LEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g

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1 LEZIONE Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere un metodo efficiente per la determinazione della totalità delle soluzioni di un tale sistema. A tale scopo iniziamo considerando un semplice esempio. Esempio 3... Si consideri il sistema (3...) a + b + 2c + e = b + d + g = 3b + f + 3g = 2. Il Sistema (3...) si scrive nella forma matriciale a b c d e f g = 2 Il Sistema (3...) ha una proprietà notevole : in ogni sua equazione c è un incognita con coefficiente non nullo che non figura in nessuna delle altre equazioni. Questo ci permette di risolvere il sistema in maniera veloce. In ogni equazione si sceglie un incognita che non figura nelle rimanenti equazioni del sistema e la si esplicita in funzione delle altre incognite dell equazione stessa. Per esempio nella prima equazione scegliamo l incognita a, e si ha nella seconda l incognita d, e si ha a = b 2c e, d = b g, Typeset by AMS-TEX

2 2 3.. MATRICI FORTEMENTE RIDOTTE PER RIGHE nella terza l incognita f, e si ha f = 2 3b 3g. Dunque le soluzioni del Sistema (3...) sono necessariamente tutte e sole le matrici in R 7, della forma t ( b 2c e b c b g e 2 3b 3g g ) al variare di b, c, e, g in R. Per esempio, scelti b = c = e = g =, si ottiene la soluzione t ( 2 ). Invece, scelti b =, c =, e = 2, g =, si ottiene la soluzione t ( ). Il fatto che in ogni equazione del Sistema (3...) c è un incognita che non figura in nessuna delle altre equazioni può essere tradotto in linguaggio matriciale osservando che in ogni riga della sua matrice (incompleta) c è un entrata non nulla che è l unica entrata non nulla nella sua colonna. A tutti i sistemi la cui matrice incompleta ha questa proprietà si può applicare il metodo descritto nell esempio precedente ottenendo facilmente la soluzione generale. Per questo motivo è utile dare un nome a tale tipo di matrici. Definizione La matrice A = (a i,j ) i m j n per righe se valgono le seguenti proprietà: R m,n si dice fortemente ridotta (FR) se la riga di indice i contiene entrate non nulle allora esiste una sua entrata a i,j, detta pivot (della riga di indice i ), che vale e tale che a i,j = per ogni i i ; (FR2) se tutte le entrate della riga di indice i sono nulle allora le entrate di ogni riga di indice i > i sono anch esse nulle. Quindi il metodo sopra descritto si può applicare ogni volta si abbia a che fare con un sistema la cui matrice incompleta sia fortemente ridotta per righe. Esempio Si considerino le matrici 2 A = , A 2 =, A = A è fortemente ridotta per righe, mentre A 2 ed A 3 non lo sono. Spesso è utile lavorare con matrici aventi delle proprietà simili ma un po più deboli.

3 LEZIONE 3 3 Definizione La matrice A = (a i,j ) i m R m,n si dice ridotta per righe j n se vale la seguente proprietà: se la riga di indice i < m contiene entrate non nulle allora esiste una sua entrata a i,j, detta pivot (della riga di indice i ), tale che a i,j = per ogni i > i. Chiaramente ogni matrice fortemente ridotta per righe è ridotta per righe, ma non vale il viceversa come mostra il seguente esempio. Esempio Si considerino le matrici A = A 2 = La matrice A è ridotta per righe ma non fortemente ridotta per righe. Invece la matrice A 2 non è ridotta per righe, dunque non lo è neanche fortemente Operazioni elementari di riga. Dato un sistema di equazioni lineari però, in generale, la sua matrice non è fortemente ridotta per righe, o anche solo ridotta per righe. Per esempio la matrice completa del sistema (3.2.) { x + y + z = x y + 2z = 3 è ( 2 ) 3 che non è ridotta per righe. Un possibile metodo di soluzione è quello di trasformare il Sistema (3.2.) in un nuovo sistema con le stesse soluzioni e che abbia una matrice fortemente ridotta per righe e risolvere quest ultimo invece di quello di partenza. Per esempio, se nel Sistema (3.2.) si sostituisce alla seconda equazione la somma delle due equazioni, si ottiene il nuovo sistema (3.2.2) { x + y + z = 2x + 3z = 2

4 OPERAZIONI ELEMENTARI DI RIGA la cui matrice completa è ( 2 3 ) 2 che è ridotta per righe. Chiaramente se t ( x y z ) è soluzione del Sistema (3.2.) si ha x + y + z =, x y + 2z + 3 =, dunque x + y + z =, 2x + 3z + 2 = (x + y + z ) + (x y + 2z + 3) =, sicché t ( x y z ) è anche soluzione del Sistema (3.2.2): concludiamo che l insieme delle soluzioni del Sistema (3.2.) è contenuto in quello del Sistema (3.2.2). Poiché, viceversa, il Sistema (3.2.) si può ottenere dal Sistema (3.2.2) sostituendo alla sua seconda equazione la seconda equazione meno la prima anche l insieme delle soluzioni del Sistema (3.2.2) è contenuto in quello del Sistema (3.2.),dunque tali insiemi coincidono, cioè i due Sistemi (3.2.) e (3.2.2) hanno le stesse soluzioni, ovvero sono equivalenti nel senso della seguente Definizione Due sistemi di equazioni (non necessariamente lineari) si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Proseguendo con il Sistema (3.2.2), dividendo la seconda equazione per 2 otteniamo il sistema { x + y + z = (3.2.4) x + 3z/2 = la cui matrice completa è ( 3 ). È facile osservare che il Sistema (3.2.4) è ancora equivalente al Sistema (3.2.) di partenza. Sottraendo, infine, alla prima equazione del sistema così ottenuto la seconda otteniamo { y z/2 = 2 (3.2.5) x + 3z/2 = la cui matrice completa è ( /2 3 ) 2 che è fortemente ridotta per righe. Ragionando analogamente a quanto fatto prima osserviamo che il Sistema (3.2.5) è equivalente al Sistema (3.2.2), dunque

5 LEZIONE 3 5 al Sistema (3.2.). Risolvendo il Sistema (3.2.5) come spiegato nell Esempio 3.. otteniamo che la soluzione generale del Sistema (3.2.5) e, perciò, del Sistema (3.2.) è { t ( 3z/2 2 + z/2 z ) z R }. Si noti che ogni operazione fatta sulle equazioni del sistema corrisponde ad un analoga operazione fra le righe della matrice completa del sistema stesso: questa è la tecnica generale per risolvere un qualsiasi sistema di equazioni lineari. Per enunciare il risultato generale introduciamo la definizione di operazioni elementari di riga. Definizione Sia A R m,n. Le operazioni elementari di riga su A sono: (E) sommare ad una riga di A un multiplo di un altra riga di A (se si somma alla riga di indice i la riga di indice i i moltiplicata per α R tale operazione viene spesso indicata con R i R i + αr i ); (E2) moltiplicare una riga di A per una costante non nulla α R (se si moltiplica la riga di indice i per α tale operazione viene spesso indicata con R i αr i ); (E3) scambiare due righe di A (se si scambiano le riga di indici i e i tale operazione viene spesso indicata con R i R i ). Il risultato fondamentale di questo paragrafo è il seguente. Proposizione Sia A R m,n. Allora esiste una successione finita di operazioni elementari di riga che trasforma A in una matrice A R m,n (fortemente) ridotta per righe. Dimostrazione. Supponiamo che A = (a i,j ) i m. Supponiamo che A m,n j n (altrimenti non c è nulla da dimostrare). Sia i il più piccolo indice per cui esiste a i,j. Moltiplicando la riga di indice i per a i,j (cioè R i R i /a i,j ) trasformiamo la matrice A in una nuova matrice A avente l entrata in posizione (i, j ). Per ogni i i si sostituisca la riga di indice i con la sua somma alla riga di indice i moltiplicata per a i,j (cioè R i R i a i,j R i ). In questo modo trasformiamo la matrice A in una nuova matrice A = (a i,j ) i m j n la cui colonna di indice j contiene un unica entrata non nulla che vale in posizione (i, j ). A questo punto si presentano due possibilità. Nel primo caso tutte le righe di indice i i sono nulle: scambiando la riga di indice i con la riga di indice (cioè R R i ) trasformiamo A in una nuova matrice A = (a i,j ) la cui i m j n colonna di indice j contiene un unica entrata non nulla che vale in posizione (, j ) e tale che a i,j = per ogni i >. Quindi A è fortemente ridotta per righe. Nel secondo caso ripetiamo lo stesso procedimento con il più piccolo indice i > i per cui esiste a i,j. Poiché a i,j = per i i segue che j j. In questo modo dopo al più m passi (uno per ogni riga) otteniamo una matrice fortemente ridotta per righe.

6 RISOLUZIONE DI SISTEMI Esempio Si consideri la matrice A = Allora A R R 2 R 2 R R 3 2R R 4 R 4 R R R 3 R 2 R 4 R 4 +R = Â : tale matrice è ridotta per righe. Proseguendo R 2 R 2 /2 R R Â 4 R 4 /2 3/2 /2 2 R 2 +3R 4 /2 R R R 4 2 7/2 3 9/2 6 37/4 3 9/4 R R R 2 3 9/4 2 7/2 2 7/2 6 37/4 3 9/4 2 7/2 = A, che è fortemente ridotta per righe. R 3 R Risoluzione di sistemi. Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari. Ad esso associamo la sua matrice completa (A B). Per la Proposizione sappiamo di poter trasformare, con operazioni elementari di riga, la matrice A in una nuova matrice A fortemente ridotta per righe: con le stesse operazioni elementari si ottiene una nuova matrice (A B ) corrispondente, in generale, ad un nuovo sistema di equazioni lineari A X = B, diverso dal precedente ma ad esso equivalente. Risolvendo, se possibile, tale sistema con il metodo descritto nell Esempio 3.. si ottiene l insieme delle soluzioni del sistema da cui siamo partiti.

7 LEZIONE 3 7 Se A X = B è compatibile, il numero delle incognite espresse in funzione delle rimanenti è esattamente il numero dei pivot, cioè il numero delle righe contenenti entrate non nulle. È chiaro che da ogni matrice A con operazioni elementari di riga, si potranno ottenere varie matrici fortemente ridotte per righe, anche molto diverse: infatti, ad ogni passo, bisogna fare una scelta del pivot. Si può, però, dimostrare che Proposizione Sia A R m,n e siano A ed A due matrici ridotte per righe ottenute da A con una successione finita di operazioni elementari di riga. Allora i numeri di righe di A e di A contenenti entrate non nulle coincidono. Dimostrazione. Omettiamo la dimostrazione. Vedremo nella Lezione 6 che tale numero dipende solo da A (coincide con un numero chiamato dimensione dello spazio riga di A ) e non dalla riduzione operata. Si comprende che tale numero riveste un importanza particolare nell algebra delle matrici, pertanto merita un nome particolare. Definizione Sia A R m,n e sia A una matrice ridotta per righe ottenuta da A con una successione finita di operazioni elementari di riga. Il numeri di righe di A contenenti entrate non nulle viene detto rango di A ed indicato con il simbolo rk(a). In particolare rk(a) m per definizione. Inoltre rk(a) coincide con il numero di pivot di una forma fortemente ridotta per righe di A: ognuno di essi si trova necessariamente in una colonna diversa, quindi si ha anche rk(a) n. Abbiamo perciò dimostrato che Proposizione Sia A R m,n. Allora rk(a) min{ m, n }. Esempio Si consideri la matrice A = Poiché con operazioni elementari di riga A può essere trasformata in una delle due matrici 6 37/4 2 3 Â =, A 3 9/4 =, 2 7/ segue che rk(a) = rk(â) = rk(a ) = 3. Siamo ora pronti ad enunciare e dimostrare il principale risultato sulla teoria dei sistemi di equazioni lineari, detto Teorema di Rouché Capelli.

8 RISOLUZIONE DI SISTEMI Proposizione Siano A R m,n, B R m, e si considerino i sistemi (3.3.5.) ( ) AX = B, AX = m,. i) Il Sistema (3.3.5.) è compatibile se e solo se rk(a) = rk(a B). ii) Se il Sistema (3.3.5.) è compatibile allora le sue soluzioni dipendono da n rk(a) parametri liberi. iii) Se il Sistema (3.3.5.) è compatibile e X è una sua soluzione fissata allora ogni altra sua soluzione X è della forma X = X + Y ove Y appartiene all insieme delle soluzioni del Sistema ( ). Dimostrazione. Iniziamo con il dimostrare l affermazione i). Per quanto visto sopra possiamo sempre assumere che A sia una matrice fortemente ridotta per righe. Si possono presentare due situazioni per le righe della matrice completa (A B). Il primo caso è quello in cui esiste una riga di A, diciamo quella di indice i, con entrate tutte nulle che si prolunga in (A B) a una riga con entrate non tutte nulle: chiaramente l entrata non nulla deve essere l i esima entrata di B, cioè b i. Ciò significa che nel Sistema (3.3.5.) figura un equazione della forma = b i che, per l ipotesi b i, non ha soluzioni. Quindi il Sistema (3.3.5.) è, in questo caso, incompatibile: inoltre i numeri di righe di A e di (A B) contenenti entrate non nulle differiscono di, cioè rk(a) = rk(a B), dunque rk(a) rk(a B). Nel secondo caso ogni riga di A con entrate tutte nulle si prolunga in (A B) a una riga con entrate tutte nulle. In questo caso si può risolvere il Sistema (3.3.5.) come spiegato nell Esempio 3... Quindi il Sistema (3.3.5.) è, in questo caso, compatibile: inoltre i numeri di righe di A e di (A B) contenenti entrate non nulle coincidono, cioè rk(a) = rk(a B). Ciò conclude la dimostrazione dell affermazione i) e dimostra anche l affermazione ii): infatti possiamo esprimere le incognite i cui coefficienti sono i pivot (in totale rk(a)) in funzione delle rimanenti (in totale n rk(a)), cui possiamo dare valori arbitrari. Passiamo alla dimostrazione dell affermazione iii). A tale scopo si tenga conto che AX = B. Sia X R n, una soluzione del Sistema (3.3.5.), cioè tale che AX = B: posto Y = X X si ha AY = A(X X ) = AX + A( X ) = = AX + A( )X = AX AX = B B = m,, quindi Y è soluzione del Sistema ( ). Viceversa sia Y R n, una soluzione del Sistema ( ), cioè tale che AY = m, : posto X = Y + X si ha AX = A(Y + X ) = AY + AX = m, + B = B, quindi X è soluzione del Sistema (3.3.5.).

9 Esempio Si consideri il sistema Le matrici incompleta e completa del sistema sono LEZIONE 3 9 a b c d e = A =, (A B) = Ricordando quanto visto nell Esempio 3.2.8, con operazioni elementari di riga A si riduce alla matrice ridotta per righe 2 3 Â = Applichiamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A B): poiché l effetto di tali operazioni sulla parte a sinistra della sbarra verticale lo conosciamo (otteniamo A ), limitiamoci ad indicare l operazione e l effetto su B. (A B) R R 2 R 2 R 3 R 3 2R R 4 R 4 R (Â B) 2 3 = R 3 R 3 R 2 R 4 R 4 +R 2 Si noti che rk(a) = rk(â) = 3 mentre rk(a B) = rk(â B) = 4: deduciamo che il sistema AX = B è incompatibile. Esempio Si consideri ora il sistema a b c d e = da questo

10 3.3. RISOLUZIONE DI SISTEMI Le matrici incompleta e completa del sistema sono A =, (A B) = Ricordando quanto visto nell Esempio 3.2.8, con operazioni elementari di riga A si riduce alla matrice fortemente ridotta per righe 6 37/4 A 3 9/4 = 2 7/2 Applichiamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A B): risulta (A B) R R 2 R 2 R 3 R 3 2R R 4 R 4 R (Â B) 2 3 = R 3 R 3 R 2 R 4 R 4 +R 2 Poiché rk(a) = rk(â) = 3 = rk(â B) = rk(a B) segue che il sistema in esame è compatibile. Ha senso, perciò, proseguire con le operazioni elementari di riga riducendo fortemente la matrice completa del sistema. /2 R 2 R 2 /2 R R (Â B) 4 R 4 /2 2 R 2 +3R 4 /2 R R R 4 R R R 2 /2 /2 /2 6 37/4 5/4 3/4 R 3 R 4 3 9/4 3/4 2 7/2 /2 /2 Quindi il sistema AX = B è equivalente al sistema A X = B, che è compatibile perché rk(a) = rk(a ) = 3 = rk(a B ) = rk(a B). In particolare le incognite corrispondenti ai pivot sono a, b, c e si ha a = 5/4 6d 37e/4, b = 3/4 + 3d + 9e/4, c = /2 + 2d + 7e/2.

11 LEZIONE 3 L insieme delle sue soluzioni è { t ( 5/4 6d 37e/4 3/4 + 3d + 9e/4 /2 + 2d + 7e/2 d e ) d, e R }. Per esempio in corrsipondenza a d = e = otteniamo la soluzione particolare X = t ( 5/4 3/4 /2 ). Si noti che ogni altra soluzione è della forma 5/4 6 37/4 3/4 3 9/4 /2 + d 2 + e 7/2 al variare di d e e in R. Si verifichi che le soluzioni del sistema AX = m, sono tutte e sole le matrici della forma al variare di d e e in R. 6 37/4 3 9/4 d 2 + e 7/2

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