Nei capitolo precedenti sono state studiate le isometrie e le similitudini del piano; si è visto

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1 CAPITOLO 7 LE AFFINITA 7. Richiami di teoria Nei capitolo precedenti sono state studiate le isometrie e le similitudini del piano; si è visto che questi due tipi di trasformazioni hanno alcune proprietà comuni: sono biunivoche, trasformano rette in rette, le equazioni che le rappresentano sono di primo grado nelle variabili e. Tali tipi di trasformazioni fanno parte di una classe più ampia di trasformazioni: le affinità del piano. Definizione. Si chiama affinità una corrispondenza biunivoca dal piano in sé tale che la corrispondente di una qualunque retta è una retta. Dunque unaffinità conserva lallineamento, cioè a punti allineati corrispondono punti allineati. Per determinare le equazioni di una generica affinità, è sufficiente osservare che essa trasforma rette in rette; dunque per mezzo delle sue equazioni unequazione di primo grado nelle variabili e (che è lequazione di una generica retta del piano) si deve trasformare in unaltra equazione di primo grado nelle variabili e (che è lequazione della retta corrispondente). Ne consegue che le equazioni di unaffinità devono essere equazioni di primo grado nelle variabili e ; perciò le equazioni di unaffinità sono della forma seguente: 7. a b c d e f,

2 dove (, ) sono le coordinate di un punto P del piano e (, ) sono le coordinate del punto corrispondente P per mezzo dellaffinità. Si può notare che le equazioni delle trasformazioni che abbiamo incontrato in precedenza (isometrie, omotetie, similitudini) sono casi particolari delle equazioni 7.. Dalla definizione di affinità si ha che essa è una corrispondenza biunivoca, perciò, dato un qualunque punto P = (, ) del piano deve esistere un punto P = (, ) tale che P sia il corrispondente di P. Questo significa che il sistema 7. nelle incognite e deve essere risolubile ogni volta che fissiamo e ; è noto dal teorema di Cramer che questo accade se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite (matrice incompleta) è diverso da 0; perciò deve essere: 7. ae bd 0. a d b e Ricavando dalle equazioni 7. le variabili e in funzione di e, si ottengono le equazioni della corrispondenza inversa dellaffinità di equazioni 7.: 7. e b fb ce ae bd d a dc af ae bd. Notiamo che linversa di unaffinità è unaffinità. Infatti le equazioni 7. sono della stessa forma delle equazioni 7.; inoltre, con semplici calcoli si vede che anche il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite e del sistema 7. è diverso da 0; più ae bd precisamente esso è. Vediamo ora alcune proprietà delle affinità. Si ha che unaffinità:

3 ) trasforma semirette in semirette; ) trasforma segmenti in segmenti; ) trasforma angoli in angoli; più precisamente trasforma angoli convessi in angoli convessi, angoli piatti in angoli piatti e angoli concavi in angoli concavi; 4) trasforma rette parallele in rette parallele; ) trasforma poligoni di n lati in poligoni di n lati; 6) trasforma iperboli in iperboli, ellissi in ellissi, parabole in parabole. Dalla proprietà 4) segue che una generica affinità trasforma parallelogrammi in parallelogrammi; tuttavia, poiché unaffinità non conserva lampiezza degli angoli, può accadere che essa trasformi, ad esempio, un rettangolo in un parallelogrammo che non è un rettangolo. Si osservi che una generica affinità può trasformare una circonferenza in unellisse (ricordiamo che la circonferenza può essere considerata unellisse con i fuochi coincidenti). Si dimostra che unaffinità è univocamente determinata se sono assegnati tre punti non allineati A, B, C ed i loro corrispondenti, non allineati, A, B, C. Si dimostra infine che, indicate con F una figura del piano e con F la figura corrispondente nellaffinità di equazione 7., vale la seguente relazione fra le loro aree: 7.4 area F ae bd area F.

4 7. Esercizi svolti. Dire quali delle seguenti coppie di equazioni rappresentano unaffinità: a), b), c), d), e). Le equazioni b) ed e) rappresentano unaffinità. Le equazioni a), c) e d) non rappresentano unaffinità non essendo soddisfatta in questi casi la condizione 7.. Si noti che la corrispondenza d) trasforma tutti i punti del piano nei punti della retta di equazione =.. Trovare i corrispondenti dei vertici del quadrato OABC, con O = (0, 0), A = (, 0), B = (, ), C = (0, ) per mezzo dellaffinità di equazioni:. Verificare che il trasformato del quadrato OABC non è un quadrato. Si ha: O A B C 0,0 O 0,0 O,,0 A 4,0,, B 4,, 0, C 0,. Il quadrilatero OABC non è un quadrato, poiché si ha: O A 4 e O C.

5 . Data laffinità di equazioni:, determinare le equazioni delle trasformate delle rette r, s, t rispettivamente di equazioni: r) = -, s), t) =. Verificare che laffinità conserva il parallelismo ma non la perpendicolarità. Per determinare le equazioni delle rette corrispondenti, occorre ricavare dalle equazioni dellaffinità la e la in funzione di e ; si ottiene:. Sostituendo questi valori di e nelle equazioni delle rette r, s, t, si ottengono le equazioni delle rette corrispondenti: r ) s ) t ), da cuisi ha : 7 7;, da cuisi ha : ;, da cuisi ha : 7. Dallanalisi dei coefficienti angolari delle rette si deduce che le rette r e t sono parallele tra loro, così come lo sono le loro trasformate r e t. Invece le rette r e s sono perpendicolari tra loro, mentre le loro corrispondenti r e s non lo sono.

6 4. Trovare la corrispondente della retta r di equazione = - per mezzo dellaffinità di equazioni. Usiamo un metodo differente da quello usato nellesercizio precedente. Dallequazione della retta r si ottiene che ad essa appartengono i seguenti punti: A = (, ) e B = (0, -). I corrispondenti di questi punti per mezzo dellaffinità sono rispettivamente: A = (0, ) e B = (, -). Poiché unaffinità trasforma rette in rette, la corrispondente della retta r è la retta r passante per i punti A e B. Dunque si ha che lequazione della retta r è:, 4 ovvero = Dire per quali valori dei parametri h e k le seguenti equazioni: k h h. rappresentano: a) unaffinità, b) una similitudine diretta o indiretta. a) Affinché le equazioni date rappresentino unaffinità, deve essere soddisfatta la condizione 7.; perciò si ha: -hk + h 0, da cui si ha: h 0 e k. b) Affinché le equazioni date rappresentino una similitudine indiretta deve essere (vedere il capitolo 6):

7 k h h, da cui si ha: h k. Affinché le equazioni date rappresentino una similitudine diretta deve essere (vedere il capitolo 6): k h h, da cui si ha: h k. 6. Determinare, se esiste, unaffinità che trasforma i punti A = (, ), B = (, ), C = (, -) rispettivamente nei punti A = (0, ), B = (-, ), C = (, ). Verificare la formula 7.4 in questo caso particolare. Sappiamo che una generica affinità ha equazioni a b c d e f. Sostituendo in queste equazioni le coordinate dei punti dati dal problema, si ottiene: A B C, A a b c, d e f 0,,, B a b c,d e f,,, C a b c,d e f,. Uguagliando le corrispondenti coordinate dei punti, si ha il seguente sistema lineare avente per incognite i coefficienti delle equazioni dellaffinità:

8 , 0 f e d c b a f e d c b a f e d c b a da cui si ha: 0. 0 f e d c b a Perciò laffinità cercata esiste ed ha equazioni:. Per determinare larea dei triangoli ABC e ABC usiamo la formula di Erone. Si ha dalla formula della distanza di due punti: AB AC BC 8,, ; A B A C B C,,. Si ha perciò che le aree dei triangoli sono: ABC area

9 area A B C. Essendo ae bd, si ha che la formula 7.4 è in questo caso verificata. 7. Data laffinità di equazioni e dati i punti A = (, ) e B = (, ), dimostrare che al punto medio M del segmento AB corrisponde il punto medio M del segmento corrispondente AB. Dalle equazioni dellaffinità si ottiene: A B, A 0,,, B,4. Il punto medio del segmento AB è: M,, mentre il punto medio del segmento AB è: M, ; sostituendo nelle equazioni dellaffinità si ottiene che M è proprio il corrispondente di M. 8. Determinare la curva corrispondente della circonferenza di equazione per mezzo dellaffinità di equazioni m n, r da 0. Verificare in questo caso la validità della formula 7.4. con n e m entrambi diversi Ricavando dalle equazioni dellaffinità la e la in funzione di e, si ottengono le seguenti equazioni:

10 m. n Sostituendo tali valori di e nellequazione della circonferenza, si ottiene lequazione della curva trasformata : r, m n da cui si ha: m r n r. Si tratta di unellisse i cui semiassi misurano m r e n r. Sappiamo che larea della figura piana delimitata da unellisse è data dal prodotto di per la misura dei suoi semiassi; perciò larea della figura piana delimitata dallellisse è: m r n r = mn r. Poiché larea del cerchio è r, segue che in questo caso la formula 7.4 è verificata. 9. Determinare la curva corrispondente della circonferenza di equazione per mezzo dellaffinità di equazioni. 0 Ricavando dalle equazioni dellaffinità la e la in funzione di e, si ottengono le seguenti equazioni:. Sostituendo tali valori di e nellequazione della circonferenza, si ottiene lequazione della curva trasformata :

11 , 0 da cui si ha: Si noti che tale equazione non rappresenta una circonferenza poiché in essa compare il termine 8. Daltra parte sappiamo che unaffinità trasforma ellissi (ed in particolare circonferenze) in ellissi. Dunque la curva è unellisse. 7. Esercizi proposti. Determinare linversa dellaffinità di equazioni e verificare per via analitica che la loro composizione dà lidentità.. Dire quali delle seguenti coppie di equazioni rappresentano delle affinità: a), b), c), 4 6 e). R. a), b) sono affinità.. Determinare per quali valori del parametro h le equazioni h h h h rappresentano: a) unaffinità, b) una similitudine, c) unisometria. R. a) per h 0 e ; h b) per h = -; c) per nessun valore di h. 4. Nellaffinità di equazioni determinare le corrispondenti delle rette r e s rispettivamente di equazione - + = 0 e - + = 0. Verificare in questo caso che laffinità conserva il parallelismo.

12 R = 0, - + = 0.. Esiste unaffinità che trasforma un rettangolo in un quadrato? Esiste unaffinità che trasforma un trapezio in un rettangolo? Esiste unaffinità che trasforma un quadrilatero in un triangolo? R. Sì; no; no. 6. Data laffinità di equazioni ed i punti A = (, ), B = (, ), determinare il corrispondente M del punto medio M del segmento AB. 7. Determinare il corrispondente del triangolo di vertici A = (0, ), B = (, ), C = (, ) nellaffinità di equazioni triangolo ABC e del suo trasformato. R. A = (, 4), B = (4, 6), C = (7, 4); 6. e determinare il rapporto delle aree del 8. Determinare, se esiste, unaffinità che porta i punti A = (, ), B = (0, -), C = (, ) nei punti A = (0, ), B = (-, ), C = (, ). R Determinare la retta corrispondente dellasse nellaffinità di equazioni: 4. R. - - = Trovare la curva corrispondente della circonferenza di equazione 0 nellaffinità di equazioni R. Ellisse di equazione

13 . Determinare unaffinità che trasforma lellisse di equazione 4 9 in una circonferenza.