A8 - Campi vettoriali conservativi e solenoidali

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1 A8 - Campi vettoriali coservativi e soleoidali A8.1 Campi coservativi e campi irrotazioali Sia V(x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile scalare u. 3 [ a, b] R [ ] : u R A = (a) co B = (b) A B Usado la otazioe vettoriale, si ha: (u) = OP(u) = x(u) ˆi + y(u) ˆi + z(u) ˆi x y z La seguete gradezza assume grade importaza ella descrizioe delle proprietà fisiche di V: L V d = B A Tale gradezza è i geerale dipedete dalla topologia del cammio che uisce i puti A e B, ed u sigificato fisico diverso a secoda della gradezza fisica rappresetata da V. Ad esempio, se V è u campo di forze, L ha le dimesioi di u lavoro. Se V è il vettore campo elettrico E, L ha le dimesioi di ua tesioe; se V è il vettore campo magetico H, L ha le dimesioi di ua correte, e così via. DEFINIZIONE: U campo vettoriale V si dice coservativo, o esatto, se risulta, i ogi puto P di Ω: cioè se la forma differeziale U(x,y,z). V d = du V d è esp rimibile come il differeziale esatto di u campo scalare TEOREMA 1 Se u campo vettoriale V è coservativo, dagli estremi A e B. L o dipede dalla topologia del cammio, ma solo

2 Dimostrazioe: Applicado la defiizioe precedete, risulta: B L = V d = A B A du = U(B) U(A) COROLLARIO Se u campo vettoriale V è coservativo, la sua circuitazioe lugo ua qualuque liea chiusa Γ è ulla. Dimostrazioe: Basta predere u arbitrario puto P di Γ, e poi si procede come ella dimostrazioe precedete, osservado che A B P. TEOREMA V = du = U(P) - U(P) = Γ d 0 Se u campo vettoriale V è coservativo, esiste u campo scalare U tale che risulti: V = U Γ Dimostrazioe: Essedo V = V ˆ e d = dx ˆ x i x + V ˆ yi y + V ˆ zi z i x + d y ˆi y + dz ˆi z, la forma V d si può riscrivere come: V x dx + V y dy + V z dz Applicado la defiizioe di campo coservativo, e ricordado che il differeziale totale di ua fuzioe scalare U(x,y,z) è: si ha: U U U du = dx + dy + dz x y z U U U Vxdx + Vydy + Vzdz = dx + dy + dz x y z Affichè tale uguagliaza sia verificata deve risultare, evidetemete: e quidi: V x U = x V y U = y V = U V z U = z Il campo scalare U detto poteziale del campo vettoriale V. Il teorema sopra euciato esprime il fatto Ωche se u campo è coservativo, allora esso ammette poteziale.

3 Per quato detto i precedeza, risulta ovviamete sempre verificata la seguete proprietà: B A per ogi liea i Ω di estremi A e B. U d = U(B) U(A) I particolare, el caso della circuitazioe risulta: U d Γ per ogi liea chiusa Γ apparteete al domiio Ω. Si osservi ache che il poteziale è ua gradezza defiita a meo di ua costate additiva arbitraria. Ifatti, se k è uo scalare che o dipede da x, y, z, per defiizioe di gradiete risulta: (U + k) = U Naturalmete, tale arbitrarietà si elimia quado si calcola la differeza di poteziale fra puti. Si è visto che se u campo è coservativo L coicide co la differeza di poteziale fra i puti A e B; se U e U soo due diversi poteziali per V, co U = U + c, si ha ifatti: B du = U' (B) - U'(A) = U(B) + c - U' (A) - c = U(B) - U(A) A Le superfici di livello del poteziale, cioè puti dello spazio Ω per i quali risulta: U (x, y,z) = U 0 = cost. soo dette superfici equipoteziali. Tali superfici godoo della seguete importate proprietà: i ogi puto P dello spazio Ω, il vettore V è perpedicolare alla superficie equipoteziale che passa per quel puto. Ifatti, essedo U costate, i u itoro del puto P apparteete alla superficie equipoteziale risulta: d U V d perciò o V è ullo o è perpedicolare al piao tagete alla superficie equipoteziale el puto P. I altri termii, le liee vettoriali soo ortogoali i ogi puto alle superfici equipoteziali. Risolvedo l equazioe differeziale scritta sopra si possoo ioltre ricavare le equazioi delle superfici (o delle liee) equipoteziali.

4 Esercizio Si ricavi l equazioe cartesiaa delle liee equipoteziali del campo elettrostatico geerato sul piao xy da ua carica putiforme q0 posta ell origie del riferimeto cartesiao. Si verifichi che tali liee, e le liee di flusso la cui equazioe è stata calcolata precedetemete (si veda l esercizio proposto el capitolo su campi vettoriali e scalari) soo mutuamete ortogoali i ogi puto. La proprietà sopra citata delle superfici equipoteziali suggerisce u metodo alterativo alle liee vettoriali per la rappresetazioe del campo: si disegao u certo umero di superfici equipoteziali (o meglio, le liee che rappresetao la loro itersezioe co il piao che iteressa), scelte i modo tale che il poteziale varii di ua quatità costate ΔU passado da ua superficie alla successiva. Δ V U=c U= c+ ΔU U= c+ ΔU Se Δ è la distaza tra superfici successive, si può stimare il valore del vettore V come: V ΔU Δ Ache i questo caso, tato miore è la distaza geometrica Δ tra superfici successive, tato maggiore è l itesità del campo V i quella porzioe di spazio. DEFINIZIONE: U campo vettoriale V si dice irrotazioale se risulta, i ogi puto P di Ω: V TEOREMA 3 Se u campo vettoriale V è coservativo, esso è irrotazioale. I altri termii, risulta: V coservativo V per ogi puto P Ω Dimostrazioe: Dal teorema precedete, se V è esatto esiste u cam po scalare U tale che V = U. Per le ote proprietà degli operatori differeziali, si ha sempre: V = U 0 P Si può dimostrare il seguete TEOREMA 4 Se u campo vettoriale V defiito su u domiio Ω a coessioe lieare semplice è irrotazioale, esso è coservativo.

5 Il teorema sopra euciato esprime il fatto che metre u campo coservativo è ecessariamete irrotazioale, l implicazioe cotraria o è vera i geerale, cioè esistoo campi che soo irrotazioali ma o coservativi. Tuttavia, se il domiio di defiizioe del campo soddisfa le caratteristiche di regolarità specificate ell euciato del teorema (i realtà è sufficiete che tale domiio sia stellato rispetto ad ogi suo puto, che è ua codizioe meo restrittiva rispetto alla semplice coessioe), allora le due dizioi campo coservativo e campo irrotazioale possoo cosiderarsi perfettamete equivaleti. Si oti che le caratteristiche di regolarità del campo vettoriale specificate el teorema 4 soo le medesime che devoo essere soddisfatte perché valga il teorema di Stokes. - y x Esempio. Il campo di Biot e Savart V = ˆ ix + ˆ i y, di cui si è già parlato, è ovviamete u esempio di campo x + y x + y irrotazioale ma o coservativo. Si e visto ifatti che risulta V 0, ma ache che la circuitazioe di V è i geerale ua quatità o ulla, per cui tale campo o è coservativo. Nelle applicazioi che si vedrao el seguito, le ipotesi di validità di questo teorema possoo riteersi sempre verificate, pertato d ora i poi i termii irrotazioale e coservativo sarao cosiderati come sioimi. Del resto, ciò è i accordo co quato affermato dal teorema di Stokes. Ifatti, se il campo è defiito i ua regioe di spazio i cui tale teorema può riteersi valido, si ha: V d = V ˆi da cui si deduce: V V d S A8. Campi soleoidali e campi idivergeti DEFINIZIONE: U campo vettoriale V si dice soleoidale i u domiio Ω se il suo flusso attraverso ua arbitraria superficie chiusa S coteuta i Ω è ullo. I altri termii: S TEOREMA 5 U campo vettoriale V soleoidale i Ω soddisfa la seguete proprietà:

6 V ˆi = S 1 S V ˆi per ogi coppia di superfici S 1 e S coteute i Ω e co il medesimo cotoro Γ. Dimostrazioe: Si cosiderio due superfici S 1 ed S aveti per cotoro la medesima liea. superfici S 1 ed S costituisce ua superficie chiusa, che racchiude il volume Ω. L uioe delle î î S ˆi Ω = ˆi 1 S 1 Γ Essedo il campo V soleoidale, si ha: S1 + S V ˆ i La ormale alla superficie chiusa S 1 + S usata per calcolare il flusso è sempre diretta verso î l estero, m a i questo modo, lugo S, î è diretta i seso opposto rispetto alla ormale î di S (il cui verso è stabilito a partire dal seso di percorreza di Γ, secodo la regola della vite). Si ha quidi: E ifie: ˆ - ˆ = V i 1 V i S1 +S S1 S = 1 S1 S cioè: ΨS1 = ΨS = Ψ dove co Ψ si è idicato il flusso cocateato co la liea Γ. Il teorema 5 esprime il fatto che il flusso di u campo soleoidale attraverso ua superficie aperta dipede solo dal suo cotoro Γ, e o dalla topologia della superficie stessa. I altri termii, il flusso è lo stesso per ogi superficie che si appoggia a Γ. Per questo motivo il flusso di u campo soleoidale attraverso ua superficie aperta di orlo Γ viee ache detto flusso cocateato co la liea chiusa Γ. Quado si ha a che fare co campi soleoidali si può parlare seza ambiguità di flusso cocateato co ua liea seza bisogo di riferirsi ad ua specifica superficie, essedo

7 quest ultima arbitraria; el caso si debba calcolare u flusso cocateato co ua liea, coviee sempre scegliere la superficie cocateata che si ritiee più comoda per l effettuazioe dei calcoli, ad esempio la superficie piaa coteuta i Γ. Si osservi l aalogia fra campi coservativi e campi soleoidali: i u campo coservativo, l itegrale di liea o dipede dalla forma della liea, ma solo dai suoi estremi; i u campo soleoidale, il flusso attraverso ua superficie o dipede dalla forma della superficie, ma solo dal suo cotoro Si può dimostrare il seguete TEOREMA 6 Se u campo vettoriale V defiito i u domiio Ω è soleoidale, allora esiste u campo vettoriale G defiito ello stesso domiio tale che: SΓ = Γ G ˆi d dove Γ è ua qualsiasi liea chiusa coteuta i Ω e S Γ è ua qualsiasi superficie aperta coteuta i Ω che abbia per cotoro Γ. Il campo G che compare el teorema 6 viee detto poteziale vettore associato al campo V. COROLLARIO: U campo vettoriale V è soleoidale se e solo se esso è esprimibile come il rotazioale di u poteziale vettore G, cioè i modo tale che risulti: V = G Dimostrazioe: Applicado il teorema di Stokes all equazioe formulata el teorema si ottiee: SΓ = Γ G ˆi d = SΓ G ˆi e quidi, poiché per ipotesi la superficie cocateata S Γ è arbitraria, il primo ed il terzo itegrale coicidoo se e solo risulta V G i ogi puto P del domiio Ω. Si osservi che il poteziale vettore G è defiito a meo del gradiete di u campo scalare ψ qualsiasi, essedo, per le proprietà degli operatori differeziali: G + ψ = G + ψ = ( ) G

8 Pertato, comuemete si effettua ua opportua scelta (gauge) del campo scalare ψ, al fie di elimiare tale arbitrarietà. Tale scelta o ha alcua iflueza, chiaramete, sul campo vettoriale soleoidale V. DEFINIZIONE: U campo vettoriale V si dice idivergete se risulta, i ogi puto P di Ω: V TEOREMA 7 Se u campo vettoriale V è soleoidale, esso è idivergete. I formule: Dimostrazioe: V soleoidale V Applicado il teorema precedete e ricordado le proprietà degli operatori differeziali si ha: V = G 0 Si può dimostrare il seguete TEOREMA 8 Se u campo vettoriale V defiito su u domiio Ω a coessioe superficiale semplice è idivergete, esso è soleoidale. Il teorema sopra euciato esprime il fatto che metre u campo soleoidale è ecessariamete idivergete, l implicazioe cotraria o è vera i geerale, cioè esistoo campi che soo idivergeti ma o soleoidali. Tuttavia, se il domiio di defiizioe del campo soddisfa le caratteristiche di regolarità specificate ell euciato del teorema (i realtà è sufficiete che tale domiio sia stellato rispetto ad ogi suo puto, che è ua codizioe meo restrittiva rispetto alla semplice coessioe), allora le due dizioi campo soleoidale e campo idivergete possoo cosiderarsi perfettamete equivaleti. Si oti che le caratteristiche di regolarità del campo vettoriale specificate el teorema 8 soo le medesime che devoo essere soddisfatte perché valga il teorema di Gauss-Gree. Nelle applicazioi che si vedrao el seguito, le ipotesi di validità di questo teorema possoo riteersi sempre verificate, pertato d ora i poi i termii idivergete e soleoidale sarao cosiderati come sioimi. Del resto, ciò è i accordo co quato affermato dal teorema di Gauss. Ifatti, se il campo è defiito i ua regioe di spazio i cui tale teorema può riteersi valido, si ha:

9 segue che: S V i ˆ = V V dv V ˆ V i S = 0 I campi soleoidali godoo di alcue importati proprietà. I particolare, el caso di campi soleoidali assume particolare importaza il cocetto di tubo di flusso già itrodotto i precedeza. Figura 1 - Tubo di flusso P roprietà 1 Si cosideri u tubo di flusso qualuque di u campo vettoriale V soleoidale: il flusso del campo attraverso ua geerica sezioe del tubo è costate, al variare della sezioe stessa. Per dimostrare questa affermazioe, si cosideri ua porzioe di tubo di flusso delimitata da due liee chiuse 1 ed. Siao S 1 ed S le superfici piae aveti per cotoro rispettivamete 1 ed. î S S 1 ˆi î S = ˆi 1 î î Si cosideri ora la superficie chiusa formata da S 1, S e dalla superficie laterales della porzioe di tubo di flusso. Risulta: = + + S1+ S + S S1 S S Il flusso attraverso S è evidetemete ullo, poiché il campo o può avere compoeti i direzioe ormale alle liee vettoriali. La ormale alla superficie chiusa si trova ad essere discorde,

10 lugo S 1, co il verso positivo della ormale ad S 1 stabilito dall orietazioe delle liee vettoriali. Si ha duque: e quidi: Proprietà ˆ 1 + V i S1 S ΨS 1 = ΨS Ua importate cosegueza della proprietà 1 è che i tubi di flusso di u campo soleoidale o possoo avere u iizio e ua fie, ella porzioe di spazio i cui è defiito il campo: o si estedoo idefiitamete, oppure soo chiusi. = Ψ Spesso si dice semplicemete che i tubi di flusso del campo soleoidale soo chiusi, classificado il caso di tubi estesi idefiitamete come caso degeere (tubi che si chiudoo all ifiito ). La veridicità di quest ultima proprietà si dimostra facilmete per assurdo. Ifatti, se i tubi di flusso avessero u iizio e ua fie, essi dovrebbero chiudersi i u puto (cioè ua sorgete o u pozzo), elle sezioi di iizio e di fie. Attraverso le sezioi di iizio e fie, il flusso di V risulterebbe perciò ullo. i e Ma per la proprietà 1 dimostrata i precedeza, dovrebbe essere ache: Ψ = Ψ = i e Ψ = e quidi il flusso del campo vettoriale sarebbe ullo su ogi sezioe, il che è assurdo, per come è defiito il tubo di flusso. 0 Poiché il cocetto di tubo di flusso è semplicemete u astrazioe che rappreseta u geerico isieme di liee vettoriali, è evidete che dimostrado la proprietà si è data ua giustificazioe rigorosa del fatto che tutte le liee vettoriali di u campo vettoriale soleoidale soo chiuse (o vi soo, cioè, é sorgeti é pozzi).

11 Proprietà 3 Si osservi ifie che, poiché il campo soleoidale ha ecessariamete u poteziale vettore, se S i è ua geerica sezioe del tubo di flusso si ottiee, applicado il teorema di Stokes: = G ˆi = G d Si S i cioè il flusso di V attraverso u tubo di flusso è uguale alla circuitazioe del relativo poteziale vettore lugo ua liea i che avvolge il tubo di flusso. i CAMPI CONSERVATIVI E CAMPI SOLENOIDALI: SCHEMA RIASSUNTIVO Campi coservativi Campi soleoidali V V L itegrale di V lugo ua curva aperta dipede Il flusso di V attraverso ua superficie aperta solo dagli estrem i di itegrazioe. dipede solo dal cotoro della superficie. B V ˆi d U(B) U(A) ˆ ˆ = V i = V i A La circuitazioe di V lugo ua curva chiusa è ulla. V ˆ i d S1 S Il flusso di V attraverso ua superficie chiusa è ullo. V i 0 ˆ = S V = U V = G La fuzioe U è u poteziale scalare defiito La fuzioe G è u poteziale vettore defiito a a meo di ua costate: meo di u gradiete: U = U * + cost. G = G * + ψ cioè a m eo di ua fuzioe a gradiete ullo. cioè a meo di u a fuzioe a rotore ullo. U viee determiato i ogi puto fissado ad G viee determiato i ogi puto impoedo arbitrio il suo valore i u puto di riferimeto ua opportua codizioe di compatibilità arbitrario. (gauge), ad esempio ψ o G.

12 A8.3 Campi armoici DEFINIZIONE: U campo vettoriale che sia cotemporaeamete coservativo e soleoidale si dirà armoico. TEOREMA 9 Il poteziale scalare U di u campo armoico soddisfa l equazioe di Laplace scalare: U Dimostrazioe: essedo il campo coservativo, deve essere V = U ; ma V è ache soleoidale e quidi idivergete, perciò risulta: V = U = U TEOREMA 10 Il poteziale vettore G di u campo armoico soddisfa l equazioe di Laplace vettoriale: G Dimostrazioe: Essedo il campo V soleoidale, esso può essere espresso come rotazioale di u poteziale vettore G; ma V è ache coservativo e quidi irrotazioale, perciò risulta: V = ( G) = G + ( G) avedo sfruttato la be ota relazioe differeziale ( [ ]) = [ ] + ( [ ]). Poiché G è determiato a meo di u gradiete, è possibile scegliere u poteziale vettore che soddisfi la codizioe G (scelta di Coulomb). Operado tale scelta, risulta ( G ), e quidi è vale l uguagliaza G.