Statistica economica Capitolo 3
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1 Statistica economica Capitolo 3 Prof. Alessandra Michelangeli a.a ) La media aritmetica 2) La trimmed mean 3) La mediana 4) La moda 5) I quantili
2 La media aritmetica di un insieme di n modalità, 2,, n di un carattere quantitativo X è data da: a = ( ) = 2 n i n ni= Se è nota la distribuzione di frequenza del carattere X, la formula diventa: a = K n j= j n j a = K n j = j f j Formula Formula 2 Formula 3 Consideriamo la distribuzione unitaria del numero di agenti inquinanti nell aria per città e applichiamo la formula per determinare il numero medio di agenti che inquinano l aria delle principali città italiane = a ( ) 7, = Utilizziamo ora la formula 2 che viene applicata alla distribuzione di frequenze assolute: = a (* *2 4*3 6*4 9*5 2*6 2*7 5*8 23*9 6*0 6* 4*2 3*3 5*) 7, = Abbiamo applicato la Formula 2 Abbiamo applicato la Formula
3 Il calcolo diventa ancora più rapido se applichiamo la formula 3 alla distribuzione di frequenze relative = a 0, 0097i + 0, 0097i2 + 0, 0388i3 + 0, 0583i4 + 0, 0874i ,65i6 + 0,65i7 + 0,456i8 + 0, 2233i9 + 0, 0583i0 + 0, 0583i + + 0, 0388i2 + 0, 029i3 + 0, 0097i5 = 7, 72 Abbiamo applicato la Formula 3 Consideriamo ora la distribuzione unitaria del numero di abitanti per città e calcoliamo il numero di abitanti che mediamente popolano le nostre 03 città oggetto dell indagine: = a ( ) 68508, = Abbiamo applicato la Formula Non è utile calcolare la media aritmetica utilizzando le formule 2 e 3 da applicare, rispettivamente, alla distribuzione di frequenze assolute e relative perché non si velocizzano i calcoli.
4 La distribuzione unitaria del numero di abitanti per città viene suddiviso in classi e si considera la distribuzione di frequenze assolute, relative o percentuali. E possibile approssimare il valore medio della distribuzione utilizzando il valore centrale della classe c j a n K j = c j n j Statistica economica a.a. 202/203 Classi (migliaia di abitanti) c j n j a a K c jn j = (25i9 + 75i i i6) = 244,74 03 n j = K j= [0; 50) 25 9 [50; 00) 75 4 [00; 500) [500; 3000) f jc j = (25i0, i0, i0, i0, 0583) = 244,74 a K f jcj = (25i8, i39, i35, i5,83) = 244, j=
5 La media aritmetica ponderatadi un insieme di nvalori osservati di un carattere quantitativo X con pesi non negativi, èdata da: p + p p p = = a i i 2 2 i i n n i = n p + p pi pn pi i= n p Reddito disponibile pro-capite per regione, anno 20 Regione Reddito pro-capite Piemonte Valle D'Aosta Lombardia Trentino Alto Adige Veneto 20.3 Friuli-Venezia Giulia Liguria Emilia Romagna Toscana 9.47 Umbria Marche Lazio Abruzzo 5.39 Molise 5.98 Campania Puglia Basilicata Calabria Sicilia Sardegna Fonte: Istat
6 n a = i = ( ) = n i = Media aritmetica non ponderata n i i i= a = = = 7975 n i= p p i Media aritmetica ponderata per la popolazione residente in ogni regione Reddito disponibile pro-capite per regione, anno 20 Regione Reddito pro-capite Popolazione residente Peso statistico Piemonte ,0735 Valle D'Aosta ,002 Lombardia ,636 Trentino Alto Adige ,07 Veneto ,084 Friuli-Venezia Giulia ,0204 Liguria ,0267 Emilia Romagna ,073 Toscana ,069 Umbria ,050 Marche ,0258 Lazio ,0945 Abruzzo ,022 Molise ,0053 Campania ,0962 Puglia ,0675 Basilicata ,0097 Calabria ,0332 Sicilia ,0833 Sardegna ,0276 Fonte: Istat k j j j= a = = = 7975 k j= p p j Media aritmetica ponderata per la popolazione residente in ogni regione Popolazione della singola regione rapportata alla popolazione totale
7 La Media aritmetica sintetizza la distribuzione di un carattere con un solo valore. La Media aritmetica dipende da tutti i valori osservati e quindi risente dei valori estremi (valori anomali); ) La somma dei valori osservati è uguale al valore medio moltiplicato per il numero di unità; n n = n = a i a i n i = i = Quindi, per esempio, se è noto che nelle principali italiane (le nostre famose 03 che stiamo studiando dall inizio del corso) vivono mediamente 68508,26 abitanti, quanti residenti in Italia vivono in queste 03 città? 68508,26 03 =
8 2) La somma delle differenze tra i valori e la loro media aritmetica è pari a zero. Questa proprietà è utile per verificare l esattezza del calcolo della media aritmetica. Basta infatti verificare che la somma degli scarti dal valore calcolato sia nullo (Fraire, Rizzi 2008 p. 02). Esempio dei redditi pro-capite per regione, anno 20: ( ) + ( ) ( ) + ( ) = 0 3) La somma degli scarti al quadrato dei valori da una costante c è minima quando c è uguale alla media aritmetica. n min ( c) c= a i= i 2 Considerando sempre l esempio dei redditi pro-capite per regione risulta che la seguente somma (2043 c) + (22495 c) (2970 c) + (4938 c) = 0 dà come risultato un valore minimo se c = a = 7807
9 4) Se un collettivo viene suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti, allora la media aritmetica generale si può ottenere come media ponderata delle medie dei sottoinsiemi con pesi uguali alle loro numerosità. Il Nord comprende: Liguria, Lombardia, Piemonte, Valle d Aosta, Emilia-Romagna, Friuli-Venezia Giulia, Trentino-Alto Adige. Centro: Lazio, Marche, Toscana, Umbria. Sud: Abruzzo, Basilicata, Calabria, Campania, Molise, Puglia, Sicilia, Sardegna a = =
10 Reddito disponibile pro-capite per macroregione, anno 20 Macroregione Reddito pro-capite N. abitanti Nord Centro Sud Totale Il Nord comprende: Liguria, Lombardia, Piemonte, Valle d Aosta, Emilia-Romagna, Friuli-Venezia Giulia, Trentino-Alto Adige. Centro: Lazio, Marche, Toscana, Umbria. Sud: Abruzzo, Basilicata, Calabria, Campania, Molise, Puglia, Sicilia, Sardegna a = = ) La media aritmetica di un carattere Y, ottenuto attraverso una trasformazione lineare del carattere X, Y=αX+β, è Y a X a Supponiamo che nel 202 i trasferimenti erariali per regione siano stati mediamente di 2500 milioni di euro. Nel prossimo biennio è previsto una decurtazione pari al 25% del trasferimento medio. A quanto ammonteranno i trasferimenti medi erariali nel 204? 2500*25% = 625 quindi = 875 Carattere statistico X = Trasferimenti 202 le cui modalità non sono note. Si conosce invece la media a = 2500, i =,..., n i Carattere statistico Y= Trasferimenti 204, Y = X 25% X a Y a = X 25% X a = 875 a
11 Supponiamo ora che i trasferimenti nel prossimo biennio possano addirittura raddoppiare rispetto ai 2500 milioni di partenza. A quanto ammonteranno i trasferimenti medi erariali nel 204? Carattere statistico X = Trasferimenti 202 le cui modalità non sono note. Si conosce invece la media a = 2500, i =,..., n i Carattere statistico Y= Trasferimenti 204, Y = 2 X Y a = 2 X = 5000 a Supponiamo infineche i trasferimenti nel prossimo biennio siano diminuiti in ogni regione in misura pari a 000 milioni di euro rispetto ai 2500 milioni di partenza. A quanto ammonteranno i trasferimenti medi erariali nel 204? Carattere statistico X = Trasferimenti 202 le cui modalità non sono note. Si conosce invece la media a = 2500, i =,..., n i Carattere statistico Y= Trasferimenti 204, Y = X 000 Y a = X 000 = 500 a
12 La trimmed meanèla media aritmetica calcolata su una determinata percentuale di valori centrali di un insieme di dati. Elimina l influenza dei valori anomali Esempio Con valori del carattere (3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 50) la trimmed mean è ottenuta escludendo l ultima modalità più grande. # di abitanti nei capoluoghi di provincia italiani con meno di 500mila abitanti, anno 2009 a j c j n j f j p j d j f j d j p j Classi (migliaia di abitanti) [0; 50) ,959 9,59 0,0039 0,392 [50; 00) , ,27 0,0085 0,845 [00; 500) ,384 38,4 0,000 0, K T a c j f j j = = = 2 5 0, , , = 5, 0
13 La mediana La mediana può essere calcolata su caratteri quantitativi e qualitativi ordinabili. E la modalitàpresentata dall unitàcentrale del collettivo. La mediana divide il collettivo in due sottoinsiemi di uguale numerosità: uno con modalitàdi ordine piùbasso e l altro con modalità di ordine più alto. E più robusta della media aritmetica perchéèmeno sensibile ai valori estremi. Come procedere per calcolare la mediana (I). Ordinare le unitàin senso crescente 2. Individuare la posizione in graduatoria dell unità centrale: se nèdispari, la posizione è(n+)/2 se nèparisi hanno due unitàcentrali con posizione n/2 e n/2 +; 3. Se n è dispari, la mediana è la modalità presentata dall unità centrale 4. Se n è pari si hanno due mediane date dalle modalità delle due unità centrali. Se il carattere è quantitativo, possiamo considerare come mediana la semisomma dei valori delle due unità centrali)
14 Come procedere per calcolare la mediana Esempi Consideriamo la distribuzione dei 03 capoluoghi di provincia che ha il vantaggio di essere già ordinata (in senso decrescente). n= 03 dispari (n + )/2= 52 Unità statistica centrale: Pistoia Mediana: 8948 Come procedere per calcolare la mediana Esempi Dalla distribuzione di partenza eliminiamo Roma. n= 02 pari n/2 = 5 e (n/2) + = 52 Due unità statistiche centrali: Pistoia e Pisa Mediana: ( )/2 = Questo calcolo si può fare solo per carattere quantitativi. Vedi più avanti l esempio sui deputati alla Camera classificati secondo il titolo di studio.
15 Sulla robustezza della mediana Eliminando una unità statistica dalla popolazione di partenza (Roma), la mediana passa 8948 abitanti a abitanti, mentre la media aritmetica passa da a abitanti. La mediana è quindi più robusta della media perché risente di meno dei valori estremi. Ancora un esempio sul calcolo della mediana Consideriamo la distribuzione dei deputati per titolo di studio. Si tratta di un carattere statistico qualitativo definito su scala ordinale. Totale deputati = n = 630 pari n/2 = 35 e (n/2) + = 36 La mediana èla laurea
16 Come procedere per calcolare la mediana (II) Se il carattere èsuddiviso in classi, si può ottenere un valore ben approssimato tramite la formula M 0, 5 F m e Im + m Fm Fm in cui si assume implicitamente l ipotesi che nella classe mediana le unità siano distribuite uniformemente
17 Il valore mediano èdato da 3,40 d j 2,85 50 = 33,99 + ( 0) 2,85 me 50 33,99 = 2,85 2,85 0 me me 44,6 = 2,85 = 5,65 me 0,58 0,009 0, ,6 5 Reddito (migliaia di euro
18 Il valore mediano èdato da 2,9 d j 2,56 50 = 25, 57 + ( 0) 2, 9 me 50 25, , = 2,9 me me 53,53 = 2,9 = 8,39 me 0,78 0,3 0, Statistica economica a.a ,3 9 Reddito (migliaia di euro Distribuzione delle frequenze cumulate (I)
19 Distribuzione delle frequenze cumulate Contribuenti in Italia, anno 2009 P j 98, ,33 79, , ,6 5 Reddito (migliaia di euro Distribuzione delle frequenze cumulate (II)
20 Funzione di ripartizione Contribuenti in Italia proprietari di immobili, anno 2009 P j 00 97,4 94,57 72, , ,3 9 Reddito (migliaia di euro Confronto tra le due curve di ripartizione P j 98, ,4 96,33 94,57 79,54 72, ,99 25,57 I contribuenti proprietari di immobili sono in proporzione di meno nelle fasce di reddito meno elevate (linea spezzata rossa sta al di sotto della linea spezzata viola) e di piùnelle fasce di reddito elevate (linea spezzata rossa sta al di sopra della linea spezzata Viola) rispetto alla totalità dei contribuenti. Queste due curve confermano gli istogrammi e le poligonali relativi ai 2 collettivi considerati ,3 9 Reddito (migliaia di euro
21 Licenzia media Diploma Laurea breve Laurea
22 La moda La modaèla modalitàpiùfrequente nel collettivo osservato. La moda fornisce informazioni solo su una modalitàdel carattere. La moda dipende solo dalle frequenze. La moda acquista rilevanza solo se vi èuna netta prevalenza di una modalità; La moda si calcola su tutti i tipi di caratteri. La moda per le variabili quantitative suddivise in classi Per le variabili quantitative suddivise in classi si può definire la classe modalealla quale èassociata la densitàdi frequenza piùalta. N.B.Se le classi hanno la stessa ampiezza, c èuna corrispondenza perfetta tra le frequenze e le densità. Se le classi hanno invece ampiezze diverse, a frequenze più elevate non corrispondono necessariamente densità più elevate.
23 Considerazioni conclusive sulla moda La moda può non esistere oppure possono esserci due o piùmode. E il caso delle distribuzioni bimodali o multimodali. Esercizio di riepilogo Domanda della prova d esame del L inchiesta Alma Laurea sui laureati del 202 riporta i seguenti risultati relativi al grado di soddisfazione per l esperienza universitaria complessiva: a) Individuate e definite il tipo di carattere che state studiando.elencate le sue modalità. b) Definite e determinate la moda. c) Definite e determinate la mediana. j p j (%) Decisamente non soddisfatto 2 Più insoddisfatto che soddisfatto Più soddisfatto che insoddisfatto 53 Decisamente soddisfatto 34 d) Rappresentate graficamente la funzione di ripartizione empirica ed evidenziate sul grafico la mediana.
24 Quantili I quantilisono le modalitàche dividono in parti uguali le unità statistiche ordinate. I quantili piùnoti sono: I percentili: modalità che dividono in cento parti uguali le unità statistiche ordinate. I percentili di uso piùfrequente sono il 25-esimo e il 75-esimo percentile, chiamati rispettivamente primo quartile(q ) e terzo quartile(q 3 ) che insieme alla mediana dividono la distribuzione in quattro parti uguali (la mediana corrisponde al secondo quartile, (Q 2 ). I decili: modalitàche dividono in 0 parti uguali le unitàstatistiche ordinate. Come procedere per calcolare il primo e il terzo quartile (I). Ordinare le unitàstatistiche in senso crescente 2. Individuare la posizione in graduatoria dell unità statistica di interesse: se nèdispari, la posizione è(n+)/4 e 3(n+)/4 se n è pari, la posizione è quella che meglio approssima (per eccesso o per difetto) (n+)/4 e 3(n+)/4;
25 n = 03 dispari (03+)/4 = 26 quartile = 5490 ab. (pop. di Chieti) n = 03 3*(03+)/4 = 78 3 quartile = ab. (pop. di Foggia) Scatola a baffi Bo-plot 5490 (Q; 25%) a = (Q3; 75%) 8948 (me; 50%) 5490 (Q; 25%) 2773
26 n = 630 pari (630+)/4 = 57,75 quartile = diploma di istruzione secondaria superiore 3*(630+)/4 = 473,25 3 quartile = laurea Come procedere per calcolare il primo e il terzo quartile (II) Se il carattere è suddiviso in classi, si può ottenere un valore approssimato dei quartili tramite l analisi dell istogramma.
27 Il primo quartile èdato da d j 3,40 2,85 0,58 0,009 0, = 3,4 Q Q Q 25 = 3,4 = 7,35 Il primo 25% dei contribuenti dichiara al massimo 7350 euro. Il terzo quartile èdato da 75 = 33,99 + ( 0) 2,85 Q3 Q3 Q ,99 = 2,85 28,5 Q , ,5 = 2,85 = 24,39 Il primo 75% dei contribuenti dichiara al massimo euro. Q ,6 Q3 5 Reddito (migliaia di euro
28 Distribuzione delle frequenze cumulate Contribuenti in Italia, anno 2009 P j 98, ,33 79, , , ,6 24,3 5 9 Reddito (migliaia di euro Licenzia media Diploma Q Laurea breve Laurea me; Q3 Titolo di studio
29 Esempio di calcolo dei quartili Per mattine consecutive alle ore 7 viene rilevata la temperatura, misurata in gradi centigradi. La distribuzione è la seguente: 3.2, 4.7, 5.3, 9.2, 0.6,.7, 4.4, 7.5, 9., 7.3,.9 Calcolare i quartili della distribuzione. Ripetere l esercizio considerando la seguente distribuzione relativa ai 0 giorni successivi ai precedenti. 2, 2.9, 3.3, 4.9, 5.2, 6.4, 7.6, 8., 9,.5 Esempio 2 di calcolo dei quartili E data la distribuzione della popolazione residente in Italia, di età superiore ai 6 anni, suddivisa per grado di istruzione. L anno di riferimento èil 99. G rad o d i f j F j istru zio n e A nalfabeti 0,020 0,020 A lfabeti privi del titolo di studio 0,220 0,430 Licenza elem entare 0,3260 0,4690 Licenza m edia inferiore 0,3070 0,7760 D iplom a 0,860 0,9620 Laurea 0,0380 Calcolare i quartili della distribuzione.
30 Esempio 3 di calcolo dei quartili E data la distribuzione di una popolazione statistica suddivisa in base al numero di figli: Numero di f j F j figli 0 0,2880 0,2880 0,3470 0, ,2580 0, ,0750 0, ,0320 Calcolare i quartili della distribuzione. Esempio 4 di calcolo dei quartili E data la distribuzione di una popolazione statistica suddivisa in base all altezza misurata in centimetri: Classi a j f j d j f j [59; 64) 5 0,0930 0,086 [64; 69) 5 0,940 0,0388 [69; 74) 5 0,2900 0,0580 [74; 79) 5 0,2480 0,0496 [79; 84) 5 0,260 0,0252 [84; 89) 5 0,0490 0,0098 Calcolare i quartili della distribuzione.
31 Riassumendo Media: caratteri quantitativi Mediana: caratteri quantitativi; qualitativi definiti su scala ordinale. Moda: caratteri quantitativi; caratteri qualitativi. Riferimenti bibliografici e Homework Capitolo 3 del Borra, Di Ciaccio, in particolare: 3. Introduzione; 3.2 La media aritmetica; 3.4 La trimmed mean; 3.5 La mediana; 3.6 La moda; 3.7 I percentili. Svolgere esercizi 3., 3.2, 3.4, 3.6 a pagina 7 e 72 del Borra Di Ciaccio.
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