Potenziali e campi di dipoli elettrici e magnetici
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- Marianna Roberti
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1 Potena e camp d dpo eettc e magnetc S vuoe mostae come s puo tovae andamento de campo eettco e d queo magnetco, ne mte d gand dstane, pe caso d un dpoo eettco e d un dpoo magnetco. Dpoo eettco Schematamo dpoo appossmato come costtuto da due cache puntfom +q e q, poste a una dstana d una da ata. ) Potenae eettostatco Usando pncpo d sovapposone, e ne mte d dstane gand spetto a d: d cosθ ε ε ε ( ) V P Intoducendo momento d dpoo eettco: p qd ) Campo eettostatco Daa defnone qd cosθ p cosθ p u ˆ V ( P) ε ε ε
2 E V V ˆ V ˆ V V + + kˆ x y V ( x, y, ) p uˆ p p x + p y + p ε ε ε x y ( ) x + y + V px x y pxx py y p x y x x ε x + y + V x ε ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) px ( x + y + ) ( pxx + py y + p) x 5 ( x + y + ) V p x ˆ p x p E x ε 4 x p x 5 5 πε V py y E 5 y ε p V p E 5 p ε ( ) p p E V 5 ε Note: y a) I vettoe E, essendo una oo combnaone neae, sta ne pano ndvduato da vetto p ed : qund a vaae d possede smmeta assae attono a vettoe p e non ha component otogona a pano d cu sopa b) Lnee d campo: consdeando pano x (equvaente a ogn ato pano uotato attono a asse, ungo quae sa oentato dpoo), campo E n un dato punto ha una componente adae E e una tasvesae E θ x
3 d La cuva ndcata e una nea d campo d E se n un suo punto geneco E e e tangente: E d E d Ex dx Qund equaone dffeenae dee nee d foa ne pano x e : dx d d E E E dx E x x ( p ) ( p ) d dx x p Espmendo x e n temn d e θ: p p 5 5 ( p ) p x ( p ) px x ( p ) px ( p ) x 5 5 cosθ d cosθ snθ cos θ x snθ d snθ + cosθ snθ cosθ Svuppando ageba:
4 d cosθ snθ cos θ d snθ + cosθ snθ cosθ d cos θ d cosθ snθ snθ cosθ snθ cosθ + d cos θ cos θ cosθ snθ snθ cosθ snθ cosθ snθ cosθ d cos θ cos θ cosθ sn cosθ θ snθ d cos θ cos θ + cos θ cos θ sn θ snθ cosθ snθ d cos θ sn θ snθ + cosθ snθ d cos θ sn θ + sn θ cosθ snθ snθ d cosθ snθ d cosθ cotθ snθ Equaone dffeenae a vaab sepaab: a souone da a funone (θ), che appesenta andamento dee nee d campo n coodnate poa n n ( sn θ ) + C ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( A θ ) n n sn + C n sn + C n n sn + n A, C n A n n sn Pendendo 'esponenae de due memb: Asn θ Gafco poae dea funone ( nee d campo d E):
5 Dpoo magnetco Schematamo a stuaone ne modo seguente:
6 Consdeamo qund una pccoa spa quadata, pecosa da una coente ) Potenae vettoe Occoe sommae quatto contbut che vengono da quatto segment ettne dea spa: appossmando, ne mte d P dstante daa spa, e dstane da punto P deg eement d ogn ato a quea de punto centae de ato stesso, s ha: 4 ( ) A S consde a fgua seguente, pe cacoo dee dffeene a numeatoe: Daa geometa s ha, con:
7 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) 4 Qund: 4 A ( ) A ( ) ( ) ( ) Identta vettoae (non dmostata): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C B A C - C A B S aea oentata demtata daa spa S A ( ) S momento d dpoo magnetco dea spa ( ) A ) Campo magnetostatco Tovamo campo B da potenae vettoe: B A a b B ( a b)
8 Identta vettoae (non dmostata): ( a b) ( b ) a ( a ) b a( b) b( a ) + Cacoamo dves temn: ( b ) a, costante xˆ + yˆ + kˆ ( a ) b ( ) x y + + x y x x x x x x x x x y y x xy 6 5 x x k 5 x x x x x x x x xy y y y y x 6 5 y y k 5 y x x 5 y y 5 k 5
9 ( a ) b ( ) x xy x ˆ x x 5 y y xy y ˆ y y 5 x x y ( ) 5 a( b ) x y ˆ 5 x 5 y 5 x 5 y 5 5 x y x y x y b( a ) ( ) Qund: ( ) B A 5 Poche a dpendena da dstana e angoo e a stessa d quea de dpoo eettco, s ottengono e stesse nee d campo e popeta de vettoe E dpoo eettco.
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