Economia del Credito e della Finanza

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1 Università degli Studi di Cagliari Facoltà di Economia Economia del Credito e della Finanza Parte II: Mercati Finanziari Docente: Massimo Pinna A.A. 2011/ I semestre

2 Indice Introduzione Prezzi e rendimenti 3 8 Rating 26 Struttura a termine dei tassi di interesse 34 Rischio tasso di interesse 67 Parte II: Mercati Finanziari 2

3 Introduzione Parte II: Mercati Finanziari 3

4 Introduzione Un obbligazione è un diritto su una serie di flussi di cassa periodici futuri. Le obbligazioni sono spesso chiamati titoli a reddito fisso (fixed income securities) in quanto promettono un flusso di reddito prefissato o alternativamente un flusso di reddito determinato secondo una formula specificata. Gli elementi fondamentali di un obbligazione sono: valore nominale (face value), cedola (coupon) e scadenza (maturity). Le obbligazioni si dividono in: con cedola (fissa o variabile) e senza cedola (zero-coupon). Le obbligazioni con cedola fissa si dividono in: tasso fisso, step up (cedola crescente) e step down (cedola decrescente). Le obbligazioni con cedola variabile si dividono in: tasso variabile (floater) e reverse floater. Parte II: Mercati Finanziari 4

5 Introduzione Tipologie di obbligazioni: Government Bonds (titoli di Stato) titoli di debito emessi da stati sovrani, rappresentano lo strumento di debito meno rischioso sul mercato; Corporate Bonds (obbligazioni societarie) titoli di debito emessi da aziende private, a differenza dei bond governativi presentano un rischio di credito (credit risk) remunerato da un rendimento differenziale chiamato spread; Callable Bonds (obbligazioni richiamabili) obbligazioni con una clausola a favore dell emittente che permette il riacquisto (rimborso anticipato) a un prezzo prestabilito prima della scadenza, di norma il diritto al rimborso anticipato non opera nei primi anni di vita dell obbligazione (call protection). Tale diritto dell emittente è remunerato attraverso un tasso cedolare superiore o attraverso un prezzo di emissione inferiore; Parte II: Mercati Finanziari 5

6 Introduzione Economia del Credito e della Finanza Puttable Bonds titoli analoghi ai Callable Bonds ma il cui diritto di rimborso anticipato è a vantaggio del sottoscrittore. il costo di tale diritto del sottoscrittore è un minore tasso cedolare; Convertible Bonds (obbligazioni convertibili) obbligazioni che incorporano il diritto di conversione (a vantaggio del sottoscrittore) in un numero specificato di azioni dell emittente, il costo di tale diritto del sottoscrittore è un minore tasso cedolare; Reverse Convertible Bonds obbligazioni che subordinano il rimborso del capitale investito al prezzo futuro di un azione o di un paniere di azioni. Se alla scadenza del titolo, il prezzo dell azione (o del paniere di azioni) è superiore o uguale a un valore prestabilito, il sottoscrittore ottiene il rimborso del capitale investito. In caso contrario, il sottoscrittore non viene rimborsato in contanti ma in titoli cioè con un certo numero di azioni. Tale diritto dell emittente è remunerato attraverso un tasso cedolare superiore o attraverso un prezzo di emissione inferiore; Parte II: Mercati Finanziari 6

7 Introduzione Warrant Bonds titoli analoghi ai Convertible Bonds ma il cui diritto di conversione (Warrant) è separabile dall obbligazione e le azioni oggetto di conversione possono essere dell emittente o di altra società; Asset-Backed Bonds (o ABS, asset-backed securities) obbligazioni i cui flussi (in termini di interessi e di capitale) sono collegati ai flussi di cassa associati a un insieme di attività vincolate al servizio del debito. Tipicamente mortgagebacked securities (cartolarizzazione di mutui ipotecari); Indexed Bonds (obbligazioni indicizzate) obbligazioni il cui tasso cedolare e/o valore di rimborso varia al variare di un determinato indice, generalmente un indice dei prezzi (inflazione); Equity Linked Bonds obbligazioni il cui rimborso dipende dall andamento di un parametro cui il titolo è agganciato (linked). Il parametro può essere un indice di borsa, un paniere di azioni o un fondo comune di investimento; Parte II: Mercati Finanziari 7

8 Prezzi e rendimenti Parte II: Mercati Finanziari 8

9 Prezzi e rendimenti Il prezzo di un obbligazione è il valore attuale dei flussi di cassa futuri. Il tasso di sconto utilizzato deve incorporare i premi per il rischio relativi alle caratteristiche specifiche del titolo quali: rischio di credito, rischio di liquidità, rischio di rimborso anticipato (per i titoli callable) etc. Inizialmente assumiamo un unico tasso di interesse per tutte le scadenze (questa assunzione verrà rilassata in seguito). I flussi di cassa di un obbligazione con cedola sono rappresentati dalle cedole periodiche (coupon) e dal rimborso a scadenza (par value at maturity). Quindi il prezzo di un obbligazione è pari al valore attuale delle cedole + il valore attuale del valore nominale: Parte II: Mercati Finanziari 9

10 Prezzi e rendimenti Esempio: tasso cedolare annuo 8%, periodicità semestrale, scadenza 30 anni e valore nominale Supponiamo che il tasso di interesse annuo di mercato sia pari anch esso al 8%, il prezzo del titolo è: Il valore attuale del flusso cedolare è pari a e il valore attuale del valore nominale è 95.06, quindi il prezzo del bond è 1000 (il valore nominale). Questo risultato è facilmente intuibile per il fatto che tasso cedolare e tasso di sconto coincidono in questo esempio. Supponiamo ora che il tasso di interesse di mercato salga al 10% (5% semestrale). Il V.A. delle cedole diventa e il V.A. del valore di rimborso 53.54, quindi il prezzo del bond sarà Parte II: Mercati Finanziari 10

11 Prezzi e rendimenti Economia del Credito e della Finanza La figura sottostante riporta il prezzo dell obbligazione descritta nell esempio in funzione del tasso di interesse di mercato. La pendenza negativa mostra la nota relazione inversa tra prezzi e rendimenti. Nella figura possiamo individuare i 2 prezzi trovati in precedenza in corrispondenza del tasso di interesse pari al 8% e al 10%. Parte II: Mercati Finanziari 11

12 Prezzi e rendimenti Possiamo notare che la forma della curva implica che l effetto di un aumento o di una diminuzione nel tasso di interesse sul prezzo del bond non è simmetrico, un aumento del tasso produce una riduzione di prezzo inferiore rispetto all incremento di prezzo che risulterebbe da una diminuzione del tasso di pari entità. Questa proprietà della relazione prezzo-rendimento dei bond è chiamata Convexity (convessità). Questo effetto curvatura riflette il fatto che un aumento progressivo nei tassi di mercato risulta in riduzioni progressivamente inferiori nel prezzo del bond. Parte II: Mercati Finanziari 12

13 Prezzi e rendimenti Come è noto, un bond quota alla pari quando il suo tasso cedolare è uguale al tasso di interesse di mercato. In questa circostanza l investitore riceve un equa compensazione, per l impiego del capitale nel tempo, dal flusso cedolare del titolo. Nessun ulteriore capital gain è necessario per ottenere il rendimento richiesto. Quando il tasso cedolare di un obbligazione è inferiore al tasso di mercato, l investitore non ottiene dal solo pagamento delle cedole il rendimento che altrimenti otterrebbe impiegando ai correnti tassi di mercato. Per ricevere un rendimento equo dall impiego del capitale l investitore richiede un ritorno anche dall apprezzamento del capitale sotto forma di capital gain. Di conseguenza un titolo con tasso cedolare inferiore al tasso di mercato deve quotare sotto la pari (discount bond) per risultare ugualmente attraente per gli investitori. Parte II: Mercati Finanziari 13

14 Prezzi e rendimenti Viceversa, se il tasso cedolare è maggiore del tasso di mercato l obbligazione quoterà sopra la pari. Gli investitori domanderanno il bond (facendone lievitare il prezzo) finché il suo rendimento (tenuto conto della perdita in conto capitale) non risulterà allineato con quello di mercato. La figura illustra il tipico percorso seguito dal prezzo dei titoli sopra e sotto la pari al trascorrere del tempo. Il premium bond decresce fino a raggiungere il valore nominale a scadenza e viceversa il discount bond cresce nel tempo fino ad uguagliare anch esso il valore nominale a scadenza. Parte II: Mercati Finanziari 14

15 Prezzi e rendimenti Nei mercati finanziari le obbligazioni vengono quotate al corso secco (flat price) ovvero escludendo il rateo interesse (accrued interest) della cedola in corso. Acquistando il bond tra 2 date di stacco cedola il compratore deve riconoscere al venditore il rateo interesse maturato fino al momento della transazione. Il rateo si calcola come: cedola X n. giorni da ultima cedola / n. giorni tra le 2 cedole. Il prezzo complessivo pagato dal compratore viene definito corso tel quel (invoice price) ed è pari alla somma di corso secco e rateo interessi. Corso secco e tel quel coincidono solo se la transazione avviene in coincidenza di una data di stacco cedola. Parte II: Mercati Finanziari 15

16 Prezzi e rendimenti Nei mercati finanziari la metodologia standard di calcolo del rendimento di un obbligazione è quella del yield to maturity (YTM) o rendimento a scadenza o tasso interno di rendimento (TIR). Quest ultimo è definito come quel tasso di interesse che uguaglia il valore attuale dei flussi di cassa di un bond al suo prezzo. Esempio: tasso cedolare annuo 8%, periodicità semestrale, scadenza 30 anni e prezzo di mercato di , il TIR si trova risolvendo per r la formula del prezzo di un bond Usando excel (o una calcolatrice finanziaria) troviamo che r è pari al 3% semestrale. Quello trovato è l yield to maturity semestrale. Parte II: Mercati Finanziari 16

17 Prezzi e rendimenti Nei mercati finanziari la convenzione standard è quella di riportare tassi di rendimento su base percentuale annua (APR annual percentage rate). La prassi internazionale (mercati USA e UK) utilizza l interesse semplice per annualizzare rendimenti espressi in frazione d anno (bond equivalent yield), nel nostro esempio il rendimento su base annua è pari al 6% (3% X 2). Nel mercato italiano si utilizza il metodo dell interesse composto per annualizzare tassi di rendimento in frazione d anno (capitalizzazione frazionata), in questo caso si parla di tasso di rendimento effettivo (TRE), nel nostro esempio (1+3%)^2-1 = 6.09%. Nel seguito di questo corso, se non diversamente specificato, si utilizzerà il metodo dell interesse semplice e si indicherà il rendimento annuo ottenuto come TIR o YTM. Qualora si utilizzi la capitalizzazione frazionata (interesse composto) si specificherà che il rendimento ottenuto è il TRE. Parte II: Mercati Finanziari 17

18 Prezzi e rendimenti L yield to maturity può essere interpretato come il tasso di rendimento composto dell investimento nell obbligazione sotto l assunzione che il titolo sia mantenuto fino a scadenza e che le cedole siano reinvestite allo stesso YTM. In passato si utilizzava una definizione di rendimento che ignora il trascorrere del tempo e il reinvestimento delle cedole, questo è il tasso di rendimento immediato (current yield) e si calcola come rapporto tra cedola annua e prezzo. Nel nostro esempio 80 / = 6.27%. Il semplice esempio proposto illustra una regola generale nelle obbligazioni. Per i bond sopra la pari (premium bonds), ovvero il cui prezzo è superiore al valore nominale, il tasso cedolare (coupon rate) è maggiore del rendimento immediato (current yield) che a sua volta è maggiore dell YTM. Viceversa per le obbligazioni che quotano sotto la pari (discount bonds), ovvero il cui prezzo è inferiore al valore nominale, tali relazioni sono invertite. Parte II: Mercati Finanziari 18

19 Prezzi e rendimenti L yield to maturity è calcolato assumendo che il bond sia portato fino a scadenza. Cosa accade se l obbligazione è callable? La figura sottostante illustra il rischio derivante dalla clausola call per l investitore. La linea continua rappresenta il prezzo di un bond ordinario (straight), ovvero non-callable, con valore nominale 1000, cedola 8% e scadenza 30 anni. Possiamo osservare la nota relazione inversa tra prezzo e rendimento. Per livelli di tasso di interesse bassi il prezzo è significativamente alto. Parte II: Mercati Finanziari 19

20 Prezzi e rendimenti La linea tratteggiata rappresenta un obbligazione identica ma callable al 110% del valore nominale, ovvero richiamabile da parte dell emittente a un prezzo di Quando il tasso di interesse di mercato cala il prezzo del bond sale, ma la clausola call permette all emittente di riacquistarlo al prezzo prestabilito (call price) ponendo un tetto alla crescita del prezzo. In caso di esercizio della call (tassi calanti) l emittente può indebitarsi a tassi inferiori mentre l investitore otterrà ora sul mercato rendimenti più bassi per la stessa tipologia di titolo. Parte II: Mercati Finanziari 20

21 Prezzi e rendimenti L YTM o TIR si utilizza ex-ante per quantificare il rendimento prospettico di un bond, ipotizzando di reinvestire le cedole al medesimo YTM. Per valutare le performance realizzate ex-post si utilizza un metodo chiamato del rendimento composto realizzato. Esempio: tasso cedolare annuo 10%, periodicità annuale, scadenza 2 anni, valore nominale 1000 e prezzo di mercato alla pari. L YTM è ovviamente 10%. La prima cedola pari a 100 è reinvestita al 10% e al termine dell anno successivo sarà cresciuta a 110. A scadenza l investitore avrà ricevuto in totale Parte II: Mercati Finanziari 21

22 Prezzi e rendimenti Il tasso composto di crescita del capitale investito si calcola facilmente come: Ovviamente, applicando un tasso di reinvestimento delle cedole uguale all YTM il rendimento composto realizzato coincide con questo. Se il tasso di reinvestimento è superiore all YTM anche il rendimento composto realizzato sarà superiore, e viceversa se applichiamo un tasso di reinvestimento delle cedole inferiore all YTM. Supponiamo che il tasso di reimpiego delle cedole sia pari all 8%, al termine dell anno successivo la prima cedola sarà cresciuta a 108. A scadenza l investitore avrà ricevuto in totale Parte II: Mercati Finanziari 22

23 Prezzi e rendimenti Il rendimento composto realizzato si trova come il tasso composto di crescita del capitale investito: Questo semplice esempio evidenzia la maggiore criticità dell yield to maturity, ovvero l assunzione di reinvestimento delle cedole allo stesso tasso. Per questo motivo in alcune applicazioni si utilizza l analisi di scenario (scenario o horizon analysis), in cui il tasso di reinvestimento delle cedole viene ipotizzato sulla base di previsioni sull andamento futuro dei tassi di interesse. Parte II: Mercati Finanziari 23

24 Prezzi e rendimenti Abbiamo visto che l YTM assume la detenzione del titolo fino a scadenza. Nel caso in cui un bond sia venduto prima della scadenza, un utile misura di rendimento ex-post è l Holding Period Return (HPR), ovvero il rendimento nel periodo di detenzione del titolo. L HPR si calcola come la percentuale di incremento dell investimento (incluse le cedole) in un dato periodo: Nel caso in cui il periodo di detenzione sia diverso dall anno si procede all annualizzazione utilizzando l interesse composto: Parte II: Mercati Finanziari 24

25 Prezzi e rendimenti Oltre ai titoli con cedola sul mercato si scambiano anche titoli senza cedola o Zero-Coupon bond (ZC), il cui rendimento deriva unicamente dal differenziale tra prezzo di emissione e valore di rimborso. Gli ZC hanno un solo pagamento a scadenza. Esempi di zero-coupon sul mercato italiano sono i BOT (per le scadenze inferiori o pari all anno) e i CTZ (per le scadenze da 1 a 2 anni). Per scadenze più lunghe, vengono creati e negoziati titoli denominati STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities) attraverso la separazione delle cedole e del rimborso a scadenza di un titolo di Stato. Ad esempio un bond con scadenza 10 anni e cedole semestrali può essere diviso in 20 ZC con scadenze da 6 mesi a 10 anni separandone le cedole e uno ZC con scadenza 10 anni separando il rimborso a scadenza (mantello). La separazione delle cedole dal mantello (principal) è chiamata Coupon- Stripping. Parte II: Mercati Finanziari 25

26 Rating Parte II: Mercati Finanziari 26

27 Rating I bond promettono un flusso futuro di pagamenti (cedole e rimborso). Alcuni emittenti (tipicamente governi sovrani) sono considerati privi di rischio di insolvenza (default risk), ma diverse tipologie di emissioni quali le obbligazioni societarie (corporate bond) sono soggette al cosiddetto rischio di credito (credit risk). Il rischio di credito è misurato dal rating, le più note agenzie di rating sono: Moody s, Standard & Poor s e Fitch. Queste assegnano alle emissioni obbligazionarie un giudizio (in lettere) che riflette la loro valutazione sul rischio di insolvenza dell emittente. Il rating migliore è AAA (S&P e Fitch) / Aaa (Moody s). Moody s gradua ogni classe di rating con numeri da 1 a 3 (es. Aa2) mentre S&P e Fitch usano i simboli + e (es. AA-). I bond con rating BBB (S&P e Fitch) / Baa (Moody s) o superiori vengono definiti investment-grade, mentre quelli con rating inferiore speculative-grade o junk bonds (bond spazzatura) o high-yield bonds. Parte II: Mercati Finanziari 27

28 Rating Parte II: Mercati Finanziari 28

29 Rating S&P AAA AA+ AA AA- A+ A A- BBB+ BBB BBB- DEFINIZIONE DI RATING PER TITOLI A LUNGO TERMINE Ottima qualità della società debitrice con rischio minimo per gli investimenti. La capacità dell emittente di coprire gli oneri finanziari è eccellente. I titoli sono effettivamente sicuri. Buona qualità della società debitrice. Elevato livello di copertura degli oneri finanziari. L affidabilità creditizia è sempre buona; in caso di mutamenti congiunturali o politici, potrebbe tuttavia subire qualche conseguenza negativa. La società è ancora in grado di provvedere adeguatamente al rimborso del proprio debito, ma in condizioni economiche avverse potrebbe avere qualche problema di solvibilità. Moody's Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Baa1 Baa2 Baa3 Parte II: Mercati Finanziari 29

30 Rating S&P DEFINIZIONE DI RATING PER TITOLI A LUNGO TERMINE Moody's BB+ BB BB- Le obbligazioni di questa categoria e delle seguenti hanno carattere speculativo. Il servizio di debito sembra essere assicurato solo se le condizioni congiunturali rimangono stabili o migliorano. Ba1 Ba2 Ba3 B+ Non vi sono le premesse per un investimento sicuro. La B1 B sicurezza che la società possa far fronte ai suoi oneri per un B2 B- lungo periodo è minima. B3 CCC+ CCC CCC- CC C D La società presenta una scarsa solidità patrimoniale, accompagnata da seri problemi di copertura degli impegni finanziari; la solvibilità che ne consegue è dubbia. Le obbligazioni di questa categoria sono altamente speculative. Simili titoli diventano spesso inesigibili. Probabilità minima di un pagamento del servizio completo e puntuale. Il debitore è in fallimento o comunque molto vicino ad una situazione fallimentare. Probabilità minime di recupero anche solo di una parte del prestito Caa1 Caa2 Caa3 Ca C D Parte II: Mercati Finanziari 30

31 Rating Le agenzie di rating formulano il loro giudizio principalmente sull andamento di alcuni indicatori finanziari: Coverage ratios (indici di copertura) rapporti tra utili e costi fissi, ad esempio EBIT/interessi. Livelli bassi nei coverage ratios indicano potenziali difficoltà nel fronteggiare i costi fissi; Leverage ratio (leva finanziaria) D/E o debt to equity. Una leva finanziaria elevata indica potenziali difficoltà nel servizio del debito ( uscite di cassa per interessi e capitale); Liquidity ratios (indici di liquidità) rapportano impieghi e fonti a breve termine, i due indici più usati sono il current ratio (indice di disponibilità) ovvero il rapporto tra attivo circolante e passività a breve e il quick ratio (indice di liquidità o acid test) cioè il rapporto tra attività immediate (è escluso il magazzino) e passività a breve. Indicano la capacità di fronteggiare gli impegni a breve con le attività più liquide; Parte II: Mercati Finanziari 31

32 Rating Profitability ratios (indici di redditività) ad esempio ROI (return on investments) e ROE (return on equity), sono indicatori della salute finanziaria generale dell emittente. Emittenti con alti indici di redditività, in particolare il ROI, hanno maggiore facilità nel raccogliere fondi sul mercato perché i loro investimenti risultano profittevoli; Cash flow to debt ratio (rapporto flussi di cassa/debito). Parte II: Mercati Finanziari 32

33 Rating Per compensare il rischio di insolvenza, i corporate bond devono offrire un default premium ovvero un premio per il rischio di credito. Il default premium è la differenza tra il rendimento di un corporate bond e di un titolo di stato con pari caratteristiche. Parte II: Mercati Finanziari 33

34 Struttura a termine dei tassi di interesse Parte II: Mercati Finanziari 34

35 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Nella sezione precedente abbiamo usato, per semplicità, lo stesso tasso di interesse per scontare flussi con scadenze diverse. Nei mercati osserviamo tassi differenti per scadenze differenti e, di norma, tassi di interesse più elevati per titoli a più lunga scadenza. Il tasso di interesse per un dato intervallo di tempo è chiamato tasso di interesse di periodo (short interest rate). Supponiamo che gli investitori si attendano tassi annuali di periodo per i prossimi 4 anni come indicato in tabella: Parte II: Mercati Finanziari 35

36 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Questi tassi di periodo non sono visibili esplicitamente sul mercato, sono tassi impliciti desumibili da prezzi e rendimenti di bond con scadenze differenti. Ad esempio il prezzo di uno zero-coupon che rimborserà 1000 tra 1 anno sarebbe pari a 1000/1.08 = , e quello di uno ZC con scadenza 2 anni: è il valore attuale di un flusso pari a 1000 pagato tra 2 anni, ovvero investendo tale somma oggi otterremmo X (1.08) = dopo 1 anno e X (1.10) = 1000 al termine del secondo anno. In generale possiamo trovare il valore attuale di un Euro ricevuto dopo n periodi utilizzando i tassi di periodo da 1 a n: Parte II: Mercati Finanziari 36

37 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza In questo modo possiamo trovare anche i prezzi di due ZC a 3 e 4 anni come esposto nella tabella seguente: Dai prezzi dei bond possiamo ricavare i relativi YTM, ricordando che l YTM è il tasso di sconto che uguaglia il valore attuale dei flussi di un bond al suo prezzo. Poiché il tasso di periodo varia nel tempo, l YTM è un tasso medio applicato a tutti i flussi del bond indipendentemente dalla loro manifestazione temporale. Parte II: Mercati Finanziari 37

38 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Ad esempio, l YTM dello ZC a 2 anni visto in precedenza è il tasso che soddisfa la seguente uguaglianza: ovvero 8.995%. Mentre otteniamo che l YTM di quello a 3 anni è pari a 9.660% risolvendo: Ripetendo lo stesso procedimento per il bond rimanente otteniamo i risultati riportati in tabella: Parte II: Mercati Finanziari 38

39 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza A questo punto possiamo riportare gli YTM trovati per i 4 bond in un grafico (con le scadenze in ascissa) e ottenere la yield curve o curva dei rendimenti: La curva in figura presenta la normale pendenza positiva, ovvero rendimenti crescenti con le scadenze. Parte II: Mercati Finanziari 39

40 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Nei mercati, tuttavia, si osservano spesso diverse forme di curva dei rendimenti. Nella figura seguente riportiamo 4 tipici esempi: La prima figura rappresenta una yield curve inclinata negativamente (downward-sloping) o invertita, la seconda una curva inclinata positivamente (upward-sloping), la terza inclinazione positiva sulle scadenze brevi e negativa su quelle lunghe e la quarta una curva piatta (flat curve). Parte II: Mercati Finanziari 40

41 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza L YTM di uno zero-coupon con una determinata scadenza è chiamato tasso spot (spot rate) per quella scadenza. Dagli esempi precedenti notiamo che i tassi spot differiscono dai tassi di periodo (short rate) come riportato in figura: Parte II: Mercati Finanziari 41

42 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Possiamo notare che il tasso spot a 2 anni (YTM dello ZC a 2 anni) è vicino alla media dei 2 tassi short dei primi 2 anni. Più precisamente, possiamo esprimere il prezzo dello ZC come valore attuale del rimborso a scadenza utilizzando come tasso di sconto indifferentemente l YTM o la sequenza dei 2 tassi di periodo: Da questa relazione isoliamo la seguente uguaglianza: ovvero Parte II: Mercati Finanziari 42

43 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Allo stesso modo possiamo trovare gli YTM dei rimanenti 2 bond in funzione degli short rate come: In conclusione, abbiamo trovato che il tasso spot di una data scadenza si trova come media degli short interest rate per pari orizzonte temporale. Poiché ci troviamo in un regime di interesse composto, la media da applicare non è aritmetica ma una media geometrica. Parte II: Mercati Finanziari 43

44 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Negli esempi precedenti abbiamo visto come prezzare uno ZC. La stessa metodologia si applica alle obbligazioni con cedole periodiche: scontiamo ogni flusso al corrispondente tasso spot. Esempio: bond a 3 anni, valore nominale 1000 e cedola 8% annua. Applichiamo i tassi spot utilizzati negli esempi precedenti: P = = Ovvero, abbiamo considerato i flussi del bond come singoli ZC e li abbiamo valutati indipendentemente. Il valore dell obbligazione è la somma dei valori attuali dei singoli flussi. Parte II: Mercati Finanziari 44

45 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza L YTM di tale obbligazione è 9.58%, leggermente inferiore a quello dello ZC a 3 anni incontrato in precedenza. Questo risultato non deve sorprendere. Il bond con cedola può essere considerato come un portafoglio di ZC (uno ZC per ogni flusso), di conseguenza il suo rendimento è la media ponderata dei rendimenti dei singoli ZC che lo compongono. Nell esempio, l YTM del titolo con cedola è molto vicino a quello dello ZC con pari scadenza in quanto il peso del flusso al terzo anno (cedola + rimborso) è molto superiore ai pesi dei flussi dei primi due anni. Parte II: Mercati Finanziari 45

46 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Finora abbiamo parlato di YTM (assumendo il possesso del titolo fino a scadenza). Quale sarà l HPR dei singoli titoli supponendo di liquidare l investimento dopo 1 anno? Assumiamo (questa semplificazione sarà eliminata nelle pagine successive) che i tassi short impliciti nei prezzi dei bond coincidano con i tassi di interesse che effettivamente si realizzeranno nel mercato nei periodi futuri. Tutti i bond su questo mercato devono offrire il medesimo rendimento (atteso) per il medesimo periodo di possesso. Se ciò non fosse vero nascerebbero delle opportunità di arbitraggio che riallineerebbero i rendimenti. Calcoliamo ora gli HPR a 1 anno peri i primi tre ZC. Lo ZC a 1 anno ha prezzo , rimborso 1000, di conseguenza il capital gain è pari a e il suo HPR è 74.07/ = 8% (ovviamente pari al suo YTM poiché la scadenza è 1 anno come il periodo di possesso). Parte II: Mercati Finanziari 46

47 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Lo ZC a 2 anni è pagato oggi , il tasso short per l anno successivo è 10% e di conseguenza il suo prezzo tra un anno sarà 1000/1.10 = Quindi l HPR è ( )/ = 8%. Analogamente lo ZC a 3 anni è pagato oggi , tra un anno sarà venduto a 1000/(1.10)(1.11) = Quindi l HPR sarà ( )/ = 8%. Possiamo quindi concludere che se i bond sono prezzati correttamente (assenza di arbitraggio) avranno tutti lo stesso HPR per pari periodo. Il fatto che i titoli con scadenza più lontana hanno YTM superiori riflette le attese del mercato relativamente ai tassi di interesse futuri. Nei nostri esempi, i tassi short futuri sono superiori al tasso di interesse corrente e questo fatto è riflesso nei rendimenti dei bond. Parte II: Mercati Finanziari 47

48 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Nei mercati non possiamo osservare direttamente i tassi short per i periodi futuri. Osserviamo solo i prezzi e i rendimenti di obbligazioni con varie scadenze, da questi dati possiamo inferire i tassi short futuri. Utilizzando i dati degli esempi precedenti (tabella sottostante), supponiamo di voler conoscere il tasso short per il terzo anno dati i prezzi dei bond. In primo luogo possiamo comparare 2 strategie di investimento su un orizzonte di 3 anni. La prima è investire in uno ZC a 3 anni. La seconda è investire in uno ZC a 2 anni e reinvestire il rimborso a scadenza in uno ZC a 1 anno. Parte II: Mercati Finanziari 48

49 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Un investimento di 100, con la prima strategia (YTM 9.660%), garantisce un capitale a scadenza pari a 100(1.0966)^3 = Parte II: Mercati Finanziari 49

50 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Con la seconda strategia dopo 2 anni il nostro capitale di 100 sarà cresciuto a 100( )^2 = Reinvestito per un ulteriore anno crescerà di un fattore pari a. Parte II: Mercati Finanziari 50

51 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza In assenza di arbitraggio le due strategie devono generare lo stesso montante. Ovvero che implica e quindi.. Più in generale questa relazione tra le due strategie stabilisce che il rendimento di uno ZC a 3 anni è pari a quello di uno ZC a 2 anni capitalizzato per un ulteriore anno (rolling-over): In modo tale che. In generale la formula per inferire il tasso short futuro, implicito nei rendimenti degli ZC, è la seguente: Parte II: Mercati Finanziari 51

52 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza L interpretazione di quest ultima formula è intuitiva. Il numeratore è il fattore di capitalizzazione di un montante in n anni mentre il denominatore è il fattore di capitalizzazione per (n 1) anni. Di conseguenza il loro rapporto è il tasso di rendimento di un investimento per un periodo di 1 anno, dall anno (n 1) all anno n. In questi esempi, utilizzando il concetto di non-arbitraggio, abbiamo implicitamente assunto che i tassi short futuri siano noti. Nella realtà i tassi di interesse futuri sono incerti e quindi non osservabili. Per questo motivo i tassi impliciti nei rendimenti delle obbligazioni vengono chiamati tassi di interesse forward. Quindi chiamando calcola come: il tasso forward per l anno n, questo si Parte II: Mercati Finanziari 52

53 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Equivalentemente possiamo esprimere l ultima equazione nella forma: In questa formulazione il tasso forward è interpretabile come il tasso di break-even che uguaglia il rendimento di un investimento in uno ZC a n anni al rendimento di una strategia rolling-over che investe in uno ZC a (n 1) anni e reinveste il montante per un ulteriore anno. Ovviamente, i rendimenti (realizzati) delle due strategie coincideranno solo nell ipotesi in cui il tasso forward (calcolato oggi) coincidesse con il tasso short che prevarrà nel mercato nell anno n. Posto che il tasso di interesse che effettivamente si realizzerà in futuro non è prevedibile sulla base dei tassi forward, come vedremo a breve, questi ultimi non necessariamente coincidono con i tassi di interesse attesi dal mercato. Parte II: Mercati Finanziari 53

54 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Negli esempi precedenti, assumendo che i tassi di interesse futuri fossero noti, abbiamo argomentato che differenti strategie di investimento con pari scadenza debbano produrre uguali rendimenti. Ad esempio abbiamo visto come un investimento in 2 ZC annuali consecutivi (strategia rolling-over) avesse lo stesso rendimento di un investimento in uno ZC a 2 anni: Nella realtà i tassi futuri non sono noti. Ad esempio, utilizzando i dati degli esempi precedenti, se il tasso di interesse è attualmente e il tasso short atteso per l anno successivo lo ZC a 1 anno prezzerebbe 1000/1.08 = e quello a 2 anni 1000/((1.08)(1.10)) = Consideriamo ora un investitore con orizzonte temporale di 1 anno. Egli può acquistare lo ZC a 1 anno e garantirsi un rendimento dell 8% con certezza o acquistare lo ZC a 2 anni e venderlo dopo 1 anno. Parte II: Mercati Finanziari 54

55 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Dopo un anno, il secondo ZC avrà un anno alla scadenza e se il tasso di interesse futuro coincidesse con quello atteso (10%) il suo prezzo sarebbe e implicherebbe un HPR pari all 8%. Ma nella realtà il tasso di interesse del secondo anno è incerto ovvero rischioso. Se il tasso futuro si rivelasse superiore a quello atteso lo ZC si venderebbe a meno di , viceversa se il tasso futuro risultasse inferiore a quello atteso. A questo punto, perché un investitore con orizzonte a 1 anno dovrebbe acquistare il secondo ZC, che ha identico HPR atteso (8%) ma è rischioso, piuttosto che acquistare lo ZC a 1 anno che rende l 8% con certezza? Ovviamente nessun investitore con orizzonte a 1 anno acquisterà il secondo ZC al prezzo di , il suo prezzo dovrà essere inferiore in modo da fornire un rendimento atteso superiore a compensazione del rischio sul tasso di interesse futuro. Parte II: Mercati Finanziari 55

56 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Ipotizziamo che gli investitori sul mercato siano prevalentemente di breve periodo e che siano disposti a comprare lo ZC a 2 anni solo se il prezzo scende a 819. A questo prezzo l HPR sale all 11% (909.09/819 = 1.11), quindi il premio per il rischio è pari al 3% (11% - 8%). A questi prezzi di mercato (che riflettono l incertezza sui tassi futuri) il tasso forward non coincide più con il valore atteso del tasso futuro, l YTM dello ZC a 2 anni comprato a 819 sarà pari a 10.5% e quindi: Ovvero mentre. Questo risultato evidenzia il fatto che gli investitori (avversi al rischio) richiedono un premio per il rischio o premio per la liquidità (liquidity premium) per detenere il bond a scadenza più lunga. Ovvero deterranno tale titolo solo se il valore atteso del tasso futuro sarà inferiore al tasso forward che quindi incorporerà il liquidity premium. Parte II: Mercati Finanziari 56

57 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Negli esempi precedenti abbiamo visto che investitori con orizzonte temporale breve non deterrebbero bond a lunga scadenza se questi non implicassero un tasso forward superiore al valore atteso del tasso short futuro (liquidity premium), ovvero, mentre investitori con orizzonte temporale a lungo termine richiederebbero. In altre parole, entrambe le categorie di investitori richiedono un premio per detenere bond con scadenze differenti dal loro orizzonte temporale. Ipotizzando che gli investitori di breve termine dominino il mercato, avremo che il tasso forward sarà superiore al tasso futuro atteso ovvero che il premio per la liquidità sarà positivo. Per comprendere le diverse implicazioni della presenza o meno di un premio per la liquidità, consideriamo la situazione ipotetica in cui i tassi short siano attesi costanti dal mercato,,, etc. Parte II: Mercati Finanziari 57

58 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza In assenza di un premio per la liquidità l YTM a 2 anni si ricaverebbe come: Ovvero l YTM a 2 anni, come quelli su tutte le altre scadenze, sarebbe pari al10% (curva piatta). Invece, in presenza di un premio per la liquidità, superiore a. sarebbe Ad esempio, ipotizzando che sia pari all 11% e quindi il premio per la liquidità sia l 1%, per un bond a 2 anni avremmo: ovvero. Parte II: Mercati Finanziari 58

59 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Allo stesso modo, se anche è ipotizzato pari all 11%, allora l YTM dello ZC a 3 anni sarebbe dato da: ovvero. La curva dei rendimenti in questo scenario sarebbe: La figura A rappresenta la tipica forma con pendenza positiva della yield curve. Tale risultato è ottenuto con tassi attesi costanti e premio per la liquidità 1%. Parte II: Mercati Finanziari 59

60 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Se i tassi futuri non sono attesi costanti, anche il premio per la liquidità potrebbe variare con le scadenze. L YTM risulterebbe in questo caso una media dei tassi forward sulle diverse scadenze. Alcune possibili curve sono illustrate nelle figure seguenti: La figura B rappresenta la tipica forma con pendenza positiva della yield curve. Tale risultato è ottenuto con tassi attesi decrescenti e premio per la liquidità crescente. Parte II: Mercati Finanziari 60

61 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza La figura C rappresenta una yield curve prima crescente poi decrescente. Tale risultato è ottenuto con tassi attesi decrescenti e premio per la liquidità costante. Parte II: Mercati Finanziari 61

62 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza La figura D rappresenta una yield curve con pendenza positiva molto marcata. Tale risultato è ottenuto con tassi attesi crescenti e premio per la liquidità crescente. Parte II: Mercati Finanziari 62

63 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Abbiamo visto in precedenza, assumendo di conoscere i tassi di interesse futuri, come l YTM di uno zero-coupon fosse la media geometrica dei tassi short futuri: Poiché nella realtà i tassi futuri non sono noti, sostituiamo il tasso forward al tasso short futuro: Questa relazione diretta tra rendimenti su diverse scadenze e tassi forward è fonte di informazioni ricavabili dall analisi della curva dei rendimenti (yield curve analysis). In primo luogo analizziamo i fattori che comportano una yield curve crescente. Matematicamente, se la curva ha pendenza positiva allora è maggiore di, cioè il tasso forward del periodo successivo è superiore all YTM su una data scadenza. Questo avviene perché l YTM è una media (anche se geometrica) di tassi forward. Parte II: Mercati Finanziari 63

64 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza Una volta dimostrato che una curva dei rendimenti con pendenza positiva è sempre associata a un tasso forward maggiore del tasso spot (YTM corrente), occorre individuare i fattori che causano il livello dei tassi forward. I fattori che comportano un determinato livello del tasso forward sono due, il tasso di interesse atteso e il premio per la liquidità: in cui il premio per la liquidità può essere positivo o negativo a seconda che il mercato sia dominato da investitori rispettivamente a breve o a lungo termine (sebbene generalmente si propende per liquidity premia positivi). Quindi, un tasso forward elevato potrebbe essere dovuto ad aspettative di tassi crescenti o ad un premio per la liquidità elevato. Una curva con pendenza positiva non implica necessariamente aspettative di tassi al rialzo (figure A e B). Parte II: Mercati Finanziari 64

65 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza La presenza del liquidity premium rende difficile l interpretazione della term structure. In realtà, la yield curve fornisce utili informazioni sul ciclo economico (business cycle) nel suo complesso, in quanto i tassi a lungo termine tendono a salire anticipando un ciclo di espansione. Quando la yield curve è ripida (steep) la probabilità di una recessione è bassa rispetto al caso in cui sia invertita (pendenza negativa). La pendenza positiva normalmente osservata sui mercati fornisce una solida base empirica per un liquidity premium positivo, i bond a scadenza più lunga offrono generalmente tassi più alti di quelli a scadenza breve. In quest ottica, una curva con pendenza negativa può essere interpretata come un segnale di tassi attesi in calo. Se il term premium (lo spread tra i tassi a lunga e a breve) è normalmente positivo, allora una curva declinata potrebbe anticipare un calo nei tassi di interesse futuri. Parte II: Mercati Finanziari 65

66 Struttura a termine dei tassi di interesse Economia del Credito e della Finanza La figura riporta i tassi sui T-Bill a 90 giorni e sui titoli di stato USA a lungo termine dal 1970 al Notiamo che i tassi a lunga generalmente superano quelli a breve, ovvero la yield curve è generalmente crescente. Inoltre, le eccezioni (differenziale negativo) sembrano anticipare fasi di tassi a breve in calo. Nel periodo i tassi a breve sono superiori a quelli a lunga. Questo biennio è seguito da una fase di crollo dei tassi di interesse. Parte II: Mercati Finanziari 66

67 Rischio tasso di interesse Parte II: Mercati Finanziari 67

68 Rischio tasso di interesse Nelle sezioni precedenti abbiamo analizzato la relazione inversa tra tassi d interesse e prezzi dei bond. Abbiamo visto inoltre come i tassi di mercato non siano costanti ma varino nel tempo. Queste fluttuazioni nei tassi, che si riflettono in variazioni dei prezzi, rendono gli investimenti in obbligazioni (anche con rischio di credito nullo come i titoli di stato) rischiosi. Questo è il rischio tasso di interesse. La sensibilità di un obbligazione alle variazioni nei tassi d interesse è un elemento fondamentale della valutazione del suo rischio. In precedenza abbiamo visto che: 1. prezzi e tassi sono inversamente correlati, un rialzo dei tassi comporta un calo dei prezzi e viceversa; 2. un rialzo dei tassi produce una riduzione di prezzo inferiore all incremento di prezzo che risulterebbe da una diminuzione dei tassi di pari entità (convexity). Parte II: Mercati Finanziari 68

69 Rischio tasso di interesse La figura riporta le variazioni percentuali del prezzo di 4 bond con caratteristiche diverse (cedola, scadenza e YTM iniziale) al variare dei rispettivi YTM. I bond A e B differiscono solo per la diversa scadenza. Notiamo come il secondo esibisca una sensibilità maggiore. Parte II: Mercati Finanziari 69

70 Rischio tasso di interesse Quest ultima relazione illustra un altra proprietà: 3. i prezzi dei bond a più lunga scadenza sono più sensibili alle variazioni dei tassi rispetto ai bond a scadenza più breve. Notiamo inoltre che sebbene il bond B abbia una scadenza 6 volte maggiore del bond A, la sua sensibilità a cambiamenti nei tassi è meno di 6 volte rispetto a quella di A. La sensibilità sembra si crescere con la scadenza ma in misura meno che proporzionale. Questo soddisfa un ulteriore proprietà: 4. la sensibilità dei prezzi dei bond alle variazioni dei rendimenti cresce a un tasso decrescente rispetto alla scadenza, ovvero il rischio tasso è meno che proporzionale rispetto alla scadenza. Parte II: Mercati Finanziari 70

71 Rischio tasso di interesse I bond B e C differiscono solo nella cedola. Notiamo che C ha una sensibilità maggiore. Questo illustra un altra proprietà: 5. il rischio tasso è inversamente correlato al livello della cedola. I prezzi dei bond con cedola alta sono meno sensibili rispetto a quelli con cedola bassa. Parte II: Mercati Finanziari 71

72 Rischio tasso di interesse I bond C e D differiscono solo nell YTM. Notiamo che C ha una sensibilità minore. Questo illustra l ulteriore proprietà: 6. la sensibilità del prezzo di un bond è inversamente correlata al livello dell yield to maturity iniziale del bond. Parte II: Mercati Finanziari 72

73 Rischio tasso di interesse Le prime 5 proprietà illustrate sono note come le relazioni di Malkiel, mentre l ultima è nota come proprietà di Homer- Liebowitz. Queste proprietà dimostrano come la scadenza sia un fattore determinante del rischio tasso. Ma mostrano anche che non è l unico fattore importante, anche cedole e YTM influenzano la sensibilità ai tassi di interesse. La tabella seguente riporta i prezzi di 3 bond (con cedola) con scadenze diverse per 2 livelli di YTM, 8% e 9%. Osserviamo come il bond più corto perda il 0.94% quando l YTM passa da 8% a 9%, il secondo perda il 6.50% e il più lungo il 9.20%. Parte II: Mercati Finanziari 73

74 Rischio tasso di interesse La tabella successiva riporta, invece, i prezzi di 3 zerocoupon con le stesse scadenze. Notiamo subito che per un pari incremento nell YTM (da 8% a 9%) gli ZC mostrano maggiori variazioni nei prezzi. Questo risultato evidenzia che la scadenza di per se non è un indicatore sufficiente per valutare la natura a lungo o breve termine di un investimento. Abbiamo visto come un bond con cedola possa essere considerato come un portafoglio di ZC, di fatto la sua scadenza effettiva è una media (ponderata) delle scadenze dei singoli flussi che lo compongono. Parte II: Mercati Finanziari 74

75 Rischio tasso di interesse Abbiamo quindi bisogno di una misura che sintetizzi la scadenza media dei flussi che compongono un obbligazione con cedola e che, di conseguenza, sia un indicatore del rischio tasso di interesse del bond. Questo indicatore è stato concepito da Frederick Macaulay nel 1938 ed è di conseguenza chiamato duration di Macaulay (Macaulay s duration) o semplicemente duration. La duration è calcolata come media ponderata delle scadenze dei singoli flussi (cedole e rimborso). Poiché, come è noto, il prezzo di un bond è la somma dei valori attuali dei suoi flussi, il peso attribuito ad ogni flusso è il rapporto tra il VA del singolo flusso e il prezzo del bond. Parte II: Mercati Finanziari 75

76 Rischio tasso di interesse La figura mostra i pagamenti relativi a un bond con scadenza 8 anni, cedola annua del 9% e YTM del 10%. L altezza delle colonne rappresenta l entità del flusso e la parte più scura il VA del flusso (scontato all YTM). Notiamo che la duration (5.97 anni) è minore ma non lontana dalla scadenza dell ultimo flusso, questo perché nella media ponderata il flusso relativo al rimborso (pur attualizzato) ha il peso maggiore. Parte II: Mercati Finanziari 76

77 Rischio tasso di interesse I pesi associati ad ogni scadenza, come detto, sono calcolati come le proporzioni dei VA dei singoli flussi sul prezzo: la somma dei pesi è ovviamente pari a 1 in quanto il prezzo di un bond è la sommatoria dei VA dei suoi flussi. Trovati i pesi, calcoliamo la duration come media ponderata delle scadenze: Parte II: Mercati Finanziari 77

78 Rischio tasso di interesse La tabella seguente mostra come impostare su un foglio di calcolo la duration di un bond con cedola 8% semestrale e di uno ZC, entrambi con scadenza 2 anni. Nell esempio si è usato un YTM del 10% (5% semestrale). Notiamo che la duration del bond con cedola (1.8852) è minore di quella dello ZC (che coincide con la scadenza). Parte II: Mercati Finanziari 78

79 Rischio tasso di interesse La figura riporta le formule di excel relative all esempio precedente. Parte II: Mercati Finanziari 79

80 Rischio tasso di interesse Abbiamo visto come le obbligazioni a lungo termine siano più sensibili ai movimenti nel tasso di interesse rispetto a quelle a breve termine. La duration ci permette di quantificare questa relazione. In particolare, la variazione del prezzo di un bond relativamente alla variazione del suo YTM è legata dalla relazione: ovvero la variazione proporzionale del prezzo è pari alla variazione proporzionale dell YTM moltiplicata per la duration. Parte II: Mercati Finanziari 80

81 Rischio tasso di interesse Nella pratica si utilizza quest ultima relazione in un altra forma. Si utilizza il concetto di modified duration (duration modificata) e si riscrive l equazione precedente come: si noti che nelle due formule. Quindi, la variazione percentuale del prezzo di un bond può essere espressa come il prodotto tra la variazione percentuale del suo YTM e la sua modified duration. Per questo la modified duration può considerarsi la misura migliore dell esposizione di un bond al rischio tasso di interesse. Questa è però, come vedremo, precisa solo per variazioni piccole dell YTM, essendo essa proporzionale alla derivata prima del prezzo rispetto al rendimento: Parte II: Mercati Finanziari 81

82 Rischio tasso di interesse La duration sintetizza la sensibilità di un bond alle variazioni dei tassi d interesse, è quindi importante comprendere quali ne siano i fattori determinanti. Le caratteristiche di un bond che influenzano la sua duration sono 3: scadenza, tasso cedolare e YTM. La figura riporta la duration in funzione della scadenza di bond con differenti cedole e YTM. Parte II: Mercati Finanziari 82

83 Rischio tasso di interesse In sintesi, possiamo riassumere le seguenti proprietà per la duration: 1. la duration di uno zero-coupon è pari alla sua scadenza; 2. a parità di scadenza, la duration è maggiore quando la cedola è minore; 3. a parità di tasso cedolare, la duration aumenta con la scadenza; (questa regola vale sempre per i bond alla pari o sopra la pari, a volte non è soddisfatta per i bond spazzatura con prezzi molto sotto la pari) 4. mantenendo le altre caratteristiche costanti, la duration di un bond con cedola è maggiore quando il suo YTM è minore. Parte II: Mercati Finanziari 83

84 Rischio tasso di interesse La duration è uno strumento chiave per la valutazione del rischio di un obbligazione. Abbiamo già anticipato però che è una misura accurata solo per piccole variazioni dei tassi. Abbiamo visto nelle pagine precedenti come la variazione percentuale del prezzo di un bond fosse pari al prodotto della modified duration per la variazione del suo rendimento: se questa relazione fosse corretta, il grafico della variazione del prezzo sulla variazione del rendimento sarebbe una linea retta con pendenza negativa uguale alla modified duration. Ma abbiamo già visto in precedenza (proprietà 2 di Malkiel) come tale relazione non sia lineare. La duration è quindi un ottima approssimazione per piccole variazioni dei tassi, mentre è una misura meno accurata per ampie variazioni. Parte II: Mercati Finanziari 84