RECUPERO LE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI IN N

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1 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero LE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI IN N {[0 ( )] [ ( )]} ( ). {[0 ( )] [ ( )]} ( ) {[0 ( )] [ ( )]} ( ) {[ ] [ ]} { } Esegui le operazioni nelle parentesi tonde. Esegui le operazioni nelle parentesi quadre. Esegui le operazioni nelle parentesi graffe e scrivi il risultato {[( ) ] (9 ) 0}. {[( ) ] (9 ) 0} {[( ) ] ( ) 0} {[ ] 0} { 0} { 0} Semplifica le seguenti espressioni. [ ( ) ( )] 0 [] [( ) ( )] [] [( ) ( ) ] ( ) [] ( ) ( ) [ ( )] [] ( ) ( 9 ) [] 9 {[( ) ] ( )} [] {[ ( )] [ ]} ( ) [] 0 [ ( ) 9] { ( ) [( ) ] } [] [ ( )] [( 0) ] [ (0 )] [0] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

2 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero DALLE PAROLE ALLE ESPRESSIONI IN N Traduci in espressione la frase: «Aggiungi b al doppio di a e poi sottrai il triplo di b». Calcola il valore dell espressione per a e b. «doppio di a»: a «triplo di b»: b Traduci le parti della frase. a b b Scrivi l espressione. Sostituisci i valori di a e b.. Esegui i calcoli. Traduci in espressione la frase: «Sottrai b al triplo di a e poi aggiungi il quadrato di b». Calcola il valore dell espressione per a e b. triplo di a : quadrato di b : a b. Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcola quanto valgono per i valori di a e b indicati a fianco. 9 0 «Al triplo di a aggiungi il doppio della differenza tra b e a.» a, b. [] «Al quintuplo di a sottrai la somma tra il doppio di b e a.» a, b. [] «Moltiplica il doppio di a per la somma di a e b e poi sottrai il triplo di b.» a, b. [] «Dividi la somma di a e b per il doppio di a.» a, b. [] «Moltiplica la somma di a e b per il doppio di a e poi aggiungi il triplo di b.» a, b. [] «Dividi il doppio di a per la differenza tra a e b.» a, b. [] «Moltiplica la differenza tra a e b per il doppio della loro somma.» a, b. [] «Sottrai il doppio di b dal prodotto del quadruplo di a con b.» a, b. [0] «Dividi la somma di a e del doppio di b per la differenza tra a e b.» a, b. [] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

3 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero ESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN N ( ) ( ) [( ) ( ) ]. ( ) ( ) [( ) ( ) ] [ ] [ ] Applica la proprietà della potenza di potenza. Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base. Sviluppa le potenze ed esegui la moltiplicazione. [( ) ] [( ) ( )] ( ). [( ) ] [( ) ( )] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] Semplifica le seguenti espressioni. 9 0 ( ) ( ) [( ) ( ) ] [] {[( ) ( ) ] ( ) } ( ) [] {[( ) ( ) ] ( ) } [ ( ) ] [] ( ) [] [ ( )] [] [( )] [( ) ( ) ] [] [( ) ( )] [] ( ) 0 ( ) [] [( ) ] [( ) ] ( ) [] ( ) [( ) ] ( ) 0 [] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

4 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero IL MASSIMO COMUNE DIVISORE E IL MINIMO COMUNE MULTIPLO Determina il M.C.D. e il m.c.m. di 9,, Scomponi in fattori primi. 9 9 M.C.D.(9,, 9) 9 m.c.m.(9,, 9) Determina il M.C.D. e il m.c.m. fra,,. 9 M.C.D. (,, ) m.c.m. (,, ) Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti numeri naturali. 9 ; ;. [M.C.D.: ; m.c.m.: 0] 0; ;. [M.C.D.: ; m.c.m.: 0] ; ;. [M.C.D.: 9; m.c.m.: 0] ; ;. [M.C.D.: ; m.c.m.: ] 9; ;. [M.C.D.: ; m.c.m.: ] ; ;. [M.C.D.: ; m.c.m.: ] ; ;. [M.C.D.: ; m.c.m.: ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

5 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero LE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI IN Z ( ) { [ ( ) ] ( ) ( )}. ( ) { [ ( ) ] ( ) ( )} { [ ] ( ) ( )} { [ ]( ) } { ( ) } { } { }. Esegui le operazioni nelle parentesi tonde. Esegui le operazioni nelle parentesi quadre. Moltiplica il numero in parentesi quadra con quello in parentesi tonda. Applica la regola dei segni. Esegui le operazioni nella parentesi graffa e scrivi il risultato. [ ( ) ( )] ( ) ( ). [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Semplifica le seguenti espressioni. 9 0 [( ) ( ) ( ) ( ) ] [] [ ( ) ( ) ] ( ) [ ] {[( 0 ) ( ) ] ( )} ( ) [ ] [( ) ] ( ) [] ( ) ( ) [ 9 ( )] [ 9] ( ) ( ) ( 0) [ ] ( ) ( ) [ ( )] [ ] {[( 0 ) ( ) ] } [( ) ( )] ( ) [ ] { [ ( ) ] (0 ) ( )} [ ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

6 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN Z [( ) ] {[( ) ] [( ) ] [( ) ] }. [( ) ] {[( ) ] [( ) ] [( ) ] } () {() ( ) ( ) } Applica la proprietà della potenza di potenza. ( ) {( ) ( ) } Applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base. ( ) ( ) Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base due volte. ( ) 9. Calcola la potenza. Semplifica la seguente espressione, applicando le proprietà delle potenze: [( ) ] [ ( ) ] ( ). [( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze. [( ) () ] ( ) [ ] 9 {[ (0 ) ] ( ) } ( ) [ ] [( ) ] ( ) [] 0 {[( ) ] [( ) ] } 0 {[( ) ( ) ]} [ ] [ ( ) ] ( ) 9 [ ] [( ) ] [( ) ] ( ) [] {[( ) () ] } 0 [] [( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [9] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [( ) ( ) ] 0 [] ( ) [( ) ( ) ] ( ) [ ] [( ) ] ( ) [] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [( ) ( ) ( ) ] ( 9) ( 0) [ ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

7 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero DALLE PAROLE ALLE ESPRESSIONI LETTERALI IN Z Traduci in espressione la seguente frase: «Aggiungi al triplo di a il doppio del quadrato di b e poi sottrai il quadruplo di a». Calcola il valore dell espressione per a e b. triplo di a: a Traduci le parti della frase. quadrato di b: b doppio del quadrato di b: b quadruplo di a: a a b a Scrivi l espressione. ( ) ( ) ( ) Sostituisci i valori di a e di b. Esegui i calcoli.. Traduci in espressione la seguente frase: «Sottrai il quadrato di b al cubo di a poi aggiungi il quadrato della differenza tra a e b». Calcola il valore dell espressione per a e b. cubo di a: a ; quadrato di b: b ; differenza tra a e b: ; quadrato della differenza tra a e b:(ab). a b (a b). ( ) ( ) ( ) Traduci in espressioni le seguenti frasi e poi calcola i valori delle espressioni per i valori di a e b indicati a fianco. «Moltiplica la differenza tra a e b per il triplo della loro somma.» a, b. [] «Sottrai il quadruplo di b dal prodotto del doppio di a con b.» a, b. [ 0] «Dividi la somma del doppio di a e di b per la somma tra a e b.» a, b. [] «Al triplo di a aggiungi il quadrato del doppio di b.» a, b. [] «Al doppio del quadrato di b sottrai il quadruplo di a.» a, b. [ ] «Dividi il doppio della somma di a e b per il quadrato di b.» a, b. [ ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

8 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero 9 0 «Aggiungi il quadrato di b alla differenza tra il triplo di a e b». a, b. [] «Sottrai alla differenza tra a e il doppio di b il quadrato di a». a, b. [] «Dividi la somma tra a e il doppio di b per il quadrato di a». a, b. [ ] «Dividi il triplo di a per b, poi aggiungi il doppio di b». a, b. [] «Aggiungi al quadrato della somma di a con b il cubo della differenza tra a e b e poi sottrai a». a, b. [] «Aggiungi al quadrato della differenza tra a e b il triplo del cubo di a». a, b. [] «Sottrai al doppio del quadrato della somma tra a e b il quadrato di b». a, b. [] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

9 I NUMERI RAZIONALI Recupero LE ESPRESSIONI CONTENENTI SOMME ALGEBRICHE. Esegui le operazioni tra frazioni nelle parentesi tonde. Togli le parentesi tonde cambiando eventualmente i segni. Esegui le operazioni tra frazioni nella parentesi quadra. Esegui le operazioni tra frazioni.. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

10 I NUMERI RAZIONALI Recupero.. Semplifica le seguenti espressioni Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

11 I NUMERI RAZIONALI Recupero LE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI Esegui le operazioni nelle parentesi tonde e semplifica in croce la prima moltiplicazione. Esegui la prima moltiplicazione e semplifica in croce nella seconda parentesi quadra. Esegui la sottrazione nella prima parentesi quadra. ( ). Trasforma la divisione in moltiplicazione.. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

12 I NUMERI RAZIONALI Recupero Semplifica le seguenti espressioni [ ] 9 Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

13 I NUMERI RAZIONALI Recupero ESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE Esegui le operazioni dentro le parentesi tonde. 0 Trasforma la divisione in moltiplicazione. Esegui la moltiplicazione e applica la proprietà del prodotto di potenze con lo stesso esponente. 0. Calcola la potenza ed esegui le operazioni Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

14 I NUMERI RAZIONALI Recupero Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze. 9 0 [] 9 9 [] ( ) [ ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

15 I NUMERI RAZIONALI Recupero LE ESPRESSIONI LETTERALI Traduci in espressione la seguente frase: «Dividi la differenza tra i 9 del quadrato di a e i del quadrato di b per il quadrato dei di a». 9 Calcola il valore dell espressione per a e b. quadrato di a: a 9 del quadrato di a: Traduci le parti della frase. 9 quadrato di b: b del quadrato di b: b di a: a quadrato di di a: a 9 a b a Scrivi l espressione Sostituisci i valori di a e b. 9 9 Eleva al quadrato i valori dentro le parentesi tonde ed esegui la moltiplicazione tra frazioni nella seconda parentesi quadra. Esegui le moltiplicazioni semplificando in croce ed eleva al quadrato il valore dentro la seconda parentesi quadra. Esegui la sottrazione tra frazioni dentro la parentesi quadra Trasforma la divisione in moltiplicazione. Traduci in espressione la seguente frase: «Aggiungi ai di a il cubo della differenza tra di a e i di b. Eleva il risultato ottenuto al numero intero». Calcola il valore dell espressione per a 9 e b. 0 di a: a; di a: a; di b: b; Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

16 I NUMERI RAZIONALI Recupero differenza tra di a e i di b: a b; cubo della differenza: a b. L espressione cercata è a a b Calcoliamo il valore dell espressione per a 9 e b : Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcola quanto valgono per i valori di a e b indicati a fianco. «Dividi il quadrato di di a per il quadrato di di b.» a, b. [] «Dividi il quadrato della differenza dei di a e di b per il cubo del doppio di a.» a, b. «Calcola il doppio del quadrato della differenza fra la metà di a e i di b.» a, b. «Dividi la somma tra i 9 del quadrato di a e i del quadrato di b per il doppio di a.» a, b. «Sottrai alla somma di a e b la terza parte del cubo di a.» a, b. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

17 I NUMERI RAZIONALI Recupero 9 «Dividi il cubo dei di a per il cubo dei di b poi moltiplica per i di b elevati al numero intero.» a 9, b. «Dividi il quadrato della somma di di a e di b per la quarta potenza dei di b e poi sottrai i di a.» 9 a, b. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

18 GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero L INTERSEZIONE E L UNIONE Dati gli insiemi A {x x N e x è divisore di } e B {x x N e x è divisore di 0}, rappresenta per elencazione gli insiemi A B e A B. A {,, } B {,,, } A B {, } A B {,,,, } Rappresenta A per elencazione. Rappresenta B per elencazione. Scrivi A B:l insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B. Scrivi AB, cioè l insieme degli elementi che appartengono ad A,oppure a B. Dati gli insiemi A {x x N e x } e B {x x N, x è dispari e x 0}, determina gli insiemi A B e A B mediante la rappresentazione per elencazione. A {,,,, } B {,,,, } A B {, } A B {,,,,,,, }. Dati gli insiemi A {x x è una lettera della parola «contadino»} e B {x x è una lettera della parola «appendino»}, determina A B e A B. Dai la rappresentazione per elencazione e mediante l opportuno diagramma di Eulero-Venn. Dati gli insiemi A {x, y, z}, B {x, y, z, t, v, u} e C {z, t, l, m}, determina: (A C) (B C) e (A C) (B C). Dati gli insiemi A {x x N e x è divisore di } e B {x x N e x }, determina A B e A B per elencazione. Dati gli insiemi A {x x Z e x } e B {x x N e x }, determina A B e A B per elencazione e mediante l opportuno diagramma di Eulero-Venn. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

19 GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero PROPOSIZIONI E TAVOLE DI VERITÀ Date le proposizioni A: «è un numero dispari», B: «è divisore di», C: «è un numero pari», attribuisci a ciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ciascuna il valore di verità: (A B) C; B C;(A B) C. A:vera;B: ;C:. Attribuisci il valore di verità ad A, B, C. (A B) C: «è un numero dispari è divisore di e». A B C A B (A B) C V F B C: «è divisore di, non è un numero pari». B C C B C F V (A B) C: «è un numero pari divisore di è un numero pari». A B B C A B (A B) C V V V Scrivi a parole (A B) C. Compila la tavola di verità. Scrivi a parole B C. Compila la tavola di verità. Scrivi a parole (A B) C. Compila la tavola di verità. Date le proposizioni A: «è il doppio di», B: «è divisore di», C: «M.C.D. (, 0)», attribuisci a ciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ciascuna il valore di verità: (A B) C; A (B C); (A B) C. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

20 GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero A:falsa; B: ; C:. (A B) C: «è il doppio di è divisore di, M.C.D.(, 0) è». A B C A B C (A B) C F F F A (B C ): «è il doppio di, allora è divisore di M.C.D.(, 0) è». A B C B C A (B C ) F F (A B) C: «che è il doppio di è divisore di il M.C.D.(, 0) è». A B A BA B C (A B) C F F V Date le proposizioni A: «è un numero primo», B: «è divisore di 0», C: «0 è multiplo di», attribuisci a ciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ciascuna il valore di verità; (A B) C;(A B) C; A C. Date le proposizioni A: «l erba è verde»,b: «il pentagono ha lati», C: «il cubo ha facce», attribuisci a ciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ciascuna il valore di verità; (A B) C; A (B C); A (B C). Costruisci le tavole di verità delle seguenti proposizioni composte: A B; A B; A B. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

21 I MONOMI E I POLINOMI Recupero LE ESPRESSIONI CON I MONOMI ab ab a b 9 a b. ab ab a b 9 a b ab ab a b 9 a b a b 9 a b a b a b a b a b a b a b. Esegui la potenza e calcola il prodotto degli esponenti. Esegui la moltiplicazione, sommando gli esponenti, e la divisione, calcolando la differenza degli esponenti. Semplifica in croce nella parentesi quadra. Elimina la parentesi quadra. Somma i termini simili. Calcola la seguente somma: x ( x) ab ( x ) ab x. x ( x) ab ( x ) ab x x ab x ab x x ab x ab x ( )x ( ) x ab. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

22 I MONOMI E I POLINOMI Recupero ( ab ) a b ( 0a b ). ( ab ) a b ( 0a b ) a b a b ( 0a b ) a b ( 0a b ) a b ( 0a b ) a b 0 a b. a b ab ab ( b). a b ab ab ( b) 9 a b a b ab ( b ) 9 a b a b 9 a b 9 a b. Semplifica le seguenti espressioni. ( a b ) ab( ab) 9 a b a b a b b b b a b ab ab ab (a) b b ( a b a b a b ) a b a b [9b] 9 0 ( b) b a b ab [9b ] ab ( ab) ( a b) ( ab) [ a b] a a a b ab a Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

23 I MONOMI E I POLINOMI Recupero ax a a a x a x x x x a x a y a y ay ay a y a y ay Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

24 I MONOMI E I POLINOMI Recupero LE ESPRESSIONI CON I POLINOMI x x y (x y). x x y (x y) x x x y x y y x x y x x y x y. Esegui la moltiplicazione. Somma i monomi simili. Elimina le parentesi tonde. Somma i monomi simili. (b b ) (b b ) b(b ). (b b ) (b b ) b(b ) b b b b b Semplifica le seguenti espressioni. (a b ) (b a) b( b) [ a b] a a b a a b [a ab] a(a b) b(a b) b [a ] [a (a )(a )] a(a ) [a a ] b[a(a b) b(a b) a b ] [ab ] ab a b ab a b a b 9 0 (y ) (y ) y (y ) [ y ] (x x ) (x )(x ) [x] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

25 I MONOMI E I POLINOMI Recupero I PRODOTTI NOTEVOLI (b )(b ) (b ). (b )(b ) (b ) (b ) (b b ) b b. Calcola il prodotto notevole e sviluppa il quadrato. Togli le parentesi cambiando i segni ai termini del secondo polinomio. Somma i termini simili o elimina gli opposti. (x a)(x a) (x a). (x a)(x a) (x a) (x a ) (x a ) x a x a (t ) (t t ). (t ) (t t ) (t t ) [t t t t ( ) ( )] (t t t ) (t t t t t) t t t t t t t t t t t 0t. Semplifica le seguenti espressioni utilizzando i prodotti notevoli. (a b)(a b) [a b ] (a )(a ) [a ] a b a b b a b Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

26 I MONOMI E I POLINOMI Recupero (a b) [9a ab b ] (a b) ab a b ab [a b ] a ab b (a )(a ) (a ) [ a ] (a ) (a )(a ) [a] (a b ) [a b 9 ab a b ] a ab b a b a a a b b a b a b ab a b 9 ab a b a a a (a b) [a b a b ab ] a b a b a b ab (a b) (a b) ab [a ] (a a ) (a a ) [ a a ] (t ) ( t)( t) 0t [ t 0] (x ) (x )(x ) (x )(x ) [x x ] (a a ) (a ) a (a ) [a a ] (x ) (x x ) (x x ) [x x ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

27 I MONOMI E I POLINOMI Recupero LA DIVISIONE FRA POLINOMI CON LA REGOLA DI RUFFINI Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini: (b b b ) (b ). (b b b ) (b ) Predisponi lo schema inserendo in alto solo i coefficienti del polinomio b b b, dopo aver notato che questo è completo e ordinato. Separa il termine noto. In basso a sinistra scrivi il termine noto di b cambiato di segno. 0 Abbassa il primo termine, cioè, e moltiplicalo per. Scrivi il risultato sotto al. Poi calcola la somma algebrica e scrivila in basso. Ripeti il procedimento sempre moltiplicando per. Q b b, La riga in basso rappresenta i coefficienti del quoziente Q. R. Il numero in basso a destra rappresenta il resto R della divisione. Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini: (x x x ) (x ). (x x x ) (x ) Q x 9x ; R. 9 Esegui le seguenti divisioni di polinomi, applicando la regola di Ruffini. (a a ) (a ) [Q a, R ] (t t t ) (t ) [Q t t t, R ] (x x ) (x ) [Q x, R ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

28 I MONOMI E I POLINOMI Recupero 9 0 (x x x ) (x ) [Q x x, R ] (x x ) (x ) [Q x x x, R ] (a a a ) (a ) [Q a a a, R ] (b b b ) (b ) [Q b b b, R ] c c (c ) Q c c, R Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

29 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero LA SCOMPOSIZIONE MEDIANTE RACCOGLIMENTO E PRODOTTI NOTEVOLI Scomponi il seguente polinomio: b b b. b b b b ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ). Raccogli parzialmente. Raccogli il fattore comune fra parentesi. Utilizza la differenza di quadrati. Scomponi il seguente polinomio, raccogliendo a fattor comune: a b ab. a b ab a (a ) a (a )(a ). la seguente tabella. POLINOMIO SCOMPOSIZIONE POLINOMIO SCOMPOSIZIONE x 9 (x )(x ) x y xy x y (x y ) a a (a ) y (y )(y ) x x x (x ) x x (x )(x ) la seguente tabella. POLINOMIO SCOMPOSIZIONE POLINOMIO SCOMPOSIZIONE 9x a ( a) b b b ( ) x xy z y xz yz Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

30 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero la seguente tabella. 9 a b a b a b a ab b a b 9 0 POLINOMIO a a 9 x x x a b ab a b x x 0x [(x ) ] 9a ab b [(a b) ] a a [(a ) ] x x x x x y x y x xy 9 y x xy ay y a xa [(x y a) ] SCOMPOSIZIONE (a ) (x ) (a b ) (x )(x x ) x x (x )(x ) x x Scomponi in fattori i seguenti polinomi. (x )(x ) 9 0 x xy y 9 a x y a a a 9 x [( x )(x x )] a a [(a a )] x xy x y [(x y)(x )] a a a [a(a ) ] a a b a ab a b [(a b)(a ) ] a [(a )(a )] a b 9 x xb b a b a b x b a y b y [y(a b)(a ab b )] a a b a b [a (a b b )] a b a ab [( a)(a b)] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

31 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero LA SCOMPOSIZIONE MEDIANTE IL TEOREMA E LA REGOLA DI RUFFINI Scomponi in fattori il seguente polinomio, applicando la regola di Ruffini: x x x. P(x) x x x. P() () () () 0. Cerca tra i divisori di quello che annulla il polinomio quando lo sostituisci alla x. Il polinomio è divisibile per (x ). Calcola il quoziente (x x x ) (x ) mediante la regola di Ruffini. x x x (x )(x ). Scrivi il polinomio x x x come prodotto di (x ) e del quoziente della divisione. Scomponi in fattori il seguente polinomio, applicando la regola di Ruffini: P(a) a a a. P(a) a a a P() () () ( ) 0 P( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 a a a (a )(a a ) (a )(a ). Scomponi in fattori i seguenti polinomi, applicando la regola di Ruffini. x x x [(x )(x )] x x [(x )(x )] a a a [(a )(a a )] x x x [(x )(x x )] x x [(x )(x x )] x x x [(x )(x )(x x )] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

32 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero LA SEMPLIFICAZIONE DELLE FRAZIONI ALGEBRICHE Determina le condizioni di esistenza e semplifica le seguenti frazioni algebriche: ab x x x a) ; b) a b c x x x. ab a) a b c C.E.: a 0 Determina le condizioni di esistenza ponendo ogni fattore a denominatore 0. b a \ b c c x x b) x x x x x( x ) x ( ) ( ) ( ) C.E.: x 0 x a\b / x( ) ( ) \ Dividi numeratore e denominatore per i fattori comuni. Scomponi in fattori numeratore e denominatore. Determina le C.E. Dividi numeratore e denominatore per il fattore comune. Determina le condizioni di esistenza e semplifica le seguenti frazioni algebriche: x y a b a) x y ; b). z a a b b x y a) x y z C.E.: x 0 x y. x y z x y z a b b) a a b b (a )( 9b ) (a ) (a )( 9b ) (a ) ( b) C.E.: (a 0 a ) b 0 b (a )( 9b ) (a ) ( b) 9b. (a ) ( b) Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

33 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero Determina le condizioni di esistenza e semplifica le seguenti frazioni algebriche. a 0a ; xy x ay by y. a 0 x 0, ay ; y 0, a b x x a ; a a x a a. x a,(xa); a,a a ; a ax x a. a x x a ; x,a x a b 9b ab ay a ;. b 9b a a y b 0 a,a a ; a y, a a y x x x ; b b x b. x x,x ; b, x b Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

34 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero LE ESPRESSIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE x x x x x x. x x x x x x x x x x x( ) Campo di esistenza: x 0 x ; x 0; x 0 x (x )( ) x x x x ( ) Scomponi il denominatore x x e scrivi x come frazione. Determina le C.E. delle frazioni che compaiono. x x x x x( ) x x x x x( ) (x ) x x. x x( ) x Calcola i prodotti indicati ed elimina la parentesi tonda. Somma i termini simili nella prima frazione. Scomponi x x e semplifica i numeratori con i denominatori. a a. a a a a a a a a a a a a (a )(a ) C.E.: a a a 0 a a(a ) (a ) a (a )( ) a a a (a )( ) a a (a ) ( ) (a ) (a )( ) a. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

35 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero x x x. x x x x x x x (x )(x ) x C.E.: x 0 x x 0 x (x )(x ) (x )(x ) x x x x (x )(x ) x x x (x )(x ) x (x )(x ) (x )(x ) x x (x )(x ). x x y (x x) (y ). x x y (x x) (y ) (x ) (y ) (y [(y )(y y )] ) (x ) (x ) (y ) (y ) x (y ) (y y ) (x ) C.E.: y x x (x ) x (y ) (y y ) (y ) (y ) (x ) (x ) (y )(y y ) x (y ) Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

36 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero Semplifica le seguenti espressioni. b b b b ; b 0 b a ab a b a b a ; a 0 b 0 b a b a b b a a b ; a 0 b x x x a a a a x x x x x a b a b b x x ; x x a ; a a a ; x x x a ; a 0 b 0 a b ab a a a a a ; a a 0 a a b a a a a b [a b; a 0 a b] a a ; a 0 a a a a a a [; a a ] a a a a ; a 0 a a a a a a a a a a [ a; a a 0] x y x y xy [(y x); x 0 y 0 x y] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

37 LE EQUAZIONI LINEARI Recupero LE EQUAZIONI NUMERICHE INTERE Risolvi la seguente equazione numerica intera: (x ) (x ) x. x x x m.c.m. (, ) x x x x x x x Esegui le moltiplicazioni. Calcola il m.c.m. tra i denominatori. Elimina i denominatori moltiplicando i due membri dell equazione per il m.c.m. Applica la regola del trasporto. Riduci i termini simili. x equazione Determina la soluzione. Risolvi la seguente equazione numerica intera: x x (x )(x ) (x ) x ( x). x x 9x 9x x x x x x x x x x x x. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

38 LE EQUAZIONI LINEARI Recupero Risolvi le seguenti equazioni. (x ) 9 (x ) [x ] (x ) (x ) x (x ) ( x) x [x 0] [x ] 9 0 (x ) ( x) (x ) [impossibile] (x )(x ) (x ) [x ] (x )(x ) (x ) x x ( x) x ( x) [indeterminata] [x(x ) (x ) ] (x ) [x ] (x )(x ) x (x ) x x [x (x ) (x ) ] (x ) [x ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

39 LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero LE OPERAZIONI CON I SEGMENTI E CON GLI ANGOLI Dati i segmenti AB, CD, EF in figura, disegna il segmento GH AB CD EF. A B C D E F A... B Disegna AB. C... D Disegna CD. L H Disegna i due segmenti consecutivi AB CD e ottieni il segmento LH. L E... F H Sottrai da LH il segmento EF e ottieni GH. Dati i segmenti AB, CD, EF in figura, disegna il segmento MN AB CD EF. A B C D E F A B C D E F M M Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

40 LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero Dati gli angoli e in figura, disegna l angolo ottenuto dalla seguente espressione: a) ; b). α β Disegna due segmenti AB e CD. Disegna poi, se possibile: a) CD AB, CD AB; b) AB CD; c) CD AB. Disegna un angolo acuto e uno ottuso. Disegna poi, se possibile: a), ; b) ; c) 9. Disegna due angoli e,con R^. Disegna poi, se possibile: a) ; b) ; c). Dati gli angoli R^ e P^,allora: a) P^; b) R^. Disegna gli angoli. Dati gli angoli, e,allora: a) ; b). Disegna tre angoli che verifichino le relazioni precedenti. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

41 LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero I TEOREMI SUI SEGMENTI E SUGLI ANGOLI Considera due segmenti adiacenti AB e BC tali che AB sia il doppio di BC.Detto M il punto medio di AB,dimostra che AM è congruente a un terzo di AC. A B C A B C... Ipotesi. AB e BC adiacenti;. AB ;. AM. Disegna i due segmenti, tenendo presente che AB è il doppio di BC. Traccia il punto medio di AB e indicalo con M. Scrivi l ipotesi. Tesi AM. Scrivi la tesi. Dimostrazione Scrivi la dimostrazione. AB AC Utilizza l ipotesi. AM Scrivi l ipotesi. da cui AB AM. AB Utilizza l ipotesi. BC Applica la proprietà transitiva della congruenza. BC. Se sono congruenti i doppi di due segmenti, sono congruenti anche i segmenti. Quindi AM Sfrutta il risultato ottenuto insieme all ipotesi. AM MB BC Somma i segmenti congruenti fra loro. da cui AM BM. Considera due segmenti adiacenti AB e BC tali che BC sia un quarto di AB.Detto M il punto medio di AB,dimostra che AM è congruente a AC. A B C A B C... Ipotesi. AB e BC adiacenti. BC. AM Tesi AM Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

42 LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero Dimostrazione AB AC. AM AB, da cui AB AM. BC AB, da cui AB BC. Pertanto AM BC, da cui AM. Quindi AM MB AM MB BC, da cui BC BC BC AC, cioè BC AC BC AC. Poiché AM BC,allora AM AC. Sono dati tre angoli consecutivi ao^b, bo^c, co^d tali che ao^c bo^d. Dimostra che ao^b co^d.... c Ipotesi. ao^b, bo^c, angoli ;. ao^c. O a... Tesi ao^b. Dimostrazione ao^c per ipotesi ; ao^c co^b bo^d co^b ao^b. perché ; Considera due segmenti congruenti e adiacenti AB e BC.Indica con M il punto medio di AB.Dimostra che MC (BC AC ). Disegna un segmento BC e sul suo prolungamento dalla parte di C scegli il punto E tale che CE BC.Dimostra che BE BC. Disegna due segmenti adiacenti AB e BC.Indica con M il punto medio di AB,con N il punto medio di BC e con O il punto medio di AC.Dimostra che MN AO. Disegna due rette a e b che si intersecano nel punto O.Traccia per O le bisettrici degli angoli. Dimostra che tali bisettrici formano quattro angoli retti. Gli angoli e sono adiacenti; è congruente ad e consecutivo di. Dimostra che e sono opposti al vertice. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

43 I TRIANGOLI Recupero I CRITERI DI CONGRUENZA È dato il triangolo ABC di base AB.Prolunga AB,dalla parte di B,di un segmento BE AB e prolunga CB, sempre dalla parte di B,di un segmento BF CB. Dimostra che i triangoli ABF e CBE sono congruenti. C Ipotesi. ABC ;. BE ;. BF. Scrivi le ipotesi. A B E Tesi CBE. Scrivi la tesi. F Dimostrazione I triangoli ABF e hanno: Osserva gli elementi congruenti nei due triangoli ABF e CBE. AB per ; Utilizza l ipotesi. CB per ; Utilizza l ipotesi. AB^F perché. Individua gli angoli opposti al vertice. I triangoli sono per il criterio di congruenza. Applica uno dei criteri di congruenza. Dato un triangolo ABC,prolunga il lato AB,dalla parte di B,di un segmento BD BC e il lato CB di un segmento BE AB. Dimostra che i triangoli ABC e BDE sono congruenti. C Ipotesi. ABC ;. AB ;. CB. A B D Tesi ABC. E Dimostrazione I triangoli ABC e hanno: AB per ; BC per ; AB^C perché. I triangoli sono per il criterio di congruenza. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]

44 I TRIANGOLI Recupero Sui lati a e b dell angolo ao^b prendi rispettivamente due punti A e B tali che OA OB e successivamente altri due punti C e D (esterni ai segmenti OA e OB) tali che AC BD. Unisci D con A e C con B e dimostra che il triangolo CBO è congruente al triangolo ADO. Disegna due rette a e b che si intersecano nel punto E. Sulla retta a traccia un segmento AB in modo che E sia il suo punto medio e, analogamente, sulla retta b traccia un segmento CD AB in modo che E sia ancora il suo punto medio. Unisci A con C e B con D. Di che natura sono i due triangoli ACE e BDE? Sono congruenti? Motiva la risposta. Date due semirette r e s di origine O, disegna la bisettrice dell angolo di vertice O, da esse formato. Prendi rispettivamente su r e s due punti A e B tali che AO OB e uniscili con un punto C della bisettrice. Dimostra che i triangoli BOC e AOC sono congruenti. Disegna un triangolo ABC e le mediane AM e CN. Prolunga CB di un segmento BE BM e prolunga AB di un segmento BL AB. Indica con F il punto medio di BL. Dimostra che i triangoli NML e AFE sono congruenti. Due triangoli ABC e A BC sono situati da parti opposte del lato comune BC, e il lato BC è bisettrice degli angoli AB^A e AC^A.Dimostra che AB è congruente ad A B. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [ der]