Calibrazione. Lo strumento idealizzato

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1 Calbrazone Come possamo fdarc d uno strumento? Abbamo bsogno d dentfcare l suo funzonamento n condzon controllate. L dentfcazone deve essere razonalmente organzzata e condvsa n termn procedural: s tratta dell operazone d calbrazone. Argoment : defnzone del modello d strumento dealzzato; la tecnca della regressone lneare; la verfca della bontà d una regressone; l processo d calbrazone. Lo strumento dealzzato

2 Lo strumento reale Lo strumento può essere rappresentato come un sstema a pù ngress ed una sngola uscta. Ingress: desderato d nterferenza d modfca Uscta: msura d nterferenza d modfca desderato STRUMETO msura La completa caratterzzazone d uno strumento prevedrebbe l ndvduazone spermentale della sua funzone d trasfermento ovvero della funzone che lega l uscta a tutt gl ngress. Msura=f(desderato, nterferenza, modfca) La msura è n genere dpendente, attraverso le sensbltà ncrocate, a molt ngress dvers da quello desderato. Partcolare mportanza rvestono anche l tempo e la frequenza, come vedremo nel proseguo del corso. 3 Lo strumento dealzzato Dal punto d vsta metrologco lo strumento vene normalmente rcondotto ad un sstema sngolo ngresso sngola uscta (SISO). Ingress: desderato d nterferenza d modfca Uscta: msura d nterferenza d modfca desderato STRUMETO msura La caratterzzazone dello strumento vene semplfcata: Msura=f(desd., nterf., modf.)=k(desderato) desderato+offset La dpendenza dell uscta dall ngresso vene rdotta ad un sngolo parametro (K) detto coeffcente d calbrazone. elle comun applcazon n ambto spermentale l coeffcente d calbrazone è n realtà una costante d calbrazone e l offset è nullo. 4

3 Lo strumento dealzzato Il comportamento dello strumento reale è qund rcondotto a quello dello strumento deale defnble da una relazone ngresso-uscta: u(t)=k (t) con k costante, almeno nel campo d varabltà dell ngresso n cu vene utlzzato lo strumento. Out La costante d calbrazone non dpende dalla varabltà temporale dell ngresso: l dagramma ngresso / uscta è un segmento. Questo comportamento è detto statco: lo strumento non ha stat ntern che contrbuscono alla dnamca dell uscta. In La funzone d trasfermento è una costante ed ogn varabltà dell uscta è esclusvamente dovuta alla varazone dell ngresso con un legame puramente proporzonale e non rsente d altr dsturb. 5 Lo strumento dealzzato Lo strumento deale è un modello metrologco; la maggor parte degl strument ha caratterstche assmlabl allo strumento deale solo per partcolar modaltà d mpego. Occorre qund un metodo d anals che c permetta d capre come usare uno strumento perché funzon n manera deale. Dobbamo qund costrure un modello pù complesso del semplce SISO lneare; l anals del suo comportamento consentrà d capre n qual condzon s rduce al modello metrologco. La defnzone analtca delle caratterstche dnamche consente d capre alcune delle lmtazon d utlzzo. La defnzone spermentale delle caratterstche statche permette d costrure l modello metrologco (quas-deale) dello strumento. Le caratterstche statche defnscono la qualtà della msura, qund valgono anche nelle applcazon dnamche. Quest element verranno dscuss nella seconda parte del corso. 6 3

4 Regressone d dat spermental Revsone de concett prncpal 7 Tendenze e regresson elle attvtà spermental è pratca comune correlare dat medante la regressone (fttng) d funzon matematche, come polnom d basso ordne o esponenzal, n bx y = a + ax + ax + = a x y = ae = Una delle funzon pù comunemente utlzzate per la caratterzzazone d strument è la retta. In altr cas è possble esegure una trasformazone n modo da rcondurre l legame ad una forma lneare. Il problema può essere così formulato: dato un nseme d coppe d dat (X, Y), trovare la funzone che descrve meglo l andamento generale 8 4

5 Tendenze e regresson Affrontamo un caso partcolare: l modello d ordne L errore per ogn punto è dato da y = a e = y a L errore quadratco totale è Mnmzzamo rspetto all ncognta Soluzone = = ( ) = = E e y a E ( a y ) Il modello regressvo defnsce l coeffcente d regressone come la meda de valor e deve essere mpegato solo n assenza d una tendenza = = a = a y a y a y ( ) = = = = = = 9 Tendenze e regresson Affrontamo l caso lneare tpco della calbrazone d uno strumento: y = a + ax L errore per ogn punto è dato da e = y ( a + a x ) L errore quadratco totale è Mnmzzamo rspetto alle ncognte = = ( ( + )) = = E e y a a x E = ( ax + a y ) = a = E = x ( ax + a y ) = a = 5

6 Tendenze e regresson Regressone, o fttng, lneare: x y = a = = x x a x y = = = a = y x x y x = = = = x x = = a x y y x = = = = x x = = Tendenze e regresson Ordne Soluzone: Condzon d esstenza: - superore a - Denomnatore non nullo a = y x x y x = = = = x x = = Cosa dre del caso d x rpetute? Il rsultato dpende dal numero d punt e dalla loro collocazone nel campo d regressone: avrebbe senso rpetere le poszon x? x = = a x y y x = x = = = x x = = 6

7 Qualtà della regressone Come valutare la qualtà della regressone? I dat sono realmente bene nterpretat da una retta? L ndcatore prncpe è l errore quadratco tra modello e dat: facendone la meda ottenamo una varanza rferta a tutte le msure. E una msura della dstanza tra modello e dat ed è nulla se punt appartengono alla retta d regressone. σ y, x = ( y ( a + ax )) = el caso d carenza d correlazone essa tende allo scarto quadratco dalla meda delle msure (scuramente maggore). σ y = ( y y) = Un ndcatore sntetco della qualtà della regressone è l coeffcente d determnazone, r o R, che rappresenta la dstanza percentuale dalla stuazone d assenza d correlazone. σ r = σ y, x y 3 Qualtà della regressone Con questa notazone r = se tutt punt gaccono sulla retta r = se punt hanno dstrbuzone casuale r r r Una buona correlazone presenta un coeffcente d regressone superore a.98; per uno strumento c s aspetta un valore

8 Qualtà della regressone Per ogn coppa: x, y calcolare la msura con l polnomo d regressone: calcolare la devazone rspetto al valore d rfermento: = y mettere n grafco le devazon n funzone dell ngresso. S deve verfcare l assenza d una qualsas tendenza Sulle ordnate sono rportate le devazon. La scala che ne consegue mette n evdenza eventual comportament anomal: tendenze d ordne superore rspetto all ordne del polnomo usato; dsperson non omogenee. Dspersone: Y-(ax-b) [V] y = a + a x y Ingresso Y 5 Tendenze e regresson E noto che camb d coordnate possono semplfcare l nterpretazone de dat (es. le coordnate logartmche consentono d descrvere n termn lnear alcun fenomen come la scarca d un condensatore o n generale la rsposta esponenzale d un equazone dfferenzale d prmo grado). In quest cas s parla d regressone lneare con trasformazone. Grafcamente: 6 8

9 Tendenze e regresson Esamnamo un equazone esponenzale: y = ae hx Applcando l logartmo ad entramb termn ottenamo ln(y) = hx + ln(a) Y = Bx + A Pochè ln(a) è una costante, abbamo ottenuto una relazone lneare tra x e ln(y). Eseguendo qund l logartmo delle msure y (Y=ln(y)) ottenamo un problema d regressone nella forma lneare canonca Y = Bx + A con a=exp(a) e h=b 7 L operazone d calbrazone 9

10 Calbrazone La calbrazone è la procedura spermentale che permette d defnre la caratterstca metrologca pù mportante d uno strumento: l rapporto ngresso-uscta o guadagno o sensbltà (senstvty) Permette d mettere n relazone l'uscta d uno strumento con l'ngresso attraverso una msura nota e precsa dell'ngresso stesso. Stamo dentfcando una funzone d trasfermento. Tale relazone è genercamente non lneare ma per molt strument è costante, almeno nell ambto d partcolar condzon d utlzzo defnte propro per garantre questo comportamento Se l guadagno è costante, l uscta è puramente proporzonale all ngresso: s dce che lo strumento ha un comportamento statco ne confront dell ngresso, coè non produce effett dnamc propr dello strumento e nnescat dalla varabltà nel tempo dell ngresso. Opzon d calbrazone Obettv della calbrazone: valutazone metrologca d uno strumento (Costruttore, Responsable della Qualtà). Defnzone delle curve d calbrazone e taratura per cu è necessaro avere sa un numero elevato d punt nell ntervallo d varabltà dell ngresso sa un numero elevato d rpetzone della msura per lo stesso valore d ngresso. Defnzone d tutt gl element d nteresse generale (lmt d accuratezza, steres, effett d ngress, ) mantenmento n qualtà dello strumento (Responsable dell utlzzo) Valutazone dello stato generale dello strumento per cu sono necessare solo alcune msure rpetute n alcune stazon per garantre l corretto funzonamento del dspostvo. Verfca delle curve d calbrazone e taratura tpcamente svolta con procedura a sngolo cclo.

11 Calbrazone La procedura d calbrazone consste de seguent pass: regstrazone de dat ambental e verfca dell assenza d effett non controllat sullo strumento soggetto a calbrazone; applcazone d una sere d valor n ngresso allo strumento e trascrzone de corrspondent valor n uscta; traccatura della curva (retta) d regressone; dentfcazone de valor caratterstc della funzone d calbrazone (per una retta: costante d calbrazone ed offset). el caso d sensbltà apprezzable ad ngress dvers da quello desderato è necessaro rpetere la calbrazone con valor dfferent d tal parametr (modfca o nterferenza) n modo da quantfcarne gl effett su parametr d calbrazone. S ottengono le derve d sensbltà o d zero: la dervata della costante d calbrazone, o dell offset, rspetto ad un ngresso ndesderato. 3 Modaltà d prova: sequenzale/casuale La calbrazone prevede l applcazone statca d ngress sull ntero campo d msura dello strumento. Gl ngress possono essere applcat n manera sequenzale o casuale. Una prova sequenzale prevede la varazone progressva dell ngresso sull ntervallo desderato, n salta (up-scale) ed n dscesa (down-scale): ogn applcazone dell ngresso consste n un ncremento/decremento del precedente. Una prova casuale prevede l applcazone degl ngress, dstrbut sull ntero ntervallo d varabltà, con un ordne casuale: ogn applcazone dell ngresso è ndpendente dal precedente. I requst operatv per la realzzazone della calbrazone sono strngent (ambente controllato o d laboratoro) e non compatbl con quell d eserczo: la calbrazone deve avvenre n condzon ambental controllate. 4

12 Modaltà d prova: sequenzale/casuale La prova con modaltà sequenzale permette d evdenzare gl effett d steres coè la presenza d dsspazon nello strumento che producono una varazone dell uscta dovuta all ngresso dfferente nel caso n cu l ngresso precedente fosse superore o nferore a quello attuale (partcolarmente utle anche nelle prove oltre che nella calbrazone). La sequenza casuale permette d mnmzzare effett qual le nterferenze degl ngress non desderat e l steres. La conoscenza de fenomen fsc convolt permette d valutare a pror l mportanza della scelta. La strumentazone d buona qualtà dovrebbe presentare rdott effett steretc, qund una prova sequenzale non è crtca. 5 Calbrazone La calbrazone qund: è un operazone che permette d ottenere la relazone che lega l'uscta d uno strumento con l'ngresso attraverso l'mpego d una msura nota, certa e precsa dell'ngresso stesso; può essere applcata ad uno strumento, ad un sstema d msura o a un trasduttore sngolo; può avvenre tramte metodologa: dretta: le uscte dello strumento vengono confrontate con ngress omogene not (standard): es. peso calbrato, metro ndretta: se l enttà dell ngresso d calbrazone vene contestualmente msurata con uno strumento preventvamente calbrato. 6

13 Calbrazone IMPORTATE: l accuratezza dello strumento utlzzato per confronto deve essere un ordne superore d quella dello strumento da tarare. W r < / W m Incertezza della msura Wm Incertezza del rfermento Wr 7 Calbrazone e Taratura Operatvamente: dat d ngresso/uscta vengono trascrtt/regstrat n tabelle; dat vengono elaborat medante una regressone (lneare) n modo da ottenere la curva d calbrazone n forma analtca: v msurata = k Ingresso + h el caso d uno strumento che present la msura n termn omogene con l ngresso, es. un manometro n cu s legga drettamente l valore d pressone), coeffcent d calbrazone correggono la lettura: P msurata = z P mposta + w con z e w 8 3

14 Taratura Operatvamente la relazone d calbrazone è nutle: l obettvo d un attvtà spermentale è d conoscere l ngresso applcato allo strumento data la sua uscta. La relazone d calbrazone vene qund rsolta rspetto alla msura per fornre la curva d taratura: Msura = K v msurata + H relazone che permette d rcavare la msura da assegnare al msurando per un valore d lettura fornto da un dspostvo d msurazone. p ndcata = K v msurata + H p ndcata = Z p msurata + W La curva d taratura è una relazone bunvoca tra valor fornt dallo strumento e corrspondent valor da assegnare al msurando. Se la curva d taratura è una retta parleremo d costante d taratura; n caso contraro l comportamento non è lneare (mpego prevalente n applcazon statche). 9 Calbrazone La fgura mostra una curva d calbratura reale ottenuta medante un solo percorso d carco-scarco. Sono rportat dat relatv alla curva d calbrazone vera e propra, del tpo pressone ndcata/ pressone reale e valor della retta d regressone. Sono mostrate noltre le nformazon nerent le condzon ambental n cu s è svolta la prova, temperatura, e le condzon operatve, lvell d accelerazone e vbrazone. 3 4

15 Opzon d calbrazone La qualtà della calbrazone dpende dalle nformazon dsponbl ed n partcolare dal: numero d stazon utlzzate per defnre l andamento del legame ngresso-uscta sul campo d msura; numero d ccl mpegat per defnre parametr d qualtà valutando la dspersone delle rsposte sul campo d msura (rpetbltà, accuratezza, ). Se non serve defnre la qualtà dello strumento è nutle esegure ccl multpl d carco/scarco perché è nfatt suffcente un sngolo cclo d acquszone per defnre correttamente l legame funzonale, sempre che lo strumento sa n condzon ottmal. E mportante sottolneare che la regressone non è n grado d capre la dfferenza tra pù lvell d ngresso o pù msure per lvello a partà d numero complessvo d valutazon. 3 Calbrazone Pass del procedmento: regstrare dat ambental; acqusre le coppe d valor ngresso/uscta sull ntero campo d msura e, se necessaro, per pù ccl; calcolare e traccare la retta d regressone; calcolare e mettere n grafco le devazon dalla retta d regressone; calcolare e traccare l ntervallo d confdenza; defnre le caratterstche d qualtà dello strumento. 33 5

16 Calbrazone Dat da un rapporto su attvtà d laboratoro: calbrazone d un potenzometro lneare Msure cclo Pos Calbrazone La vsualzzazone de dat ovvero l mettere n grafco punt e la retta d regressone evdenza: comportament anomal; punt dscutbl; dfferenze d comportamento tra ccl d carco/scarco. 6 5 Coeff. retta regressone: A =. B = Msure [V] 4 3 otate qualche problema? Poszone [cm] 35 6

17 Calbrazone Vsualzzazone scostament da msura attesa: devazone e =y -(a x +b) Rappresentamo: scostament dalle msure otate qualcosa? Aggungamo: valor med stazon; dspersone stazon. Comment? Errore: y-(ax-b) [V] Equazone V=.87 cm Poszone [cm] Il dagramma evdenza ncongruenze d comportamento: la dspersone de punt estrem è molto pù pccola; la dfferenza d dspersone ndca un comportamento dverso; escludendo punt estrem s evdenza una tendenza lneare. 36 Calbrazone Qualora fosse gustfcato e corretto escludere punt estrem s otterrebbe una curva d calbrazone leggermente dversa Il grafco uscta/ngresso non s modfca, camba nvece l grafco Equazone V=.4 cm devazone/ngresso:.3 a errato.87 a corretto. err msura a VFS:.343 mm err % FS d 3 cm:.584% Comment? Errore: y-(ax-b) [V] Poszone [cm] La dstrbuzone delle dsperson è omogenea; la tendenza meda è evdentemente orzzontale; la pccola dfferenza sulla pendenza provoca dfferenze sensbl. 37 7

18 Calbrazone: legame ngresso uscta Se esegut pù ccl d ngress, sono possbl tre schem operatv: regressone totale: s utlzzano nseme tutt valor dsponbl; regresson ndpendent e valutazone de valor med e delle devazon standard de coeff. d regressone per ogn cclo; regressone su valor med per ogn punto d ngresso.. Cclo Valor Dev. Coeff Meda Std. A B Globale A =.985 B = Rsultat dentc SE punt d msura sono gl stess per tutt ccl. La seconda procedura fornsce un ndcazone d ncertezza per coeffcent (normalmente poco attendble avendo poch ccl). 38 Altr mpegh della regressone 39 8

19 Altr mpegh della regressone La regressone è una procedura d stma de coeffcent d una funzone n grado d mnmzzare gl scostament d un modello dal comportamento defnto da un nseme d dat spermental. La regressone lneare è un utle mezzo per determnare da dat spermental le costant d funzonamento che determnano l uscta d un sstema n proporzone ad un ngresso dato: 3 rgdezza d estremtà d una trave L w k = = ncastrata carcata trasversalmente; 3EJ F rgdezza d flessonale d una sezone d trave; modulo elastco d un materale L F E = A u 3 L F EJ = 3 w Il coeffcente angolare della regressone che ha n ngresso l carco e n uscta lo spostamento è sempre correlato al parametro cercato. 4 Uso regressone Prendamo una sere d valor d un legame lneare (rgdezza come legame forza-spostamento o modulo elastco d un materale come legame sforzo-deformazone). Procedure possbl: calcolare rapport forza/spostamento e farne la meda (la meda sarebbe la stessa anche per pccole perturbazon de dat); calcolare l coeffcente angolare della regressone. ( )( ) ( ) s F s F K = s s F K = s Possamo dedurre che le due metodologe sono del tutto alternatve una all altra? E che, essendo pù semplce, s può usare la meda de rapport? 4 9

20 Uso regressone Evdentemente per y = k x Così come per la meda de rapport s ottene: coeffcent della regressone sono: ( ) ( )( ) ( ) k x x x ( x ) x ( x ) ( x )( x ) ( x )( x ) k x ( x ) x y x y A = = = k B =... = = y A = = k k = k x In campo spermentale dat però non seguono perfettamente l modello matematco d una retta prva d ntercetta ma essendo affett da error d msura s dsperdono attorno a tale andamento. In questo caso l rsultato s mantene? 4 Uso regressone Se dat non rspondono ad un comportamento perfettamente lneare punt possono non appartenere ad una retta spccata dall orgne F k _ k k s Usare rapport F/s, gnorando che cò equvale a spccare una retta dall orgne, può portare a una pendenza varable con l carco e a un valore medo dverso dalla pendenza del legame cercato: k k E l caso d una prova strutturale, n cu è quas nevtable avere goch o assestament, recuperat dall applcazone d un carco. 43

21 Da rcordare Concetto d separazone tra caratterstche metrologche e caratterstche funzonal d uno strumento. Metodologa per la calbrazone d un trasduttore/strumento, anche n presenza d sensbltà ncrocate. ecesstà d adeguare lo schema generale dell operazone alla tpologa specfca d uno strumento (da rprendere): la procedura d calbrazone dovrà tenere conto d come uno strumento funzona. Identfcazone spermentale della funzone d trasfermento d un sstema (caso statco). Valdtà del processo d dealzzazone d uno strumento e lmt d applcabltà della funzone d trasfermento lneare. Utlzzo del metodo d regressone per la defnzone d legam lnear n genere. Concetto d ncertezza sul rsultato d una regressone (da rprendere). 44 Domande? 45

22 Cosa sappamo fare? Tecnche e procedure generche d calbrazone. Valutare la bontà d una regressone. Valutare la qualtà de dat dsponbl per una regressone Cosa sappamo fare? Eserczo del 5 novembre Per uno strumento generco vene avanzata l potes d comportamento descrvble con un modello d prmo ordne. S chede d: F Suggerre una procedura spermentale per verfcare che l potes sa corretta F Elencare e descrvere tutt pass d una procedura per la sua calbrazone C Suggerre qual caratterstche fsche dello strumento andrebbero modfcate, e come, per mglorare l suo comportamento dnamco A punt n rosso non sappamo rspondere n quanto non sappamo ancora cosa sa uno strumento d prmo ordne Potrebbe sembrare d essere gà n grado d rspondere al secondo questo, ma ATTEZIOE: l punto è n relazone con la parte generale d descrzone del problema CHE PARLA DI UO STRUMETO DI PRIMO ORDIE qund la procedura d calbrazone deve essere contestualzzata al problema esamnato. Lo schema generale è senz altro la base della rsposta: deve però essere completata per poter essere correttamente applcata ad uno strumento d questo tpo 47 47

23 Approfondmento tecnca d regressone 48 Tendenze e regresson Affrontamo l caso polnomale generco. La funzone d regressone polnomale assume la forma: Che può essere posta n forma matrcale: n y = a + ax + ax + = a x = a a y = x x = X a a n [ ]{ } n L errore per ogn punto è dato da: L errore quadratco totale è: Sfruttando la forma matrcale: e = y [ X ]{ a} = = ( [ ]{ }) = = E e y X a E = y X a y X a = T ( [ ]{ }) ( [ ]{ }) 49 3

24 Tendenze e regresson T T T T T Che dventa: E = y y { a} [ X ] y + { a} [ X ] [ X ]{ a} = La procedura d regressone a mnm quadrat prevede d mnmzzare l errore totale; cò avvene trovando l punto d stazonaretà rspetto a parametr a ; Scrveremo qund n+ equazon del tpo: E a Con notazone matrcale: E T T = ( [ X ] { y} + [ X ] [ X ]{ a} ) = { a} = = T T ( [ X ] [ X ]){ a} = ( [ X ] y ) = = [ M ]{ a} = { b} 5 Tendenze e regresson el caso polnomale la matrce rsolutva ed l vettore d termn not hanno una struttura ben precsa (vene sottntesa la sommatora): n x x n+ T n T n x x x [ X ] [ X ] = x x x x = n n+ n x x x T x [ X ] y = y n x La procedura d calcolo automatco è banale: per ogn punto s prepara la matrce [X] con la coordnata x specfca e s accumulano prodott: T T = = [ M ] = [ X ] [ X ] ; { b} = [ X ] y 5 4

25 Tendenze e regresson Per dvers ordne avremo: [ X ] = [] ; { a} = a [ ] [ X ] x ; { a} a = = a [ ] ; { } a X = x x a = a a Occorre rcordare che non è ragonevole mpostare problem d regressone d ordne elevato (malcondzonamento matrce). Dffclmente s opera con polnom d ordne superore al 3 o al Fne presentazone 55 5