ESERCIZIO 1. Fig. 1. Si ricava a = m = 14.6 mm. Ricalcolando per a/w= 14.6/50= 0.29, si ottiene Procedendo, si ricava:

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1 ESERCIZIO 1 Una piastra di larghezza totale 100 mm e spessore 5 mm, con cricca centrale passante (ig. 1), è soggetta ad una orza di trazione P=50 kn. 1) Determinare le condizioni di cedimento della piastra. ) Determinare la lunghezza massima ammessa per la cricca, nel caso che si voglia garantire un coeiciente di sicurezza pari a 3 sul carico. Materiale: Alluminio 014- T651 (K = 4 MPam; = 430 MPa). P a W P K I a Fig. 1 Non conoscendo la dimensione della cricca (e quindi non conoscendo ) dobbiamo risolvere il problema in maniera iterativa. Assumiamo che il rapporto a/w valga 0.3. In tal caso 1.1, da cui, imponendo che KI sia uguale a K si può scrivere: a 1.1 a Si ricava a = m = 14.6 mm Ricalcolando per a/w= 14.6/50= 0.9, si ottiene Procedendo, si ricava:

2 50000 a 1.05 a da cui a = 16.6 mm. Per il nuovo valore a/w=0.33, dal diagramma di ig. 1 si ottiene un valore di di circa 1.07, e quindi, nei limiti dell'approssimazione consentita dal graico, molto vicino al valore precedente di Possiamo quindi scegliere un valore intermedio =1.06 e procedere con l'ultima iterazione di calcolo a 1.06 a 4, 1005 ottenendo una lunghezza a = 16.3 mm Veriichiamo le condizioni di applicabilità della meccanica della rattura lineare elastica (MFLE). K B.5 a W a K.5 K.5 5 mm 7.8 mm 16.3 mm 7.8 mm 33.7 mm 7.8 mm NON VERIFATO Si ottiene che la condizione non è rispettata, in quanto lo spessore è minore di 7.8 mm. Veriichiamo allora le diseguaglianze a W a 4 K 4 K 16.3 mm 4 mm 33.7 mm 4 mm che risultano tutte veriicate. E pertanto possibile utilizzare la MFLE. Veriichiamo anche la condizioni di plasticizzazione globale della piastra. Il carico di collasso plastico della piastra è pari a P coll pl A netta kn 430 poichè risulta

3 P P coll pl 50 kn kn il collasso della piastra avviene eettivamente per propagazione instabile della cricca, quando la sua lunghezza totale raggiunge a = 16.3 = 3.6 mm. Per determinare la lunghezza massima di cricca per un coeiciente di sicurezza pari a = sul carico, scriviamo l equazione che ci ornisce la lunghezza critica della cricca per un carico di 3 50 kn: a 4 L equazione può essere risolta in maniera iterativa, analogamente a quanto visto in precedenza. Un calcolo più veloce può essere condotto assumendo che il valore di = 1 sia suicientemene accurato (la dimensione di cricca, e quindi anche il valore di, sarano sicuramente più piccoli di quelli ottenuti per la condizione critica per un carico P = 50 kn, per la quale era pari a circa 1.06). In tal caso, si ottiene: a da cui a 3.5 mm (lunghezza totale della cricca = 7 mm) (poiché a/w= 0.007, si può veriicare sul diagramma di ig. 1 l accettabilità dell assunzione di =1 per questo calcolo)

4 ESERCIZIO Una piastra di larghezza W = 40 mm e con una cricca passante di bordo di lunghezza a = 6 mm (ig. 1) è soggetta ad una orza di trazione P=55 kn. 1) Determinare lo spessore minimo della piastra nel caso che si richieda un coeiciente si sicurezza pari a 3 sul carico Materiale: Acciaio 300-M (K = 65 MPam; = 1740 MPa). P a W P K I a Fig. 1 Poiché conosciamo la dimensione della cricca a e la larghezza W della piastra, possiamo ricavare immediatamente il valore del parametro dal diagramma di ig. 1. Per a/w = 6/40 = 0.15, si ricava 1.3 La condizione di propagazione della cricca, per un coeiciente di sicurezza sul carico pari a 3, si scrive quindi come: K I a B Da questa equazione si può ricavare lo spessore B (incognita del problema): B = 11.3 mm

5 Veriichiamo le condizioni di applicabilità della MFLE. K B.5 a W a K.5 K mm 3.5 mm 6 mm 3.5 mm 34 mm 3.5 mm Le condizioni sono tutte veriicate ed è pertanto possibile utilizzare la MFLE. Veriichiamo anche le condizioni di plasticizzazione globale della piastra. Il carico di collasso plastico della piastra, per la lunghezza di cricca pari a 6 mm, è pari a P coll pl A netta kn 1740 poichè risulta 3P P coll pl 150 kn 535 kn lo spessore B di 11.3 mm è eettivamente lo spessore che garantisce il coeiciente di sicurezza richiesto ed il collasso della piastra avviene per propagazione instabile della cricca, quando il carico raggiunge il valore di 150 kn.

6 ESERCIZIO 3 Una piastra d acciaio di larghezza 150 mm, spessore 5 mm e con una cricca passante centrale di lunghezza totale a = 5 mm, è soggetta ad uno sorzo alternato tra un valore massimo pari a max = 83 MPa ad un valore minimo pari a max = 0. Noti i valori di K e dei coeicienti della curva di Paris del materiale, calcolare il numero di cicli che porta la piastra al cedimento. a W oppure, in orma analitica K I a a sec W N.B: la ormula è valida per angoli espressi in radianti I dati di partenza sono quindi: Geometria Lunghezza cricca = 5mm (ai =.5 mm) Larghezza W = 150 mm; (W = 75 mm) Spessore B = 5 mm Proprietà del material KIc = 10 MPam = 1600 MPa Coeicienti della legge di Paris C=7.5E-8; n=3.5 (da/dn in mm/ciclo e KI in MPam) Carico min= 0 MPa max= 83 MPa

7 La lunghezza critica della cricca si ottiene imponendo che K I a ossia, esprimendo a in a sec a sec W metri a 10 a K L equazione nell incognita a, che si può risolvere per tentativi o per via numerica, ornisce il valore della dimensione della cricca che corrisponde alla propagazione instabile: a = 0.07 m = 70 mm Veriichiamo l applicabilità della meccanica della rattura lineare elastica. K K Le diseguaglianze B.5, a. 5.5 K m e B ed a sono maggiori di m. risultano veriicate, in quanto La diseguaglianza W a m. a.5 K non risulta tuttavia soddisatta, essendo W- a pari Dobbiamo allora veriicare se sono soddisatte le diseguaglianze a 4 K, W a 4 K. Poiché 4 K m, la seconda diseguaglianza non è veriicata. E necessario pertanto controllare la condizione di collasso per plasticizzazione, veriicando che il rapporto tra il carico massimo applicato (Pmax) ed il carico che porta alla plasticizzazione totale della sezione (Pcoll pl) sia ineriore a 0.8. Nel caso in esame: Pmax=83 (150 5)=311.5 kn Pcoll pl=1600 (W-a) B = 1600 ( ) 5= 400 kn Poiché Pmax / Pcoll pl = 0.78 < 0.8, possiamo ritenere applicabile la MFLE; il cedimento della piastra avviene quindi per propagazione della cricca quando questa raggiunge la dimensione critica a = 70 mm

8 Possiamo quindi procedere al calcolo del numero di cicli che produce la propagazione della cricca dal valore iniziale ai =.5 mm a quello inale a = 70 mm (che corrisponde alla propagazione instabile della cricca con cedimento inale del pannello). Per eettuare una stima approssimata del numero di cicli a rottura, possiamo dividere l intervallo tra la lunghezza iniziale di cricca ai =.5 mm e quella inale a = 70 mm in cinque passi di calcolo. Suddivisione in 5 incrementi di cricca Passo amin - amax a 1.5mm 1.5mm 10 mm 1.5 mm 5 mm 1.5 mm 3 5 mm 37.5 mm 1.5mm mm 50mm 1.5 mm 5 50 mm 70 mm 0 mm Possiamo pertanto costruire la tabella 1, nella quale riportiamo la sequenza dei calcoli. Il attore è calcolato utilizzando la ormula analitica sopra riportata. Tabella 1 amin amax a a medio sec a medio W a medio da K CK n 1000 dn a N da dn mm mm mm - MPam mm/ciclo cicli cicli E E E E E N Nota: l unità di misura da utilizzare per K nella ormula di Paris è MPam. E pertanto necessario introdurre il valore di a medio in m (e non in mm) per calcolare K (ciò spiega la divisione di a medio per 1000 nella ormula in colonna 5). La crescita della cricca in unzione del numero di cicli è riportata in Fig. 1.

9 Fig. 1 Dal graico si può notare come il numero di cicli più elevato sia speso per le lunghezze di cricca più piccole. Ad esempio, per are avanzare la cricca da.5 mm a 1.5 mm (incremento della lunghezza a pari a 10 mm) sono necessari 1769 cicli, mentre per are avanzare la cricca da 50 mm a 70 mm (incremento della lunghezza a pari a 0 mm) sono richiesti solo 11 cicli. Questo indica che per migliorare la stima del numero di cicli totale è conveniente ridurre l incremento della cricca a utilizzato nei calcoli soprattutto nel campo iniziale (lunghezze di cricca piccole). Supponiamo ad esempio di scegliere di dividere l intervallo tra la lunghezza iniziale di cricca ai =.5 mm e quella inale a = 70 mm in otto sotto-intervalli. Poiché conviene utilizzare sottointervalli a ridotti soprattutto per valori di cricca vicini a quella iniziale, possiamo scegliere la seguente suddivisione per i passi di calcolo: Suddivisione in 8 incrementi di cricca Passo amin - amax a 1.3 mm 5.5 mm 3 mm 5.5 mm 8.5 mm 3 mm mm 1.5 mm 4 mm mm mm 5 mm mm 5 mm 7.5 mm 6 5 mm 37.5 mm 1.5 mm mm 50 mm 1.5 mm 8 50 mm 70 mm 0 mm La tabella riporta la sequenza dei calcoli associata alla suddivisione per gli otto intervalli di calcolo sopra deiniti.

10 Tabella amin amax a medio a a medio sec W K a medio 1000 da dn C K n N a da dn N mm mm mm - MPam mm/ciclo cicli cicli E E E E E E E E La ig. riporta il conronto tra la stima del numero di cicli necessari per ar crescere la lunghezza di cricca a da.5 mm a 70 mm utilizzando le suddivisione a 5 ed 8 passi di integrazione. Il graico riporta anche la curva di crescita della cricca ottenuta eettuando un integrazione ciclo per ciclo, che ornisce una vita a rottura di cicli. L errore relativo è pertanto di circa il 30% per l integrazione a 5 passi e di circa l 8% per l integrazione ad 8 passi. Fig.

11 ESERCIZIO 4 Una barra d acciaio di diametro 40 mm presenta una cricca circonerenziale assial-simmetrica di lunghezza radiale a = 4 mm; la barra è soggetta ad un carico di atica di trazione con valore massimo pari a Pmax = 10 kn e rapporto di atica pari a R = 0.. Noti i valori dei coeicienti della curva di Walker del materiale, calcolare la lunghezza della cricca dopo cicli di carico. Geometria Proprietà del materiale (Al 04 T3) Lunghezza cricca a = 4 mm Raggio della sezione b = 0 mm KIc = 34 MPam = 353 MPa Coeicienti della legge di Walker C=1.4E-11; m = 0.68; n = 3.5 (da/dn in m/ciclo e KI in MPam) Pmax = 10 kn max Pmax MPa Per eettuare una stima approssimata della lunghezza raggiunta dalla cricca dopo cicli di carico, scegliamo di dividere la durata in 6 intervalli; poiché la cricca avanza più

12 velocemente all aumentare del numero di cicli, è conveniente scegliere ampiezze degli intervalli N che si riducono progressivamente al crescere di N. Suddivisione in 6 intervalli di cicli Passo Cicli N Possiamo pertanto costruire la tabella 1, nella quale riportiamo la sequenza dei calcoli. Il attore F è calcolato utilizzando la ormula analitica sopra riportata. Si noti che la lunghezza di cricca utilizzata per i calcoli all interno di ogni passo di carico (di ampiezza N) è necessariamente quella iniziale ai, poiché la lunghezza inale a non è nota (sarà nota solo alla ine del calcolo del passo in esame). Tabella 1 N ai F K F a da m C K1 R 1 min dn n da a N a N dn (cicli) (m) - (MPam) (m/ciclo) (m) (m) (cicli) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Si ottiene dunque una lunghezza di cricca pari a circa 6.3 mm dopo cicli di carico.

13 Svolgendo i calcoli in maniera più accurata utilizzando un integrazione ciclo per ciclo si ottiene invece un valore di cricca inale pari a 6.9 mm. Il graico di ig. 1 riporta le curve di crescita della cricca ottenute con l integrazione in sei passi sopra illustrata e con l integrazione ciclo per ciclo dell equazione di Walker. Fig. 1 Possiamo ora veriicare le condizioni della barra dopo cicli. Utilizziamo la lunghezza di criica prevista mediante integrazione ciclo per ciclo (a = 6.9 mm). Poiché K I F a MPa m < K 34 MPa m, la max cricca non si propaga sulla base dell ipotesi di applicabilità della MFLE. Veriichiamo le condizioni di applicabilità della MFLE: Ic a.5 K Ic NON VERIFATO 4 a K Ic NON VERIFATO Carico di collasso plastico P b a kn Poiché P max P coll pl coll pl VERIFATO, la MFLE è applicabile e la barra può essere sottoposta a cicli di carico senza che la cricca si propaghi.