Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti. corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini

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1 Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini

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3 tipo: Il nostro obiettivo è studiare gli integrali (indefiniti e definiti delle funzioni razionali, ovvero del ( P (x Q(x dx Ricordo che dx = log x + C, C R x con la solita interpretazione e dx = arctg x + C, C R + x Osservo che possiamo ridurci al caso ridotto, ossia al caso in cui gr P (x < gr Q(x. Supponiamo infatti che sia gr P (x gr Q(x. Allora mediante l algoritmo di divisione euclideo possiamo scrivere e quindi P (x = S(xQ(x + R(x con gr R(x < gr Q(x P (x R(x = S(x + Q(x Q(x con gr R(x < gr Q(x Di S(x sappiamo calcolare una primitiva, quindi il problema è ricondotto alla ricerca di una primitiva di R(x Q(x. Esempio 0.. Calcolare x +x x +x+ dx In questo caso abbiamo P (x = x + x, Q(x = x + x +, quindi gr P (x = > = gr Q(x: non siamo nel caso ridotto. Eseguiamo la divisione: e otteniamo x + x = (x (x + x + + 9x + x + x x + x + = (x (x + x + + 9x + x = x + 9x + + x + x + x + Siamo capaci di calcolare una primitiva di x e siamo quindi ricondotti alla ricerca di una primitiva 9x+ di x +x+, che rappresenta un caso ridotto. # Ci mettiamo allora nella situazione del caso ridotto: P (x dx con gr P (x < gr Q(x Q(x Per semplicità assumiamo Q(x monico, cioè con il coefficiente del monomio di grado massimo uguale ad.

4 Caso : Q(x si scrive come prodotto di fattori lineari distinti. Avremo allora Q(x = (x a (x a (x a n, a,..., a n R con a i a j se i j. Il teorema di decomposizione in questo caso afferma che esistono numeri reali A,..., A n tali che P (x Q(x = A x a + A x a + + A questo punto sappiamo trovare una primitiva di P (x Q(x. Esempio 0.. Calcolare x +5x x +x x dx In questo caso già abbiamo gr P (x < gr Q(x. Si ha A n x a n Q(x = x + x x = x(x + x = x(x (x + in quanto le radici di x + x sono e, e siamo nel caso. Dobbiamo trovare numeri reali A, A, A tali che x + 5x x(x (x + = A x + A x + A x + Considerando il minimo denominatore comune si trova e quindi x + 5x x(x (x + = A (x (x + + A x(x + + A x(x x(x (x + ( x + 5x = A (x (x + + A x(x + + A x(x Valutando ( per x = 0, x =, x = si trova per x = 0 : = A ( A = per x = : + 5 = A A = per x = : 8 0 = A ( ( A = Perciò x + 5x x(x (x + = x + x x + e infine x + 5x x + x x dx = log x + log x log x + + C In realtà il dominio è D = R \ {0,, } ed è unione di intervalli: D = (, (, 0 (0, (, + e quindi per descrivere tutte le primitive servono costanti. #

5 Esempio 0.. Calcolare x + 5x x + x x dx. La funzione integranda f(x = x +5x x +x x è definita e continua su tutto [, ], quindi si può applicare il teorema fondamentale del calcolo. La funzione F (x = log x + log x log x+ è una primitiva di f(x e quindi N.B. Invece [ log x + log x ] log x + = log + log log 5 + log x + 5x x + x x dx è un integrale improprio (e non converge. Per calcolarlo bisogna spezzarlo in più parti, ad esempio 5 # ( 0 f(x dx + / 0 f(x dx + f(x dx + / f(x dx tutti impropri. L integrale proposto converge, per definizione, se e solo se tutti i integrali in ( convergono. Ma facendo il conto addirittura nessuno converge. Caso. Q(x è prodotto di fattori lineari con ripetizioni. Facciamo un esempio. Esempio 0.. Calcolare x + x + x + x x dx Qui già abbiamo gr P (x < gr Q(x. Si ha Q(x = x + x x = x (x + (x + = (x + (x = (x (x + In questo caso il teorema di decomposizione ci dice che possiamo scrivere x + x + (x (x + = A x + A x + + A (x + A, A, A in R. Si tratta di calcolare A, A, A. Considerando il minimo denominatore comune otteniamo e quindi x + x + (x (x + = A (x + + A (x (x + + A (x (x (x + ( x + x + = A (x + + A (x (x + + A (x

6 6 Valutando ( per x = e x = otteniamo per x = : + + = A A = per x = : + = A ( A = Resta da calcolare A. Possiamo valutare ( per un qualunque valore di x che non annulli il coefficiente di A, ad esempio per x = 0: Perciò e infine per x = 0 : = A + A ( + A ( = A + A = x + x + (x (x + = x x + (x + x + x + (x (x + dx = log x log x + + x + + C C R (ricordo che una primitiva di (x+ è x+, attenzione ai segni. Esempio 0.5. Calcolare x + x + (x (x + dx. è definita e continua su tutto [, ], quindi si La funzione integranda f(x = x +x+ (x (x+ può applicare il teorema fondamentale del calcolo. La funzione F (x = log x è una primitiva di f(x e quindi log x + + x+ [ log x log x + + x + ] = log log + ( log log + = log log + + log = log + log + In generale, se Q(x = (x a n (x a n (x a k n k, il teorema di decomposizione afferma che si può scrivere (ricordo che stiamo sempre assumendo gr P (x < gr Q(x P (x Q(x = A, x a + A, (x a + + A,n (x a n +. + A, x a + A, (x a + + A,n (x a n + + A k, x a k + A k, (x a k + + A k,n k (x a k n k #

7 7 dove A i,j sono numeri reali. Caso. Q(x contiene fattori irriducibili di grado senza ripetizioni. Facciamo direttamente un esempio Esempio 0.6. Calcolare 5x x + x dx. Q(x = x = (x (x + x + e il fattore x + x + è irriducibile. In questo caso il teorema di decomposizione dice che posso scrivere 5x x + (x (x + x + = A x + Bx + C x + x + dove A, B, C sono numeri reali. Come calcoliamo A, B, C? Passando a minimo denominatore comune otteniamo e quindi e, raccogliendo nel secondo membro, 5x x + (x (x + x + = A(x + x + + (Bx + C(x (x (x + x + 5x x + = A(x + x + + (Bx + C(x 5x x + = (A + Bx + (A B + Cx + A C Ora due polinomi sono uguali se e solo se hanno gli stessi coefficienti (questo è sempre vero, e quindi questo metodo si può usare in tutti i casi, solo che in situazioni specifiche metodi alternativi risultano più rapidi, e quindi otteniamo il sistema lineare in A, B, C: A + B = 5 A B + C = A C = Sommando le tre equazioni si trova A = da cui segue A =. Dalla prima e dalla terza equazione troviamo B =, C =. Pertanto 5x x + (x (x + x + = x + x x + x + x +x+. x Poichè conosciamo una primitiva di x, il problema è ricondotto alla ricerca di una primitiva di Il primo passaggio consiste nel far sparire la x al numeratore. Osservo che D(x + x + = x + e scrivo x x + x + dx = = x x + x + dx = x + x + x + dx x + x + x + x + x + dx dx

8 8 Proprio perchè abbiamo cercato di ottenere una frazione con al numeratore la derivata del denominatore, il primo integrale riusciamo a risolverlo. Poniamo t = x + x +, e quindi dt = (x + dx. Perciò (in tutti i passaggi preliminari non introduco C, mi limito ad esibire primitive x + x + x + dx = t dt = log t = log x + x + = log(x + x + poichè x + x + > 0 per ogni x R. Resta da calcolare una primitiva di x +x+. L idea qui è di ricondurci a +t dt. Per prima cosa bisogna far sparire il termine in x, e usiamo il metodo già visto nello studio dei polinomi quadratici (infatti x + x + è un polinomio quadratico: il metodo del completamento del quadrato. Ponendo x + x + = (x a + b otteniamo a =, b =. Perciò ( x + x + = x + + Allora pongo u = x +, du = dx e x + x + dx = Per concludere calcoliamo in generale ( x + + u + a du dx = u + du dove a è un qualunque numero reale positivo (nel nostro caso poi sarà a =. Poniamo u = at, du = a dt. Allora u + a du = e otteniamo a a t + a dt = a x + x + dx = u + = arctg t + dt = a arctg t = ( u a arctg a du = ( arctg u ( (x + = ( x + arctg poichè avevamo posto u = x +. Riassumendo, tenedo conto dei vari passaggi x x + x + dx = x + x + x + dx x + x + dx = log(x + x + ( x + arctg Il risultato finale è 5x ( x + x dx = x + x x dx + x + = log x + log(x + x + arctg ( x + + C

9 Esempio 0.7. Calcolare 0 5x x + x dx. La funzione integranda f(x = 5x x+ x è definita e continua su tutto [, 0], quindi si può applicare il teorema fondamentale del calcolo. La funzione F (x = log x + log(x + x + ( x+ arctg è una primitiva di f(x e quindi [ log x + log(x + x + arctg = log + log ( ( arctg = ( arctg log = π log ( ] 0 x + log + log arctg ( ( in quanto arctg è dispari e arctg = 6 π. # In generale, se Q(x = (x a n (x a n (x a k n k (x + b x + c (x + b x + c (x + b r x + c r dove x + b i x + c i sono irriducibili, a due a due distinti, il teorema di decomposizione afferma che si può scrivere (ricordo che stiamo sempre assumendo gr P (x < gr Q(x dove A i,j, B h, C h sono numeri reali. P (x Q(x = A, x a + A, (x a + + A,n (x a n +. + A, x a + A, (x a + + A,n (x a n + + A k, + A k, x a k (x a k + + A k,n k (x a k n + k + B + C x x + b x + c + B + C x x + b x + c + + B r + C r x x + b r x + c r Caso. Q(x contiene fattori irriducibili di secondo grado con ripetizioni. Facciamo un esempio. 9 Esempio 0.8. Calcolare x 6 x + 0 x ( + x ( + x dx che possiamo scrivere Qui già abbiamo gr P (x < gr Q(x. In questo caso il teorema di decomposizione ci dice x 6 x + 0 x ( + x ( + x = A x + + Bx + C x + + Dx + E (x +

10 0 A, B, C, D, E in R. Si tratta di calcolare A, B, C, D, E. Facendo minimo denominatore comune otteniamo e quindi x 6 x + 0 x ( + x ( + x = A(x + + (Bx + C(x + (x + + (Dx + E(x + ( + x ( + x x 6 x + 0 x = 6 A + C + E + ( B + C + D + E x + + (8 A + B + C + D x + (B + C x + (A + B x Si tratta di risolvere il sistema lineare A + B = 0 B + C = 0 8A + B + C + D = 6 B + C + D + E = 60 6A + C + E = 0 Un modo per risolverlo è il seguente: A = B, C = 0 B, D = 6 8A B C = 5B 6, E = 0 6A C = (5B 6, e quindi sostituendo nella quarta equazione, 5B = 00 da cui segue B = 8, A = 8, C =, D =, E = 6. Quindi Ora la derivata di x + è x, quindi scrivo Poniamo t = x +, dt = x dx e quindi x 6 x + 0 x ( + x ( + x = 8 x + + 8x + x + 6 x + + (x + 8x + x + = x x + + x + x x + dx = t dt = log t = log(x + D altro canto, essendo x + = (( x +, ponendo x = t, dx = dt otteniamo x + dx = t + dt = t + dt = arctg t = arctg x Resta infine da calcolare una primitiva di x+6 (x +. Scrivo x + 6 (x + = x (x (x + in quanto D(x + = x. Poniamo t = x +, dt = x dx e quindi x (x + dx = t dt = t = x +

11 Per calcolare una primitiva di 6 (x + utilizziamo la formula (vedi tabella successiva ( + t dt = t ( + t + arctg(t Ponendo x = t, dx = dt si ottiene 6 (x + dx = (t + dt = ( x ( x = + ( x + arctg (t + dt = t + t + arctg(t = x + x + arctg ( x Tenendo conto delle primitive ottenute e dei corrispondenti coefficienti otteniamo x 6 x + 0 x ( 8 ( + x ( + x dx = x + + 8x + x + = 8 log x + + log(x + + arctg = 8 log x + + log(x + + arctg ( x x + + ( x + x x + + C + x + 6 (x + dx x x + + arctg ( x con Si può anche scrivere x 6 x + 0 x ( + x ( + x dx = log (x + ( x (x + + arctg + x x + + C Possiamo calcolare un integrale definito: b x 6 x + 0 x ( + x ( + x dx = log (b + (b + + arctg log (b + (b + + arctg ( b + b ( b ( b + log = + b b + log + dove b è un qualunque numero reale maggiore di. # In generale ci sarà la necessità di conoscere primitive delle funzioni (+x, per n =,,.... Di n seguito riporto la lista per i casi n =,,, : dx = arctg(x + x ( + x dx = x ( + x + arctg(x ( + x dx = x ( + x + x 8 ( + x + arctg(x 8 ( + x dx = x 6 ( + x + 5 x ( + x + 5 x 6 ( + x + 5 arctg(x 6

12 si ottengono mediante opportune integrazioni per parti. Ad esempio + x ( + x dx = x ( + x dx = + x dx x ( + x dx Ora scrivo x (+x = x x (+x e osservo che una primitiva di x (+x è (+x quindi x ( ( ( + x dx = x ( + x ( + x dx x = ( + x + arctg x pertanto ( + x dx = + x dx x ( + x dx ( x = arctg x ( + x + arctg x = x ( + x + arctg(x Esercizio 0.. Calcolare Esercizio 0.. Calcolare Esercizio 0.. Calcolare 6 x ( 8 + x ( + x ( + x dx log 8 + x + log + x 5 log + x 5 5 x ( 8 + x ( + x dx log 8 + x + 9 log + x + C + x ( + x ( + x + x dx + C arctg( + x + log + x log( + x + x + C

13 Esercizio 0.. Calcolare Esercizio 0.5. Calcolare x ( + x ( + x + x dx + x + arctg( + x log + x + log( + x + x + C ( + x ( + x + x dx + x + x + x + arctg( + x + log + x log( + x + x + C Esercizio 0.6. Calcolare ( + x ( + x + x dx + x + + x + x + arctg( + x + log + x log( + x + x + C