Funzione di Produzione e Misura della Produttività

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1 Funzione di Produzione e Misura della Produttività Quesito Nell ambito delle proprietà di una funzione di produzione, illustrare differenze e collegamenti fra produttività marginale dei fattori e rendimenti di scala. a produttività marginale indica la variazione assoluta dell output per una variazione unitaria di un fattore produttivo, mantenendo tutti gli altri fattori costanti. Se i fattori sono avoro () e Capitale (K), si ha: lavoro: Y = = Y l capitale: k Κ I rendimenti di scala indicano la variazione relativa dell output per una variazione relativa unitaria di tutti gli input: si ottengono per somma delle elasticità parziali dell output rispetto ai singoli fattori. Queste sono a loro volta pari al rapporto fra le produttività marginale e media di ciascun fattore. Per il avoro e il Capitale si ha: lavoro: Y Y ε l = / capitale: Y Y ε k = / Κ Rendimenti di Scala: ε = Σl,k εl,k

2 Quesito a seguente funzione di produzione relativa ad un processo produttivo di breve periodo, caratterizzato dalla costanza del capitale impiegato, che può quindi essere omesso - ha come variabile esplicativa solo il lavoro: / Q() = a, a > 0. Ricavare la produttività marginale del lavoro, e analizzare il suo andamento. Data una funzione di produzione di breve periodo, la cui unica variabile esplicativa è il avoro, la sua derivata prima misura la variazione assoluta dell output per la variazione unitaria dell unico fattore produttivo; rappresenta quindi direttamente la produttività marginale di tale fattore produttivo: dq = / = a. d assunzione a > 0 implica > 0 per > 0: la produttività marginale è quindi positiva per tutti i valori positivi della quantità di lavoro impiegata. Per analizzare il comportamento di occorre calcolarne nuovamente la derivata prima rispetto al lavoro; ciò equivale alla derivata seconda della funzione di produzione di origine: d d d Q = = a < 0 d per a>0, >0. Al crescere della quantità di lavoro impiegata diminuisce monotonicamente (principio della produttività marginale decrescente).

3 Quesito Data la seguente funzione di produzione: Q = 0K, dove Q rappresenta l output, K la quantità di capitale e la quantità di lavoro: a) ricavare la funzione di produzione di breve periodo corrispondente a uno stock di capitale pari a 9; b) determinare per la funzione a) la produttività marginale del lavoro; c) dimostrare che tale produttività è positiva, e decrescente al crescere del lavoro impiegato. a) Ponendo K = 9, la funzione si riduce ad una sola variabile esplicativa (il fattore lavoro), ed è pertanto assimilabile ad una funzione di breve periodo in cui il fattore capitale è costante: Q = 0K = 0(9) = 60 b) a derivata prima della funzione a) rappresenta la produttività marginale del lavoro (si veda il Quesito ): = dq = = 60 0 d c) a produttività marginale è positiva per valori positivi di : = 0 0 se 0. a derivata prima della produttività marginale, ovvero la derivata seconda della funzione di produzione di origine (si veda il Quesito ) permette di studiare il suo andamento: d d d Q 0 = = 0( ) = d 0 se 0. a produttività marginale diminuisce pertanto al crescere di.

4 Quesito Data la seguente funzione di produzione: Q = 0K, dove Q rappresenta l output, K la quantità di capitale e la quantità di lavoro: a) determinare la produttività marginale del lavoro; b) dimostrare che tale produttività è positiva; c) dimostrare che la produttività media del lavoro aumenta al crescere del capitale impiegato. a) a produttività marginale del lavoro è data dalla derivata parziale della funzione riportata nel testo rispetto a tale fattore produttivo (si veda il Quesito ): = Q = = 0K K b) a relazione a) è sempre positiva per valori positivi di e K: Q = = K > 0, se K, > 0, c) a produttività media del lavoro è data dal rapporto fra prodotto e lavoro, e ciò permette di studiarne l andamento al variare dell altro fattore produttivo: Q = 0K = 0K Tale andamento è crescente per valori positivi del capitale e del lavoro.

5 Quesito Data la seguente funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas: F(K,)=A K, determinare se presenta rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti. Per verificare i rendimenti di scala possiamo moltiplicare per uno stesso parametro λ gli argomenti K e nella funzione di origine: F( λ K, λ )= A F(K,) = A K λ K λ = λ A K = λ F(K,) Se i fattori produttivi aumentano entrambi di λ l output aumenta di λ : i rendimenti di scala, pari a 0,7, sono quindi minori di.

6 6 Quesito 6 Definire brevemente le differenze e le relazioni che esistono fra funzione di produzione, produttività, efficienza tecnica e progresso tecnico. Per produttività si intende il rapporto tra i risultati dell attività produttiva ed i mezzi impiegati per ottenerli, per efficienza tecnica il grado di raggiungimento del potenziale massimo di produzione possibile. a funzione di produzione (teorica) sintetizza l insieme di tutti i processi di produzione che l impresa può attuare ed esprime la massima quantità di output che è possibile ottenere per una data combinazione di input. Si considerano efficienti i processi produttivi che si collocano sulla frontiera delle possibilità di produzione. Intuitivamente si osserva il progresso tecnico quando è possibile ottenere maggiore quantità di output utilizzando lo stesso ammontare di risorse produttive. Il progresso tecnico è perciò identificato con lo spostamento nello spazio e con le variazioni della forma della frontiera dell insieme delle possibilità di produzione, cioè con lo spostamento della funzione di produzione. Generalizzando, l analisi del progresso tecnico può essere interpretata come la trasposizione temporale del concetto di efficienza.

7 7 Quesito 7 Definire il progresso tecnico neutrale e non neutrale, specificando: a) come viene indicata la funzione di produzione nei due casi, b) in quale caso i saggi marginali di sostituzione dei fattori rimangono inalterati, c) in quale caso ha senso parlare di progresso tecnico risparmiante lavoro e progresso tecnico risparmiante capitale. Si parla di progresso tecnico neutrale quando i TMS (Tassi Marginali di Sostituzione) fra i fattori rimangono inalterati, ossia quando le produttività marginali dei fattori variano nella stessa proporzione. Questo si configura come una traslazione parallela rispetto all origine delle curve di isoquanto senza che queste subiscano delle trasformazioni. In tal caso la funzione di produzione si esprime nella forma: Y = A(t) F(K,). Quando invece cambiamenti tecnologici alterano le forma degli isoquanti di produzione, cioè in presenza di progresso tecnico non neutrale, si distingue fra progresso tecnico risparmiante lavoro, se la produttività marginale del lavoro aumenta più di quella del capitale, e progresso tecnico risparmiante capitale se viceversa. a funzione di produzione si indica come: Y = A F(K,, t).

8 8 Quesito 8 Data la funzione di produzione Y=f(,K), a) definire il Tasso Marginale di Sostituzione, TMS, del lavoro rispetto al capitale, b) definire l elasticità di sostituzione, σ, dei due fattori. c) Interpretare i casi in cui σ = 0 e σ =. a) Il Tasso Marginale di Sostituzione del lavoro rispetto al capitale rappresenta la quantità addizionale di lavoro che, partendo da una data combinazione dei fattori, risulta necessaria per mantenere invariata la quantità prodotta quando ha luogo una riduzione nella quantità di capitale impiegata. Definendo FK la produttività marginale del capitale e F la produttività marginale del lavoro, F TMS = K. F Il TMS determina la curvatura degli isoquanti. b) Per studiare come varia il rapporto tra i fattori impiegati al variare, lungo un certo isoquanto, del TMS, si ricorre al concetto di l elasticità di sostituzione. Si definisce elasticità di sostituzione la variazione proporzionale del rapporto fra i due fattori considerati dovuta ad una data variazione proporzionale del TMS. c) Se l elasticità di sostituzione è nulla, i fattori non sono sostituibili tra loro e devono essere impiegati sempre nella stessa produzione. è il caso di una funzione di produzione di tipo eontief, dove gli isoquanti presentano un angolo retto nel punto considerato. Se l elasticità di sostituzione è infinita c è perfetta sostituibilità tra i fattori. E il caso di una tecnologia lineare dove gli isoquanti sono rette (il TMS non varia al variare delle quantità relative dei fattori impiegati).