Statistica descrittiva

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1 Statstca descrttva Grafc e tabelle permettoo d fare valutazo qualtatve, o quattatve. C è la ecesstà d stetzzare le caratterstche salet d ua varable: dc d locazoe o d poszoe dc d varabltà o dspersoe Questo E pù effcace ua deta almetare (A) o u trattameto farmacologco (B) per dmure d peso? Per valutare l ettà della perdta d peso (g) che s verfca dopo trattameto (A o B) soo stat cosderat 14 soggett cofrotabl. Trattameto A B Idc d poszoe Numer che soo rappresetatv de dat e forscoo dcazo sull orde d gradezza del feomeo studo Meda Artmetca L dce d locazoe pù utlzzato (ache quado o sarebbe approprato farlo) è la meda artmetca. Formalmete: dato u campoe d utà su cu è stata rlevata la varable X: 1,, 3,..., la meda artmetca è defta come: N.B. l espressoe s legge sommatora d co esteso da 1 a 1 1

2 La meda artmetca rappreseta l barcetro della dstrbuzoe. Parametro e stmatore S presta bee a stetzzare dstrbuzo smmetrche Meda del campoe (stmatore) 1 E meo utle quado la dstrbuzoe è asmmetrca. Meda della popolazoe (parametro) N 1 N Esempo (0): varable qualtatva ordale Esempo (1): varable cotua (dat sgol) Ttolo d studo f() Lc. Elemetare 18 Lc. Meda 1 Maturtà 36 Laurea 54 Totale 10 Peso perso (g) dopo deta (trattameto A): 3.8, 3.3,.9, 4.3, 13.8, 5.4, 4.9 deta? Qual è l ttolo d studo medo?

3 Esempo (1): varable cotua (dat sgol) Esempo (): varable dscreta Peso perso (g) dopo deta (trattameto A): deta? 3.8, 3.3,.9, 4.3, 13.8, 5.4, g N d automobl per famgla: X f() Tot. 50 Esempo (): varable dscreta N d automobl per famgla: X f() Tot Esempo (): varable dscreta Se è l # d valor dstt assut dalla varable X, allora: f ( ) f ( ) f ( ) 1 (... ) (... )... (... ) Se s utlzzassero le frequeze relatve: p( ) dato che p( ) f ( ) f ( ) 3

4 Esempo (3): varable cotua (dat aggregat class) Lughezza supa (cm) d 51 eoat Estrem d classe freq. ass. f() Totale 51 Esempo (3): varable cotua (dat aggregat class) Lughezza supa (cm) d 51 eoat Estrem d classe Val. cetrale( c ) freq. ass. f() Totale 51 Per l calcolo della meda è ecessaro cosderare come valore rappresetatvo d og classe l suo valore cetrale c. Cò equvale ad assumere che le utà sao equdstrbute all tero della classe. Esempo (3):. Estrem d classe Val. cetrale( c ) freq. ass. f() Totale 51 c cm f ( ) f ( ) = # class = 1,, Propretà della meda artmetca (1) La meda artmetca è sempre compresa tra l pù pccolo ed l pù grade de valor osservat: dove: (1) =m 1,,..., (1) < < () () =ma 1,,..., La meda calcolata su dat (50 cm) raggruppat class rappreseta ua approssmazoe d quella determata a partre da sgol dat (50.0 cm). m=.9 ma=13.8 4

5 Propretà della meda artmetca () Altezza (m) relatva a 85 ragazz che frequetao 3 class dverse 1 = globale = = m Propretà della meda artmetca () La meda d u seme d osservazo orgazzate grupp è par alla meda poderata delle mede parzal (,,..., 1 ) co pes ugual alla umerostà de sottogrupp ( 1,,, ): globale 1 1 Propretà della meda artmetca (3) La somma degl scart delle osservazo dalla meda è par a Propretà della meda artmetca (3) Vot esam sosteut: 3, 4, 7, 5, 7, 30??? 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) 5

6 Propretà della meda artmetca (3) La somma degl scart delle osservazo dalla meda è par a 1 ( ) 0 la meda d 5.49 g o è u valore tpco dell seme d osservazo, dato che u solo valore su sette rsulta superore alla meda. S cosdero valor d peso (g) pers da 7 soggett che soo stat sottopost a deta (trattameto A) : 3.8, 3.3,.9, 4.3, 13.8, 5.4, 4.9 la meda d 5.49 g o è u valore tpco dell seme d osservazo, dato che u solo valore su sette rsulta superore alla meda. Medaa La medaa è quella modaltà tale per cu l seme delle osservazo rsulta essere per metà ferore e per metà superore ad essa. Per calcolare la medaa d ua varable quattatva: Es: Peso perso (g) dopo deta 3.8, 3.3,.9, 4.3, 13.8, 5.4, 4.9 s ordao le osservazo:.9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4,

7 Medaa La medaa è quella modaltà tale per cu l seme delle osservazo rsulta essere per metà ferore e per metà superore ad essa. Per calcolare la medaa d ua varable quattatva: Es: Peso perso (g) dopo deta 3.8, 3.3,.9, 4.3, 13.8, 5.4, 4.9 s dvdua quella modaltà che è pù grade del 50% delle osservazo e pù pccola del restate 50%:.9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, osservazo 3 osservazo Per dspar, la medaa è quel valore che occupa la poszoe 1 ell seme ordato: Es: Peso perso (g) dopo deta:.9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, 13.8 (7+1)/= Per par, la medaa è l valore cetrale tra quello che occupa la poszoe e 1 ell seme ordato: Es: Voto esam 3, 4, 5, 7, 7, 30 6/=3 (6/)+1= Quado dat soo orgazzat serazo: Estrem d classe Lughezza supa (cm) d 51 eoat freq.ass. freq.rel. % F() F() rel ) c s può lmtare alla classe medaa: ( )..oppure. % 7

8 D ) s può calcolare la medaa per mezzo d ua terpolazoe leare (assumedo coè che la dstrbuzoe delle osservazo sa uforme etro la classe medaa). B F() F( ) 0.5 F( -1 ) Med ( ) 0.5 F( ) -1 F( ) F( ) A Med C 1 A : B Med C : D C A B D A 1 ) s può calcolare la medaa per mezzo d ua terpolazoe leare (assumedo coè che la dstrbuzoe delle osservazo sa uforme etro la classe medaa). Med ( ) 0.5 F( ) F( ) F( ) ( ) oppure. 3) s può approssmare la medaa utlzzado l grafco delle frequeze cumulate percetual (ogva d Galto) per mezzo d ua terpolazoe leare. Percetual Altezza (cm) medaa ~ 50 cm cotua La medaa d ua varable qualtatva ordale è quella modaltà tale per cu valgoo le due seguet codzo: F( -1 )< 0.5 e F( ) > 0.5 Ttolo d studo f() f() rel % F() rel % Lc. Elemetare Lc. Meda Maturtà Laurea Totale 0 8

9 Moda La medaa rsulta essere meo sesble della meda alla preseza d dat aomal..9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, 13.8 Medaa.9, 3.3, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, La moda è quella modaltà/valore pù frequete, l pù rappresetato. Var. qualtatva moda = Luga Tp d goa portate dalle doe talae M Corta Md Loguette Luga Tot Var. quattatva (dat sgol) moda = 7 Voto esam: 3, 4, 5, 7, 7, 30 Var. quattatva (dat orgazzat class) Quado l feomeo è quattatvo ed espresso tervall d uguale ampezza s parla d classe modale come d quella classe che ha assocata la frequeza pù elevata. Moda Nella stessa dstrbuzoe possoo esserv pù mode Dstrbuzoe bmodale frequeza relatva ISTOGRAMMA POLIGONO DI FREQUENZA cetro della classe Frequeze assolute cm 0.0 Geao Febbrao Marzo Aprle Maggo Gugo Luglo Agosto Settembre Ottobre Novembre Dcembre Mes dell'ao [ ] Dstrbuzoe del umero d ascte per mese 9

10 Moda Nella stessa dstrbuzoe possoo esserv pù mode Dstrbuzoe smmetrca Dstrbuzoe multmodale o seza moda? moda medaa Poszoe relatva d Moda, Medaa e Meda = = meda Frequeze relatve cm Dstrbuzoe co asmmetra egatva moda > medaa > meda Dstrbuzoe co asmmetra postva moda < medaa < meda Dstrbuzoe smmetrca Cocetrazoe d cloro el sudore Dstrbuzoe asmmetrca Età alla dagos d fbros cstca meda = 98.8 meq/l medaa = meq/l moda = meq/l meda = 4. a medaa = 9 mes moda = 3 mes < me/l a 10

11 Quatle (Percetle) Il quatle rappreseta ua estesoe del cocetto d medaa. Il quatle p (0p1) è quel valore della varable per cu valgao cotemporaeamete: 1. l p% delle osservazo assume valor mor ad esso,. l (1-p)% delle osservazo assume valor maggor o ugual ad esso. Esemp Es: p= =?5.9 Es. p= = 58? 10% 90% 50% 50% Quartl Quartl: suddvdoo dat quattro part ugual (5%) Es. p=0.5 Q 1 = 0.5 =55.9 p=0.50 Q = 0.50 =58.00 p=0.75 Q 3 = 0.75 = % Quatl partcolar: Medaa: suddvde dat due part ugual (50%) Es. Medaa: p=0.50 Percetua l Altezza (cm) 50% 50% Q 1 Q Q 3 11

12 Quatl partcolar: Quartl: suddvdoo dat quattro part ugual (5%) Es. Quartl: p=0.5, p=0.50, p=0.75 Percetua l Altezza (cm) 5% 5% 5% 5% Var. quat. Cotua/Dscreta Tabella rassutva Moda Medaa Meda Artmetca Var. qual. Ordale Var. qual. Nomale Questo E pù effcace ua deta almetare (A) o u trattameto farmacologco (B) per dmure d peso? Per valutare l ettà della perdta d peso (g) che s verfca dopo trattameto (A o B) soo stat cosderat 14 soggett cofrotabl. Trattameto A B gl dc d locazoe o dcoo tutto.se l espermeto sulla perdta d peso avesse forto seguet rsultat: Trattameto A B Cosa avremmo cocluso? 1

13 3 quartle Grafco Bo Plot Ma 1) I due trattamet A e B forscoo rsultat sovrappobl term d meda e medaa. ) I dat relatv al trattameto A soo pù dspers d quell otteut co l trattameto B. Tratt. A B Tratt. A B Meda M Medaa Ma Meda 1 quartle Medaa M Idc d poszoe Numer che soo rappresetatv de dat e forscoo dcazo sull orde d gradezza del feomeo studo. Idc d dspersoe Numer che forscoo formazo sulla varabltà (eterogeetà) del feomeo studo. Il campo d varazoe (rage) è la dffereza fra l massmo ed l mmo valore osservato. Rage= ma 1,,..., - m 1,,..., = () - (1) Tratt. A Tratt. B Campo d varazoe m=3. RageA=9.8 RageB=4. m=5.4 ma=9.6 ma=13.0 Vee calcolato a partre da due valor pù estrem e o tee coto d tutt gl altr dat. E fluezato dalla preseza d evetual valor aomal. 13

14 Scarto terquartle Lo scarto terquartle (SIQ) è la dffereza fra l terzo ed l prmo quartle. Tratt. A Tratt. B SIQ = III quartle - I quartle Iq=5.1 m=3. SIQ A =4.35 Iq=6.35SIQ B =.35IIIq=8.7 m=5.4 ma=9.6 IIIq=9.45 ma=13.0 Nell tervallo detfcato dallo SIQ cade l 50% delle osservazo poszoate ella zoa cetrale della dstrbuzoe. Dpede da due quattà che o soo sesbl alla preseza d evetual valor aomal. o samo acora soddsfatt 1) tega coto d tutte le osservazo del campoe;.ma, poché S potrebbe costrure u dcatore che: 1 1 ( ) 0 ) msur l grado d dspersoe de dat rspetto ad u partcolare valore. ( ) possbl msure, come ad esempo è ecessaro valutare altre Devaza La devaza è la somma de quadrat degl scart delle sgole osservazo ( ) rspetto alla meda campoara ( ): La devaza: D ( ) 1 può assumere valor strettamete postv; vale 0 asseza d varabltà; (es. 3.5, 3.5, ) è tato pù elevata quato pù dat soo dspers u tervallo ampo d valor; è fortemete fluezata dall evetuale preseza d dat per l fatto che s utlzzao quadrat delle dstaze. Trattameto A A ( A A) esempo Trattameto B B ( B B)

15 Trattameto A A ( ) A A esempo Trattameto B B ( ) B B D A = D B = La formula della devaza può essere rscrtta come: Devaza D ( ) D La devaza è l gredete d base d altre msure d dspersoe per varabl quattatve. D 1 1 Trattameto A A esempo Trattameto B B D 1 1 Trattameto A A A esempo Trattameto B B A D A = D B = Calcolare D co la formula alteratva Calcolare D co la formula alteratva 15

16 Se 7 soggett trattat co B vessero cloat 4 volte otteedo così 35 soggett: Varaza =7 =35 D B(=7) = La varaza è la meda de quadrat degl scart: D 1 s ( ) Ha le medesme propretà della devaza D A = D B(=35) = = 73.9 E espressa utà d msura al quadrato A partà d varabltà, la devaza aumeta solo perché è aumetato l umero d utà statstche Il deomatore è (-1) o Parametro e stmatore Devazoe stadard Varaza della popolazoe N 1 N Per ovvare al problema dell utà d msura al quadrato: 1 s s ( ) 1 1 Varaza del campoe s 1 1 Stmatore co buoe propretà statstche Nell esempo de pazet sottopost a trattamet per la perdta del peso: s sb A 16

17 Quado dat soo orgazzat serazo s adegua la formula per teere coto delle class: Lughezza supa (cm) d 51 eoat Estrem d classe 1 s ( c ) f ( ) 1 1 freq.ass. f( ) Val.ce. ( c ) = # d class = 1,, Quado dat soo orgazzat serazo s adegua la formula per teere coto delle class: Lughezza supa (cm) d 51 eoat Estrem d classe 1 s ( c ) f ( ) 1 1 freq.ass. f( ) Val.ce. ( c ) = # d class = 1,, c f 165 s cm 50 Fate attezoe al calcolo della varaza utlzzado le frequeze relatve!!!! Dstrbuzoe smmetrca Cocetrazoe d cloro el sudore meda = 98.8 meq/l 700 medaa = meq/l moda = meq/l < me/l -s -s +s +s Coeffcete d varazoe Il coeffcete d varazoe (CV) è l rapporto fra la devazoe stadard e la meda artmetca: s CV È u umero puro che può assumere valor postv o egatv a secoda del sego della meda. Vee utlzzato per: 1. teere coto dell orde d gradezza del feomeo,. cofrotare la varabltà d feome d atura dversa. 17

18 1) Medesmo feomeo (reddto) grupp co orde d gradezza dfferete (opera e mlardar) Reddto (mglaa d ) Opera Mlardar s O = s M = 8300 Ua dffereza d /- el reddto auo è rlevate per Orazo, ma o per Paperoe!!! 8.3 CVO CVM La varabltà del reddto de mlardar rsulta trascurable rspetto all orde d gradezza del feomeo. o M ) Feome dfferet (capre & cavol) PESO CAPRE (g) LUNG. FOGLIE CAVOLI (cm) s E pù varable l peso delle capre o la lughezza delle fogle de cavol? CV CV CAPRE CAVOLI La varabltà della lughezza delle fogle d cavolo rsulta pù elevata rspetto a quella del peso delle capre. Cambameto d orge S suppoga d cosderare la trasformazoe: la meda d * camba: * X X a (l cetro della dstrbuzoe s sposta d ua quattà par ad a) la d.s. d * o camba: * a (og valore coserva la medesma dstaza dalla meda) * s s a = - * 4 s* =.53 6 s =.53 Cambameto d scala S suppoga d cosderare la trasformazoe: la meda d * camba: (l cetro della dstrbuzoe s sposta proporzoalmete alla quattà b) la d.s. d * camba: X * bx (la dstrbuzoe s alluga/restrge proporzoalmete alla quattà b) decm 30-esm * * s b bs 10 b 30 * 8.67 s* = s =.53 a=- 18