NOTE DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1, aa 2003/ I NUMERI REALI COME COMPLETAMENTO DEI RAZIONALI DUE DIVERSI PUNTI DI VISTA:

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1 NOTE DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA, aa 003/004. I NUMERI REALI COME COMPLETAMENTO DEI RAZIONALI DUE DIVERSI PUNTI DI VISTA: A) Defiizioe assiomatica dei umeri reali: si assume come assioma (cioè come presupposto che o si dimostra) che esista u isieme IR i cui valgao gli assiomi relativi alle operazioi di somma e prodotto, all ordiameto ( ) e alla completezza (cfr. cap., di Marcellii P., Sbordoe C., Elemeti di Aalisi Matematica uo, Liguori Ed. ). I questo caso i puti di ua retta, i umeri decimali (co l accorgimeto di idetificare 0, 9 co ) o i umeri rappresetati i ua qualsiasi base, soo diversi rappresetati di questo isieme e quidi soo da oi idetificati (tediamo a cosiderare idifferete se guardare ad u umero i base o i base o alla sua rappresetazioe su ua retta orietata: si tratta di isiemi diversi tra i quali è possibile stabilire ua biezioe che coserva tutte le proprietà). B) Costruzioe dei umeri reali a partire dalla defiizioe assiomatica dei umeri aturali: si mostra che è possibile costruire l isieme IR, partedo dai soli assiomi di Peao relativi ai aturali. Cosideriamo già oti allo studete (cfr. corso di Algebra):. Numeri aturali IN (assiomi di Peao);. Numeri iteri Z (costruiti a partire dai aturali, i particolare esiste i Z l elemeto opposto rispetto alla somma e IN Z);. Numeri razioali Q (costruiti a partire dagli iteri, i particolare esiste i Q l elemeto iverso rispetto al prodotto, per ogi elemeto o ullo, e Z Q). DA Q AD IR: Proprietà diq.. Relativamete alle operazioi di somma e prodotto:. proprietà associativa di somma e di prodotto;. proprietà distributiva di somma e di prodotto;. esisteza degli elemeti eutri per la somma e il prodotto;. esisteza dell opposto;. esisteza dell iverso, per ogi elemeto o ullo;. Relativamete all ordiameto:. dicotomia (due elemeti soo sempre cofrotabili, l ordiameto è totale);. atisimmetria;. proprietà dell ordiameto rispetto alla somma;. proprietà dell ordiameto rispetto al prodotto. L ASSIOMA DI CONTINUITA o vale i Q : Ricordiamo l ASSIOMA DI CONTINUITA (che può essere formulato i tre modi equivaleti): (i) Esisteza dell elemeto separatore: Siao A e B due isiemi o vuoti e separati cioè tali che a A, b B a b. Allora esiste almeo u elemeto separatore c, cioè esiste c tale che a A, b B a c b.

2 (ii) Esisteza dell estremo superiore (o iferiore): Sia A u isieme o vuoto e limitato superiormete. Allora esiste l estremo superiore di A, cioè esiste c tale che a A a c (cioè c è maggiorate di A) esec è u altro maggiorate di A, allora c c. (iii) Completezza: Ogi successioe di Cauchy ammette limite. Ceo di dimostrazioe delle equivaleze (i) (ii): se A è u isieme o vuoto e limitato superiormete, l isieme B := {b : b è u maggiorate per A} è tale che A e B soo separati. Allora, avedo supposto che valga (i), esiste u elemeto separatore c che risulta essere l estremo superiore di A (verificare le proprietà). (ii) (i): siao A e B due isiemi o vuoti e separati. Allora c := sup A è u elemeto separatore. (ii) (iii): (ii) le successioi mootoe e limitate soo covergeti (al loro estremo superiore) Teorema di Bolzao Weierstrass (ogi successioe limitata ammette ua sottosuccessioe covergete) (cfr. Cap.3: 8 di Marcellii P., Sbordoe C., Elemeti di Aalisi Matematica uo, Liguori Ed. ) ogi successioe di Cauchy ammette limite. (iii) (ii): sia A u isieme o vuoto e limitato superiormete ad esempio da M 0 e sia a 0 A. Poiamo M = a0+m0,sem è ach esso u maggiorate per A, altrimeti poiamo M = M 0 ed esiste a A tale che a > a0+m0. Allora si può ripetere il procedimeto a partire da a ed M, dove M a M0 a0. I tal modo si costruisce ua successioe {a k } e si dimostra che essa è di Cauchy e che il suo limite (che esiste per (iii)) è l estremo superiore di A. verifichiamo che L ASSIOMA DI CONTINUITA o vale i Q : Se A := {q Q : q < } e B := {q Q : q>0,q > }. Allora o esiste i Q l elemeto separatore tra A e B (sarebbe che o è razioale: cfr. Cap. : 5 di Marcellii P., Sbordoe C., Elemeti di Aalisi Matematica uo, Liguori Ed. ). Lo stesso isieme A o ha estremo superiore ei razioali. Ifie è possibile costruire ua successioe di Cauchy di elemeti di A che teda a, ma tale successioe o ha limite i Q; aalogamete la successioe ( + ) è di Cauchy ma o ha limite i Q, poichè il suo limite è il umero di Nepero e, irrazioale. OSSERVAZIONE: A differeza degli altri due casi, l Assioma di Cotiuità, ella forma (iii), o utilizza la relazioe d ordie e quidi può essre cosideratro ache i isiemi più geerali o dotati di u ordiameto totale (ad esempio i IR. COMPLETAMENTO DI Q: I NUMERI REALI : La ostra esperieza sui umeri reali o razioali asce dalla cosiderazioe di umeri co u importate sigificato ella geometria Euclidea o ell Aalisi, come ad esempio =0, 44..., π =3, = ( ) k 4 k +, k=0 e = lim ( + ) = k=0 k! = La rappresetazioe decimale dei razioali: la rappresetazioe decimale di u umero razioale èu decimale periodico. Ifatti, presa ua frazioe m (dove m, Z), la sua rappresetazioe decimale (e quella, uguale, delle frazioi ad essa equivaleti) è periodica (di periodo 0 se il risultato della divisioe ha resto zero, comuque periodica perchè i resti possibili soo i umero fiito: 0,,..., e quidi, effettuado il calcolo delle varie cifre decimali al più al passo + si deve riotteere lo stesso resto e quidi, da quel puto i poi, le cifre si ripetoo).

3 La rappresetazioe decimale i geerale: =0, = = 6 α k k=, dove α k k {0,,...,8, 9}, poichè stiamo cosiderado la base. Quidi la rappresetazioe decimale sottitede l impiego di somme ifiite (serie), a cui possiamo associare u sigificato purchè esista il limite della successioe delle somme parziali. Trattadosi di ua serie a termii di sego costate, la successioe delle somme parziali è mootoa, quidi ache covergete poichè è limitata, essedo per qualsiasi scelta degli α k {0,,...,8, 9}: 0 k= α k k 9 k = 9 k= k=0 k = 9 ( )=. ATTENZIONE, QUI SI E USATA L ESISTENZA DELL ESTREMO SUPERIORE MA PER COSTRUIRE IR A PARTIRE DA Q POSSIAMO USARE SOLO LE PROPRIETA DI Q Ache se i razioali si rappresetao co umeri decimali periodici, immagiiamo facilmete u umero decimale che o sia periodico. Però dobbiamo defiire i maiera rigorosa (o solo immagiare), a partire da Q u isieme IR tale che ) IR cotega u sottisieme che possa essere idetificato co Q; ) i IR valgao tutte le proprietà di Q, ma ache l Assioma di Cotiuità. L IDEA SU COME PASSARE DA Q ad IR è la formulazioe rigorosa dell ituizioe di voler ampliare l isieme delle rappresetazioi decimali periodiche: Q, co quello di tutte le possibili rappresetazioi decimali: IR. Si osservi ad esempio che qui il umero di Nepero e è stato rappresetato i tre modi diversi. I tutti e tre i casi, e è il limite di ua successioe di umeri razioali. Se avessi scelto ua base che o sia, otterrei il umero come limite di ua successioe diversa di razioali. Ma i questo modo o si creao ambiguità? Come ricooscere se diverse successioi idividuao lo stesso umero o umeri diversi? Cosideriamo l isieme co la relazioe di equivaleza: DEFINIZIONE DI IR C := {{q } : {q } Q è ua successioe di Cauchy }, {q } {p } {q p } 0per. Facilmete si verifica che la relazioe itrodotta è ua relazioe di equivaleza. Defiiamo allora IR come il seguete spazio quoziete IR := C/. Gli elemeti di IR soo quidi le classi di equivaleza di successioi di Cauchy rispetto alla relazioe, che idicheremo co [. ]. Ad esempio il umero di Nepero e è idividuato dalle classi di equivaleza coicideti [{( + ) }] =[{ k=0 k! }] =[{ α }], (α {0,,...,9} opportuo IN), ogi umero razioale q è idividuato dalla classe di equivaleza [{q}], 3

4 dove quidi la successioe è quella costatemete uguale a q e quidi la classe cotiee ogi altra successioe covergete a q, ad esempio i particolare tutte quelle otteute approssimado q i ua qualuque base fissata. Allora ) Q {[{q}] : {q} è ua successioe costate e q Q} IR; ) i IR valgoo tutte le proprietà di Q, ma ache l Assioma di Cotiuità. Ifatti, defiiamo i IR somma e prodotto come segue: [{q }] +[{p }] := [{q + p }], [{q }] [{p }] := [{q p }], e defiiamo la relazioe d ordie α =[{q }] 0 {p } [{q }] : p > 0, IN, α β α β 0. Co queste defiizioi, le proprietà dei razioali vegoo ereditate dai reali, come si potrebbe verificare facilmete. DIMOSTRAZIONE CHE L INSIEME IR DA NOI DEFINITO VERIFICA L ASSIOMA DI CONTINUITA Idea della dimostrazioe : determiare ua successioe di Cauchy della forma {p + α + α + α α α α α } oppure { (p + α + α + α α α α α )} dove p IN, α,...α {0,,...,9}, cioè la successioe razioale delle trocate alla -esima cifra decimale del cadidato estremo superiore. Useremo i questo caso la otazioe usuale s = p.α α...α...=[{p + α + α α }] =[{p.α α...α }], (rispettivamete s = p.α α...α...=[{ (p + α + α α )}] =[{ (p.α α...α )}] ). Sia A e limitato superiormete: dimostriamo che esiste l estremo superiore di A. Se A é fiito, esiste il suo massimo che é ache estremo superiore e il teorema é dimostrato. Altrimeti, pesiamo per semplicità chea [0, + ) (il caso geerale è aalogo): [parte itera] essedo per ipotesi A limitato superiormete, esiste u maggiorate m di A. Cosideriamo gli itervalli (qui [m] è la fuzioe parte itera calcolata i m) [0, ), [, ),...,[[m], [m]+). Esiste uo ed u solo aturale p {0,,...,[m]}, tale che A [p, p +), p+ A 4

5 e p + é u maggiorate per A. Se A [p, p +) é fiito, esiste il suo massimo, che é ache massimo di A, e il teorema é dimostrato. Altrimeti : [valore trocato alla a cifra decimale] dividiamo l itervallo [p, p + ) ei dieci sottitervalli uguali Esiste uo ed u solo α {0,,...,9}, tale che [p, p.), [p.,p.),...,[p.9,p+). A [ p.α, (p.α )+ ), (p.α )+ A e (p.α )+ é u maggiorate per A. p p.α (p.α )+ p + Se A [ p.α, (p.α )+ ) é fiito, esiste il suo massimo, che é ache massimo di A, e il teorema é dimostrato. Altrimeti : [valore trocato alla a cifra decimale] dividiamo l itervallo [ p.α, (p.α )+ ) ei dieci sottitervalli uguali [ p.α, (p.α )+ ) [, (p.α )+ 0 0, (p.α )+ ) [,..., (p.α ) , (p.α )+ ). Esiste uo ed u solo α {0,,...,9}, tale che A [ p.α α, (p.α α )+ ), (p.α α )+ 0 0 A e (p.α α )+ é u maggiorate per A. 0 p.α p.α α (p.α α )+ p.α + 0 Se A [ p.α α, (p.α α )+ 0) é fiito, esiste il suo massimo, che é ache massimo di A, e il teorema é dimostrato. Altrimeti, procededo per iduzioe, suppoiamo che per N si abbia [valore trocato alla a cifra decimale] sia tale che e s := p.α α...α A [s,s + ), s + A s + é u maggiorate per A. Se A [s,s + )é fiito, esiste il suo massimo, che é ache massimo di A, e il teorema é dimostrato. Altrimeti : 5

6 [valore trocato alla + a cifra decimale] dividiamo l itervallo [s,s + ) i dieci sottitervalli uguali [ s,s + (+) ), [ s + (+),s + (+) ),..., [ s + 9,s (+) + ). Dalle proprietá che abbiamo supposto vere per s segue che esiste uo ed u solo α + {0,,...,9}, tale che, posto s + := p.α α...α + si ha che e A [ s +,s + + ), s+ + (+) A (+) s + + é u maggiorate per A. (+) Se per qualche IN, cosí procededo troviamo u massimo, il teorema é dimostrato, altrimeti risulta idividuato u umero reale (cioè ua classe di equivaleza di successioi di Cauchy ) s := p.α α...α...=[{p + α + α α }] =[{p.α α...α }]. Dimostriamo che s é l estremo superiore cercato. Ifatti :. s é u maggiorate: se esistesse a A tale che a>s, poichè ad ogi passo s + è u maggiorate per A, allora s<a<s +, IN. Ne segue 0 <a s<s + s =, IN e quidi u assurdo.. s éilpiú piccolo dei maggiorati cioé : [ ɛ >0, a A : a>s ɛ ]: ɛ >0, sia tale che ɛ> Allora, essedo per costruzioe A [s,s + ),preso a A [s,s + ) si ottiee come volevasi dimostrare. a s > (s ) >s ɛ TEOREMA: Q è deso i IR, cioè per ogi coppia a, b IR, a < b esiste q Q tale che a<q<b. DIMOSTRAZIONE: si dimostra facilmete che, se a =[{a }] e b =[{b }],per sufficietemete grade, la tesi è verificata se q = a+b.. 6

7 . INTEGRABILITA DELLE FUNZIONI MONOTONE SU UN INTERVALLO [a, b] Ricordiamo i passi che hao portato alla defiizioe di: Itegrale di Riema per fuzioi di ua variabile f :[a, b] R, limitate (a, b R,a<b): () Defiizioe di partizioe. Si dice partizioe di [a, b] u isieme P := {x 0,x,...,x k } dove x 0 = a<x <...<x k = b. Assegata ua partizioe P di [a, b], abbiamo che [a, b] = k [x i,x i ] cioè l itervallo viee suddiviso ell uioe di itervalli, detti itervalli della partizioe, aveti al più u estremo i comue. OSSERVAZIONE: perchè suddividere [a, b] i itervalli e o i isiemi qualuque? Perchè utilizzeremo il fatto che per gli itervalli è defiita ua misura (lughezza) l([a, b]) := b a, che gode della proprietà di fiita additività cioè tale che l([a, b] [b, c]) = l([a, b]) + l([b, c]), ( a, b, c R,a b c). Quidi, assegata ua partizioe P di [a, b], si ottiee l([a, b]) = k l([x i,x i ]). () Defiizioe di somma (itegrale) iferiore (relativa a ua partizioe P di [a, b]): s(p) := ( if [x i,x i] f)(x i x i )= ( if [x i,x i] f)l([x i,x i ]), Defiizioe di somma (itegrale) superiore (relativa a ua partizioe P di [a, b]): S(P) := ( sup f)(x i x i )= [x i,x i] ( sup f)l([x i,x i ]). [x i,x i] (3) Proprietà delle somme superiori e iferiori. Se P, P soo due partizioi di [a, b] ep P = s(p ) s(p ) S(P ) S(P ). (la dimostrazioe segue dalle proprietà dell estremo iferiore e superiore e dalla fiita additività della misura di itervallo). (4) Separatezza delle somme iferiori e superiori. Se P, P soo due qualsiasi partizioi di [a, b] = s(p ) S(P ). Allora sup{s(p), P} if{s(p), P} (la dimostrazioe segue dal fatto che P P P, P e quidi, usado il risultato i (3), si ottiee s(p ) s(p P ) S(P P ) S(P )). (5) Defiizioe di R itegrabilità. f :[a, b] R limitata, si dice Riema itegrabile i [a, b] sup{s(p), P} = if{s(p), P} e tale valore comue si chiama itegrale di Riema di f i [a, b] (si utilizza il simbolo b f(x)dx := sup{s(p), P} = if{s(p), P}) a (6) Caratterizzazioe della R itegrabilità. f è Riema itegrabile i [a, b] ɛ>0 ua partizioe P di [a, b] t.c. S(P) s(p) <ɛ. 7

8 R-INTEGRABILITA DELLE FUNZIONI CONTINUE SU [a, b] Se f è cotiua i [a, b], allora (i) f è Riema itegrabile i [a, b] (per la dimostrazioe vedere Marcellii P., Sbordoe C., Elemeti di Aalisi Matematica uo, Liguori Ed., cap. 8 66); k (ii) lim P 0 f( x i)(x i x i )= b a f(x)dx o, equivaletemete, ɛ >0 δ>0 t.c. partizioe P di [a, b] t.c. P <δ k f( x i)(x i x i ) b a f(x)dx <ɛ, x i [x i,x i ],,...,k (dove P := max,...,k (x i x i ) ). R-INTEGRABILITA DELLE FUNZIONI MONOTONE IN [a, b] Se f :[a, b] R è mootoa allora f è R-itegrabile i [a, b]. Dimostrazioe: Suppoiamo ad esempio che f sia mootoa (debolmete) crescete. Allora i ogi sottitervallo [x i,x i ]di[a, b] siha sup f = f(x i ), [x i,x i] if f = f(x i ). [x i,x i] e segue che per ogi partizioe P di [a, b] si ha: = S(P) s(p) = f(x i )(x i x i ) ( sup f)(x i x i ) [x i,x i] f(x i )(x i x i )= ( if [x i,x i] f)(x i x i )= [f(x i ) f(x i )](x i x i ). Ricordado la defiizioe di ampiezza della partizioe: P = max,...,k (x i x i ) (x i x i ), i =,...,k e poi osservado che si ottiee ua somma telescopica (i cui si ripetoo gli stessi termii co sego opposto), si ottiee: S(P) s(p) [f(x i ) f(x i )] P = P [f(x i ) f(x i )] = P [f(b) f(a)] Abbiamo quidi otteuto che la differeza tra le somme superiori e quelle iferiori è maggiorata dell area di u rettagolo che ha come base la ampiezza della partizioe e come altezza l icremeto di f ell itervallo [a, b]. Allora l itegrabilità segue dalla Caratterizzazioe della R-itegrabilità (6), cioè osservado che per ɛ ogi ɛ>0, prededo ua partizioe P tale che P < [f(b) f(a)] si ottiee c.v.d.. S(P) s(p) <ɛ, 8