Studio matematico dei sistemi di controllo
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- Albano Donato
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1 Studio matematico dei sistemi di cotrollo Studio di u sistema fisico x(t segale di igresso (eccitazioe SISTEMA FISIO y(t segale di uscita (risosta y(t è legata a x(t da u equazioe differeziale che diede dal sistema Facedo le segueti iotesi: - Sistema lieare (vale quidi il riciio di sovraosizioe degli effetti - Sistema a arametri cocetrati - Sistema a arametri costati (idiedeti dal temo L equazioe differeziale che lega y(t a x(t sarà u equazioe differeziale lieare, alle derivate ordiarie e a coefficieti costati del tio: d y dy a + a y dt dt a L itegrale geerale di tale equazioe è dato da: y(t yt (t + y P (t f (t dove: - y T (t itegrale geerale dell equazioe omogeea associata sotto riortata e diede soltato dai arametri del sistema e o dall eccitazioe. d y dy a a + a y (equazioe omogeea associata dt dt - y P (t è la risosta ermaete del sistema e tiee coto dell eccitazioe x(t.
2 Valutazioe dell itegrale dell equazioe omogeea associata y T (t L itegrale geerale dell equazioe omogeea associata è dato da: y T (t k dove: - s k radici reali o comlesse coiugate, semlici o multile dell equazioe algebrica: s a s + a (equazioe caratteristica a k e s t - k coefficieti reali o comlessi coiugati. Esemio: equazioe caratteristica co 4 radici, due reali semlici e s e due comlesse coiugate s 3 e s 4 σ ± jω, l'itegrale geerale dell'omogeea associata è esrimibile come: s t s t σt ( ωt + ϕ yt (t e + e + e cos dove (modulo e ϕ (argometo si determiao come mostrato i figura k / σ+jω ϕ -ϕ / σ-jω
3 Stabilità di u sistema La stabilità di u sistema uò essere verificata attraverso il sego delle radici di y T (t: se le radici della y T (t soo tutte reali egative o comlesse coiugate, co arte reale egativa, la risosta libera tede a zero, ovvero: limy T (t t il sistema è stabile se ache solo ua radice della y T (t è reale ositiva o comlessa co arte reale ositiva, la risosta libera tede ad ifiito, ovvero: limy T (t t il sistema è istabile Determiazioe dell'itegrale articolare L'itegrale articolare y P (t rareseta la risosta ermaete del sistema. Data l'equazioe d y dy a a + a y dt dt f (t se f(t è ua fuzioe qualuque del temo, o esistoo metodi geerali er la determiazioe di y P (t. L'itegrale articolare si riesce a determiare i modo aalitico solo i alcui casi articolari: a f (t x cost y (t P x a γt γt b f (t x e yp (t y e dove x (a γ + a γ + a c f(t x seωt y P (t y se(ωt+φ x P( γ y 3
4 Trasformate La risoluzioe di u equazioe differeziale uò essere effettuata el domiio dei temi risolvedo co il metodo classico l'equazioe differeziale che lega y(t a x(t. FUNZIONE OGGETTO ALOLO LASSIO SOLUZIONE OGGETTO Equazioe differeziale Y(a D + +a D+a f(t Determiazioe di y T (t e y P (t y T (t itegrale geerale La soluzioe el domiio dei temi uò essere estremamete comlessa e o semre accessibile co metodi aalitici. Per queste ragioi è referibile trasformare i modo oortuo la fuzioe oggetto i ua fuzioe immagie (che o risulta defiita el domiio dei temi, determiare la soluzioe immagie e quidi, mediate u rocesso di atitrasformazioe, risalire alla soluzioe oggetto. FUNZIONE OGGETTO ALOLO LASSIO SOLUZIONE OGGETTO TRASFORM AZIONE ANTI TRASFORMA ZIONE FUNZIONE IMMAGINE ALOLO IMMAGINE SOLUZIONE IMMAGINE Trasformata di Fourier 4
5 Per assare dalla fuzioe oggetto alla fuzioe immagie e successivamete dalla soluzioe immagie a quella oggetto è ossibile effettuare risettivamete la trasformazioe e l'atitrasformazioe secodo Fourier: jωt [ f (t] F( jω f (t e dt I trasformata di Fourier f (t I π [ F( jω ] F( jω e dω jωt atitrasformata di Fourier ome si osserva facilmete, affiché F(jω esista, è ecessario che l'itegrale di f(t coverga, cioè abbia valore fiito. Questo è u limite molte forte oiché molte fuzioi fodametali o risultao covergeti e quidi o trasformabili secodo Fourier. 5
6 Trasformata di Lalace Per ovviare alle restrizioi isite el metodo di trasformazioe di Fourier si uò utilizzare u diverso metodo di trasformazioe. Si defiisce trasformata bilaterale secodo Lalace: co s σ+jω. L II st [ f (t] F f (t e Si uò osservare come risulti la seguete uguagliaza: L II st σt jωt σt [ f (t] F f (t e dt [ f (t e ] e dt I[ f (t e ] σt Affiché esista F è ecessario che la fuzioe f (t e risulti assolutamete itegrabile. Tale codizioe è molto iù facilmete verificata risetto alla corrisodete del metodo di Fourier, i quato e σt assume il ruolo di fattore di covergeza. Nel caso i cui sia f(t er t<, si defiisce I st [ f (t] F f (t e L dt trasformata uilaterale secodo Lalace c + j st f (t F e πj c j ds atitrasformata secodo Lalace (formula di Riema essedo σ c la arte reale di u uto comreso el domiio di covergeza (σ P <c. ω dt σ P c σ 6
7 Trasformate di alcue fuzioi tiiche Per tutte le fuzioi resetate si cosidera f(t er t< a Fuzioe esoeziale: f(t e at F( s s a b Fuzioe t : f(t t F( s! + s c Fuzioe siusoidale: f(t se ωt ω F ( s s + ω d Fuzioe cosiusoidale: f(t cos ωt F ( s s s + ω 7
8 Teoremi sulle trasformate Trasformata della derivata f (t F L [ ] L[ f (t] s F f ( Trasformata dell'itegrale L [ f (t] F L f (t dt F s Teorema del valore fiale L f (t F f t s F( s [ ] lim ( lim t s Teorema del valore iiziale L f (t F f t s F( s [ ] Teorema della traslazioe el temo f (t F lim t + ( lim s t s L [ ] L[ f (t t ] Fe Teorema della traslazioe i s f (t F [ ] L L[ e f (t] at F + a 8
9 Altri metodi di atitrasformazioe Risalire alla soluzioe oggetto, mediate l'atitrasformazioe della soluzioe immagie, utilizzado la formula di Riema uò essere estremamete comlesso, sorattutto dal uto di vista del calcolo. La formula di Riema uò tuttavia essere aggirata ei casi sotto riortati: a quado o serve cooscere la risosta trasitoria del sistema, ma solo quella ermaete, o occorre atitrasformare, ma basta semlicemete alicare il teorema del valore fiale y P lim t s y( t lim s F( s b se si coosce la risosta del sistema ad u imulso (y(tg(t, si uò esare di cosiderare ua qualuque fuzioe di eccitazioe x(t come ua successioe di imulsi di amiezza x(τ e durata dτ alicati all'istate τ (vedi figura. La risosta y(t del sistema, sarà la somma delle risoste e- lemetari, i virtù della liearità del sistema: y(t τ x( τ dτ g(t τ x(t x(τ dτ τ t c Aalogamete, se si coosce la risosta del sistema ad uo scalio uitario (y(t h(t, è ossibile calcolare la risosta del sistema ad ua geerica eccitazioe x(t come: y(t x( h(t + x ( τ h(t τ dτ t 9
10 d se la fuzioe F da atitrasformare è del tio: z z z F m uò essere scomosta i fratti semlici come s s s F che si atitrasforma facilmete i t t t e e e (t f + + +
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