. Dimostra che un quadrilatero piano è un rettangolo se e solo se le diagonali hanno uguale lunghezza. Soluzione. Ricorda la relazione v w = 1 4 [ v+w v w ] mostrata nel Esercizio svolto probtipo:4.aa1, e osserva che v+w e v w sono le diagonali del parallelogramma di lati v e w. Imponendo l uguaglianza delle diagonali, si ricava che v w =0, cioè che due lati consecutivi sono ortogonali e il parallelogramma è un rettangolo. Viceversa, lo stesso ragionamento mostra che la condizione di ortogonalià v w = 0 implica che le diagonali hanno uguale lunghezza. DISTANZE E RETTE IN E 3 Si consideri uno spazio euclideo E 3 di dimensione 3, dotato di un riferimento monometrico ortonormale R =(O, (i, j, k)). Problema 4.5. Distanza punto-piano Sia il piano di equazione cartesiana x 3y +6z 3 = 0 nel sistema di riferimento fissato. Calcola la distanza del punto A(, 1, ) dal piano. Soluzione. Il punto A non appartiene al piano, perchè sostituendo le sue coordinate nell equazione di si trova 3( 1)+6 3 = 16. Applicando la Proposizione , si ricava che la distanza tra A e è D(A, ) = p = p = 16. 7

2 10 4 Spazi Euclidei Problema 4.6. Lunghezza del prodotto vettoriale Siano assegnati i vettori v(l, m, n) e v 0 (l 0,m 0,n 0 ).Mostrache v ^ v 0 = p A A t (4.66) dove A è l a m a t r i c e l m n l 0 m 0 n 0 (4.67) Soluzione. Si osservi che l esercizio è un caso particolare della formula elencata subito prime della formula (4.19). Il prodotto A A t = ha v v v w v ww w determinante det(a A t )=(v v)(w w) (v w) =(l + m + n )(l 0 + m 0 + n 0 ) (ll 0 + mm 0 + nn 0 ), mentre il prodotto esterno i j! k v ^ v 0 = det l m n l 0 m 0 n 0 =(mn 0 nm 0 )i (ln 0 nl 0 )j +(lm 0 ml 0 )k (4.68) ha norma (mn 0 nm 0 ) +(ln 0 nl 0 ) +(lm 0 ml 0 ). Svolgendo i calcoli, si prova l asserto. Problema 4.7. Retta ortogonale e incidente due rette sghembe. Siano S e S 0 due rette sghembe di uno spazio euclideo E di dimensione 3. Esiste una ed una sola retta S 00 ortogonale ad S ed S 0 ed incidente sia S che S 0. Soluzione. Siano S = P + < v > e S 0 = P 0 + < v 0 >. Il complemento ortogonale < v, v 0 >? di < v, v 0 > ha dimensione 1; si indichi con n un generatore di < v, v 0 >?. Si osservi che, ad esempio, è possibile prendere n = v ^ v 0. Detti il piano per S e parallelo a n e 0 il piano per S 0 e parallelo a n, la retta S 00 cercata è l intersezione tra e 0. Si osservi che si può scegliere, come particolare generatore n il prodotto vettoriale di v e v 0. Problema 4.8. In E, sianor la retta di equazioni x 3y + z =0, x 3z = 4 e s la retta di equazioni x y + z =0,x+y z =0,nelfissatoriferimento.Mostra che le rette sono sghembe e determina equazioni cartesiane per la retta l ortogonale eincidenteentrambe. Soluzione. La retta r ha come vettore direttore v(9, 5, 6), mentre la retta s ha come vettore direttore v 0 ( 1,, 3): poichè tali vettori non sono proporzionali, le due rette non sono parallele. Considero il vettore n = v ^ v 0, che ha componenti (3, 33, 3). Osservo che la retta s passa per l origine, mentre la retta r passa per il punto (0, 4/9, 1/9) (ottenuto intersecando la retta con il piano x =0).Poichè (v ^ v 0 ) OP = 144/9 6= 0, le due rette non possono essere complanari, e dunque sono sghembe. I piani nel fascio di piani per r hanno equazione della forma (x 3y + z)+µ(x 3z +4)=0=( +µ) x 3 y+( 3µ) z +4µ =0.

3 4 Problemi guida 11 Un tale piano è parallelo a n se e solo se le componenti di n soddisfano l equazione della giacitura del piano, cioè se e solo se 0= (3 3( 33) + 3) + µ( 3 3(3)) = 15 63µ. Ciò accade, in particolare, se (,µ) =(63, 15) (e ogni altra soluzione è proporzionale aquesta),cioèperilpiano313x 189 y 31 z = 0 che fornisce una prima equazione per la retta cercata l. Una seconda equazione per l si trova in modo analogo, cercando, nel fascio di piani per s il piano parallelo a n, che risulta avere equazione 145 x +3y +7z = 0. La retta cercata l ha dunque equazioni cartesiane 313 x 189 y 31 z +500=0, 145 x +3y +7z =0. Problema 4.9. Distanza punto-retta In E, sianoassegnatiunpuntob(b 1,b,b 3) elarettar passante per A(a 1,a,a 3) edivettoredirettorev(l, m, n). Calcolala distanza tra B e r. Soluzione. Il punto B appartiene alla retta r se e solo se il vettore AB è proporzionale a v, cioèseesoloseab ^ v = 0. Seciòaccade,ilpuntoB ha distanza nulla dalla retta. Altrimenti, se AB ^ v 6= 0, la lunghezza di tale vettore fornisce l area del parallelogramma di lati AB e v. Ma la distanza cercata è esattamente l altezza di questo parallelogramma, e dunque d(r, s) = AB ^ v v r r : B d(b,r) H j v AB A H j v Figura 4.8. Distanza punto-retta Problema Calcola la distanza tra il punto B(1, 3, 7) elarettar di equazioni parametriche : x = t, y =4+3t, z = t, cont R. Soluzione. La retta r passa per il punto A(, 4, ) e ha vettore direttore v( 1, 3, 1). Il vettore AB( 1, 7, 5) non è proporzionale al vettore direttore v edunqueb non appartiene a r e la distanza tra B e r è strettamente positiva. Il vettore (AB^v) ha componenti ( 8, 6, 10) e lunghezza p 00 = 10 p, mentre v ha lunghezza p 11. La distanza tra il punto B e la retta r è d u n q u e d(b,r) = 10p p 11. Problema Distanza tra due rette parallele In E, sianoassegnatelaretta r passante per A(a 1,a,a 3) elarettas, parallelaadr epassanteperilpunto B(b 1,b,b 3); siav(l, m, n) un vettore direttore delle due rette. Calcola la distanza tra r e s.

4 1 4 Spazi Euclidei Soluzione. La retta r coincide con la retta s se e solo se il vettore AB è proporzionale a v, cioèseesoloseab ^ v = 0. Se ciò accade, le due rette hanno distanza nulla tra loro. Altrimenti, se AB ^ v 6= 0, la lunghezza di tale vettore fornisce l area del parallelogramma di lati AB e v. Poichè la distanza cercata è esattamente l altezza di tale parallelogramma, otteniamo che d(r, s) = AB ^ v v r r AB : B A H Hj v Figura 4.9. Distanza tra rette parallele Problema 4.1. Calcola la distanza tra le rette r e s di equazioni parametriche (rispettivamente): ( x =+3t r : y = 1+t z =5 t t R; s : ( x =5+3h y =+h z = h h R Soluzione. La retta r passa per il punto A(, 1, 5) mentre la retta s passa per il punto B(5,, 0), e le due rette sono parallele perchè hanno lo stesso vettore direttore v(3, 1, 1). Osserviamo che il vettore AB(3, 3, 5) non è proporzionale al vettore direttore v(3, 1, 1) e dunque le due rette sono distinte e hanno distanza non nulla tra loro. Il vettore AB ^ v(, 1, 6) ha lunghezza p 184, mentre v ha lunghezza p p 43. La distanza tra le due rette è dunque d(r, s) = p Problema Distanza tra due rette sghembe Siano r e s due rette sghembe di E di dimensione 3. Supponiamo che r abbia vettore direttore v(l, m, n) epassi per il punto A(a 1,a,a 3), mentres abbia vettore direttore v 0 (l 0,m 0,n 0 ) epassiperil punto B(b 1,b,b 3). a) Mostra che la distanza tra r e s coincide con d(r, s) = AB (v ^ v0 ) v ^ v 0 b) Mostra che esiste un solo piano contenente s eparalleloar. Ladistanzatrar e s coincide con la distanza di un qualsiasi punto P di r da. Soluzione. a) Poichè le rette sono sghembe, lo scalare AB (v ^ v 0 )ènonnullo, e il suo valore assoluto coincide con il volume del parallelepipedo di spigoli v, v 0 e AB. La distanza tra le due rette r e s è esattamente l altezza di tale parallelepipedo rispetto alla base di spigoli v e v 0 : la distanza può quindi essere ricavata dividendo il

5 4 Problemi guida 13 volume AB (v ^ v 0 ) del parallelepipedo per l area di base. Ricordando che l area di base coincide con la lunghezza del prodotto esterno v ^ v 0, si ricava la formula cercata: a 1 b 1 a b a 3 b 3 l m n l 0 m 0 n 0 d(r, s) =. (4.69) v ^ v 0 B r AB r A : * v 0 H Hj v Figura Distanza tra rette sghembe La formula della distanza può essere scritta anche nel modo seguente d(r, s) = a 1 b 0 1 a b 0 a 3 b 0 3 l m n l 0 m 0 n 0 p A At (4.70) dove A è la matrice l m n l 0 m 0 n 0 (4.71) Si osservi che, in questo modo, viene calcolata la distanza tra le due rette, senza ricavare in modo esplicito la coppia di punti che minimizza la distanza. Per ottenere tale coppia di punti, è possibile seguire il procedimento dell Esercizio svolto 4.7 individuando la retta incidente r e s e ortogonale ad entrambe: i punti di incidenza di tale retta con r e s, rispettivamente, sono la coppia di punti di minima distanza. b) Poichè r e s hanno vettori direttori v e v 0 tra loro linearmente indipendenti, ogni piano parallelo sia a r che a s ha giacitura < v, v 0 >:talipianicostituisconouna famiglia di piani paralleli, e in particolare è unico il piano per s parallelo a r: èil piano B+ < v, v 0 >,chechiamiamo. Poichès, ladistanzadir da s è maggiore o uguale alla distanza tra r e : d(r, s) apple d(r, ). D altra parte, poichè r è parallela ad, tuttiipuntidir hanno la stessa distanza da ; dunqued(r, ) =d(a, ). Ma d(a, ) è la distanza tra A e la sua proiezione ortogonale A, cioè l intersezione tra e la retta per A ortogonale a : ma tale intersezione è contenuta in s (come si vede dall Esercizio svolto 4.7. Problema Calcola la distanza tra le rette r e s di equazioni parametriche (rispettivamente): ( x =3+t r : y =1+t z =4 t t R; s : ( x =1+h y =3h z = h h R

6 14 4 Spazi Euclidei Soluzione. La retta r passa per il punto A(3, 1, 4) e ha vettore direttore v(, 1, 1), mentre la retta s passa per il punto B(1, 0, 0) e ha vettore direttore v 0 (1, 3, ). Il prodotto esterno v ^ v 0 ha componenti (1, 3, 5) e lunghezza v ^ v 0 = p 35. Osserviamo che il vettore AB(, 1, 4) non è complanare con v e v 0, perchè AB (v ^ v 0 )= 1 6= 0, e dunque le due rette sono e ettivamente sghembe. In base all Esercizio svolto 4.13, la distanza tra le due rette è dunque d(r, s) = p Osservazione 4.6. Siano S e S 0 due rette sghembe di uno spazio euclideo E di dimensione 3. Esiste un solo piano contenente S e parallelo a S 0. La distanza tra S e S 0 coincide con la distanza di un qualsiasi punto P 0 di S 0 da. Problema Piani paralleli per due rette sghembe Nello spazio a - ne numerico A 3 = A 3 R con riferimento standard, siano S la retta di equazioni x 1 = y = z ed 3 4 S0 la retta di equazioni x = y = z. 1 3 a) Determina equazioni cartesiane della retta S 00 che interseca ortogonalmente sia S che S 0. b) Determina la distanza tra S che S 0. Soluzione. a)un vettore parallelo ad S è v =(, 3, 4), mentre un vettore parallelo ad S 0 è v 0 =(1,, 3). Quindi un vettore w ortogonale a v e v 0 è il loro prodotto vettoriale w =(1,, 1). I fasci di piani per S e S 0 hanno equazione, rispettivamente x +4µy ( +3µ)z 8µ =0 ( +3µ)x y µz =0. Un piano del primo fascio è parallelo a w se e solo se +4µ( ) ( +3µ) =0, ossia per (, µ) proporzionale a (11, 1). Un piano del secondo fascio è parallelo a w se e solo se + 3µ) ( ) µ = 0, ossia per(, µ) proporzionale a (1, ). I piani e 0 sono dunque: :x +4y 14z 30 = 0, 0 :4x + y z =0 Si ha quindi S 00 x +4y 14z 30 = 0 =. 4x + y z =0 b) La distanza tra S ed S 0 è la distanza tra i punti P = S \ S 00 e Q = S 0 \ S 00. Volendo determinare la distanza tra S ed S 0 si può anche procedere come segue. Il piano nel fascio per S parallelo a S 0 si ricava per +8µ ( +3µ)3 = 0: :x 4y +z +6=0. La distanza tra S ed S 0 coincide con la distanza di un qualsiasi punto P 0 di S 0 da ; ad esempio, per P 0 (0, 0, 0), si ricava che d(s, S 0 6 )= p

7 Esercizi 4 Esercizi 15 PIANO EUCLIDEO Considera il piano a ne numerico E = E R con riferimento standard Siano assegnati i punti x(3, 1) e y( 1, ). Calcola Ox, Oy, Ox + Oy e Ox Oy. 4.. Siano assegnati i punti x(1, 4) e y(4, 1). (i) Calcola il coseno dell angolo fra i vettori Ox e Oy. (ii) Calcola il coseno dell angolo fra i vettori Ox e Oy. (iii) Calcola il coseno dell angolo fra i vettori Ox e Oy. (iv) Determina un vettore v V(E ) tale che l angolo fra Ox e v sia / Siano assegnati i punti x(1, 1) e y(4, 3). Calcola l area del triangolo di vertici 0, x e y. Calcola l area del parallelogramma di vertici 0, x, y e x + y. Calcola l area del parallelogramma di vertici 0, x, y e x y Siano x(3, 1), y(5, 6) e z(, ). Calcola l area del triangolo di vertici x, y e z Siano x(x 1,x ), y(y 1,y ) E esiap( x1+y1, x+y ). Calcola la distanza da p a x, la distanza da p a y e la distanza da x a y. Deducichep è i l p u n t o medio tra x e y. x1 =1+3t 4.6. Sia l la retta di equazione parametrica, t R. Determina le equazioni parametrica e cartesiana della retta per q e ortogonale a l. x =+4t Determina inoltre la distanza di q da l Considera la retta l di equazione cartesiana x 3y = 4 e il punto q(1, 3). i) Determina le equazioni parametrica e cartesiana della retta per q e ortogonale a l. ii) Determina la distanza di q da l Considera la retta l di equazione parametrica x1 =3+t x = 1 t, t R, e il punto q(0, 3). i) Calcola la proiezione ortogonale del punto q sulla retta l. ii) Determina la distanza di q da l. iii) Determina la distanza di q dalla retta di equazione 3x y = (i) Determina le equazioni della rotazione R /3 : E! E di un angolo = /3 rispetto all origine. Determina inoltre l immagine, rispetto a R /3, della retta di equazione cartesiana x 5y = 1. (ii)determina le equazioni della rotazione R q, : E! E di un angolo rispetto al punto q(, 3). Determina inoltre l immagine, rispetto a R q,,della retta l di equazione cartesiana x 5y =1edellarettaperq ortogonale ad l.

8 16 4 Spazi Euclidei Sia l la retta di equazione x + y = 0. i) Calcola le equazioni della riflessione R che ha l come luogo di punti fissi. ii) Calcola le immagini tramite R dei punti (0, 1), (0, 0), ( 1, 3). iii) Calcola le immagini tramite R della retta di equazione parametrica x 1 =5,x = t Calcola le immagini dei punti (1, 1), (1, 3), (3, 1) tramite la riflessione rispetto all asse delle ascisse. Analoga domanda utilizzando la riflessione di asse la retta di equazione x = y, oppure la retta di equazione x +3y = 0, oppure la retta di equazione 3x + y = 1. SPAZIO EUCLIDEO DI DIMENSIONE 3 Si consideri lo spazio a ne numerico E 3 = E 3 R con riferimento standard Siano x(3, 1, ), y( 1,, 1), z(, 1, 1). i) Calcola la distanza tra x e y. ii) Calcola l area del triangolo di vertici O, x e y. iii) Calcola il volume del parallelepipedo che ha come spigoli Ox, Oy e Oz. iv) Calcola il coseno dell angolo tra Ox e Oy. x + y = Siano P (1, 0, 1), Q(1, 0, 0), l la retta di equazioni x +z =1, il piano di equazione x +3y + z = 1. i) Determinare la distanza tra P ed l e la distanza tra P e. ii) Determinare la retta per P e ortogonale a. iii) Determinare il piano per P e ortogonale a l. iv) Le proiezioni ortogonali di Q su l esu Siano r 1 la retta di equazioni x 1= y = z ed r la retta di equazioni x y = x + z = 0. Determinare la retta s che interseca ortogonalmente sia r 1 che r. Determinare inoltre la distanza tra r 1 ed r Sia v( 1, 1, 1). i) Determina le equazioni della rotazione ' : E 3! E 3 di angolo / intorno a v. 8 < x 1 =1+t ii) Siano l la retta di equazione parametrica x = 1+t (t R), r la retta : x 3 = t x1 +3x di equazioni cartesiane =0, il piano di equazione cartesiana x +4x 3 = x + x 3 = 1. Determinare le immagini di l, r e tramite ' Determinare le equazioni 8 della rotazione di angolo0 / attorno alla retta < x 1 = l di equazione parametrica x =1+t orientata A. : x 3 = t 1

9 Complementi 4.10 Similitudini Similitudini Siano E e E 0 spazi euclidei sullo stesso campo. Definizione Una a nità ' : E! E 0 si dice similitudine se esiste uno scalare k>0 tale che ' l {PQ} = k {PQ}. Lo scalare k viene detto rapporto della similitudine. In particolare, ogni traslazione e ogni isometria è una similitudine. Proposizione Sia data una a nità ' : E n! E n di equazioni y = Ax + c. Allora' è u n a s i m i l i t u d i n e s e e s o l o s e a 1 = a =...= a n a i a j =0 i 6= j, i, j =1,...,n dove con a i si denoti la colonna i-ma di A =(a ij ). Dimostrazione. L a nità ' è una similitudine se e solo se esiste k tale che: Svolgendo i calcoli, si ottiene: Ax = k x 8 x. k (x x n)=(a 11 x a 1n x n ) +...(a n1 x a nn x n ) = a 1 x a n x n + P i6=j a i a j x i x j. Poiché tale equazione possa essere soddisfatta per ogni valore di x occorre e basta che tutti i suoi coe cienti siano nulli, ottenendo le relazioni cercate. ut Esempio n=1: i movimenti hanno equazione della forma y = ± x + c, mentre le similitudini hanno equazione della forma y = k x + c. Esempio n=: Esistono due e due sole similitudini tra due piani e 0, in cui a due punti assegnati A e B di corrispondano due punti assegnati A 0 e B 0 di 0. In opportuni riferimenti cartesiani ortogonali, una similitudine tra due piani ha equazioni della forma x 0 = kx, y 0 = ±k y. Proposizione Se una a nità ' tra due piani trasforma un cerchio in un cerchio, allora ' è una similitudine.

10 18 4 Complementi 4.11 Coordinate polari nel piano e nello spazio E possibile identificare il piano a ne numerico con i numeri complessi: A! C (x, y) 7! z = x + iy Si vogliono scrivere le equazioni delle a nità piane sfruttando tale identificazione. Si consideri l a nità corrispondente all equazione (a C, a 6= 0): z 0 = '(z) =az + b. (4.7) A sua volta, R \{(0, 0)} è in corrispondenza biunivoca con C\{O}, mediante la posizione x = cos y = sen. La coppia [, ] costituisce le coordinate polari del punto (x,y). Si osservi che = p x + y. Sostituendo in (4.7), a = (cos + isen ), z = x + iy, b = b 1 + ib, si ricava: '(z) = az + b = (cos + isen )(x + iy)+(b 1 + ib ) (4.73) =( cos x sen y)+i ( sen x+ cos y)+(b 1 + ib ). (4.74) Dunque, tutte e sole le a nità piane dirette ammettono equazioni della forma (4.7). Per ottenere le a nità inverse, basta comporre con il coniugio: z 7! z (x, y) 7! (x, y). 4.1 Isometrie del piano a) Simmetrie ortogonali Nel piano euclideo, in cui sia fissato un riferimento monometrico ortogonale, si consideri la simmetria ortogonale ' rispetto alla retta r di equazione cartesiana ax + by + c = 0. Si vogliono determinare le equazioni di '. La direzione ortogonale a r è individuata dal vettore (a, b); pertanto, la retta per un punto P (, ) e ortogonale a r ha equazioni parametriche: x = + ta y = + tb Il punto H P di intersezione tra questa retta e r corrisponde al valore t 0 del parametro t che verifica l uguaglianza a( + ta)+b ( + tb)+c =0

11 4.1 Isometrie del piano 19 cioè t 0 = a + b + c a + b e a + b + c a + b + c H P =( a + b a, a + b b). Ma H P è i l p u n t o m e d i o t r a P e '(P )=( 0, 0 )edunque: ( 0 = +t 0 a = a +b +c a +b a = a +b +c a +b a 0 = +t 0 b = b a +b +c a +b. La matrice di ' l è ortogonale inversa: b) Teorema di Chasles b a a +b ab a +b ab a b a +b a +b Teorema Una isometria di E diversa dall identità è: una rotazione se è diretta e fissa un punto; una riflessione se è inversa e fissa (almeno) un punto; una traslazione se è diretta e non ha punti fissi; una glissoriflessione se è inversa e non ha punti fissi. Dimostrazione. Supponiamo che una isometria ' : E! E abbia un punto unito C. Modificando eventualmente il riferimento ortogonale monometrico, è possibile supporre che il punto C coincida con l origine. L isometria ' ha dunque equazioni del tipo: y = Ax, con A matrice ortogonale. In base alla classificazione già vista delle isometrie piane che fissano l origine, si ritrovano la prima e la seconda asserzione dell enunciato. Supponiamo dunque che ' non abbia punti uniti e che sia diretta. In un sistema ortogonale monometrico, si scrivano le equazioni di ', con le consuete notazioni; la condizione a nché ' non abbia punti uniti è che il seguente sistema non sia compatibile: x = a11 x + a 1 y + c 1. y = a 1 x + a y + c Equivalentemente, non deve essere compatibile il sistema: (a11 1) x + a 1 y + c 1 =0 a 1 x +(a 1) y + c =0 Sicuramente il rango della matrice dei coe ciente di tale sistema non può allora avere rango, e si deve quindi avere che 0= (a 11 1) a 1 a 1 (a 1) =(a 11 1)(a 1) a 1 a 1 = a 11 a a 1 a 1 +1 a 11 a!.

12 130 4 Complementi (cioè che 1 sia un autovalore per ' l ). Ricordando che ' è diretta per ipotesi, ne segue che: a 11 a =0. Ma a 11 apple1, a apple1 perché il riferimento scelto è monometrico ortogonale. Dunque la sola possibiltà è che si abbia a 11 = a = 1, e dunque a 1 = a 1 =0 e l isometria ' è una traslazione, come si voleva. Supponiamo infine che ' non abbia punti uniti e che sia inversa. Anche l isometria ' risulta allora priva di punti uniti: infatti, se fosse ' (P )=P per qualche punto P, l isometria ' manderebbe il segmento P'(P ) nel segmento '(P )P ; in particolare, il punto medio M di tale segmento verrebbe mandato in sé stesso, contro l ipotesi che ' non abbia punti uniti. Per quanto sopra osservato, l isometria ', che è una isometria diretta priva di punti uniti, è una traslazione per un vettore v; scelto un qualsiasi punto Q, il vettore v deve essere uguale a {Q' (Q)}. In particolare Q'(Q) è parallelo al vettore ' (Q)' 3 (Q) eipuntiq, '(Q), ' 3 (Q), ' (Q) sono vertici di un parallelogramma. L isometria ' muta dunque il segmento Q' (Q) nel segmento ' (Q)' 4 (Q), che giace sulla retta s individuata da Q' (Q) perch e' 4 (Q) =' (Q)+v. Osservando che il segmento ' (Q)' 4 (Q) è l immagine di '(Q)' 3 (Q) tramite ', siricava che ' manda la retta s 0 per '(Q) e' 3 (Q) sullarettas. Poiché, viceversa, ' manda s in s 0, se ne conclude che ' scambia s e s 0, e dunque manda in sè stessa la retta r complanare ed equidistante da s e s 0. La restrizione di ' ad r coincide con la traslazione v di vettore v, perché il suo quadrato opera come la traslazione di vettore v; dunque v ' fissa la retta r punto per punto. Se ne conclude che v ' è una riflessione e ' una glissoriflessione. ut c) Gruppi finiti di movimenti piani Siano assegnati, nel piano euclideo E, un sistema di riferimento monometrico ortogonale, e l identificazione corrispondente di E con C. Teorema Ogni gruppo finito non banale di movimenti del piano è isomorfo a Z/nZ, per qualche n, oppure a uno dei gruppi diedrali D n, n 1. Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che un gruppo finito G di movimenti non può contenere traslazioni né glissoriflessioni (perchè il quadrato di una glissoriflessione è una traslazione non banale). Supponiamo che tutti gli elementi del gruppo siano rotazioni. Se G ha ordine due, il suo unico elemento non nullo è la rotazione di un angolo piatto. Se invece l ordine di G è maggiore di, siano ' e due elementi distinti del gruppo, diversi dall identità. Per una opportuna scelta dell origine del riferimento, è possibile supporre che i movimenti abbiano equazioni della forma: '(z) =az (z) = a 0 z + b Anche i movimenti inversi devono appartenere a G:

13 4.1 Isometrie del piano 131 come anche le loro composizioni: ' 1 (z) = z a 1 (z) = z a 0 b a 0 (' )(z) =aa 0 z + ab (' 1 1 ' )(z) = 1 aa 0 (aa 0 z + ab) b b(a 1) aa = z + 0 aa ; 0 poiché G non contiene traslazioni e a 6= 1, l ultima uguaglianza implica che b = 0, cioè che tutte le rotazioni in G abbiano lo stesso centro. In particolare, G è commutativo. Sia ora ' l elemento di G con l angolo di rotazione minimo e chiamiamo tale angolo. Se G è una rotazione di angolo deve essere = k per un opportuno intero k: altrimenti, posto m il massimo intero tale che m <, si avrebbe 0 < m < e G conterrebbe una rotazione di angolo strettamente inferiore a, contraddicendo le ipotesi. In particolare, il gruppo G è ciclico finito, ed è dunque un gruppo ciclico di radici dell unità. Supponiamo ora che il gruppo G contenga (almeno una) riflessione, e consideriamo il sottogruppo G + di G formato dagli elementi diretti. Per quanto osservato, G + è un gruppo ciclico finito, generato da una rotazione R di ordine n (n =1seG + è banale). Poichè gli elementi, R,..., R n 1 sono riflessioni tra loro distinte, risulta che il numero m delle riflessioni in G è almeno n: m n. D altra parte, se S 1,...,S m sono le riflessioni di G, allora S 1,..., S m sono m distinte rotazioni in G: dunqueilnumerom delle riflessioni è uguale al numero n delle rotazioni, e G è un gruppo diedrale. ut Esempio La simmetria ortogonale rispetto ad una retta genera un gruppo G di isometrie isomorfo a Z. Le isometrie di un poligono regolare con n lati formano un gruppo di isometrie G isomorfo al gruppo diedrale D n. Le rotazioni che sono isometrie di un poligono regolare con n lati formano un gruppo di isometrie G isomorfo al gruppo diedrale Z n. Il gruppo delle isometrie di un rettangolo non quadrato è isomorfo al gruppo di Klein Z Z.

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15 5 Alcuni luoghi geometrici notevoli In tutto il capitolo, consideriamo fissato un piano euclideo nel quale sia assegnato un riferimento cartesiano R =(O, v 1, v ) monometrico ortogonale. Studieremo alcuni luoghi geometrici di particolare rilievo. 5.1 Circonferenza Definizione Fissati un numero reale positivo r > 0 ed un punto C(x 0,y 0 ), la circonferenza di centro C e raggio r è il luogo dei punti P la cui distanza da C sia uguale a r. Un punto P (x, y) appartiene dunque alla circonferenza se e solo se < PC, PC >= r. Ricordando che < PC, PC >= (x x 0 ) +(y y 0 ), si ricava che l equazione dei punti di è data da (x x 0 ) +(y y 0 ) = r (5.1) o da una qualsiasi equazione ottenuta moltiplicandola per una costante non nulla. Sviluppando i prodotti, l equazione (5.1) assume la forma: x + y + ax+ by+ c =0 (5.) ove la relazione tra i coe cienti dell equazione e il raggio e il centro assegnati è data da: a = x 0 b = y 0, c = x 0 + y0 r. (5.3) Invertendo tali uguaglianze, si ricava che x 0 = a, y 0 = b, r = r a 4 + b 4 c (5.4)

16 134 5 Alcuni luoghi geometrici notevoli con l ulteriore condizione necessaria: a 4 + b 4 c>0. (5.5) Si osservi che, viceversa, ogni equazione della forma (5.), con a, b, c reali e soddisfacenti (5.5), risulta essere l equazione di una circonferenza nel riferimento assegnato, avente centro nel punto (x 0,y 0 ) e raggio r definiti da (5.4). Riassumendo, una equazione della forma (x + y )+ x+ y+ =0 (5.6) con (6= 0),,, numeri reali, rappresenta una circonferenza se e solo se vale la relazione + 4 > 0. (5.7) Sotto tale condizione, le coordinate (x 0,y 0 ) del centro sono date da x 0 =, y 0 = e l equazione (5.7) è detta equazione cartesiana della circonferenza. Esempio La circonferenza di centro C(, 1) e raggio r = 3 ha equazione (x ) +(y 1) = 9. Esempio L equazione x + y 6x 5 è una circonferenza di centro C(, 1) e raggio r = 4. Osservazione Metodo del completamento dei quadrati Data l equazione di una circonferenza, per determinare le coordinate del centro, è possibile utilizzare il metodo del completamento dei quadrati, scrivendo i termini in x come x + ax = (x + a ) a e i termini in y come y + by =(y + b ) b. Esempio La circonferenza di equazione x + y infiniti punti. 3 = 0 è reale e ha Esempio La circonferenza di equazione x + y + 1 = 0 è reale ma non ha nessun punto. Esempio La circonferenza di equazione x +y = 0 è reale e ha un unico punto, l origine. 5. Intersezione e tangenza tra circonferenza e retta. Siano assegnate una circonferenza di equazione (x x 0 ) +(y y 0 ) r =0 ed una retta s di equazione ax+ by+ c =0. Un punto P (p 1,p ) appartiene all intersezione di e s se e solo se le sue coordinate (p 1,p ) soddisfano sia l equazione di che quella di s, cioè le sue coordinate soddisfano il sistema (non lineare)

17 5. Intersezione e tangenza tra circonferenza e retta. 135 ax+ by+ c =0 (x x 0 ) +(y y 0 ) r =0 Procedendo per sostituzione, si elimina una delle due variabili e ci si riconduce ad una equazione di secondo grado nell altra variabile: ad esempio, se a 6= 0, si può ricavare x = by+c a e sostituirla nell equazione della circonferenza, ottenendo l espressione ( by+c a x 0 ) +(y y 0 ) r = 0, che è una equazione di secondo grado in y detta risultante in y del sistema. Ogni radice del risultante in y fornisce l ordinata di un punto di intersezione tra e s: la corrispondente ascissa si determina per sostituzione grazie all equazione della retta. Se invece b 6= 0, si procede in modo analogo sostituendo l espressione di y e ricavando il risultante in x del sistema. Ogni radice del risultante in x fornisce l ascissa di un punto di intersezione tra e s: la corrispondente ordinata si determina per sostituzione grazie all equazione della retta. Si presentano 3 possibili casi: Caso 1. Il sistema ha due soluzioni reali distinte. In tal caso la retta s si dice secante. Questo caso si verifica se il discriminante dell equazione risultante (in x oiny) è maggiore di 0. Equivalentemente, se e solo se dist(c, s) <r. Caso. Il sistema ha una sola soluzione reale. In tal caso la retta s si dice tangente. Questo caso si verifica se il discriminante dell equazione risultante (in x oiny) è uguale a 0. Equivalentemente, se e solo se dist(c, s) =r. Caso 3. Il sistema ha due soluzioni reali distinte. In tal caso la retta s si dice esterna. Questo caso si verifica se il discriminante dell equazione risultante (in x oiny) è minore di 0. Equivalentemente, se e solo se dist(c, s) >r. Esempio Siano la circonferenza di equazione x +y =1esdiequazio- ne x y = 0. La retta s è secante, passando per il centro O di. L intersezione è formata da due punti distinti. Esempio 5... Siano la circonferenza di equazione x + y =1es di equazione x = 1. La retta s è tangente, avendo distanza 1, pari al raggio, dal centro O di. L intersezione è formata dal punto (1, 0). Esempio Siano la circonferenza di equazione x + y =1es di equazione x y = 15. La retta s è esterna, poiché la sua distanza dal centro O di è maggiore del raggio 1. L intersezione è vuota. Si rimanda al problema 5.5 per una formula esplicita che fornisca la condizione di tangenza tra retta e circonferenza, nei termini dei coe cienti delle loro equazioni cartesiane. Se P (x, y), esiste una sola retta per P che sia tangente a : Definizione Se P (x, y), l unicarettaperp che sia tangente a viene detta la retta tangente a in P. Si osservi che la retta tangente a in P è ortogonale al vettore CP, se C è i l c e n t r o d i : in caso contrario, la retta conterrebbe un punto Q con dist(c, Q) <r, e la retta sarebbe secante. Ricordando che le coordinate del

18 136 5 Alcuni luoghi geometrici notevoli centro sono C(x 0,y 0 ), si ricava il vettore CP =(x x 0, y y 0 ); l equazione della retta tangente a in P (x, y), è dunque: (x x 0 )(x x)+(y y 0 )(y y) =0. (5.8) Osservazione Si sviluppi l equazione della circonferenza nella forma: f(x, y) =x + y + Dx+ Ey+ G =0. (5.9) Ricordando che p, si ricava la relazione: f(x, y) =x + y + D x + E y + G = 0; (5.10) grazie alla quale, l equazione (5.8) della retta tangente a nel punto P (x, y) diviene: xx + yy + D x + x + E y + y + G =0. (5.11) Tale formula si ricostruisce dall equazione (5.9) con la regola degli sdoppiamenti che consiste nel sostituire x con xx, y con yy, x con x+x, y con y+y. Esempio Se è la circonferenza di equazione x + y 7x 3 = 0, facendo uso della regola degli sdoppiamenti si ricava che la tangente a in P (1, 3) ha equazione x +3y 7( x+1 ) 3 = 0. Osservazione Se la circonferenza passa per l origine O, la sua equazione è della forma f(x, y) =x +y +Dx+Ey= 0. La tangente a nell origine è data da Dx+ Ey=0 (5.1) e si ottiene considerando solo i termini lineari dell equazione di. Esempio La tangente in O a di equazione x + y 5x + 1 y =0è la retta di equazione 5x + 1 y = Polarità rispetto a una circonferenza. Sia la circonferenza di equazione f(x, y) =x + y + Dx+ Ey+ G =0, (5.13) esiap (x, y) un punto del piano, distinto dal centro C di. Definizione La polare di P rispetto a è la retta, denotata con P, di equazione xx + yy + D x + x + E y + y + G =0. (5.14)

19 5.4 Ellissi 137 Si osservi che l equazione (5.14) definisce e ettivamente una retta, perché D P 6= C(, E ). Osservazione Per l osservazione 5..5, se P la retta tangente a in P., la polare coincide con Osservazione Descrizione geometrica della retta polare di un punto rispetto alla circonferenza Sia la circonferenza di centro C(x 0,y 0 ) e raggio r>0esiap (x, y) un punto del piano, distinto da C. Sullasemiretta di origine C e contenente P, è univocamente determinato il punto H tale che CH CP = r. (5.15) Mostriamo che la polare P di P rispetto a è la retta passante per H e perpendicolare alla retta per P e C. Viceversa, data una retta t che non passi per il centro C di, esiste un unico punto Q del piano tale che la polare Q coincida con t; infatti, sia H il punto di intersezione tra t elarettaperc e perpendicolare a t: resta individuato un unico punto P, appartenente alla semiretta di origine C e passante per H, e che soddisfi (5.15); per costruzione, la polare di P coincide con t. 5.4 Ellissi Nel piano, siano assegnati due punti F 1 e F, non necessariamente distinti tra loro, e sia fissato un numero reale positivo a. Si consideri l insieme dei punti P (x, y) tali che F 1 P + F P =a. (5.16) Osserviamo che, per ogni punto P del piano, si ha necessariamente che posto se F 1 P + F P > F 1 F ; (5.17) F 1 F = c, (5.18) a<c non esistono dunque punti P soddisfacenti (5.17), e il luogo cercato è vuoto. Se invece a = c, l insieme dei punti cercati coincide con il segmento di estremi F 1 e F. Nel caso in cui a>ce F 1 = F (cioè c = 0), il luogo cercato è la circonferenza di centro F 1 = F e raggio a. Seinvece

20 138 5 Alcuni luoghi geometrici notevoli a>c>0, il luogo dei punti del piano che soddisfano (5.17) è una curva detta ellisse. Essa può essere facilmente disegnata fissando in F 1 e F gli estremi di un filo di lunghezza a e tracciando con la matita sul piano la curva ottenuta tenendo teso il filo. Definizione IpuntiF 1 e F si dicono fuochi dell ellisse. Se i fuochi sono distinti, la retta per F 1 e F e l asse del segmento di estremi F 1 e F vengono chiamati assi dell ellisse. L intersezione O dei due assi viene detto centro. Osservazione Ogni asse dell ellisse è un asse di simmetria ortogonale per l ellisse. Il centro è un centro di simmetria per l ellisse. É possibile introdurre un sistema di riferimento nel piano avente per origine il punto O e assi paralleli agli assi dell ellisse: SCEGLIERE L ASSE. Studiamo ora le intersezioni dell ellisse con gli assi. 5.5 Iperboli (fare) 5.6 Parabole(fare) 5.7 Tangenti, polari, diametri. Proprietà focali (fare)

21 Esercizi svolti 5 Problemi guida 139 Circonferenza Problema 5.1. Circonferenza con raggio e centro assegnati Sia la circonferenza di centro C(, ) e raggio r =3. Determinare l equazione di. Soluzione. L equazione è data da [x ] +[y ] =3,cioèx +y??x??y+?? = 0. Problema 5.. Determinare una equazione della circonferenza C(4, 1) e passante per il punto B(?,?). di centro Soluzione. Il raggio della circonferenze è pari alla distanza tra C e B, ed è d u n q u e p [? 4] +[? 1] = p??. L equazione di è quindi data da (x 4)? +(y 1) =?. Problema 5.3. Discutere se la.. è una circonferenza. In caso positivo, determinarne centro e raggio. Soluzione. scrivere Problema 5.4. Sia la circonferenza di equazione x + y =8esianol 1, l e l 3 le rette di equazione x + y =4, x + y =e x + y =5rispettivamente. Determinare il centro e il raggio di, e le intersezioni \ l i (i =1,, 3). Soluzione. scrivere Problema 5.5. Retta tangente a una circonferenza in un suo punto assegnato, mediante formula della distanza Siano date una retta s di equazione ax + by + c = 0ed una circonferenza di equazione la condizione di tangenza tra e s è: x + y + Dx+ Ey+ G = 0; (E 4 G) a +(D 4 G) b DEab +4Dac +4Ebc 4c =0 (5.19) Soluzione. scrivere ottenuta imponendo che dist(c, s) sia pari al raggio. Problema 5.6. Retta tangente a una circonferenza in un suo punto assegnato, imponendo l ortogonalità al raggio Soluzione. scrivere Problema 5.7. Retta tangente ad una circonferenza, tramite le derivate parziali Si scriva l equazione della circonferenza nella forma: f(x, y) =(x x 0 ) +(y y 0 ) r =0. Mostrare che la retta tangente a nel punto P (x, y) è d a t a d a (x, x)+@f (x, y)(y y) =0. Se è la circonferenza di equazione x + y 7x 3=0, determinare la tangente a in P (1, 3). ut

22 140 5 Alcuni luoghi geometrici notevoli Soluzione. scrivere Risulta: x x 0 = (x, y) y y 0 = 1 (x, y) Nel caso l equazione della circonferenza sia scritta nella forma f(x, y) =x + y + Dx+ Ey+ G =0, (x, y) =x (x, y) =y + E : tale espressione non richiede di esplicitare centro e raggio. Nell esempio proposto, facendo uso delle derivate parziali si ricava che la tangente a in P (1, 3) ha equazione ( 7)(x 1) + 6 (y 3) = 0. Problema 5.8. Rette tangenti a una circonferenza passanti per un punto del piano Soluzione. scrivere ut Problema 5.9. Intersezione tra circonferenze Siano 1 la circonferenza 1 di centro e raggio p e 1 la circonferenza di equazione x +y 5x+4x =0. Determinare i punti di intersezione tra 1 e. Determinare inoltre il centro 5 e il raggio di. Determinare, infine, tutte le rette per Q la cui distanza 3 1 da sia uguale a 1. 1 Soluzione. scrivere Problema Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza Sia la circonferenza di equazione x + y 8x 8y +7=0. Determinare le tangenti a uscenti dai punti,,. Determinare inoltre la potenza di tali punti rispetto alla circonferenza. Soluzione. scrivere Problema Esempio 4 pag I-60 Valabrega Soluzione. scrivere Problema 5.1. Esempio 5 pag I-61 Valabrega Soluzione. scrivere

23 Problema Sia 10 p Problemi guida 141 la circonferenza di centro e raggio 37 e sia 3 i) Determinare il punto q 1 più vicino a p. ii) Determinare il punto q più lontano da p. iii) Determinare la distanza tra q 1 e q. iv) Determinare una equazione parametrica per. 0 1 v) Determinare la potenza dei punti e 1 1 punti sono interni o esterni a? Soluzione. scrivere Ellisse Problema Determinare l equazione dell ellisse... Soluzione. scrivere rispetto a Problema Verificare che... è l equazione di un ellisse... Soluzione. scrivere. Questi Problema Determinare fuochi, centro, vertici, semiassi, direttrici ed eccentricità dell ellissi di equazione x /4+y /5=1. Determinare inoltre una equazione parametrica di e la sua forma polare. Determinare p infine le 0 tangenti a uscenti (rispettivamente) dai punti, p. 1 5/ Soluzione. scrivere Iperbole Problema Determinare fuochi, centro, vertici, semiassi, asintoti, direttrici, eccentricità, equazioni parametriche e forma polare dell iperbole di equazione x /4+y /5=1. Determinare inoltre le tangenti a uscenti dal 0 punto. 1 Soluzione. scrivere Parabola Problema Determinare asse, fuoco, vertice, direttrice, equazioni parametriche e forma polare della parabola di equazione y =3x. Soluzione. scrivere

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25 6 Alcuni luoghi geometrici notevoli nello spazio In tutto il capitolo, consideriamo fissato uno spazio euclideo E di dimensione 3 nel quale sia assegnato un riferimento cartesiano R =(O, v 1, v, v 3 ) monometrico ortogonale. Verranno introdotti alcuni luoghi geometrici di particolare rilievo. 6 Sfere (fare) Intersezioni con sottospazi. Polarità. Potenza. Intersezione di sfere e iperpiano radicale. Rappresentazione parametrica di una circonferenza o di una sfera di E 3. 6 Coni Definizione 6.1. Siano V E, E. Sidice cono di vertice V e direttrice lo spazio unione delle rette VP congiungenti V ed un qualsiasi punto P : [ VP = X. (6.1) P Esempio 6.. Il cono circolare retto Nello spazio a ne euclideo di dimensione 3, siano V = O l origine, la circonferenza di equazioni + y + z =1 x. x + y + z =1 Un punto P (,, ) appartiene a se e solo se + + =1 + + =1. (6.) L equazione parametrica della retta VP risulta essere:

26 144 6 Alcuni luoghi geometrici notevoli nello spazio 8 < x = t y = t : z = t (6.3) Eliminando i parametri,, dalle equazioni (6.), (6.3) si ottiene: x + y + z = t. (6.4) x + y + z = t Eliminando ora il parametro t si ricava l equazione: x + y + z =(x + y + z). (6.5) Il cono di vertice O edirettrice si dice cilindro circolare retto ed ha pertanto equazione: xy + yz + zx =0. (6.6) Il polinomio xy + yz + zx è irriducibile; altrimenti si fattorizzerebbe come prodotto di fattori lineari. L assenza di termini quadratici in una singola variabile comporta che x, y, e z compaiono in uno solo dei due fattori. D altra parte, poiché sono non nulli i termini in xy e xz, signica che un fattore è della forma ax + d e l altro della forma b 0 y + c 0 z + d 0. Ma questo è assurdo, perché xy + yz + zx contiene un termine non nullo in yz. Esempio 6.3. Nello spazio a ne euclideo di dimensione 3, siano V =(0, 0, 1), x l ellissi di equazioni +y =1. Ragionando analogamente a quanto z =0 visto nel punto precedente, si vede facilmente che un punto di coordinate (x, y, z) appartiene al cono di vertice V edirettrice se e solo se soddisfa il sistema di equazioni: =1 + =1 >< =0 >< =0 x x = t cioè t =. (6.7) y y = t >: >: t = z =1+t ( 1) +1= z 1 t Eliminando i parametri,,, si ottengono le equazioni: x t + y z 1 t =1 t +1=0 Il cono X di vertice V edirettrice x cioè +y = t t =1 z ha equazione: (6.8) x +y =(1 z). (6.9) Si verifica facilmente che il polinomio x +y =(1 z) è i r r i d u c i b i l e.

27 6 Coni 145 Esempio 6.4. Nello spazio a ne euclideo di dimensione 3, siano V =(0, 1, 1), x y l iperbole di equazioni =1. Come negli esempi precedenti, un z =0 punto di coordinate (x, y, z) appartiene al cono di vertice V edirettrice se e solo se soddisfa il sistema di equazioni: 8 =1 >< =0 x = t (6.10) y =1+t ( 1) >: z =1+t ( 1) o, equivalentemente: x t z =1 y 1 Eliminando il parametro t si ottiene: t t +1 =1 (6.11) x y 1 1 z 1 z +1 =1. (6.1) Svolgendo i passaggi algebrici l equazione diviene: x y z =1 (6.13) 1 z 1 z x (y z) =(1 z) x y z +yz =1+z z. Il cono X di vertice V e direttrice è l ipersuperficie di equazione cartesiana: x y z +yz +z 1=0. Esempio 6.5. Nello spazio a ne euclideo di dimensione 3, siano V =(0, 1, 0), z la parabola di equazioni =x. Come negli esempi precedenti, un punto y =0 di coordinate (x, y, z) appartiene al cono di vertice V edirettrice se e solo se soddisfa il sistema di equazioni: 8 = >< =0 x = t (6.14) y =1+t ( 1) >: z = t o, equivalentemente: x t = z t y =1 t (6.15)

28 146 6 Alcuni luoghi geometrici notevoli nello spazio o, ancora: tx = z t =1 y. (6.16) Il cono di vertice V edirettrice è l ipersuperficie irriducibile di equazione cartesiana: (1 y)x = z. (6.17) 6 Cilindri Definizione 6.1. Siano una direzione in E n e E n.il cilindro di direttrice e generatrici aventi la direzione è l unione, al variare di P, dei punti sulla retta P per P di direzione. In simboli: X = [ P. (6.18) P Esempio 6.. Nello spazio a ne euclideo di dimensione 3, sia la direzione individuata dai parametri direttori (1, 1, 1) e sia la parabola di equazioni z =0 y. Un punto P (x, y, z) appartiene al cilindro di direttrice =3x e generatrici di direzione se e solo se le sue coordinate soddisfano le equazioni: 8 =0 >< 3 = x = + t (6.19) y = + t >: z = + t Eliminando i parametri,, si ottengono le relazioni: 3(x t) =(y t). (6.0) z = t Il cilindro di direttrice e generatrici di direzione (detto cilindro parabolico) risulta essere l ipersuperficie di equazione cartesiana: 3(x z) =(y z). (6.1) Il polinomio 3x 3z (y z), che è della forma 3x f(y, z) èirriducibile per quanto visto al punto 5). Esempio 6.3. Nello spazio a ne euclideo di dimensione 3, sia la direzione della retta di equazioni: e sia l ellissi di equazioni 3x y +1=0 x y + z =0 x =0 y + z. Si verifica facilmente che i parametri direttori di =1 sono (1, 3, ).

29 6 Superficie di rotazione 147 Il cilindro di direttrice e generatrici di direzione si dice cilindro ellittico e i suoi punti hanno coordinate (x, y, z) soluzione delle equazioni: 8 =0 >< + 1 =1 x = + t y = +3t >: z = +t (6.) Eliminando i parametri,, si ottengono le relazioni: (y 3t) +(z t) =1. (6.3) x = t Il cilindro di direttrice e generatrici di direzione ammette dunque l equazione cartesiana: (y 3x) +(z x) =1. (6.4) Esempio 6.4. Nello spazio a ne euclideo di dimensione 3, sia la direzione della retta congiungente i punti P (1,, 0) e Q(1, 1, 1) e sia l iperbole y =0 x z. I parametri direttori di sono (0, 1, 1). =3 Il cilindro di direttrice e generatrici di direzione si dice cilindro iperbolico e i suoi punti hanno coordinate (x, y, z) soluzione delle equazioni: 8 =0 >< 1 =3 x = (6.5) y = + t >: z = t Eliminando i parametri,, si ottengono le relazioni: x (z + t) =3. (6.6) y = t Il cilindro di direttrice e generatrici di direzione è pertanto la superficie irriducibile di equazione cartesiana: x (z + y) =3. (6.7) 6 Equazioni implicite e parametriche di luoghi geometrici 6 Superficie di rotazione Superficie di rotazione nello spazio euclideo E 3 3-dimensionale. Siano E 3 ed r una retta. Si consideri il luogo X descritto dalla rotazione di

30 148 6 Alcuni luoghi geometrici notevoli nello spazio intorno ad r: per ogni P, si consideri il piano P per P ed ortogonale ad r e si indichi con C P P la circonferenza di centro P \ r passante per P. La circonferenza C P si dice traiettoria di P nella rotazione. In simboli: X = [ C P (6.8) P z =0 Esempio 6.1. Siano r l asse x e l ellissi di equazioni x y. Il luogo =1 X descritto dalla rotazione di intorno ad r si dice iperboloide ellittico. Un punto P (,, ) appartiene a se e solo se le sue coordinate soddisfano =0 le equazioni:. Il piano per P ortogonale ad r ha equazione x = =1 x e la circonferenza C P è d e s c r i t t a d a + y + z = + +. Il luogo x = cercato X è descritto dall equazione: x + y + z = x +(x 1) (6.9) cioé x y z =1. (6.30) Esempio 6.. Siano come nel punto precedente ed r l asse y. Il luogo X descritto dalla rotazione di intorno ad r si dice iperboloide iperbolico. Se P (,, ) appartiene a il piano per P ortogonale ad r ha equazione x y = e la circonferenza C P è d e s c r i t t a d a + y + z = + +.Il y = luogo cercato X è descritto dall equazione: cioé x + y + z =1+y + y (6.31) x y + z =1. (6.3) Come di consueto, si verifica che X è una ipersuperficie irriducibile. z =0 Esempio 6.3. Siano r l asse x e la parabola di equazioni y. Il luogo =x X descritto dalla rotazione di intorno ad r si dice paraboloide ellittico. Un punto P (,, ) appartiene a se e solo se le sue coordinate soddisfano =0 le equazioni:. Il piano per P ortogonale ad r ha equazione x = = x e la circonferenza C P è d e s c r i t t a d a + y + z = + +. Il luogo x = cercato X è descritto dall equazione: x + y + z = x +x (6.33)

31 cioé 6 Quadriche in forma canonica (fare) (C p. 514 e segg) 149 y + z =x. (6.34) Il polinomio x y z è irriducibile perché è della forma x f(y, z). Osservazione 6.4. Regola. Siano r l asse z esiaf(y, z) = 0 l equazione di una curva in A (identificato con il piano x = 0). Si vuole studiare il luogo X descritto dalla rotazione di intorno ad r. Un punto P (,, ) appartiene a se e solo se le sue coordinate soddisfano =0 le equazioni:. Il piano per P ortogonale ad r ha equazione z = f(, ) =0 x e la circonferenza C P è d e s c r i t t a d a + y + z = + +. Il luogo z = cercato X è descritto dall equazione: f( p x + y,z)=0 (6.35) Esempio 6.5. Siano r l asse z e X descritto dalla rotazione di Esso è descritto dall equazione: x =0 l ellissi di equazioni y +z. Il luogo =1 intorno ad r si dice ellissoide di rotazione. ( p x + y ) +z =1 (6.36) cioé x + y +z =1. (6.37) Si verifica facilmente che X è una ipersuperficie irriducibile. 6Rigate(fare) 6 Quadriche in forma canonica (fare) (C p. 514 e segg)

32 150 6 Alcuni luoghi geometrici notevoli nello spazio Esercizi svolti Problema 6.1. Determinare equazione parametrica e cartesiana della superficie di rotazione descritta, ruotando attorno ad e 1, x3 =0 i) dalla retta di equazioni cartesiane x 1 +4x =. ( x3 =0 ii) l ellissi di equazioni x x 5 =1. ( x3 =0 iii) l iperbole di equazioni x 1 x 16 9 =1. x3 =0 iv) la parabola di equazioni x. =x 1 x1 =0 v) la parabola di equazioni x. =x 3 Soluzione. scrivere ut Esercizi Sia E R lo spazio euclideo 3-dimensionale reale. Si consideri fissato un riferimento R Scrivere l equazione del cono di vertice V (, 1, 3) e direttrice (rispettivamente): a) la circonferenza nel piano z =0dicentroC(1, 1) e raggio ; b) la circonferenza nel piano x+y+z 1=0eaventeilcentroinC(0, 0, 1); c) la conica di equazioni xy =0,z= 0; d) la conica di equazioni x +y z + xy x 4y z +3=0z = 1. Discutere l irriducibilità delle ipersuperficie così ottenute. 6.. Determinare l equazione del cono di vertice V (0, 0, 0) e direttrice la curva di equazioni parametriche x = t, y = t,z = t 3. Determinare le equazioni delle rette passanti per il punto V (1, 1, 1), appartenenti al piano di equazione x +y z = 0 e formanti angolo 4 con il piano z = 0. (sol: hanno equazioni 4x +3y =7, 5y 4z = 1; y =1,x= y rispettivamente) 6.3. Scrivere l equazione del cilindro avente (rispettivamente): a) generatrici parallele alla retta passante per P (1,, 1) e Q(0, 1, 0) e direttrice z =0, 3x + y =. b) generatrici parallele alla retta di equazioni x = y = z e, come direttrice, la conica di equazioni xy =0,x+y z = 0;

33 6 Esercizi 151 c) generatrici con numeri direttori (1,, 1) e, come direttrice, la conica di equazioni xy = 1,z= 0; d) come direttrice la conica di equazioni x +y + z 1,x+y =0e generatrici perpendicolari al piano della direttrice. Discutere l irriducibilità delle ipersuperficie così ottenute Determinare l equazione del cilindro di direttrice la curva di equazioni parametriche x = t, y = t,z = t 3 e di generatrici di numeri direttori (1, 1, 0) Si determini l equazione della superficie di rotazione generata rispettivamente (controllare se la superficie ottenuta è irriducibile): a) da x = 0,y z = 0, ruotando attorno all asse z (si ottiene x + y z = 0); b) dalla circonferenza nel piano z = 0 di centro C(, 0, 0) e raggio 1, ruotando attorno all asse z; c) dalla circonferenza nel piano z = 0 di centro C(, 0, 0) e raggio 1, ruotando attorno alla retta x = z; d) dalla retta di equazioni z = y, x + y = 3, ruotando attorno all asse z Si determini l equazione della superficie di rotazione ottenuta ruotando l iperbole di equazioni xy = 1,z= 0 attorno all asse x Si scriva l equazione dei punti equidistanti dal punto P (0, 0, 1) e dal piano z = 0.