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1 Corsi di Lure i Igegeri Meccic Trsmissioe del clore co ppliczioi umeriche: iformtic pplict.. 4/5 Teori Prte II Ig. Nicol Forgioe Diprtimeto di Igegeri Civile E-mil: tel. 5857

2 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Itroduzioe L regol di Crmer è iefficiete per l soluzioe dei sistemi lieri perché coivolge u umero elevto di operzioi. Si dotto perciò ltri metodi che vegoo suddivisi i due ctegorie: metodi diretti: foriscoo virtulmete l soluzioe estt (l errore dipede solo dll rrotodmeto) co u umero fiito di operzioi (es.: metodo di Guss, di Guss Jord, ecc.) ; metodi itertivi: foriscoo l soluzioe come limite di successive pprossimzioi (metodo di Jcobi, di Guss-Seidel, SOR, ecc.). Nel seguito fremo riferimeto d u sistem liere vete l form mtricile: A x = b i cui si suppoe l mtrice dei coefficieti, A, o sigolre per grtire l'esistez e l uicità dell soluzioe. Il teorem di Rouché-Cpelli fferm che esistoo soluzioi per il sistem se e solo se il rgo dell mtrice complet è ugule l rgo dell mtrice icomplet.

3 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di Guss (o delle elimizioi successive) Il metodo cosiste el sommre le equzioi tr loro dopo verle moltiplicte per opportui coefficieti i modo d otteere u sistem liere equivlete, crtterizzto d u mtrice trigolre superiore (elimizioe i vti). ˆ x b ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 4 5 x b ˆ ˆ ˆ ˆ x b x bˆ ˆ ˆ ˆ x3 = b ˆ 35 x3 = 3 b x4 b4 ˆ ˆ x 4 bˆ 4 x b ˆ x b ˆb 5 L soluzioe del sistem così otteuto è immedit, perché bst risolvere l ultim equzioe (che è ble) e sostituire elle precedeti fio ll prim (sostituzioe ll idietro). ˆ ( ˆ ) ˆ x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5 = b5 / 55; x4 = b4 45 x5 / 44;... x i = bi ij x j / ii;... j = i +

4 Metodo di Guss Sistemi di equzioi lgebriche lieri I pssi d eseguire per otteere l mtrice trigolre soo i segueti:. si somm l prim equzioe ciscu delle successive dopo verl moltiplict per opportui coefficieti; i prticolre, per l r-esim equzioe (r ) il coefficiete per cui moltiplicre l prim è pri (- r / ); si h: Equzioe pivot Elemeto pivot x b x b x b x b x3 = b x3 = b x4 b x4 b x 5 b x 5 b 5. si somm l secod equzioe tutte le successive (r 3) dopo verl moltiplict per (- r / ), otteedo: r Equzioe pivot Elemeto pivot x b x b x b x b x3 = b x3 = b x4 b x4 b x 5 b x 5 b 5 3. si procede logmete fio ll (-)-esim equzioe otteedo il sistem co mtrice trigolre superiore, U.

5 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di Guss, problem del ml codiziometo L botà dell soluzioe del metodo di Guss dipede d come è costituito il sistem i esme. I termii mtemtici, i sistemi be codizioti soo quelli per i quli u piccolo cmbimeto i uo o più coefficieti risult i u cmbimeto dell stess etità ell soluzioe. Nei sistemi ml codizioti, ivece, piccole vrizioi ei coefficieti porto grdi vrizioi ell soluzioe. L lgoritmo di elimizioe gussio fllisce qudo l elemeto pivot è ugule zero. Ache se il pivot è prossimo zero, m o esttmete ugule zero, possoo sorgere problemi di mplificzioe degli errori di rrotodmeto ei clcoli (ml codiziometo). I geerle, per ridurre gli errori di rrotodmeto si può cmbire l ordie delle equzioi (righe dell mtrice) i modo che risulti:, r ( r =, 3,.. ) r ( r = 3,4.. ) ecc. tecic dett del pivotig przile. Se l ricerc dell elemeto dtto ed il successivo scmbio vvegoo si secodo le righe che secodo le coloe dell mtrice dei coefficieti, si prl di pivotig completo.

6 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di Guss-Jord Si trtt di u vrite dell elimizioe gussi; l differez priciple è che el metodo di Guss-Jord qudo si elimi u vribile l si elimi d tutte le equzioi del sistem e o solo d quelle l di sotto dell rig correte. L fse di elimizioe dà luogo pertto d u mtrice digole ziché trigolre superiore. No è quidi ecessri l sostituzioe ll idietro per rrivre ll soluzioe. ˆ x ˆ b x b ˆ x b x bˆ ˆ x3 = b3 33 x ˆ 3 = b3 ˆ x4 b4 44 x 4 bˆ 4 ˆ x 5 b 5 55 x 5 bˆ 5 E possibile che i questo cso dottre l tecic del pivotig.

7 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodi di fttorizzzioe Il metodo di Guss può essere cosiderto u prticolre metodo di fttorizzzioe trigolre si decompoe l mtrice A el prodotto di u mtrice trigolre iferiore L ed u trigolre superiore U. A = L U (fttorizzzioe LU) dove U è l mtrice otteut dl processo di elimizioe i vti del metodo di Guss ed L è u mtrice trigolre iferiore tle che l ii =, l ik =- ik (k) / kk (k). L soluzioe del sistem si ricoduce quell di due sistemi co mtrice trigolre (che è immedit): LUx = b L y = b, U x = y Esistoo ltri metodi di fttorizzzioe che o ricorroo l processo delle elimizioi del metodo di Guss, m soo bsti sull costruzioe dirett delle mtrici L ed U. Ad esempio: metodi di Doolittle, Crout, Choleski (v. d es. Ghelrdoi- Mrzulli, ETS 979).

8 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Norme e rggio spettrle Def. U orm vettorile è u ppliczioe w C ed uo sclre α C, si bbi: : C R + tle che, dti due vettori u e Le orme vettorili più comuemete dottte soo: orm oorm mssim: orm o orm ssolut: orm o orm euclide: v e v, v = v = α v = α v, v C, α C v + w v + w, v, w C v v = mx i = vi e possoo essere otteute poedo p =,, ell formul geerle v p i v = v v = v i i= i p = vi i p

9 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Norme e rggio spettrle Dt u orm vettorile, p si dice orm mtricile idott dll (o comptibile co + l) orm vettorile l ppliczioe d ir che soddisf l relzioe C x Si può dimostrre che le tre orme vettorili viste iducoo le segueti orme mtricili (dette turli) B v B = sup p v v p p orm oorm mssim sulle righe: orm o orm mssim sulle coloe: orm o orm spettrle o di Hilbert: B B B = mx i b i, j j = mx b i, j = j ρ i T ( B B) N.B.: Il rggio spettrle ρ(h) di u mtrice H è il mssimo modulo dei suoi utovlori.

10 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Norme e rggio spettrle Vlgoo lcue proprietà delle orme mtricili e vettorili che richimimo brevemete: B B = B = α B = α B A + B A + B A B A B B v B v Ai ostri scopi è poi iteresste otre che vle il seguete: Teorem di Hirsch: Per ogu delle tre orme mtricili cosiderte si h: ρ ( B) B

11 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodi itertivi Nei metodi itertivi l soluzioe del sistem liere A x = b viee otteut come limite di u successioe di vettori x (k) co x () dto. Ci occuperemo di metodi dell form x (k+) = B x (k) + g, k (*) dove B è l mtrice di iterzioe e g è u opportuo vettore; l defiizioe di B e di g crtterizz il prticolre metodo itertivo. Tli metodi vegoo detti: stziori se B e g o dipedoo d k; o stziori i cso cotrrio. Nel seguito trtteremo solo lcui metodi itertivi stziori (Jcobi, Guss-Seidel, SOR).

12 Metodi itertivi Sistemi di equzioi lgebriche lieri Se φ è il vettore soluzioe estt del sistem A x = b, si vrà φ = B φ + g sottredo membro membro quest equzioe co l (*), si h x (k+) φ = B (x (k) -φ), k e itroducedo il vettore errore e (k+) x (k+) - φ, si ottiee e quidi e (k+) = B e (k), k e (k+) = B k+ e (), k Pssdo lle orme, si h ( k+ ) k+ ( ) e B e

13 Metodi itertivi Sistemi di equzioi lgebriche lieri Codizioe ecessri e sufficiete perché il metodo itertivo coverg, e cioè perché si bbi ( k) lim e = per quluque e (), è che si che che si esprime dicedo che l mtrice di iterzioe deve essere covergete. k Def. U mtrice B si dice covergete se: Ai ostri scopi, è utile ricordre che: k lim B = k k lim B = k TEOREMA: Codizioe ecessri e sufficiete perché u mtrice B si covergete è che si ρ(b) <. Perciò, per poter pplicre co successo u metodo itertivo è ecessrio che l mtrice di iterzioe, B, bbi rggio spettrle ρ(b) <. Dl teorem di Hirsch discede poi che codizioe sufficiete perché u mtrice B si covergete è che u su quluque orm turle si miore di uo.

14 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di Jcobi (o delle sostituzioi simultee) Per otteere lo schem itertivo di questo metodo si decompoe l mtrice A come segue: A = D E = e si scrive il sistem liere come Dx = Ex + b E bee otre che, poiché el ostro cso si suppoe i,i, esiste D -, che è dt dll mtrice digole vete come elemeti i reciproci degli elemeti digoli di D. Perciò, si può scrivere: x = D Ex + D b ovvero Β = D E x = B x + g g = D b

15 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di Jcobi (o delle sostituzioi simultee) Si ot che b i,i = : B 3 3 = Se A è digolmete domite (i seso stretto), cioè se j= i, j > i, i i, j, i L mggior prte dei problemi di igegeri possiedoo quest crtteristic. j j i b < i =,..., B < ρ B <, si h, quidi:

16 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di Jcobi (o delle sostituzioi simultee) Viee, quidi, spoteo defiire il processo itertivo: Si h llor x ( ) ( ) = g x = Bg + g 3 x = B g + Bg + g... k+ k k ( ) ( k + ) ( k ) x = g, x = B x + g x = B g + B g B g + g (Serie geometric di rgioe B co ρ (B)<) perciò, l soluzioe estt viee otteut ell form di u serie di Neum; iftti: ( k ) + x = B x + g φ = I B g = lim x k L domiz digole i seso stretto dell mtrice A è codizioe sufficiete per l covergez del metodo di Jcobi

17 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di Jcobi (o delle sostituzioi simultee) Le sigole equzioi lgebriche dell equzioe itertiv mtricile ( k+ ) ( k) x = B x + g si possoo scrivere, i termii di compoeti, come: i ( k ) ( k ) ij x j ij x j bi j = j = i + + ( k+ ) xi =, i =,,..., k =,,,... ii Il vettore x (k+) otteuto co l lgoritmo di Jcobi viee prim memorizzto i u posizioe di memori distit d quell occupt d x (k) poi le compoeti x (k+) i vegoo trsferite simultemete elle posizioi prim occupte dlle x (k) i. Per questo motivo il metodo è detto che metodo delle sostituzioi simultee.

18 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Esempio pplictivo del metodo di Jcobi Il sistem di equzioi Ax = b lo si scrive i form estes come: x + x + 3 x3 = b x + x + 3 x3 = b 3x + 3 x + 33x3 = b3 x = x x / + b / x = x x / + b / x = x x / + b / Il procedimeto comici co l scelt dei vlori iizili per x (l scelt più semplice è quell di ssumere tutte le x i sio uguli zero). I vlori iizili vegoo sostituiti secodo membro delle equzioi del sistem (*) precedete e si ottegoo i segueti uovi vlori per x i ( k + ) ( k ) ( k ) x = x 3 x 3 / + b / ( k + ) ( k ) ( k ) x = x 3x 3 / + b / ( k + ) ( k ) ( k ) x3 = 3x 3x / 33 + b 3 / 33 x = b / x x = () () = b / () 3 b 3 / 33 A questo puto si sostituiscoo questi uovi vlori delle x i secodo membro delle equzioi del sistem (*) per otteere u uov stim dell soluzioe estt del sistem Ax=b. Si ripete questo processo fiché o risult soddisftto il criterio di rresto. (*)

19 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di Guss-Seidel (o delle sostituzioi successive) L mtrice B del metodo di Jcobi viee ulteriormete suddivis: si h perciò BJ = L + U = Si defiisce il processo itertivo che i termii di compoeti x = B x + g x = Lx + Ux + g J ( k + ) ( k + ) ( k) x = L x + U x + g i ( k+ ) ( k ) ij x j ij x j bi j = j = i + + ( k+ ) xi =, i =,,..., k =,,,... ii NB: L ide di bse è di utilizzre subito el clcolo le compoeti ggiorte el corso dell iterzioe stess 33

20 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di Guss-Seidel (o delle sostituzioi successive) L lgoritmo di Guss-Seidel cosete u mggiore ecoomi di memori rispetto quello di Jcobi, i quto ogi sigol compoete x (k+) i ppe clcolt può essere subito memorizzt ell posizioe di memori prim occupt dll vecchi compoete x (k) i. Ciò giustific l deomizioe di metodo delle sostituzioi successive spesso ust per il processo. L mtrice di iterzioe si ottiee scrivedo il processo itertivo ell form Ovvero: ( + ) ( + ) ( + ) k k k k k x L x = U x + g x = I L U x + I L g B = I L U GS B GS g GS Sotto ipotesi o troppo restrittive per l mtrice A si può dimostrre che: ( B ) = ρ ( B ) ρ ρ GS perciò il metodo di Guss-Seidel coverge più rpidmete di quello di Jcobi, impiegdo u umero di iterzioi pri circ l metà. J

21 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Esempio pplictivo del metodo di Guss-Seidel Il sistem di equzioi Ax=b lo si scrive i form estes come: x + x + x = b x x x b x + x + x = b x = x x / + b / = x = x 3 x 3 / + b / (*) x = x x / + b / Il procedimeto comici co l scelt dei vlori iizili per x (l scelt più semplice è quell di ssumere tutte le x i sio uguli zero). I vlori iizili vegoo sostituiti secodo membro dell prim equzioe del sistem (*) i modo d otteere u uovo vlore dell compoete x che poi viee subito utilizzto ell secod equzioe per trovre il uovo vlore dell compoete x e così vi. ( k + ) ( k ) ( k ) x = x 3 x 3 / + b / ( k ) ( k ) ( k ) x + x + = 3x 3 / + b / ( k ) ( k ) ( k ) x + 3 3x + 3x + = / 33 + b 3 / 33 x = b / x x b / x = x x + b / ( ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) ( ) 3 = A questo puto si sostituiscoo questi uovi vlori delle x i secodo membro delle equzioi del sistem (*) per otteere u uov stim dell soluzioe estt del sistem Ax=b, sempre utilizzdo immeditmete elle equzioi successive i uovi vlori delle compoeti icogite mo mo trovte. Si ripete questo processo fiché o risult soddisftto il criterio di rresto.

22 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di sovrrilssmeto (SOR=Successive Over-Relxtio) L ide di bse è quell di estrpolre l predizioe otteut dl metodo di Guss-Seidel per mezzo di u fttore di sovrrilssmeto ω > i cui ( k + ) ( k ) ( k + ) ( k ) x = x + ω x x GS ( + ) ( + ) GS k k k k x x = L x + U I x + g Per compoeti si h: i ( k+ ) ( k ) ij x j ij x j + bi ( k + ) ( k) ( k + ) ( k) ( k) j j i ( k) xi = xi + ω xi x i = xi + ω = = + x i GS ii i =,,..., k =,,,... GS

23 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Metodo di sovrrilssmeto (SOR=Successive OverRelxtio) Per l mtrice di iterzioe del SOR si ottiee: ( k+ ) SOR Si può dimostrre che il rggio spettrle dell mtrice di iterzioe del SOR è miimo qudo si scelg: ( k) x = I ω L ω I + ω U x + ω I ω L g B ω = ω opt = ω opt + ρ dove ρ B è il rggio spettrle dell mtrice di iterzioe del metodo di Jcobi. B L scelt del vlore più pproprito del fttore di sovrrilssmeto dipede strettmete dl problem e viee spesso determito per tettivi. J g SOR

24 Criteri di rresto Sistemi di equzioi lgebriche lieri U criterio di rresto di u metodo itertivo visto i precedez potrebbe essere quello bsto sull uso del residuo: ( k) ( k) r b A x Essedo r (k) = qudo x (k) = φ è logico pesre di rrestre il processo itertivo qudo: r ( k) ε Sfortutmete quest coclusioe è ver solo per mtrici be codiziote i quto (dll lisi priori per i sistemi lieri) si ricv che φ x φ ( k) µ ( A ) r ( k) b I geerle o si coosce l mtrice ivers di A (il clcolo di A - equivrrebbe, iftti, ll risoluzioe dirett del sistem Ax=b) e quidi il umero di codiziometo µ(a) ( A A - ); tuttvi l equzioe precedete può essere effettivmete utilizzt ricorredo d ppositi procedimeti per il clcolo pprossimto di µ(a).

25 Sistemi di equzioi lgebriche lieri Criteri di rresto U criterio di rresto ltertivo potrebbe essere quello bsto sull differez fr iterte cosecutive: il metodo si rrest l primo k tle che x ( k ) ( k ) x x ( k) ε (errore reltivo pprossimto) Questo criterio h però l icoveiete che se l velocità di covergez è molto bss l errore reltivo pprossimto, clcolto co l formul precedete, può essere piccolo sez che lo si l errore effettivo.

26 Sistemi di equzioi lgebriche lieri (riepilogo) Soluzioe umeric dei sistemi di equzioi lieri A x = b Metodo di Guss Metodi diretti Metodo di Guss-Jord Metodi di fttorizzzioe Metodi itertivi ( k+ ) ( k ) A x = b x = B x +g x = B x +g Codizioe ecessri e sufficiete perché il metodo itertivo coverg è che si ρ(b) < Metodo di Jcobi (o delle sostituzioi simultee) Metodo di Guss-Seidel (o delle sostituzioi successive) Metodo di sovrrilssmeto Criteri di rresto

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