10 Simulazione di prova d Esame di Stato

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1 0 Simulazione di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario In un sistema cartesiano l equazione in due incognite ( ) ( + ) ( ) +6=0 rappresenta una curva γ avente come asse di simmetria la bisettrice del primo e terzo quadrante. a. Ruotare γ in modo che l asse di simmetria coincida con l asse delle ordinate e ricavare l equazione della funzione ruotata f posta nel semipiano positivo delle. b. Studiare la funzione f e tracciarne il grafico. c. Calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando la curva f attorno all asse delle ascisse nella regione di piano limitata dalle rette di equazioni = 0 e =0, dove 0 è il punto di ascissa positiva in cui la curva interseca l asse delle ascisse. d. Verificare infine che il volume calcolato nel punto c è equivalente a quello del solido di rotazione ottenuto ruotando la stessa curva del punto c attorno all asse delle ordinate nella regione di piano limitata dagli asintoti verticali e dalla retta di equazione =0. a. ccorre ruotare la curva di un angolo di 45. La trasformazione cha va applicata alla curva è quindi la rotazione di 45 data dalle equazioni: = ( + ) = ( + ) Sostituendo nell equazione si ottiene ( ) ( 4) = 0. La funzione posta nel semipiano positivo delle ordinate sarà pertanto: 4 =. b. Dominio: 4 0 per ±. Da cui N 0 per > < e D >0 per > <. Dalla figura si ricava che il dominio è dato da: ; <<;. LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC N D + + +

2 Intersezioni con gli assi: intersezione asse (0; ±); intersezione asse (0; ±). Simmetrie: funzione pari (secondo quanto indicato nel testo). Segno: la funzione è sempre positiva per ogni appartenente al dominio, in quanto è una radice di ordine pari. Asintoti: verticali: = ± 4 lim + =+ ; lim 4 =+ ; orizzontali: = lim ± 4 =. Derivata prima: = ( 4)( ) ; dominio: < ; <<; >. I punti = ± sono punti in cui la funzione è continua, ma non derivabile. Calcoliamo i limiti lim ( 4)( ) = ; lim + + ( 4)( ) =+ I punti di coordinate (±; 0) sono punti di semicuspide aventi come tangenti le rette = ±. Inoltre sono punti di minimo relativo. Calcoliamo i punti stazionari. Y =0quando =0. Allora il punto di coordinate (0;) è un punto stazionario. Classifichiamolo. Y > 0 per >0. Dalla figura si ricavano gli intervalli in cui la funzione è crescente e che il punto (0; ) è un punto di minimo. LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC 0 N D f () + + f () m Dai dati raccolti il calcolo della derivata seconda, che risulta particolarmente complesso, è inutile. Non ci sono punti di flesso e la concavità della funzione è rivolta verso l alto nell intervallo <<. Il grafico è riportato in figura.

3 c. Il punto d intersezione con l asse delle ascisse è 0 =. Il volume del solido è dato dal calcolo dell integrale definito: V = π d = π 0 d π d. Il primo integrale è immediato e pari a 8 ; il secondo è l integrale di una funzione fratta di cui occorre scomporre il denominatore. In conclusione: [ V = π ln ] 0 ( = 8+ ) ln π. + 7 d. Come si può notare, il ramo della funzione per è simmetrico al ramo di funzione compreso nell intervallo 0 rispetto alla bisettrice =. Infatti, elevando al quadrato entrambi i membri della funzione si ottiene = 4, ed esplicitando ri- spetto alla si ottiene = 4. Applicando le trasformazioni geometriche della { = simmetria assiale rispetto alla retta = si riottiene l espressione di partenza a conferma di quanto detto. Il volume cercato è allora dato = dall integrale: V = π 0 4 d, che essendo formalmente uguale a quello precedentemente calco- ( 8+ ) ln π. 7 lato darà lo stesso risultato V = Problema Si consideri una circonferenza di raggio unitario di centro, una sua corda AB e si indichi con l angolo al centro AÔB. a. Determinare l area del segmento circolare non contenente il centro e avente come base la corda AB in funzione dell angolo. (Si ricorda che il segmento circolare a una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio viene diviso da una sua corda.) b. Studiare e tracciare il grafico di tale funzione. c. Detta h la differenza fra il raggio e la misura della distanza della corda dal centro, trovare una relazione che esprima h in funzione di. = 4 = LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC

4 d. Ruotare la circonferenza attorno al diametro perpendicolare alla corda AB. Dimostrare che il volume del segmento sferico corrispondente al segmento circolare precedentemente calcolato vale V = πh ( h). e. Fissato un opportuno sistema di coordinate, il cui centro coincida con quello della sfera e formato da due angoli, α e β, corrispondenti rispettivamente alla longitudine e alla latitudine, determinare un espressione che permetta di calcolare la distanza fra due punti P e Q posti sulla sfera alla stessa latitudine α e aventi rispettivamente longitudine β e β. Applicare quanto calcolato nel punto precedente per ricavare la distanza sulla Terra (supposta sferica di raggio R T = 6400 km) fra due località di coordinate geografiche latitudine 50 e longitudine rispettivamente 0 e 70. a. L area del segmento circolare è dato dalla differenza fra l area del settore circolare (A s ) e quella del triangolo AB. L area del settore circolare è proporzionale a quella del cerchio e vale r, mentre quella del triangolo può essere espressa come la metà del prodotto di due lati per il seno dell angolo compreso, nel nostro caso r sen. Poiché il raggio è unitario si ottiene: A = A s A AB = sen = ( sen ). b. Studiamo la funzione. Dominio: R. Intersezioni con gli assi. Intersezione asse : sen = 0. La soluzione si ottiene graficamente dall intersezione fra la curva sinusoidale e la bisettrice del primo e terzo quadrante. Dalla figura si vede che l unica soluzione è l origine degli assi, in quanto la bisettrice è la retta tangente alla curva sinusoidale nell origine. Infatti la derivata prima della funzione sinusoidale nell origine vale cos 0 =, che è il coefficiente angolare della bisettrice. LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC = π π π π = sen Intersezione asse : (0; 0). Simmetrie: f( ) = [ + sen( )] = ( + sen ) = f( ) funzione dispari. Segno: la funzione è data dalla differenza fra la bisettrice del primo e terzo quadrante e la funzione sinusoidale. Data la simmetria della funzione, basta analizzare il semipiano 4

5 positivo delle ascisse. Poiché la retta sta sempre sopra la funzione sinusoidale in quanto tangente nell origine, la f sarà sempre positiva per >0 e negativa per <0. Asintoti: non ci sono asintoti né verticali né orizzontali in quanto il dominio è tutto R. Data la simmetria della funzione, basta studiare il limite per che tende a +. ( sen ) =. lim + Calcoliamo allora se esiste l asintoto obliquo. L eventuale coefficiente angolare vale ( sen ) =. lim + Il termine noto si ricava calcolando il limite lim + ( sen ) = lim + sen. Questo limite però non esiste e quindi si conclude che non c è neanche l asintoto obliquo. Derivata prima. Calcoliamo la derivata: = ( cos ). Essa si annulla quando cos =, cioè per =kπ, che risulteranno punti stazionari. Inoltre > 0 quando cos <, cioè per ogni valore di escluso i punti stazionari che risultano essere punti di flesso orizzontale. La f risulta allora essere sempre crescente. Derivata seconda. Calcoliamo infine la derivata seconda: = sen. Essa si annulla per = kπ ed è positiva per gli intervalli kπ < < (k +)π. Pertanto la f ha flessi nei punti ( kπ; kπ) (di cui quelli di ascissa pari a kπ sono quelli orizzontali) e volge la concavità verso l alto negli intervalli kπ < < (k +)π. Grafico: in figura è riportato il grafico della funzione. LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC = sen 5 5 c. Dalla figura h = HP = P H. H = A cos, quindi h = cos. A H P B 5

6 d. Posto un sistema di riferimento cartesiano con origine nel centro della circonferenza e l asse sul diametro perpendicolare alla corda AB, per calcolare il volume del segmento sferico occorre calcolare il volume del solido ottenuto ruotando la circonferenza attorno all asse nell intervallo fra la distanza della corda dal centro e la misura del raggio del cerchio. La circonferenza nel nostro sistema di riferimento ha equazione + =,per cui il volume è dato dall integrale: V = π h ( )d = π [ ] h = πh Q ( h). e. La distanza fra i punti P e Q aventi la stessa latitudine è data dalla misura dell arco di circonferenza il cui raggio, come si vede in figura, vale R cos α, dove R è il raggio della sfera. L arco di una circonferenza è dato dal prodotto del raggio per la differenza fra gli angoli espressi in radianti. Quindi PQ = R(β β ) cos α =(β β ) cos α, essendo il raggio della sfera unitario. Posto α =50 e β β =40 = 40π =0,7rad, la distanza PQ varrà 80 R T cos 50 0,7 =880 km. α α P LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC Questionario Sono date le funzioni ( ) f() = e g() =log. Determinare dominio, grafico e codominio di = f[g()] e di = g[f()]. ( ) = D = R; C = { R >0} = log D = { R >0}; C = R 6

7 ( ) log = f[g()] = = log = D = { R >0}; C = { R >0} ( ) ( ) = g[f()] = log = log D = R; C = R 5 4 = = 4 5 = LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC 4 4 Dimostrare che un qualunque triangolo viene diviso dalle sue mediane in sei triangoli tra loro equivalenti. A M L B N ABC è un triangolo qualunque. AN, BL, CM sono le sue mediane. I triangoli BN e NC sono equivalenti, perché hanno basi uguali (BN = NC per ipotesi) e la stessa altezza (vertice in comune). 7 C

8 Analogamente sono equivalenti i triangoli CL e LA (CL = LA per ipotesi e vertice in comune) e i triangoli AM e MB (AM = MB per ipotesi e vertice in comune). Sono inoltre equivalenti i triangoli ABN e ANC, perché hanno basi uguali (BN = NC per ipotesi) e la stessa altezza (vertice A in comune). Sono equivalenti per differenza di triangoli equivalenti anche i triangoli AB e AC; e di conseguenza sono tutti equivalenti tra loro i triangoli MB, AM, LA, CL, perché equivalenti a metà di triangoli equivalenti. Analogamente, osservando l equivalenza dei triangoli CAM e CMB si arriva a concludere, per la proprietà transitiva, che anche i triangoli BN e NC sono equivalenti ai quattro triangoli equivalenti MB, AM, LA, CL. Si consideri una piramide retta a base quadrata di vertice V e che ha i suoi spigoli laterali della stessa lunghezza a del lato di base. Determinare gli angoli, espressi in gradi e primi sessagesimali, formati dallo spigolo e dal lato di base, quello fra l apotema e il diametro della circonferenza inscritta nel quadrato di base e infine quello fra lo spigolo e la diagonale del quadrato di base. V LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC H A K B Il triangolo VAB è equilatero, per cui l angolo V ÂB =60. L apotema VK, altezza del triangolo AV B, vale a e HK = a,per cui l angolo V KH = arc cos KH VK = arc cos = Poiché il triangolo VHB è rettangolo e HB = a, allora l angolo V BH = arc cos HB = arc cos VB =45. 4 Determinare il numero di soluzioni dell equazione m ln =0 al variare di m numero reale. L equazione è la soluzione del sistema dato dalla funzione logaritmica e dal fascio di rette passanti per l origine. Dalla figura si ricava subito che per m 0 c è una sola soluzione compresa nell intervallo (0 < ). Per m >0 invece occorre distinguere tre casi: le rette sono secanti (due soluzioni distinte), tangenti (due soluzioni coincidenti) o 8

9 esterne (nessuna soluzione). Per determinare gli intervalli soluzione del problema occorre allora determinare il coefficiente della retta tangente. Detto allora P (k;lnk) il punto di tangenza fra la generica retta = m e la curva logaritmica, imponiamo che la retta tangente in P alla curva logaritmica passi per il centro. Il coefficiente angolare della retta tangente sarà dato dalla derivata nel punto P e risulterà uguale a t. Allora la retta tangente passante per P avrà equazione: ln k = ( t). t Imponendo il passaggio per l origine si ricava ln k =, da cui k = e. Allora la retta = e è la retta tangente alla curva logaritmica. Questo significa che per 0 <m< e l equazione ha due soluzioni distinte (di cui una compresa nell intervallo <<e e l altra per >e), per m = e due soluzioni coincidenti ( = e) e per m > e nessuna soluzione. =ln = m e = e = m LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC 5 Trovare due numeri reali positivi la cui somma è k e per i quali il prodotto del quadrato dell uno per la radice quadrata dell altro è massimo. Detti e i due numeri, si può scrivere la funzione z che esprime la relazione data nel seguente modo: = k z = =(k ) z ( k)(5 k) =. La derivata prima si annulla per = k e per = k. Studiando il segno della deriva pri- 5 ma si ricava che c è un massimo per = k 5. 9

10 6 Data la funzione { sen se <0 ln( + ) se 0 calcolare il dominio, verificare se è continua e derivabile in ogni punto del dominio e tracciarne il grafico. Il dominio è tutto R. Per quanto riguarda la continuità e la derivabilità, l unico punto da studiare è quello di ascissa nulla. La funzione è continua in =0. Infatti: F (0) = ln = 0 lim sen =0; lim 0 ln( + ) =0 0 + La funzione è derivabile in =0e F (0) =. Infatti: F (0) = lim cos =; F 0 Il grafico è dato in figura. k 0 5 k 0 f () f () 0 + (0) = lim = + k 5 M = f () k + LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC π π π 7 Enunciare il Teorema di Lagrange e applicarlo alla funzione = +, determinando l estremo superiore dell intervallo nell ipotesi che l estremo inferiore valga 0 e che il valore dell ascissa interno all intervallo indicato nel teorema sia. L enunciato del teorema è consultabile nel testo, Modulo N, Unità. Calcoliamo la derivata prima: f () =. + 0

11 Il valore assunto dalla funzione per =0è f(0) = e il valore assunto dalla derivata prima per = è f ( ) =. Applicando il teorema otteniamo: ( ) f = f(b) f(0) b + = = da cui b + =b b 0 b 4(b +)=(b +) b 4b =0, che ha soluzioni b =0(non accettabile) e b =4. 8 Si consideri una semicirconferenza di raggio unitario e un triangolo rettangolo isoscele a essa inscritto. Costruire sui cateti due semicirconferenze di diametro pari a ciascun cateto dalla parte esterna al triangolo. Si vengono così a formare fra la semicirconferenza maggiore e le altre due, due superfici, dette lunule. Dimostrare che la somma delle aree delle lunule è pari all area del triangolo rettangolo. Dalla figura si osserva che ciascuna lunula ha come area la differenza fra l area (A ) del semicerchio avente diametro un cateto e quella (A) del segmento circolare avente corda il cateto del triangolo ABC. L area del segmento circolare a sua volta è ottenuta sottraendo all area (A ) del quarto del cerchio avente diametro l ipotenusa e quella del triangolo rettangolo AB (o BC). Inoltre, poiché l ipotenusa del triangolo rettangolo vale, si ricava che i cateti hanno misura. Per cui: A = ( ) AB π = π 4 ; A = π 4 LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC Area triangolo: A = AB = A = A A = π 4. L area di ciascuna lunula allora varrà: A A=,per cui l area delle due lunule varrà come l area A del triangolo. B A C

12 9 Sia f una funzione simmetrica rispetto al punto A di coordinate (0; ), il cui dominio sia tutto R. Dimostrare che, per tutti i reali, si ha f()+f( ) =6. Poiché A(0; ) è il centro di simmetria fra due punti simmetrici della funzione, valgono le relazioni di simmetria centrale: { = +h = +k dove h e k sono le coordinate del centro di simmetria. Per cui { = = +6 Ne deriva che + = f()+f( ) =6. 0 Illustrare il metodo di integrazione per parti e applicarlo per ricavare le primitive della funzione f() =e. Il metodo di integrazione per parti si basa sull espressione della derivata del prodotto. [f()g()] = f ()g()+f()g () Integrando entrambi i membri si ricava: [f()g()] d = f ()g()d + f()g ()d f()g() = f ()g()d + f()g ()d, LESCHER EDITRE PAGINA LIBERAMENTE FTCPIABILE A US DIDATTIC da cui si ricava l espressione dell integrazione per parti: f ()g()d = f()g() f()g ()d. Applicando alla funzione si ottiene: f () =e, da cui integrando si ottiene f() = e ; g () =, da cui derivando si ottiene g() =. Applicando la formula si ricava: e d = e + e d. Quest ultimo integrale è immediato per cui si ottiene: e e + c = e ( + )+c.