Dispense di Teoria dei Segnali Aleatori

Transcript

1 Università degli Studi di Siena Dispense di eoria dei Segnali Aleatori Mauro Barni Ilaria Sbragi Giacomo Cancelli Gennaio 9

2 Indice abella dei Simboli iii eoria dei processi ergodici. Limiti di Successioni di Variabili Aleatorie Convergenza Ovunque Convergenza Quasi Ovunque Convergenza in Media Convergenza in Probabilità Convergenza in Distribuzione Ergodicità in Media Ergodicità in Potenza Media Processi gaussiani. Variabili aleatorie gaussiane Proprietà della variabile aleatoria gaussiana La funzione caratteristica Dimostrazione che la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana eorema del limite centrale Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane Proprietà delle variabili aleatorie congiuntamente gaussiane Processi gaussiani Segnali e processi a banda stretta 5 3. Segnali deterministici segnali a banda stretta Simulazione in banda base di un sistema a radiofrequenza, sistemi LI Applicazioni sui segnali a banda stretta Segnali aleatori complessi processi a banda stretta Cifra di rumore introdotta dal demodulatore DSB.. 38 i

3 INDICE 4 Processi ciclostazionari 4 4. Modulazioni numeriche Modulazioni in banda base Modulazione NZ Modulazione Z Codici duobinari Modulazioni in banda passante M-PAM M-PSK D-PSK QAM ii

4 abella dei Simboli N insieme dei numeri naturali insieme dei numeri reali e{ } parte reale di un numero complesso Im{ } parte immaginaria di un numero complesso x variabile deterministica st segnale deterministico F{ } rasformata di Fourier relazione tra un segnale e la relativa rasformata di Fourier valore assoluto norma operatore di convoluzione P{S} probabilità dell'insieme S x variabile aleatoria Fx distribuzione di probabilità fx densità di probabilità E[ ] operatore valore atteso µx valore medio di x µ media temporale σx deviazione standard di x σx varianza di x xk, t processo stocastico Hxxτ autocorrelazione di xk, t Cxxτ autocovarianza di xk, t Ex energia media Px potenza media Sxx densità spettrale di potenza media Cxx autocovarianza Sxx c spettro dell'autocovarianza s + t preinviluppo complesso di st st inviluppo complesso di st s i t componente in fase di st s q t componente in quadratura di st iii

5 Capitolo eoria dei processi ergodici Nei processi stocastici si hanno a disposizione due possibili tipi di analisi che mettono in risalto dierenti aspetti del processo: analisi temporale e analisi d'insieme. L'analisi temporale di un processo stocastico xk, t si eettua ssando k; ci si concentra quindi su una particolare realizzazione e se ne studia l'evoluzione temporale. Cambiando k si ottiene una nuova realizzazione e quindi un diverso andamento temporale. Per eettuare un'analisi temporale bisogna calcolare: lim + lim xk, t dt xk, t + τ xk, t dt Considerando l'esempio di una analisi della corrente che passa in una resistenza, è come avere inniti circuiti `identici' o più esattamente simili e studiarne uno alla volta. Le correnti che si otterranno saranno simili, ma non identiche ad esempio a causa del rumore termico, dell'aleatorietà della resistenza e delle caratteristiche dello stesso amperometro utilizzato per eettuare la misura. La gura di sinistra della tabella. mostra gracamente una particolare realizzazione di un processo stocastico. Il graco mette in risalto l'evoluzione temporale della particolare realizzazione del processo. Osservando altre realizzazioni si ottengono dierenti andamenti. L'analisi d'insieme di un processo stocastico xk, t si eettua ssando l'istante temporale di osservazione. Si calcola: µxt E[xk, t] Hxxt, t E[xk, t xk, t ] xfxk,txdx x x fxk,t xk,t x, x dx dx

6 CAPIOLO. analisi temporale analisi d'insieme abella.: Analisi temporale sinistra e analisi d'insieme destra. In questo caso è come accendere tutti i circuiti contemporaneamente e, ssato t t, andare a studiare gli inniti valori ottenuti, da considerare più semplicemente come realizzazioni della variabile aleatoria xk, t. La gura di destra della abella. mostra più realizzazioni sovrapposte di uno stesso processo stocastico. Fissando l'indice temporale si ottiene una v.a. descritta da una particolare funzione di densità di probabilità. Al variare di t si ottengono nuove v.a. con nuove f x. Dunque eettuando la media d'insieme si ottiene una funzione dipendente da t, mentre con la media temporale si ottengono valori dipendenti dalla specica realizzazione k. In generale, quindi, non è possibile scambiare l'analisi temporale con quella d'insieme. Nei particolari casi in cui ciò risulta realizzabile identici risultati per entrambe le analisi, il processo si dice ergodico. Se ogni caratterizzazione d'insieme dà gli stessi risultati della corrispondente caratterizzazione temporale, allora il processo si dice ergodico in senso stretto. L'ergodicità in senso stretto è abbastanza dicile da studiare, e risulta inutilmente restrittiva quando si è interessati ad una sola analisi del secondo ordine tramite valori medi. Per questo motivo nel resto del capitolo ci occuperemo solo dell'ergodocità in senso lato, e, ancora più in particolare, dell'ergodicità in media: µxt E[xk, t] lim + + xk, tdt lim µ. + Osserviamo che µxt è un segnale, invece µ è una variabile aleatoria dunque, per essere uguali, µxt non deve dipendere dal tempo; allora condizione necessaria per l'ergodicità in media è che xk, t sia SSL cioè la media non deve dipendere dal tempo.

7 CAPIOLO. 3 Se la condizione necessaria è soddisfatta allora si può scrivere: µx lim + µ Il termine a destra è il limite di una successione di variabili aleatorie, apriamo dunque una parentesi su tale argomento.. Limiti di Successioni di Variabili Aleatorie Per un'esposizione rigorosa del concetto di ergodicità in media è necessario chiarire il concetto di limite di una successione di variabili aleatorie: lim x n.. n + Il signicato di convergenza di una successione di v.a. può assumere dierenti signicati a seconda del contesto, per questo motivo occorre specicare ogni volta il signicato assunto dal termine convergenza... Convergenza Ovunque Si dice che x n k converge a xk ovunque se: lim x nk xk k,.3 n + dove l'indice k è stato inserito per esplicitare in maniera più chiara il carattere aleatorio sia dei singoli termini della successione che del valore assunto dal limite. La.3 è la denizione di convergenza più restrittiva... Convergenza Quasi Ovunque Si dice che x n k converge a xk quasi ovunque se: { P lim x } nk xk n + oppure P { lim x } nk xk n +.4 È immediato vericare che la convergenza ovunque la convergenza quasi ovunque...3 Convergenza in Media Si dice che x n k converge a xk in media e si scrive: Limit In the Mean. l.i.m. x n k xk n +

8 CAPIOLO. 4 se: [ xn lim E k xk ].5 n + La convergenza ovunque la convergenza in media, ma la convergenza in media non implica quella quasi ovunque, che, d'altra parte, non implica la convergenza in media. È possibile quindi trovare dei processi che convergono in media ma non quasi ovunque e viceversa. Ad esempio se si hanno delle realizzazioni che saltuariamente, ma no all'innito, hanno dei picchi, la convergenza in media non sarà vericata perché, a causa di tali picchi, nessuna delle realizzazioni convergerà a zero. Invece la convergenza in media sarà vericata perché anche nel caso più sfortunato, ossia prendere il campione x n in corrispondenza del punto di picco, si avrà comunque il limite che andrà a zero. Viceversa, se si hanno delle realizzazioni che vanno a zero più o meno velocemente, ma ce n'è almeno una che va all'innito, allora ovviamente si avrà convergenza quasi ovunque, ma non convergenza in media. Infatti, quando si va a calcolarla, il limite va all'innito...4 Convergenza in Probabilità Si dice che x n k converge a xk in probabilità se: ε > lim P{ x n k xk > ε }.6 n + cioè ssata una tolleranza ε > piccola a piacere, la probabilità che il limite della successione si discosti da x per una valore maggiore di ε >, è zero. Le convergenze precedentemente esposte implicano la convergenza in probabilità. Il fatto che la convergenza in media implichi la convergenza in probabilità è vero per la disuguaglianza di ƒeby ëv dopo che si è passati al limite: lim P{ x n k xk > ε } E[x n k xk ] lim.7 n + n + ε Partendo dall'ipotesi di avere convergenza in media, il termine a destra è zero per denizione; quello a sinistra è una probabilità dunque è positivo. Poiché il termine di destra è nullo, il termine di sinistra dovrà essere obbligatoriamente zero e quindi si ha proprio la denizione di convergenza in probabilità. Ma il contrario non è vero quindi la convergenza in probabilità non implica la convergenza in media. A. Papoulis - Probability, random variables and stochastic processes - 99, McGraw-Hill.

9 CAPIOLO Convergenza in Distribuzione Si dice che x n k converge a xk in distribuzione se: lim F x n + n kx Fxkx x..8 La convergenza in probabilità la convergenza in distribuzione. La gura. descrive gracamente i legami fra i tipi di convergenza sopra esposti. Figura.: elazioni esistenti tra i vari tipi di convergenza. Le leggi di convergenza percedentemente elencate, sono scritte in ordine: dalla più forte alla più debole. A noi basterebbe la convergenza in probabilità, anche se poco restrittiva; però la convergenza in media è molto più facile da trattare matematicamente! Usando la convergenza in media, anziché quella in probabilità, si lasciano fuori solamente quei processi che ad un certo punto vanno all'innito, ma certi processi, nella realtà sono veramente rari, quindi usare la convergenza in media è un buon compromesso.. Ergodicità in Media Siamo ora in grado di dare una denizione esatta di ergodicità in media di un processo: un processo si dice ergodico in media se: µx lim + + xk, t dt } {{ } µ.9 dove µ è chiaramente una v.a. dipendente dalla realizzazione k, e dove si è sfruttata l'ipotesi di stazionarietà in senso lato del processo.

10 CAPIOLO. 6 Dato che l'operazione di limite viene applicata ad una successione di v.a., va specicata la denizione di convergenza che si intende utilizzare. A tale proposito osserviamo che, operativamente, è necessario e suciente che, ssato un errore piccolo a piacere, la probabilità, che la sostituzione della media d'insieme con quella temporale porti ad un errore maggiore di quello ssato, sia piccola a piacere. Non è dicile riconoscere nella condizione appena descritta la denizione di convergenza in probabilità. Purtroppo la convergenza in probabilità ha lo svantaggio di essere complessa da trattare. Prendere invece in considerazione la denizione di convergenza in media eq..5 agevola l'analisi e, se vericata, implica la convergenza in probabilità. Di contro vengono scartati alcuni processi che convergono in probabilità ma non in media 3. Applicando la denizione di convergenza in media all'equazione.9 si ottiene: lim E[ µ µx ]. + } {{ } σµ σ dove si è osservato come la quantità E [ µ µx ] corrisponda alla varianza della v.a. µ, infatti: E[µ] E [ + ] xk, t dt + E[xk, t] dt µx ale proprietà viene di solito riassunta dicendo che µ è una stima corretta non polarizzata di µx. I risultato fondamentale della teoria dei processi ergodici in media è riassunto nel seguente teorema: eorema di ƒeby²ëv. Un processo SSL è ergodico in media se e solo se: lim + Cxxτ τ dτ Dimostrazione. Partendo dalla denizione di µ si può scrivere: µ xk, t dt rect t rect τ t xk, t dt xk, t dt τ Si introduce un nuovo segnale derivato dal passaggio di xk, t in un sistema LI con risposta impulsiva ht rect t : yk, t xk, t rect t 3 I processi scartati a causa di tale scelta sono di scarso interesse pratico.

11 CAPIOLO. 7 Il segnale yk, t così ottenuto è caratterizzato da media, autocorrelazione e densità spettrale di potenza media date da: µy µx H Hyyτ Hxxτ hτ h τ Syyf Sxxf Hf La varianza σ può dunque essere interpretata come la varianza dell'uscita del ltro all'istante t. In formule: σ E [ yk, ] E [ yk, Hyy µ y Hxxτ hτ h τ τ µ x H. L'autocorrelazione del processo xk, t può essere così riscritta: Quindi: ] Hxxτ Cxxτ + µ x σ Cxxτ + µ x hτ h τ τ µ x H Cxxτ hτ h τ τ + µ x hτ h τ τ µ x H Sviluppando il secondo termine: µ x hτ h τ τ µ x hτ dτ hτ τ dτ τ µ x hτ dτ hτ dτ si può riscrivere σ come: µ x H σ Cxxτ hτ h τ τ Cxxτ tr τ τ τ t Cxxt dt τ Osservando che la covarianza e la funzione tr sono funzioni pari e inserendo anche l'operazione di limite, si ottiene: Segue la tesi. lim + σ lim + Cxxτ τ dτ.

12 CAPIOLO. 8 Con considerazioni analoghe al teorema precedente, possono essere anche dimostrate le seguenti condizioni sucienti per l'ergodicità in media di un processo:. Condizione suciente per l'ergodicità in media del processo xk, t è che: d : Cxxτ τ > d. Condizione suciente per l'ergodicità in media del processo xk, t è che si verichi: lim C xxτ τ + La dimostrazione della seconda condizione, che implica la prima, è la seguente: Cxxτ τ Cxxτ dτ Cxxτ dτ + Cxxτ dτ + dτ Sfruttando la denizione di limite: τ Cxxτ dτ Cxxτ τ dτ Cxxτ dτ ε > : Cxxτ < ε τ > Cxxτ dτ e dividendo l'integrale in due parti, si ricava una sua maggiorazione: Cxxτ dτ + Cxxτ dτ + Cxxτ dτ ε dτ K + ε dove K è il massimo valore assunto da Cxxτ nell'intervallo [, ]. Considerando poi che σ, si ottiene: lim + σ lim + K + ε 4ε. Poiché la relazione precedente vale ε >, la sucienza è vericata.

13 CAPIOLO. 9 Oltre alle condizioni sopra descritte, il teorema seguente fornisce una condizione necessaria e suciente per l'ergodicità in media di un processo. eorema di Slutsky. Un processo è ergodico in media se e solo se: lim + Cxxτ dτ Introducendo il concetto di spettro dell'autocovarianza: Sxxf c F{Cxxτ} Sxxf µ x δf. è possibile riscrivere nel dominio della frequenza il teorema di Slutsky: lim + Cxxτ dτ S lim xx c. + che è vero se e solo se S c xx < Se nell'origine dello spettro della covarianza non sono presenti δ, allora il processo xk, t è ergodico in media..3 Ergodicità in Potenza Media Analogamente alla denizione di ergodicità in media, il processo xk, t si dice ergodico in potenza media quando si può invertire l'analisi d'insieme della potenza con quella temporale: P E[x k, t] } {{ } studio d'insieme lim x k, tdt + } {{ }.3 studio temporale Sostituendo vk, t x k, t, studiare l'ergodicità in potenza media del processo xk, t diventa equivalente a studiare l'ergodicità in media del processo vk, t. Applicando il teorema di Slutsky si ottiene: lim + da cui, svolgendo i passaggi, si arriva a: Cvvτ dτ Cvvτ Hvvτ µ v E[x k, t + τx k, t] E[x k, t] Hx x τ H xx lim + Hx x τ dτ H xx.4 L'equazione.4 fornisce una condizione necessaria e suciente per l'ergodicità in media del processo xk, t.

14 Capitolo Processi gaussiani Per prima cosa introdurremo le variabili aleatorie gaussiane, poi parleremo delle variabili aleatorie congiuntamente gaussiane ed inne dei processi gaussiani.. Variabili aleatorie gaussiane Una variabile aleatoria x è gaussiana oppure normale se la sua densità di probabilità è: fxx e x µ x πσ x dove µx è lil valor medio e σ x la varianza. σ x... Proprietà della variabile aleatoria gaussiana Qui di seguito sono elencate le proprietà che possiede una variabile aleatoria gaussiana: E' una densità di probabilità e l'integrale vale. Per dimostrarlo si pone per semplicità il valor medio nullo, µx e quindi si avrà : fxx e x σx πσ. x Si calcola questo integrale, che ci servirà dopo: e x dx π π e x dx π e y dy e ρ cos θ+sin θ ρdθdρ } {{ } e x +y dxdy coord. polari: xρ cos θ ; yρ sin θ ; θɛ[,π] ; ρɛ[, ρe ρ dρ π ρe ρ dρ πe ρ

15 CAPIOLO. Allora: e x dx π. Si riconsidera la densità di probabilità e si calcola l'integrale: fxxdx Il valor medio è proprio µx. E[x] + e x σx dx e u du πσ } {{ x π } } {{ } si pone u x σ x xfxdx + πσ x x e x µ x σx } {{ } dx porre x µxt + t + µx e t σx dt πσ x + πσ x t e t } {{ } moltiplicare e dividere per σx e t + σx σ x πσ x } {{ } La varianza è proprio σ x. [ E x µx ] σ x + πσ x + πσ x π + σx dt + µx πσ x + µx x e x σx dx x xe x σx dx σ x σx σx { }} { + f {}}{ x x x πσ x σx e σx dx } {{ } g per parti: fg fg f g σx xe x + σx πσ x } {{ } tende a π π e t σx dt } {{ } + + σ x πσ x e x σx dx } {{ } σx

16 CAPIOLO. I momenti centrali di ordine dispari sono nulli. Se si vuole descrivere la densità di probabilità, è possibile farlo dando tutti i momenti: - momento di ordine media - momento di ordine varianza - momento di ordine 3 asimmetria - momento di ordine 4 curtosi Per calcolare i momenti di qualsiasi ordine n qualsiasi si suppone per semplicità µx, quindi: E[X n ] πσ x - Se n è dispari E[X n ] perché E[X n ] x n e x σx dx.3 dispari { }} { }{{} x n fx x dx dispari }{{} pari - Se n è pari E[X n ] σ n n dove con la scrittura n si intende il prodotto dei primi n numeri dispari. Dimostrazione: e u {}}{ αx dx Si consideri la derivata n-esima rispetto ad α: n α n Il termine di sinistra della.4 sarà: n α n e αx dx u du π e α α e αx dx n π α n α n α n e αx dx Il termine di destra della.4 sarà: n π α n α n πα α n π n α n α Si eguaglino i risultati della.5 e della.6:.4 n x n e αx dx.5 πα n n k {}}{ n x n e αx dx πα n n n n n.6 n.7

17 CAPIOLO. 3 E' possibile scegliere un qualsiasi valore di α; per semplicità si scelga α x k e x σ dx k k π σ x k e x σ dx πσ k+ k k x k e x σ dx k πσ k σ x k e x σ dx k πσ k σ k πσ x k e x σ dx } {{ } E[X k ] k k k σ k k Per vedere le dierenze tra i vari processi è utile calcolare i momenti di ordine superiore al II: -Skewness asimmetria E[X µx3 ] ; più un processo è skewness, più è asimmetrico rispetto al valor medio 3 σ -Kurtosis curtosi E[X µ x 4 ]; dice quanto sono pesanti heavy le code della σ densità di probabilità. 4 Per le gaussiane la curtosi vale 3 ed è inferiore a quella delle laplaciane... La funzione caratteristica La funzione caratteristica è la trasformata di Fourier della densità di probabilità: Poiché: φxf F{fxx} fxx φxf jπxfxx jπx n fxx x n fxx n jπ n σ e jπfx fxxdx.8 f φ xf n f n φ xf n f n φ xf La trasformata calcolata in zero è proprio l'integrale su, cioè il momento di ordine n: E[X n ] x n fxxdx n jπ n φn x.9

18 CAPIOLO. 4 Quindi se si conosce tutto sui momenti allora si conosce tutto sulla densità di probabilità, allora si conosce tutto sulla variabile aleatoria...3 Dimostrazione che la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana Si dimostri adesso che la trasformata di Fourier di una variabile aleatoria gaussiana è ancora una variabile aleatoria gaussiana. Per semplicità si consideri una gaussiana a valor medio nullo: µx. Se il valor medio non fosse nullo allora occorrerebbe fare una traslazione. φxf F{fxx} F πσ { πσ e x σ e x σ } e jπfx dx πσ e x σ +jπfx dx. L'esponente della. è utile vederlo come un quadrato: x x σ + jπfx x σ + α α jπfx α σ Quindi l'esponente sarà: α j σ πf x x σ + jπfx x σ + α α σ + j σ πf + σ π f Allora la. diventa: Si pone s φxf πσ e π σ f πσ x + j σπf σ e allora: [ x σ +j σπf e e s +π σ f ] { }} { x + j σπf σ dx dx φxf e π σ f πσ e π σ f π + +j σπf +j σπf + +j σπf +j σπf e s σ ds e s ds

19 CAPIOLO. 5 Quindi si deve calcolare l'integrale sulla linea in gura.: Figura.: Linea in cui si deve calcolare l'integrale. Si noti che il punto di intersezione tra la linea blu e l'asse immaginario è: j σπf Per risolvere l'integrale, si consideri la linea chiusa in gura.: Figura.: Circuito con chiusure all'innito In questo modo infatti è possibile ricorrere al lemma di Jordan e dunque al teorema dei residui. Per quanto riguarda l'integrale di una funzione su una linea chiusa, è noto che se la funzione è analitica cioè non ha singolarità allora l'integrale è nullo; altrimenti bisogna calcolare i residui relativi ad ogni singolarità e il risultato dell'integrale sarà la somma dei residui. e s e a+jb e a +b jab Se la parte reale a tende all'innito, ma la parte immaginaria b no, allora tutto tende a zero.

20 CAPIOLO. 6 Se la parte immaginaria b tende all'innito, ma la parte reale a no, allora tutto tende all'innito. Se sia la parte reale che quella immaginaria tendono all'innito allora il risultato dipende da chi delle due parti ha più inuenza. Nel caso in esame, nella zona del circuito in gura, domina la parte reale, dunque tutto tende a zero, quindi la funzione e è analitica e allora, per il s lemma di Jordan si ha la.: e s ds. I L'integrale della linea chiusa si scrive come la somma degli integrali delle singole componenti,.: e s ds e s ds + e s ds + e s ds + e s ds. I I I I 3 I 4 I ei 4 sono chiusure all'innito della funzione, ma lì essa vale zero, dunque questi integrali sono nulli e quindi la. diventa: I e s ds I e s ds + I 3 e s ds.3 Allora : e s ds e s ds.4 I I 3 Poiché in gura., il verso di I 3 era opposto a quello di gura., e si è interessati a calcolare l'integrale su I 3 orientato nel verso concorde con la gura., allora si vuole calcolare proprio I 3 e s ds cioè I e ds, dove: s I e s ds Dalla. si sa che + e s ds π In conclusione: φxf e π σ f π e π σ f + e s ds.5 + +j σπf +j σπf + e s ds π e s ds e π σ f Quindi la trasformata di Fourier di una gaussiana è di nuovo una gaussiana: φxf F{fxx} e π σ f.6 Con questo risultato ottenuto è possibile inoltre dimostrare che la somma di due gaussiane sarà una gaussiana con valor medio uguale alla somma dei valor medi e varianza uguale alla somme delle varianze. Inne, un altro risultato importante è che e πt e πf.

21 CAPIOLO eorema del limite centrale Hp: Siano X i n variabili aleatorie indipendenti continue. Si supponga che: per ogni variabile aleatoria X i, lim n n α >, k < : i σ x i <.7 x α fx i xdx < k.8 cioè si supponga che i momenti strettamente maggiori di siano niti. Si denisce: hesi: Z n n i lim n Z n ℵ i X i µ i, i σ i.9 Il teorema del limite centrale spiega che se si hanno tante variabili aleatorie indipendenti e si sommano, si otterrà una variabile aleatoria con densità di probabilità gaussiana con valor medio uguale alla somma dei valor medi e varianza uguale alla somma delle varianze. Supponendo X i a media nulla, allora: φz n f n φx i f fz n z i n i fx i z. Intuitivamente, se si moltiplicano molte funzioni, purché siano positive e abbiano integrale, alla ne si ottiene una gaussiana. Il che è equivalente ad aermare che se si convolvono tante funzioni che son trasformate di funzioni positive e con integrale, si ottiene come risultato una gaussiana. Infatti: φx i fx i x φx i. φx i f fx i xe jπfx dx fx i x e jπfx dx fx i x φx i f. Nella. se X i è continua vale il minore stretto e quindi il valore viene raggiunto solo nell'origine X i è continua nel tempo se non vi sono δ, che in frequenza diventano seni e coseni, cioè funzioni oscillanti. Le varie φx i f saranno solo nell'origine e lontane dall'origine avranno valore minore di. anti numeri reali positivi minori di, moltiplicati tra loro, daranno come risultato un valore che tende a zero. Quindi col teorema del limite centrale

22 CAPIOLO. 8 si osserva solo quello che succede nell'intorno dell'origine perché comunque, lontano dall'origine, si hanno valori che tendono a zero. Si va a studiare quello che succede nell'intorno dell'origine: si vanno a fare gli sviluppi di aylor. Per comodità, anziché scrivere gli sviluppi di aylor della φx i f, si scrivono quelli del suo logaritmo: Dove: ψx i f log φx i f.3 ψx i f ψx i + fψ x i + f ψ { }} { ψx i log φx i ψ x i d log φx i φ x i φx i x i + of.4 ψ x i d log φx i φ x i φx i φ x i φ x i φx i 4π σx i Per ricavare φ x i e φ x i si applica la formula del momento n-esimo: Quindi: E[X n ] n jπ n φn.5 φ x i E[X] jπ {}}{ µx jπ φ x i E[X ]jπ σ x + µ x 4π 4π σ x ψx i f ψx i + fψ x i + f 4π σx f i + of π σx i f + of ψ x i + of Allora: φx i f e π σx i f.6 ed è una gaussiana. Dalle. e.6 si dimostra che: φz n f n i e π σ x i f e π f n i σ x i.7 cioè si ottiene una gaussiana che ha come varianza la somma delle varianze ed avrebbe come valor medio la somma dei valor medi, ma essi sono stati posti a zero per semplicità.

23 CAPIOLO. 9. Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane Considerate le variabili aleatorie X, X,..., X n, si vuole che il vettore X.8 sia congiuntamente gaussiano. X X X. X n.8 Un vettore di variabili aleatorie si dice congiuntamente gaussiano se una qualsiasi combinazione lineare delle X i è gaussiana. Introducendo il vettore dei coecienti a : allora si può scrivere: Quindi: a a a. a n Z a x < a, x > Z n i n a i X i i a i X i.9 Adesso non si impone più che le X i siano indipendenti, perché imporre la proprietà.9 è suciente a determinare poi la densità di probabilità congiunta. L'obiettivo è calcolare la funzione caratteristica di un vettore di variabili aleatorie gaussiane φ x f ; per fare ciò, si calcola prima la funzione caratteristica di una variabile aleatoria semplice gaussiana φzf. Nel farlo, ci si accorge che φz è proprio uguale a φ x a cioè a ciò che si stava cercando. La funzione caratteristica di un vettore di variabili aleatorie gaussiane è: φ x f E[e jπ f x ] E[e jπ i f ix i ] n e jπ i f ix i f x x d x.3 L'integrale è la trasformata di Fourier n-dimensionale della densità di probabilità congiunta, ma svolgere tale calcolo richiede ulteriori competenze. Per semplicità, si calcoli allora φzf. La funzione caratteristica di una variabile aleatoria gaussiana è: φzf e π f σ z.3

24 CAPIOLO. Si supponga valor medio nullo nel caso fosse diverso da zero, ci avrebbe una traslazione e si calcoli σ z: σz E[z }{{} µz ] E[z ] E[ a x ] E[ a x a x ] E[ a x x a ] a E[ x x ] a a C a Nella posizione C ij c'è la correlazione E[x i x j ] tra la variabile aleatoria i e la variabile aleatoria j. Poiché si sta considerando un vettore a valor medio nullo allora la correlazione è uguale alla covarianza infatti Hxxτ Cxxτ+µ x, quindi C è la matrice di covarianza di x. Sostituendo σz a C a nella.3 si ottiene: φzf e π f a C a.3 Allora: φz e π a C a φx a.33 Sostituendo a con f, si ottiene proprio la funzione caratteristica di un vettore di variabili aleatorie gaussiane: φ x π f }{{} }{{} C f e xn nxn Inoltre la.34 mostra che φ x f è uno scalare. Antitrasfomando la.34, si ottiene: f x x f }{{} nx.34 n π n C e x µ C x µ.35 dove n è la lunghezza del vettore e C il determinante della matrice di covarianza. E' necessario che la matrice C sia invertibile infatti se non lo fosse, si avrebbe determinante nullo. La matrice C è reale, simmetrica e semidenita positiva: a C a a, perché E[ a x ] è una forma quadratica. Ma anché C sia sempre invertibile, deve essere denita positiva: a C a >, cioè deve valere l'uguale solo per a cioè se E[ a x ] sse a x a i X i i ossia se le variabili aleatorie X X... X n non sono linearmente indipendenti perché in tal caso una variabile aleatoria potrebbe essere scritta come combinazione lineare delle altre e dunque, nel caso che le altre variabili fossero note, essa diventerebbe deterministica. se le variabili aleatorie che si considerano sono linearmente indipendenti, allora la matrice è denita positiva e dunque è sempre invertibile.

25 CAPIOLO... Proprietà delle variabili aleatorie congiuntamente gaussiane Le densità di probabilità marginali sono ancora gaussiane; un qualsiasi sottoinsieme di variabili aleatorie gaussiane è ancora gaussiano. Dimostrazione: φ x f n e jπf x +f x + +f nx n f x x x... x n dx dx... dx n Per calcolare la densità di probabilità marginale, si toglie la i-esima componente, quindi si toglie la f i : φ x f,..., f i,, f i+,..., f n n f x x x... x n e jπf x + +f i x i ++f i+x i++ +f n x n dx dx... dx n Adesso si integra su x i e dunque si toglie anche la x i : f n φ x f,..., f i,, f i+,..., f n vedi sopra { }} { x i x x... x i x i+... x n e jπ dx dx... dx i dx i+... dx n L'obiettivo è dimostrare che la funzione caratteristica φ x i f x i, è ancora gaussiana. La i-esima componente è posta a, allora nella matrice C la riga i-esima e la colonna i-esima verranno moltiplicate per, quindi tale riga e tale colonna saranno azzerate: φ x i f x i e π f f n la x rimane ancora un vettore gaussiano. Iterando si riesce a farlo per qualsiasi sottoinsieme. C... C n.... C n... C nn. f.. f n Per le gaussiane l'analisi no al secondo ordine cioè su valor medio µ x e varianza C dice già tutto. 3 Per le gaussiane l'indipendenza e la scorrelalatezza sono la stessa cosa. In generale indipendenza scorrelatezza e il contrario non è sempre vero. Per le gaussiane è possibile dimostrare che indipendenza scorrelatezza.

26 CAPIOLO. Dimostrazione: Si parte dall'ipotesi di scorrelatezza; se le variabili sono scorrelate allora la matrice C è diagonale e sulla diagonale ci sono le varianze, allora il determinante è il prodotto delle varianze C i σ i, quindi: f x x n π n C e n π n i σ i n e x σ i i πσi n fx i x i i x... xn e x Σ i i σ i σ σ n Partendo dall'ipotesi di scorrelatezza si può dunque vericare che la densità di probabilità congiunta è il prodotto delle singole densità di probabilità quindi le variabili sono indipendenti. Allora se le variabili aleatorie sono scorrelate e gaussiane, esse sono anche indipendenti. 4 Le curve di livello della gaussiana multivariata sono ellissi. Dimostrazione: Per tracciare le curve di livello di una gaussiana in due dimensioni si pone la densità di probabilità congiunta uguale ad una costante: Ciò vuol dire porre: fxyx, y 4π C e x y x y C x y C k Poiché il termine di sinistra è una forma quadratica, allora è una conica ellissi, parabola, iperbole. Se C è denita positiva allora tale conica è un'ellisse. Se X e Y sono indipendenti, si avrà una matrice diagonale e dunque un'ellisse con l' asse maggiore parallelo all'asse x se σ x > σ y, oppure con l' asse maggiore parallelo all'asse y se σ x < σ y, oppure delle circonferenze nel caso x y k x. x n

27 CAPIOLO. 3 in cui σ x σ y. σ C x σy C σ x σ y x σx + y σy k } {{ } ellisse Se X e Y non sono indipendenti allora si avrà un'ellisse orientata non nella stessa direzione di x o y. 5 Si supponga di avere un vettore X di n elementi si considerino due sottoinsiemi di X: X e X, si avrà che f x x è ancora una gaussiana multivariata. Cioè la densità di probabilità di un sottoinsieme condizionato ad un altro sottoinsieme, è ancora gaussiana. Questa proprietà ci limitiamo ad enunciarla, senza proporre una dimostrazione formale. 6 Prendendo m combinazioni lineari delle n variabili aleatorie gaussiane, si ottengono m variabili aleatorie che saranno congiuntamente gaussiane: Dimostrazione: }{{} A }{{} X mxn nx Y }{{} mx φy f E[e jπ f Y ] E[e jπ f A X ] φx f A } {{ } } {{ } vettore lungo m vettore lungo n Il vettore φx f A è ancora una gaussiana infatti: Si ottiene: φx f A e π f ACx f A Cy }{{} mxm A }{{} mxn }{{} Cx nxn π f ACxA } {{ } e Cy A }{{} nxm f.36 Si osservi che se la matrice A è quadrata nxn, allora con A X Y si fa un cambio di coordinate e si ottiene ancora un vettore di variabili aleatorie gaussiane. Potendo scegliere A, la si sceglie tale che essa diagonalizzi la matrice Cx in modo da ottenere Cy diagonale e dunque avere un vettore Y a variabili aleatorie indipendenti. Da qui ci si riconduce alla Kalhunen-Loeve ransform KL, trasformata che, applicata al vettore di variabili aleatorie, rende diagonale la matrice di covarianza, cioè produce un vettore Y di variabili aleatorie indipendenti gaussiane.

28 CAPIOLO. 4.3 Processi gaussiani Un processo si dice gaussiano se comunque si scelgano t, t,..., t n, le n variabili aleatorie che si ottengono sono congiuntamente gaussiane. Ciò equivale a dire che se si campiona il processo xk, t, ogni campione è gaussiano. Per un processo gaussiano è semplice dare una sua descrizione completa perché la caratte-rizzazione completa è del tutto equivalente ad una caratterizzazione no al II ordine. Sia il processo xk, t gaussiano e SSL Stazionario in Senso Lato, allora µx e Hxxτ sono sucienti a descrivere in maniera completa il processo: µx µxt, µxt,..., µxt n ma essendo il processo SSL µx µx, µx,..., µx [ ] C ij E xk, t i µx xk, t j µx Cxxt i, t j Cxxt i t j Hxxt i t j µ } {{ } x essendo stazionari in senso lato Se si pone in ingresso ad un sistema LI un processo gaussiano xk, t, allora anche l'uscita yk, t sarà gaussiana: yk, t xk, tht τdτ Ingresso e uscita sono congiuntamente gaussiani quando: presi h istanti sul primo processo e k istanti sul secondo processo, le h + k variabili aleatorie sono congiuntamente gaussiane. xk, t xk, t...xk, t h } {{ } h yk, t h+ yk, t h+...yk, t h+k } {{ } k

29 Capitolo 3 Segnali e processi a banda stretta Si deniscono segnali a banda stretta quei segnali il cui spettro ha una larghezza molto piccola rispetto alla sua posizione sull'asse delle frequenze. Ad esempio un possibile segnale a banda stretta xt può essere costruito ma non è l'unico modo a partire da una modulazione fra un cosπf t e un segnale x t in banda base: xt x t cosπf t con f B 3. con B banda di s t. Per esempio i segnali emessi da un'emittente televisiva, radiofonica, o da una scheda di rete wireless sono tutti segnali a banda stretta. La gura 3 dà una rappresentazione graca dello spettro di un segnale a banda stretta. Analizzando tali segnali con gli usuali strumenti utilizzati per i segnali passa basso si presentano alcuni eetti indesiderati. Il principale problema si Figura 3.: rasformata di Fourier di un segnale a banda stretta 5

30 CAPIOLO 3. 6 riscontra applicando al segnale il teorema di Shannon o del campionamento. Si supponga per esempio di dover memorizzare un minuto di un segnale vocale di banda B 4 KHz che per essere trasmesso è stato centrato in f 5 GHz. In questo caso, la banda del segnale da memorizzare è B 5 4 Hz. Per Shannon la frequenza di campionamento minima per poter ricostruire completamente il segnale è: f c B GHz Questo signica che per memorizzare un minuto di segnale occorrono 6 9 campioni. Un approccio non praticabile nemmeno con i moderni calcolatori. Sfruttando il teorema del campionamento non è possibile scendere al di sotto dei B campioni se si vuole ricostruire senza perdita il segnale. In questo esempio il vero problema è che il segnale da memorizzare è solamente quello centrato in f 5 GHz, ma con supporto B 8 KHz. Applicando invece il teorema, si ottengono campioni che contengono al loro interno anche l'informazione della nullità dello spettro compresa in [ ; f B ]. 3. Segnali deterministici segnali a banda stretta Per risolvere le problematiche derivanti dall'analisi dei segnali a banda stretta, si ricorre ad un cambio di rappresentazione: facendo passare il segnale attraverso alcuni sistemi LI in cascata si deve riuscire a scrivere xt come derivante da una funzione gx t con la speranza che x t sia un segnale in banda base. Così facendo, con la conoscenza di g e dei campioni prodotti da x t, diventerebbe possibile ricostruire completamente il segnale di partenza. L'analisi che svolgeremo nel seguito, si basa su due ipotesi fondamentali: xt reale xt generico a banda stretta Avendo assunto xt reale, segue che Xf xt Xf ha simmetria hermitiana, in particolare e{xf} è pari e Im{Xf} è dispari. Ne discende che la parte destra dello spettro, cioè i valori di Xf per f contengono tutta l'informazione necessaria per descrivere in frequenza xt. Il segnale di partenza deve quindi potersi ricostruire esattamente a partire da una funzione del tipo α Xf Uf con ut Uf funzione gradino unitario e α una costante nota. In particolare si può scrivere: x + t xt + xt j xt + jˆxt πt

31 CAPIOLO 3. 7 X + f Xf + j Xf Xf + j jsgnfxf Xf + sgnfxf Xf + sgnf Xf Uf La quantità x + t si chiama preinviluppo complesso di xt, mentre ˆxt indica la trasformata di Hilbert di xt. Così facendo si ottiene un solo intervallo di frequenze dove lo spettro non è nullo. Il passo successivo è il seguente: xt x + t e j πf t Xf X + f + f 3. Il segnale xt è chiamata inviluppo complesso e in generale la sua trasformata non gode della simmetria Hermitiana. È possibile perciò scrivere l'inviluppo complesso di xt come e{ xt} + j Im{ xt}: xt xt + j ˆxt e j πf t xt + j ˆxt cosπf t j sinπf t xt cosπf t + j ˆxt cosπf t j xt sinπf t + ˆxt sinπf t x i t + j x q t x i t è chiamata componente in fase del segnale xt e x q t è chiamata componente in quadratura. La tabella 3. riassume i passaggi precedenti nel dominio della frequenza. Segnale a banda stretta Preinviluppo complesso Inviluppo complesso abella 3.: appresentazione in frequenza di xt Le formule che permettono di ricavare la componente in fase e quella in quadratura del segnale possono essere raggruppate in forma vettoriale per una rappresentazione più compatta. xi t x q t cosπf t sinπf t sinπf t cosπf t xt ˆxt 3.3

32 CAPIOLO 3. 8 ale rappresentazione prende il nome di equazioni di analisi del segnale. Invertendo il sistema 3.3 si ottengono l'equazioni di sintesi del segnale: xt ˆxt cosπf t sinπf t sinπf t cosπf t xi t x q t 3.4 Date le componenti in fase e in quadratura del segnale e la frequenza f, si risale attraverso la 3.4 al segnale xt di partenza. Il sistema fornisce anche un metodo per ricavare la trasformata Hilbert a partire dalle funzioni x i t e x q t. Dalle equazioni di sintesi si nota anche che un segnale a banda stretta può essere espresso anche come: xt x i t cosπf t x q t sinπf t x i t + x qt cos πf t + arctan x qt } {{ } x i t } {{ } Ampiezza F ase dove le componenti x i t e x q t, opportunamente combinate, modulano ampiezza e fase della portante cosπf t. Da questo derivano i nomi di fase e quadratura della rappresentazione analitica dei segnali a banda stretta. Inoltre si evidenzia anche che tutti i segnali a banda stretta si possono vedere come un coseno modulato in ampiezza e fase. A tal proposito elenchiamo qui diseguito alcuni tipi di modulazione: AM, DSBDouble Side Band, SSBSingle Side Band. m AM t V + kxt cosπf t m DSB t xt cosπf t x i t xt x q t xt x i t + jx q t mt xt at x i t + x qt xt m SSB t xt cosπf t ± ˆxt sinπf t Si usa il + se vogliamo trasmettere la semibanda di sinistra, il - se vogliamo trasmettere quella di destra. x i t xt x q t ±ˆxt xt x i t + jx q t mt xt jˆxt Mf XF j jsgnfxf Xf sgnfxf XfUf at x i t + x qt x t + ˆx t

33 CAPIOLO 3. 9 Osservando il comportamento in frequenza dell'inviluppo complesso è facile dimostrare che: [ ] X i f Xf + f + Xf f rect f 3.5 f e [ ] X q f j Xf f Xf + f rect f 3.6 f Infatti: x i t xt cosπf t + ˆxt sinπf t X i f Xf f + Xf + f Xf f + Xf + f + Xf f + Xf + f j + jsgnf f Xf f + jsgnf + f Xf + f j Xf f sgnf f + Xf + f + sgnf + f Xf f U f + f + Xf + f Uf + f { Xf f + Xf + f se f < f altrove la componente in fase X i f della SSB è il segnale originale. x q t xt sinπf t + ˆxt cosπf t Xf f Xf + f X q f + Xf f + Xf + f j Xf f + Xf + f jsgnf f Xf f jsgnf + f Xf + f + j Xf f + Xf + f + sgnf f Xf f + sgnf + f Xf + f j Xf f + sgnf f + Xf + f + sgnf + f j Xf f U f f + Xf + f Uf + f j jxf f U f f jxf + f Uf + f { j Xf f Xf + f se f < f altrove

34 CAPIOLO 3. 3 la componente in quadratura X q f della SSB è esattamente la trasformata di Hilbert del segnale. Le equazioni sono un ulteriore modo per ricavare in frequenza le componenti in fase e in quadratura. Come si può notare tali componenti sono in banda base. La frequenza f non è vincolante può essere scelta arbitrariamente, ma si può dimostrare che ssandola a metà dello spettro non nullo si ottiene la scelta ottima ovvero quella che minimizza la banda di x i t e di x q t. In riferimento all'esempio sopra esposto sulla memorizzazione di un minuto del segnale xt, con l'introduzione della forma canonica di segnali a banda stretta il problema da una complessità iniziale di 6 9 campioni si riduce al campionamento di due segnali la componente in fase e quella in quadratura di banda B. In questo modo con solo 6 B 96 campioni e l'informazione f 5 GHz si memorizza senza perdita il segnale di partenza xt. 3.. Simulazione in banda base di un sistema a radiofrequenza, sistemi LI È interessante studiare come opera un sistema LI con risposta impulsiva a banda stretta quando viene attraversato da un segnale xt anch'esso a banda stretta. Chiamando yt Y f l'uscita e ht Hf la risposta del sistema si ha che: Y f Hf Xf ne deriva che anche yt è a banda stretta quindi l'uscita può essere rappresentata in banda base. In questo modo si può simulare un sistema a radiofrequenza lavorando invece in banda base. contro il solo segnale dell'applicazione diretta del teorema di Shannon. In realtà quest'ipotesi non è a causa della natura a banda stretta del segnale in ingresso al sistema.

35 CAPIOLO 3. 3 Calcoliamo il preinviluppo complesso: Y + f Y f + jy + f Y f + j jsgnfy f Y f + sgnfy f Y f + sgnf Y fuf XfHfUf XfHfUfUf XfUf } {{ } X + f HfUf } {{ } H + f X + f + H + f Allora: Y + f X + f + H + f 3.7 Perché Uf vale oppure allora si può moltiplicare per inniti Uf senza alterare il risultato; successivamente si moltiplica e divide per in maniera tale da ottenere l'espressione di H + f. Ma il preinviluppo complesso non è un segnale molto utile perché continua ad essere un segnale a radiofrequenza; vediamo allora l'inviluppo complesso: Allora: Ỹ f Y + f + f X+ f + f H + f + f Xf Hf Nel tempo si ha che: ỹt [ y i t + j y q t ] [ si t + j s q t h i t + j h q t ] Ỹ f Xf Hf 3.8 [s i t h i t + j s q t h i t + j s i t h q t s q t h q t ] y i t [s i t h i t s q t h q t ] y q t [s q t h i t + s i t h q t ] Si osservi come il calcolo dell'uscita del sistema possa essere eseguito tutto in banda base per passare in banda passante solo alla ne del procedimento.

36 CAPIOLO 3. 3 Questa possibilità è di importanza fondamentale per la simulazione numerica dei sistemi, in quanto permette di simulare il comportamento del sistema utilizzando delle frequenze di campionamento decisamente più basse di quelle a cui sarebbe necessario operare per lo studio diretto in banda passante. 3.. Applicazioni sui segnali a banda stretta Supponiamo che un segnale modulato DSB oppure AM entri in un sistema la cui risposta in fase sia: Hf Ae jβf Anché il sistema non sia distorcente: - A dovrebbe essere costante nella banda del segnale di ingresso in modo da avere Hf costante; - βf dovrebbe essere lineare e la retta che approssima linearmente Hf dovrebbe passare per l'origine. Supponiamo di essere nel caso in cui essa non passi per l'origine, dunque si ha distorsione. Si denicono il ritardo di fase 3.9 ed il ritardo di gruppo 3.: τ f βf πf 3.9 τ g βf π 3. Se τ f τ g si ha distorsione Studiamo il sistema nella rappresentazione in banda base. Il segnale che si vuole trasmettere è: xt mt cosπf t nel caso della modulazione DSB xt mt + cosπf t nel caso della modulazione AM Il procedimento da seguire è quello di partire da xf e Hf per ricavarsi Ỹ f; da quest'ultima ricavarsi Y + f, antitrasformare per calcolare y + t, prenderne la parte reale e trovare così il segnale in uscita yt. Si consideri, ad esempio, il caso della modulazione DSB: xt mt cosπf t xt x i t +j x q t mt } {{ } Xf Mf }{{} mt Hf può essere considerato a banda stretta: f Hf Ae jβf f f + rect + Ae jβf f rect B B Hf si trova eliminando le frequenze negative, moltiplicando tutto per e traslando verso sinistra: f Hf Ae jβf+f rect B

37 CAPIOLO A questo punto si hanno tutti gli elementi per calcolare Ỹ f: Ỹ f Xf Hf AMf e jβf+f Y + f Ỹ f f AMf f e jβf Si applica aylor per linearizzare la fase: βf βf + β f f f πf τ f πτ g f f Y + f AMf f e j πf τ f πτ g f f Ae jπf τ f Mf f e jπτgf f y + t Ae jπf τ f mt τ g e jπf t yt e{y + t} A mt τ g cosπf t τ f } {{ } } {{ } inviluppo portante 3. L'equazione 3. esprime un risultato importante infatti, nonostante il segnale sia distorto, a causa del fatto che τ f > τ g, tuttavia l'inviluppo, che è ciò che realmente interessa, è solo traslato. 3. Segnali aleatori complessi processi a banda stretta Abbiamo visto che xt era reale, dunque la sua trasformata Xf aveva simmetria hermitiana. Adesso invece trattiamo segnali complessi, quindi per far vedere che x + k, t xk, t + jˆxk, t elimina le frequenze negative del segnale, non si può più sfruttare la trasformata perché non esiste, si deve quindi passare attraverso l'autocorrelazione nella quale si usa in coniugato, poiché si hanno segnali complessi: Hxxτ E[xk, t + τx k, t] Hx + x +τ E[x+ k, t + τx + k, t ] E[ xk, t + τ + jˆxk, t + τ xk, t jˆxk, t ] Hxxτ jhxˆxτ + jhˆxxτ + Hˆxˆxτ Hxxτ + j Hˆxxτ } {{ } Hxxτ + jĥxxτ H + xxτ Hxxτ hτĥxxτ Perché la trasformata di Hilbert é come il passaggio attraverso un sistema LI:

38 CAPIOLO Sˆxˆxf Sxxf Hf Sxxf jsgnf Sxxf Sˆxˆxf Sxxf Hˆxˆxτ Hxxτ. Invece Sˆxxf è immaginario dispari perché è il prodotto di Sxxf che è reale pari e di jsgnf che è immaginario dispari quindi la sua trasformata, ossia Hˆxˆxτ sarà reale dispari Hˆxxτ Hˆxx τ Hˆxxτ. Sx + x +f S xxf + jsxxf jsgnf Sxxf + Sxxfsgnf Sxxf[ + sgnf] SxxfUf 4SxxfUf H x xτ E[ xk, t + τ xk, t ] E[x + k, t + τ jπf t+τ x + k, te jπf t ] Hx + x +τe jπf τ Quindi: S x xf Sx + x +f + f In analogia con i risultati ricavati dalla rappresentazione analitica di segnali determinati a banda stretta, si introducono le componenti in fase e in quadratura di processi stocastici a banda stretta 3 : x i k, t xk, t cosπf t + ˆxk, t sinπf t x q k, t xk, t sinπf t + ˆxk, t cosπf t 3. Essendo anche le componenti in fase e in quadratura dei processi stocastici, è innanzitutto necessario studiare la loro stazionarietà in senso lato ipotizzando la stazionarietà in senso lato di xk, t. eorema. Siano x i k, t e x q k, t le componenti in fase e quadratura di un processo xk, t a banda stretta, SSL e con µx Allora: x i k, t e x q k, t sono congiuntamente SSL H xi x i τ H xqx q τ H xi x q τ H xqx q τ S xi x i f S xq x q f S xx f f + S xx f + f rect f f S xi x q f S xq x i f j S xx f f S xx f + f rect f f 3 La denizione di banda stretta si riferisce alla densità spettrale di potenza media Sxx.

39 CAPIOLO Dimostrazioni: E[x i k, t] E[xk, t] cosπf t + E[ˆxk, t] sinπf t µx cosπf t + µˆx sinπf t perché µx per ipotesi e µˆx µxh è zero perché se è nullo l'ingresso al sistema LI allora è nulla anche l'uscita. E[x q k, t] E[xk, t] sinπf t + E[ˆxk, t] cosπf t µx sinπf t + µˆx cosπf t Per quanto riguarda l'autocorrelazione della componente in fase si ha: Hx i x i τ E[x i k, t + τx i k, t] E[ xk, t + τ cosπf t + τ + ˆxk, t + τ sinπf t + τ xk, t cosπf t + ˆxk, t sinπf t ] E [ xk, t + τ xk, t cosπf t + τ cosπf t + + ˆxk, t + τ xk, t sinπf t + τ cosπf t + + xk, t + τ ˆxk, t cosπf t + τ sinπf t + + ˆxk, t + τ ˆxk, t sinπf t + τ sinπf t ] Hxxτ cosπf t + τ cosπf t + +Hˆxxτ sinπf t + τ cosπf t + +Hxˆxτ cosπf t + τ sinπf t + +Hˆxˆxτ sinπf t + τ sinπf t Occorre a questo punto fare delle semplicazioni tenendo conto dei legami esistenti fra le correlazioni. La densità spettrale di potenza media del processo ˆxk, t è così denita: Sˆxˆxf Sxxf Hf Sxxf Hxxτ Hˆxˆxτ } {{ } j sgnf Per la cross-correlazione si ha: Inoltre: Hxˆxτ Hˆxx τ Sˆxxf Sxxf Hf j sgnf Sxxf.

40 CAPIOLO Ma essendo Sxx pari e Hf immaginaria dispari perché risposta in frequenza di un sistema LI che applica la trasformata Hilbert, si ha che Sˆxx è immaginaria dispari, cioè che Hˆxx è reale dispari per le proprietà di simmetria della trasformata di Fourier. Quindi: Hˆxx τ Hˆxxτ Applicando le semplicazioni ricavate si ottiene che: Hx i x i τ Hxxτ cosπf τ + Hˆxxτ sinπf τ 3.3 e quindi x i k, t è stazionario in senso lato. Per quanto riguarda la autocorrelazione della componente in quadratura si fa un ragionamento analogo: Hx q x q τ E[x q k, t + τx q k, t] {[ ] E xk, t + τ sinπf t + τ + ˆxk, t + τ cosπf t + τ [ ]} xk, t sinπf t + ˆxk, t cosπf t Hxxτ sinπf t + τ sinπf t + Hxˆxτ sinπf t + τ cosπf t + Hˆxxτ cosπf t + τ sinπf t + +Hˆxˆxτ cosπf t + τ cosπf t Hxxτ[sinπf t + τ sinπf t + cosπf t + τ cosπf t] + +Hˆxxτ[sinπf t + τ cosπf t cosπf t + τ sinπf t] Hxxτ cosπf τ + Hˆxxτ sinπf τ Quindi anche la componente x q k, t è stazionaria in senso lato. Inoltre si è vericato che : Hx i x i τ Hx qx q τ

41 CAPIOLO Con accorgimenti simili, si verica la mutua stazionarietà fra x i k, t e x q k, t: Hx i x q τ E[x i k, t + τx q k, t] ] E{[ xk, t + τ cosπf t + τ + ˆxk, t + τ sinπf t + τ [ ]} xk, t sinπf t + ˆxk, t cosπf t Hxxτ cosπf t + τ sinπf t + +Hxˆxτ cosπf t + τ cosπf t + Hˆxxτ sinπf t + τ sinπf t + +Hˆxˆxτ sinπf t + τ cosπf t Hxxτ[ cosπf t + τ sinπf t + sinπf t + τ cosπf t] + Hˆxxτ[cosπf t + τ cosπf t + sinπf t + τ sinπf t] Hxxτ sinπf τ Hˆxxτ cosπf τ Poiché Hxxτ sinπf τ è dispari perché prodotto di un segnale pari per uno dispari e Hˆxxτ cosπf τ è dispari perché prodotto di un segnale dispari per uno pari, allora Hx i x q τ è dispari, quindi: Hx i x q τ Hx qx i τ Hx i x q τ Inoltre, dato che Hx i x q τ è dispari, allora Hx i x q. Questo indica che ad istanti di tempo corrispondenti, la componente in fase e la componente in quadratura sono scorrelate se fossero gaussiane sarebbero anche indipendenti. Vadiamo adesso la densità spettarale di potenza media: Sx i x i f F{Hx i x i τ} F{Hxxτ cosπf τ + Hˆxxτ sinπf τ} S xxf f + Sxxf + f + Sˆxxf f Sˆxxf + f j S xxf f + Sxxf + f [ jsgnf f Sxxf f + jsgnf + f Sxxf + f ] + j [ ] Sxxf f sgnf f + Sxxf + f + sgnf + f Sxxf f U f f + Sxxf + f Uf + f [ ] f Sxxf f + Sxxf + f rect f Essendo Hx i x i τ Hx qx q τ Sx i x i f Sx qx q f e la conseguenza immediata è che: Px i Px q Px

42 CAPIOLO dove la potenza è l'integrale in frequenza, oppure si può denire anche come l'autocorrelazione in zero ed infatti Hx i x i Hxx + Px i Px La densità spettrale di potenza media incrociata: Sx i x q f F{Hx i x q τ} F{Hxxτ sinπf τ Hˆxxτ cosπf τ} S xxf f Sxxf + f Sˆxxf f + Sˆxxf + f j S xxf f Sxxf + f [ jsgnf f Sxxf f jsgnf + f Sxxf + f ] j [ ] Sxxf f Sxxf + f sgnf f Sxxf f sgnf + f Sxxf + f j [ ] Sxxf f sgnf f Sxxf + f + sgnf + f j [ ] Sxxf f U f f Sxxf + f Uf + f j [ ] f j Sxxf f Sxxf + f rect f Inoltre: Sx i x q f Sx q x i f perché Sx i x q f F{Hx i x q τ} F{Hx q x i τ} Sx q x i f. 3.. Cifra di rumore introdotta dal demodulatore DSB Consideriamo il demodulatore in gura 3.: Il segnale di ingresso è: Figura 3.: Schema del demodulatore xk, t cosπf t Θ + nk, t 3.4 dove xk, t è il segnale modulante, nk, t è un rumore bianco, Θ è un ritardo casuale, distribuito uniformemente tra e π, indipendente da xk, t. Il segnale di uscita, ossia il segnale demodulato, lo indichiamo con yk, t.