MODELLO STRUTTURALE DI ORECCHIO ESTERNO PER IL RENDERING AUDIO 3D

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1 Universitá di Padova Dipartimento di Ingegneria dell Informazione MODELLO STRUTTURALE DI ORECCHIO ESTERNO PER IL RENDERING AUDIO 3D Laureando: Michele Geronazzo Relatore: Dott. Federico Avanzini A. A

2 ii Ai miei primi supporter e ammiratori, mamma Rosanna e papá Ermanno, a nonna Lena, alla mia Gioia quotidiana Cri:-), a Diego, amico per sempre nella Luce che ci abbraccia.

3 Abstract La Head Related Transfer Function (HRTF) caratterizza i segnali acustici creati dalla diffusione del suono quando raggiunge il corpo di una persona. Le HRTF misurate sperimentalmente contengono informazioni su vari fenomeni: le riflessioni causate dalle parti del corpo (busto, spalle e ginocchia), la diffrazione della testa e l effetto di riflessione/difrazzione causato dal padiglione auricolare (termine inglese: pinna). I modelli strutturali (Algazi et al., 22; Brown e Duda, 1998) cercano di stabilire una relazione diretta tra le caratteristiche della HRTF e l anatomia umana; la semplicitá che li caratterizza permette un implementazione efficiente per il rering audio in applicazioni real-time. L obiettivo di questa tesi è analizzare il contributo della pinna all interno della HRTF personale, propria del singolo individuo, e modellarne le caratteristiche che hanno interesse percettivo per la localizzazione verticale del suono. L applicazione di metodi per l individuazione delle risonanze e dei notch presenti nello spettro, assieme ad un partial tracking nello spazio verticale, contribuiscono alla stesura di un modello strutturale per la pinna. Per il lavoro di analisi sono stati utilizzati i dati del CIPIC HRIR database (Algazi et al.,21). Parole chiave: audio 3D, spatial hearing, head-related transfer function, pinna, modello strutturale. iii

4 iv ABSTRACT

5 Indice Abstract iii Introduzione 1 1 Background e Stato dell Arte D Audio System Localizzazione del suono: l audio binaurale Sistema di riferimento HRIR e HRTF La Testa L Orecchio Busto e Spalle Modellazione HRIR e HRTF HRIR e HRTF personali Misurazione acustica Interpolazione su database Metodi Numerici Modelli Poli-Zeri Espansioni in serie Modelli Strutturali PRTF e antropometria Modelli Strutturali per PRTF v

6 vi INDICE 3 Metodologie e strumenti Cepstrum Peak Filter Modelli Sinusoidali Peak Detection Partial Tracking CIPIC Database Misurazioni Antropometria Analisi della PRTF Algoritmo di analisi Inizializzazione Calcolo del residuo Ricerca parametri per il filtro multi-notch Costruzione del filtro multi-notch Risultato finale Analisi dei dati Analisi dei notch Analisi delle risonanze Un Modello Strutturale per la pinna Descrizione e motivazione Filtro sintetico Filtro sintetico per le risonanze Filtro sintetico per i notch Ricostruzione Conclusioni e Sviluppi futuri 19 A Algoritmo d analisi, variazioni parametriche 113 A.1 Parametro N ceps A.2 Parametro soglia

7 INDICE vii A.3 Parametro rid B Sorgenti MATLAB 119 Bibliografia 149

8 viii INDICE

9 Introduzione Lo scopo di questa tesi è sviluppare algoritmi efficienti ed accurati per la sintesi di audio binaurale in ambiente real-time, con particolare attenzione alla localizzazione verticale del suono. L idea di audio binaurale trae ispirazione dalla duplex-theory del fisico Lord Rayleigh, sviluppata piú di cent anni fa e da allora considerata storicamente come punto di partenza sono stati condotti numerosi studi acustici e percettivi per comprere i contributi di testa, busto, spalle e orecchio esterno, forniti al sistema uditivo binaurale. In questi ultimi decenni la letteratura si è arricchita di lavori che hanno indagato i segnali di localizzazione spaziale e successivamente esplorato i fenomeni di riflessione e di diffrazione nel campo vicino (sorgente posta a distanza inferiore di un metro dall ascoltatore) e nel campo lontano. Il continuo aumento della potenza di calcolo ha permesso lo sviluppo di numerosi sistemi in tempo reale per l audio (VAD - Virtual Acoustic Display), rivelando la necessitá di incorporare al loro interno dei modelli efficaci ma allo stesso tempo efficienti. Un modello sferico per la testa, un busto ellissoidale e un orecchio esterno composto da una conca cilindrica sono solo alcuni degli esempi di approssimazioni introdotte per semplificare e soprattutto controllare gli effetti delle parti anatomiche sull onda sonora incidente. Gli studi condotti nel campo dell audio binaurale hanno alimentano nell ultimo decennio molteplici applicazioni. Da servizi di teleconferenza a design di ambienti virtuali immersivi e multimodali; realtá virtuale a scopo intrattenitivo e riabilitativo; infine tecnologie embedded in dispositivi mobili. 1

10 2 INTRODUZIONE Il suono emesso da una sorgente giunge ai timpani trasformato profondamente e gli effetti filtranti sono talmente complessi che non tutti si riescono a sintetizzare in maniera efficace. Alcune problematiche aperte riguardano la confusione front-back, l esternalizzazione del suono e la localizzazione verticale della sorgente sonora. Proprio a quest ultima è collegato lo studio della pinna, come strumento principale per questo tipo di discriminazione. La tesi è concentrata sull analisi del solo contributo della pinna, come corpo riflettente e risonante. Sono stati presi degli accorgimenti per limitare le influenze delle altre componenti anatomiche. I risultati ottenuti sono stati utilizzati per proporre un primo modello strutturale di pinna, che verrá eventualmente assemblato in un progetto dallo scopo piú ambizioso: un modello globale di HRTF (Head Related Transfer Function). Il lavoro è stato distribuito in tre fasi principali: 1. fase di documentazione e stesura dello stato dell arte; 2. fase di analisi dei dati; 3. fase di modellazione; Le informazioni raccolte nella prima fase sono esposte e ordinate nei Capitoli 1 e 2. Nel primo capitolo vengono fornite delle nozioni di background e di carattere generale sugli ambienti audio tridimensionali, assieme ad una esposizione mirata alla localizzazione del suono in sistemi audio binaurali. Il secondo capitolo espone tutte le possibili tecniche, finora sviluppate, per la modellazione della HRTF personali; vengono approfonditi i modelli strutturali per la HRTF fino a giungere alla modellazione del solo contributo della pinna (PRTF). Dopo questi capitoli iniziali che contestualizzano il problema, viene intrapresa la fase di analisi. Il capitolo 3 fa da introduzione, richiamando risultati teorici e descrivo gli strumenti utilizzati. Il quarto capitolo propone e descrive nel dettaglio un algoritmo di analisi dei dati in grado di separare i contributi delle risonanze e delle riflessioni. Ognuno dei due fenomeni verrá relazionato a studi autorevoli giá effettuati, e posto come punto d inizio per la progettazione di un modello strutturale. Il terzo

11 INTRODUZIONE 3 capitolo racchiude richiami alle tecniche di DSP utilizzate per la costruzione dell algoritmo e del modello (calcolo dell inviluppo via cepstrum, il peak tracking, etc.). Il capitolo finale contiene una prima proposta di filtro sintetico per la PRTF, dove i due contributi ad opera della pinna (risonanze e riflessioni), vengono modellati indipentemente per poi essere combinati assieme. Le due Appici forniscono informazioni aggiuntive sul comportamento dell algoritmo d analisi (Appice A) e mettono a disposizione il codice Matlab T M sviluppato come supporto all intero lavoro (Appice B).

12 4 INTRODUZIONE

13 Capitolo 1 Background e Stato dell Arte Il suono ricopre molti ruoli nella multimedialitá e nel sistema di realtá virtuale. Viene usato principalmente per la comunicazione (informazioni, linguaggio e audio non parlato) o per intrattenimento (musica, ambiente, voce, etc.). La spazializzazione del suono e il suono 3D hanno una lunga storia di ricerca. Parto dalla prima teoria di Lord Rayleigh, chiamata duplex theory, all inizio del 2esimo secolo (Rayleigh, 197), il primo concetto di acustica virtuale viene esplorato nel campo delle teleoperazioni. Negli anni Trenta Spandöck (1934) progettó un modello in scala e cercó di dare spazialitá ad una sala da concerto. Durante la Prima Guerra Mondiale, l individuazione degli aerei nemici fu migliorata utilizzando dei segnali acustici spazializzati, cosí da permettere un immediata localizzazione tridimensionale acustico-visuale, mediante l utilizzo di cuffie rudimentali. Queste prime applicazioni hanno lo stesso scopo dell acustica virtuale dei giorni d oggi: il design virtuale di spazi audiovisivi, un accurata simulazione e riproduzione tridimensionale di eventi acustici. I sistemi per l audio tridimensionale sono spesso associati con i VAD (Virtual Acoustic Display). I VAD racchiudono modelli per la sorgente, l ambiente e l ascoltatore in modo da produrre un esperienza virtuale totalmente immersiva [39]. I campi delle tele/video-conferenze, dei giochi e della multimedialità sono oggigiorno i principali fruitori delle applicazioni 3D-audio. 5

14 6 CAPITOLO 1. BACKGROUND E STATO DELL ARTE Inoltre con la nascita di standard quali VRML (Virtual Reality Modeling Language, ISO/IEC, 1997) e MPEG-4 (ISO/IEC, 1999), l uso dell acustica virtuale si è espanso nel contesto delle simulazioni audiovisive. La crescita delle tecnologie per il posizionamento 3D del suono é stata significativa grazie all uso sempre piú frequente di cuffie e casse per una riproduzione stereofonica ad alta definizione e all avvento di sistemi multicanale con relativi formati audio. Questo ha portato allo sviluppo di numerose applicazioni, anche di uso domestico, quali i sistemi Home Theater. In questo capito introduttivo tratteremo i concetti basilari dell audio 3D, dando una breve panoramica sulle metodologie di rering per raggiungere la spazializzazione di una sorgente sonora. Definiremo una terminologia specialistica che ci aiuterá a capirne i concetti fondamentali. Ci soffermeremo sullo stato dell arte per i sistemi binaurali, che si appoggiano per la riproduzione sonora alle tradizionali apparecchiature a 2 canali stereofonici (cuffie). Grazie ai moderni metodi di signal processing è possibile progettare e implementare un ambiente virtuale d ascolto 3D e molteplice effettistica audio da poter inserire in prodotti audiovisivi che vengono riprodotti da computer, televisioni e sistemi hi-fi D Audio System Le caratteristiche dell ascolto umano sono gli elementi che si vogliono modellare con la ricerca nel suono 3D e nell acustica virtuale. La progettazione e l implementazione di ambienti virtuali puó essere divisa in tre passi[37]: a) definizione: La definizione di un ambiente acustico virtuale include la conoscenza delle caratteristiche del sistema da realizzare, informazioni sulla sorgente sonora, sulla geometria della stanza e sugli ascoltatori. Questo studio è portato avanti off-line a priori prima di una possibile implementazione in simulazioni real-time. b) modellazione: La parte di modellizzazione è divisa in tre rami che trovano corrispondenza con la fase precedente e rispecchiano il paradigma

15 1.1. 3D AUDIO SYSTEM 7 Figura 1.1: Concetti per la modellazione di un ambiente virtuale. source-medium-receiver, ampiamente conosciuto nei sistemi di telecomunicazioni. c) riproduzione: Metodi per ricreare l illusione di un campo sonoro tridimensionali con l aiuto di trasduttori e tecniche di signal processing. La parte di modellazione è divisa a sua volta in tre parti: Modelli della sorgente I modelli della sorgente permettono di produrre un suono all interno di una scena audiovisiva. Il metodo piú usato è quello di impiegare dei suoni pre-registrati, ma in molti sistemi le sorgenti vengono trattate come puntiformi omnidirezionali. Questa approssimazione peró non sempre è soddisfacente in quanto alcuni strumenti hanno un pattern di radiazioni dipente dalla frequenza. Per esempio, una tipica sorgente sonora emana piú energia nell emisfero frontale; variando la distanza angolare dall asse di direzione si avrá un filtraggio passa-basso che ne attenuerá le radiazioni.

16 8 CAPITOLO 1. BACKGROUND E STATO DELL ARTE Modelli del mezzo di trasmissione acustica Questi modelli hanno il compito di descrivere il comportamento della propagazione del suono in uno spazio acustico (room acoustics). L obiettivo della simulazione è calcolare la curva temporale di energia (ETC) di una stanza e di conseguenza derivarne gli attributi acustici [38] come il tempo di riverbero (T r ), il clarity index (C t ), lo strength index (G), etc. I metodi piú usati sono il ray-based method e l image-source method, altri metodi computazionalmente piú impegnativi si basano sulle tecniche wave-based come il metodo agli elementi finiti (FEM), il metodo agli elementi al contorno (BEM), e il metodo alle differenze finite nel dominio del tempo (FDTD). Nelle simulazioni real-time si cerca di trovare un compromesso tra risorse computazionali e accuratezza, per questo si modellano solo il suono diretto e le prime riflessioni, usando l acustica geometrica, mentre per le riverberazioni nel campo lontano si usano delle strutture di filtri digitali ricorsivi. Modelli del ricevitore-ascoltatore Vengono prese in considerazione le proprietá dell ascolto umano; si cerca di dare un senso di direzionalitá (es. ILD e ITD v. paragrafo 1.2) e grazie alla head-related transfer function (HRTF) vengono modellate le riflessioni e filtraggio ad opera della testa, busto, spalle e orecchio esterno dell ascoltatore. Grazie allo sviluppo di tecniche di misurazione precise per la HRTF e progettazione di filtri efficienti è stato possibile utilizzare questo approccio per il rering 3D in tempo reale di ambienti sonori virtuali. Per la parte di riproduzione consideriamo i tre metodi principali: Riproduzione binaurale Questo metodo utilizza un paio cuffie e la HRTF misurata viene approssimata dalla progettazione di filtri che catturano le caratteristiche acustico-percettive piú importanti. In Fig. 1.2a un segnale monofonico nel dominio del tempo x m (n) è filtrato con due HRTF approssimate H l (z) e H r (z) per creare un immagine stereofonica della singola sorgente virtuale. Con questo metodo si ha il vantaggio di evi-

17 1.1. 3D AUDIO SYSTEM 9 Figura 1.2: a) Processo binaurale e b) processo binaurale con cancellazione dell effetto crosstalk. tare l influenze di disturbo nella simulazione dovute alla stanza in cui è immerso l ascoltatore e alla sua posizione. Tuttavia sono necessarie delle tecniche compensative che tengono conto del movimento della testa nello spazio simulato (head-tracking); inoltre per avere un risultato efficace nella localizzazione e nella esternalizzazione di un suono virtuale la HRTF deve essere personale e le tecnologie di misurazione sono troppo costose per essere impiegate a livello commerciale. Questo concetto sará piú chiaro con le spiegazioni nei prossimi paragrafi in quanto tratteremo ampiamente la tematica riguardante l audio binaurale, e ci reremo conto di come la ricostruzione di HRTF personalizzabili soddisfacenti sia tutt oggi un problema aperto. Riproduzione binaurale con crosstalk canceled Questo metodo utilizza degli altoparlanti per la riproduzione binaurale dello spazio acustico virtuale ed è molto diverso dal metodo precedente. La direzionalitá caratteristica dei suoni binaurali è messa a rischio dal fenomeno di crosstalk per il quale un suono riprodotto da un altoparlante posizionato per esempio a destra viene sentito da entrambe le orecchie. Il problema di cancellare il crosstalk è stato formalizzato giá negli anni 6 e sono state proposte numerose risoluzioni. Nella sintesi binaurale

18 1 CAPITOLO 1. BACKGROUND E STATO DELL ARTE per una coppia di altoparlanti (v. Fig. 1.2b) i due segnali privi della componente di crosstalk ˆx l (n) e ˆx r (n) sono riprodotti in modo da generare gli output desiderati y l (n) e y r (n). Le loudspeaker-to-ear transfer function dipenti dalla direzione H i (z) e H c (z) (in questo caso consideriamo i contributi destro e sinistro simmetrici) devono ricreare lo stesso effetto dell ascolto in cuffia. Possiamo vedere la progettazione della HRTF separata dal filtro di cancellazione dell effetto crosstalk, oppure combinare le due componenti in strutture shuffler. Le due limitazioni principali di questo metodo sono: 1) la criticitá della posizione dell ascoltatore 2) la criticitá delle condizioni della stanza d ascolto. Lo spazio sonoro dove l ascolto risulta migliore(sweet spot) viene cosí molto limitato, anche se in quella posizione l ascoltatore puó avere una percezione molto convincente della simulazione. Riproduzione multicanale Una soluzione naturale per produrre uno spazio d ascolto tridimensionale è quella di utilizzare piú altoparlanti posizionandoli in un ambiente e dirigere il segnale che si vuole riprodurre ago sul panning tra le casse. Sistemi digitali audio multicanale per l home theater e per l intrattenimento offrono un suono 3D che viene decodificato da un materiale stereofonico (come Dolby ProLogic) o usano un decodificatore multicanale come nel caso di Dolby Digital e del Digital Theater System (DTS). Lo standard ISO/MPEG-2 AAC offre la possibilitá di definire 5.1 canali al rate di 32 kb/s. Il problema principale che coinvolge i sistemi multicanale con piú di 2 canali è l utilizzo e il posizionamento di N altoparlanti. Nonostante lo spazio d ascolto sia notevolmente ampliato rispetto ad un ascolto binaurale con cancellazione del crosstalk, l ascoltatore resta vincolato alla stanza in cui il sistema è stato testato e incontra maggiori complicazioni nel caso di spostamento delle apparecchiature. Infine un importante vantaggio di questi sistemi sta nel non utilizzo di alcuna modellazione dell ascoltatore e quindi di nessuna HRTF.

19 1.2. LOCALIZZAZIONE DEL SUONO: L AUDIO BINAURALE 11 Dopo una panoramica generale sulle tecniche e tecnologie nel campo dell audio 3D, focalizziamo la nostra attenzione sui modelli dell ascoltatore (HRTF-modeling) per approfondire l argomento della localizzazione di una sorgente sonora in favore di una riproduzione binaurale tramite l uso di cuffie. 1.2 Localizzazione del suono: l audio binaurale La percezione di una sorgente sonora è trasformata dall orecchio esterno e da alcune parti del corpo individuate come la testa, le spalle e il busto. Il segnale sonoro, cosí trasformato, percorre il canale uditivo fino a percuotere il timpano. Questi cambiamenti ad opera delle componenti corporee contengono le informazioni spaziali che vengono codificate in attributi temporali e spettrali. Molte ricerche hanno dimostrato come l uomo usi alcuni segnali di localizzazione (localization cues); tre principali sono: la Interaural Time Difference (ITD), la Interaural Level Difference (ILD) e pinna cues. Variano in funzione dell azimuth, dell elevazione e della frequenza e forniscono le informazioni all ascoltatore per localizzare un suono nello spazio. In questo paragrafo tratteremo i segnali di localizzazione, mettoli in relazione con le parti del corpo che li generano. Completeremo una panoramica generale sulle caratteristiche percettive fondamentali contenute in un modello di ascoltatore Sistema di riferimento Definiamo in questo paragrafo la terminologia per descrivere il sistema di riferimento utilizzato. Il sistema di coordinate è del tipo interaurale-polare 1, quindi le dimensioni che descrivono lo spazio tridimensionale sono: 1 per interaurale si inte semplicemente tra le orecchie. Una definizione piú rigorosa: tutto ció che riguarda il confronto tra la percezione di un segnale audio rilevata ad un orecchio e la percezione dello stesso segnale rilevata all altro orecchio.

20 12 CAPITOLO 1. BACKGROUND E STATO DELL ARTE ˆ θ: azimuth; ˆ φ: elevazione; ˆ r: raggio. Figura 1.3: Sistema di coordinate. In Fig. 1.3 vengono evidenziati la direzione frontale (θ = o e φ = o ) e quella posteriore (θ = o e φ = 18 o ), il piano frontale (θ = ±9 o ), il piano mediano (θ = o ) e il piano orizzontale (φ = o ) HRIR e HRTF La propagazione delle onde sonore attraverso l aria è un processo lineare e permette una semplice caratterizzazione matematica dei segnali sonori di localizzazione. Per un suono lontano che si propaga nello spazio dalla sorgente all orecchio di un ascoltatore, la funzione di trasferimento che descrive come l onda sonora incidente viene modificata dal corpo dell ascoltatore stesso è definita Head Related Transfer Function, HRTF. La HRTF puó essere descritta come un filtro lineare che contiene informazioni sull interazione dell onda sonora con il busto, la testa e l orecchio esterno. Va sottolineato che non vi è alcuna informazione sulla riverberazione e sulle caratteristiche della stanza (spazio di propagazione dell onda sonora), pur considerati dei segnali di localizzazione importanti per l esternalizzazione di un suono. I percorsi di un onda sonora per giungere alle due orecchie sono diversi, quindi definiamo x L (t) e x R (t) come i segnali ricevuti rispettivamente dall orecchio sinistro e destro ottenuti dalla seguenti convoluzioni:

21 1.2. LOCALIZZAZIONE DEL SUONO: L AUDIO BINAURALE 13 x L (t) = h L (τ)x(t τ)dτ (1.1) x R (t) = h R (τ)x(t τ)dτ (1.2) dove h L (t) e h R (t) sono le head-related impulse response (HRIR) per l orecchio sinistro e destro e x(t) è il segnale sonoro emesso dalla sorgente. Possiamo cosí esprimere la seguente relazione: HRTF come trasformata di Fourier di HRIR. La HRTF (HRIR) racchiude informazioni riguardanti i fenomeni di riflessione e diffrazione e a seconda della posizione della sorgente 2, l onda sonora percorrerá dei percorsi diversi che si ripercuoteranno sulla HRTF, provocando un determinato andamento spettrale. Queste modifiche dipono direttamente dalla struttura anatomica dell individuo, quindi possiamo affermare che, dall unicitá di ogni essere umano, deriva l unicitá della HRTF, personale per ogni ascoltatore. Un operazione naturale è quella di provare a scomporre la HRTF nelle componenti che corrispondono ai contributi delle diverse parti del corpo. Presentiamo in Fig. 1.4 la semplificazione di un modello presentato da Algazi et al [4]. Figura 1.4: Scomposizione strutturale della HRTF. Il diagramma a blocchi suggerisce una cascata degli effetti prodotti separatamente dal busto, dalla testa ed infine dell orecchio esterno. Possiamo cosí ricavare i contributi delle singole componenti sottrao opportunamente gli effetti delle varie parti del corpo. 2 Un certo azimuth, una certa elevazione e una certa distanza rispetto al sistema di riferimento interaurale-polare centrato nella testa dell ascoltatore.

22 14 CAPITOLO 1. BACKGROUND E STATO DELL ARTE Figura 1.5: Rappresentazione schematica di ITD e ILD (o IID) La Testa La testa puó essere considerata acusticamente come un corpo rigido a cui sono ancorate circa alla stessa altezza e ai due lati opposti le orecchie. Si interpone da ostacolo alla libera propagazione del suono e giá dal 197 il fisico Lord Rayleigh ne studió gli effetti cercando una correlazione con la posizione della sorgente sonora. La sua teoria, chiamata duplex theory, individuó due parametri interaurali fondamentali per una prima localizzazione del suono: ˆ interaural time difference (ITD) ˆ interaural level difference (ILD) La ITD è la differenza temporale tra gli istanti di arrivo di un suono alle due orecchie, e si misura in secondi. La ILD (in db), chiamata anche Interaural Intensity Difference (IID), è il rapporto tra le ampiezze dei suoni in ingresso ai due canali uditivi, dovuto all effetto schermante ad opera della testa. Consideriamo un modello sferico per la testa, e una sorgente sufficientemente lontana. Questo scenario ci permette di considerare le onde sonore che giungono sul piano orizzontale, come planari (v. Fig. 1.6); la distanza extra x necessaria ad un raggio sonoro per raggiungere l orecchio piú distante è descritta dalla formula di Woodworth:

23 1.2. LOCALIZZAZIONE DEL SUONO: L AUDIO BINAURALE 15 Figura 1.6: Stima della ITD nel caso di testa sferica e sorgente sonora lontana (onda planare). IT D = a(sin θ + θ) c (1.3) dove c è la velocitá del suono 3, a è il raggio della testa sferica e θ rappresenta l angolo di azimut 4. Quindi la ITD è uguale a zero quando la sorgente è direttamente di fronte all ascoltatore (θ = ) ed ha il suo massimo (a/c(π/2+ 1)) quando la sorgente proviene dalla parte di una delle due orecchie (θ = π/2). Una ITD del valore di.6 ms si ottiene per un valore realistico del raggio della testa, a=8.5 cm. Queste approssimazioni rono la ITD indipente dalla frequenza, mentre la ILD è fortemente dipente dalla frequenza. Per frequenze basse, che hanno lunghezza d onda maggiore del diametro della testa, la ITD costituisce una differenza di fase tra i segnali che giungono alle due orecchie; questa è un informazione molto potente per discriminare la direzione del suono nel piano orizzontale. La ILD non aggiunge alcuna caratteristica in quanto 3 La velocitá del suono varia a seconda del mezzo e delle sue proprietá. Nell aria a temperatura ambiente, essa è approssimativamente 343 m/s. 4 Definisce la direzione dell onda sonora nel piano orizzontale, in relazione al punto d ossevazione coincidente con il naso.

24 16 CAPITOLO 1. BACKGROUND E STATO DELL ARTE le basse frequenze attraversano la testa senza essere particolarmente attenuate sul lato opposto alla sorgente. Per alte frequenze, che hanno lunghezza d onda minore del diametro della testa (dell ordine dei centimetri), esso l orecchio umano sensibile soltanto alla fase e non alla differenza temporale assoluta, la ITD risulta poco utile 5. L effetto di schermatura effettuato dalla testa sulle onde sonore re la ILD molto importante per le alte frequenze. Consideriamo la seguente situazione semplificata: testa sferica con raggio a e una sorgente sonora puntiforme posizionata alla distanza r > a dal centro della sfera. La diffrazione di un onda acustica sulle sfera vista da un punto scelto della sfera stessa è espressa dalla funzione di trasferimento: H sfera (ρ, θ inc, µ) = ρ µ e iµρ m= (2m + 1)P m (cos θ inc ) h m(µρ) h m(µ) dove µ è la frequenza normalizzata e ρ è la distanza normalizzata: µ = f 2πa c ρ = r a (1.4) (1.5) (1.6) e P m e h m sono rispettivamente il polinomio di Legre di ordine m e la funzione di Hankel sferica e θ inc è l angolo di incidenza 6. La Fig. 1.7 viene riportata la relativa risposta in ampiezza in funzione della frequenza normalizzata per vari angoli di incidenza; possiamo esprimere le seguenti considerazioni: ˆ a basse frequenze la funzione di trasferimento non è dipente dalla direzione del suono e l ampiezza è in prossimitá dell unitá per ogni angolo di incidenza; 5 Un segnale ad alta frequenza provoca una ITD maggiore di un periodo del segnale. Se si considerano gli onset del suono si puó migliorare l individuazione temporale. 6 L angolo tra il raggio che congiunge il centro della sfera con la sorgente puntiforme e il raggio che congiunge il centro della sfera con il punto di misurazione. Considerando la figura 1.6, le funzioni di trasferimento in corrispondenza delle orecchie avranno rispettivamente θ (r) inc = π/2 θ e θ(l) inc = π/2 + θ

25 1.2. LOCALIZZAZIONE DEL SUONO: L AUDIO BINAURALE 17 Figura 1.7: Risposta in frequenza di una sfera rigida ideale. ˆ ad alte frequenze (µ > 1) si fa sentire la dipenza direzionale; nel caso di incidenza normale (θ = ) si osserva un guadagno di 6 db, in quanto questa situazione è paragonabile ad un onda piana che incide perpicolarmente con una superficie piana rigida. ˆ all aumentare dell angolo di incidenza il guadagno diminuisce; spostando la sorgente dalla parte controlaterale 7 della testa si ha attenuazione della pressione sonora, con la presenza di varie oscillazioni dovute alla propagazione delle onde in diverse direzioni attorno la sfera; ˆ la risposta minima non corrisponde ad una sorgente situata esattamente dalla parte opposta (θ inc = π); in un particolare punto si nota l effetto bright spot dove tutte le onde, che si propagano attorno alla sfera, arrivano in fase. 7 Si dice che la sorgente è posizionata nella parte ipsilaterale della sfera (della testa) se l onda sonora incide normalmente la superficie in un punto appartenente all emisfero che ha il polo nel punto di osservazione; controlaterale se l onda incide la sfera nell emisfero opposto.

26 18 CAPITOLO 1. BACKGROUND E STATO DELL ARTE Figura 1.8: Anatomia della pinna. Questo modello sferico è l unico trattabile analiticamente, ma è anche il meno preciso. Per questo motivo vi sono molti lavori in letteratura che cercano di migliorare l accuratezza del modello, considerando, per esempio, considerando la testa come un ellissoide[3] e usando tecniche di ray-tracing per studiarne il comportamento L Orecchio L orecchio esterno è formato dalla pinna e dal canale uditivo che si congiunge al timpano. Ad una prima approssimazione il canale uditivo si comporta come un risonatore monodimensionale, mentre gli effetti dovuti alla pinna sono piú articolati e saranno oggetto di studio in questa tesi 8. Le cavitá risonanti della pinna amplificano alcune frequenze mentre la sua geometria genera attenuazioni e cancellazioni di altre frequenze. La risposta in frequenza della pinna è altamente dipente dalla posizione della sorgente sonora relativa all orecchio. Shaw[23] espresse l orecchio esterno come un sistema acustico leggermente smorzato e descrisse i modi normali di risonanza. 8 Da ora in poi con il temine orecchio esterno ci riferiremo principalmente alla pinna con le sue caratteristiche antropometriche, trascurando il contributo del canale uditivo.

27 1.2. LOCALIZZAZIONE DEL SUONO: L AUDIO BINAURALE 19 Modo 1 presente indipentemente dalla direzione e appare mediamente attorno alla frequenza di 4.2 khz; Modo 2 appare alla frequenza 7.1 khz, dove si osserva una separazione tra due zone di pressione vicino alla cymba(v. Fig 1.8); questo modo è meglio stimolato per un angolo di elevazione di 68 nel piano mediano. Modo 3 appare alla frequenza 9.6 khz e ha due transizioni tra zone di pressione. Una zona positiva attorno alla fossa che passa ad una negativa all interno e attorno alla cymba o alla crus helias; più giú si nota un altra zona di pressione positiva nella concha. Questo modo è meglio stimolato per un angolo di elevazione di 73 nel piano mediano. Modo 4 ha 3 transizioni di pressione e appare alla frequenza 12.1 khz. Vi è una zona negativa attorno alla fossa che diventa positiva muovosi verso la cymba. Questo modo è meglio stimolato per un angolo di elevazione di -6 nel piano mediano. Modo 5 e 6 appaiono rispettivamente alle frequenze 14.4 khz e 16.7 khz. Sono simili per il patter delle transizioni di pressione e sono meglio stimolate per un angolo di elevazione medio di 7 nel piano mediano. Il primo modo è quello dominante e dipe principalmente dalla profonditá della conca. I modi 2 e 3 sono risonanze trasversali e si possono descrivere come una coppia di risonanze verticali che viene eccitata ad alti angoli di elevazione. In maniera analoga i modi 4, 5 e 6 si possono descrivere come risonanze orizzontali perché meglio eccitate ad elevazioni prossime allo zero. L onda sonora per arrivare al timpano percorre piú di un cammino, uno è quello diretto e gli altri, piú lunghi, dovuti alla riflessione della pinna. A basse frequenze la lunghezza d onda è piú grande della dimensione della pinna quindi il segnale diretto e quello riflesso arrivano in fase, mentre ad alte frequenze il segnale riflesso è sfasato rispetto a quello diretto e genera un interferenza distruttiva. Nello spettro si formano cosí dei notch in relazione alla posizione della sorgente e all antropometria dell orecchio. La pinna viene

28 2 CAPITOLO 1. BACKGROUND E STATO DELL ARTE Figura 1.9: I sei modi normali di risonanza della conca umana. utilizzata anche per discriminare la front-back confusion, in quanto maschera e attenua i suoni che provengono da dietro l ascoltatore in quanto sporgente dalla testa. Un concetto fondamentale che verrá ampiamente trattato nel corso della tesi riguarda l individualitá della forma dell orecchio che genera caratteristiche del tutto personali nella HRTF. La trattazione approfondita sulla pinna continua nella descrizione dei modelli strutturali e nei seguenti capitoli di analisi Busto e Spalle Gli ultimi elementi che, assieme alla testa e all orecchio esterno, contribuiscono al filtraggio del segnale sonoro che arriva al timpano sono il busto e le spalle. Provocano riflessioni che vanno a sommarsi con il suono diretto e schermano i raggi sonori che provengono da dietro l ascoltatore. Tutti i lavori storici a cui si fa riferimento nel seguito sono citati in [31], che ne fornisce una rassegna esaustiva. Il ruolo di disturbo a basse frequenze dell onda incidente è stato riconosciuto giá dal 1944 ad opera di Hanson e

29 1.2. LOCALIZZAZIONE DEL SUONO: L AUDIO BINAURALE 21 Figura 1.1: Cono d ombra del busto. successivamente meglio studiato da Kuhn e Guernsey nel Tuttavia, l effetto del busto è relativamente debole e l importanza percettiva alle basse frequenze non è del tutto compresa. Per esempio Theile e Spikofski (1982) hanno concluso dai loro esperimenti che il busto non fornisce un segnale significativo per la discriminazione front/back, informazione che potrebbe essere contenuta solo nella parte alta dello spettro. Mentre Asano et al. (199) riconoscono anche nella parte bassa dello spettro il contributo importante del busto per la tale discriminazione. Gli effetti del busto nella localizzazione verticale nel piano mediano sono stati studiati sistematicamente da Gardner (1973). Mise alla prova il senso di localizzazione di alcuni soggetti; ne osservó la diminuzione nel caso vengano rimosse alla sorgente sonora le alte frequenze e poté scoprire come alcuni individui fossero in grado di localizzare suoni provenienti da altoparlanti posti nel piano mediano frontale anche se privi di contenuto spettrale sopra i 4 khz. Confrontando i risultati ottenuti per elevazioni tra i 18 e i -18 concluse che l orecchio esterno non ha influenza sotto i 3.5 khz e che il busto introduce dei segnale spaziali per frequenze tra.7 e 3.5 khz. La geometria del busto e delle spalle è particolarmente complicata e le

30 22 CAPITOLO 1. BACKGROUND E STATO DELL ARTE approssimazioni piú semplici ed efficaci sono quelle di considerare un busto ellisoidale[31] o sferico[32][33]. L approssimazione della testa per mezzo di una sfera o di un ellisoide aggiunta alle approssimazioni per il busto danno origine ai modelli snowman. In generale si ha che il tempo di ritardo tra il raggio sonoro diretto e quello riflesso dal busto è maggiore quando la sorgente è sopra alla testa. Man mano che si riduce l elevazione il ritardo temporale si riduce fino a diventare zero se il raggio dalla sorgente all orecchio è tangente al busto. L insieme dei raggi tangenti al busto formano quello che viene chiamato cono d ombra del busto (v. Fig. 1.9). Una sorgente di suono fuori dal cono d ombra induce una riflessione ad opera del busto; la riflessione scompare quando la sorgente entra all interno del cono d ombra, dove viene schermata dal busto stesso. Il ritardo tra il raggio diretto e quello riflesso dal busto non varia di molto se la sorgente si muove sul piano orizzontale lungo una circonferenza, soprattutto se il raggio della testa è molto piú piccolo rispetto al raggio della circonferenza che sta percorro la sorgente. Nel dominio della frequenza le riflessioni del busto si manifestano come un comb filter che introduce notch periodici nello spettro. Le frequenze dei notch sono strettamente legate al tempo di ritardo ed hanno un pattern caratteristico al variare dell elevazione della sorgente sonora. Vi sono anche effetti di diffrazione e diffusione sonora che producono forti attenuazioni per le alte frequenze 9. Tuttavia gli effetti acustici del busto e delle spalle non sono cosí forti come quelli causati dall orecchio esterno, anche se la loro importanza è indiscutibile per le basse frequenze, dove il segnale sonoro ha la maggior parte della sua energia e dove la risposta in frequenza dell orecchio esterno è piatta. Possiamo concludere dico che gli effetti spettrali di busto e orecchio esterno si completano a vica. 9 Per lunghezze d onda minori o uguali alla taglia del busto.

31 Capitolo 2 Modellazione HRIR e HRTF Si possono generare forti effetti di localizzazione spaziale di una sorgente sonora mediante la convoluzione di un segnale monoaurale con le HRIR delle due orecchie e il risultato verrá opportunamente compensato da delle cuffie e o degli altoparlanti cross-talk-canceled. Per accrescerli ulteriormente è sensato utilizzare delle HRIR spazio-varianti in relazione ai movimenti della testa. Purtroppo questo approccio, pur esso concettualmente semplice è computazionalmente troppo dispioso. Un sistema tipico implementa un movimento della testa come un interpolazione real-time tra un insieme piuttosto grande di coefficienti FIR ricavati da un processo di identificazione delle HRIR misurate, indicizzato per azimuth ed elevazione. Per produrre effetti convincenti (soprattutto d elevazione), le HRIR devono essere misurate separatamente per ogni ascoltatore; questa è una soluzione molto dispiosa in termini di tempo e risorse e per semplificare i sistemi audio sono state proposte numerose ricerche che mirano a sostituire le HRIR misurate con modelli computazionali. Gli effetti di azimuth possono venir prodotti semplicemente introduco le appropiate ITD e ILD. Gli effetti di elevazione possono venir prodotti introduco opportuni notch della HRTF, a seconda dele differenze tra persone che rono il meccanismo di localizzazione verticale difficile da simulare. Inoltre questi sistemi soffrono di altri problemi quali la percezione del suono troppo vicino e una confusione 23

32 24 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF front/back. In questo capitolo tratteremo le principali tecniche, proposte in letteratura, per ottenere delle HRIR/HRTF personali. Ci soffermeremo sul metodo dei modelli strutturali che utilizziamo in questa tesi. 2.1 HRIR e HRTF personali La HRIR e la HRTF sono funzioni in quattro variabili: le tre coordinate spaziali e il tempo o la frequenza. Entrambe queste funzioni sono piuttosto complicate e variano significativamente da persona a persona. Da molto tempo si cerca di sostituire le HRIR/HRTF con funzioni approssimate, ma la progettazione di tali sistemi di identificazione viene complicata da alcuni problemi importanti: 1. si incontrano difficoltá nell approssimazione di effetti di propagazione e diffrazione dell onda sonora mediante semplici modelli di ordine contenuto che riescano ad essere accurati; 2. non si riesce a calcolare la HRIR/HRTF nelle quattro variabili perché queste interagiscono strettamente tra loro. Se i parametri del modello variassero in maniera complessa al variare della posizione spaziale si rischierebbe di memorizzare questi cambiamenti in una grande mole di dati, vanificando lo sforzo fatto per eliminare la tabelle di HRIR misurate. 3. non esiste un criterio quantitativo per misurare la capacitá di un approssimazione nel catturare le informazioni direzionali che sono percettivamente rilevanti. Esistono solo test psico-acustici per valutare un modello, e molto spesso non sono provvisti di uno standard. 4. Un approssimazione che funziona bene per un individuo potrebbe non funzionare per un altro. Questo genera la necessitá di creare in maniera diversificata l identificazione per ogni ascoltatore.

33 2.1. HRIR E HRTF PERSONALI 25 Vengono ora trattate le seguenti tecniche per produrre HRIR/HRTF 1 personali: 1) misurazione acustica; 2) interpolazione su database; 3) modelli poli-zeri; 4) espansione in serie; 5) metodi numerici; 6) modelli strutturali. Per ogni tecnica verranno elencate piú possibilitá e ci soffermeremo su alcune varianti in modo da orientarne la comprensione globale. Ai modelli strutturali verrá dedicata la seconda parte del capitolo Misurazione acustica Una mole considerevole di dati riguardanti la HRTF è stata ottenuta da misurazioni acustiche in ambienti anecoici o quasi-anecoici e parecchi database sono stati resi pubblici[3] per uso didattico e ricerca. Esistono anche alcuni prodotti commerciali per misurare le HRTF personali, tuttavia restano sistemi troppo costosi e sofisticati per un uso domestico. Per avere una misurazione accurata e ad alta risoluzione il processo di acquisizione dei dati necessita di apparecchiature speciali e diventa molto dispioso in termini di tempo Interpolazione su database Consideriamo in questo paragrafo alcune metodologie per la riduzione delle misurazioni acustiche. Utilizziamo l interpolazione per ricondurre un ascoltatore ad un soggetto del database (evitando nuove acquisizioni di dati) e per limitare le misurazioni acustiche per ogni soggetto. Interpolazione di individuo Avo a disposizione un database di HRTF, risulta un alternativa attraente cercare dei modi non acustici per misurare la similaritá di un ascoltatore con i soggetti giá presenti, ricercando la HRTF che meglio gli assomiglia. Una possibilitá consiste nel ridurre il numero di prototipi possibili tra i quali l ascoltatore puó iterativamente 1 Da questo momento potremmo utilizzare i due termini interscambiandoli, teno presente che la HRTF è la trasformata di Fourier della HRIR e viceversa.

34 26 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF scegliere quello con il quale sente meglio. Un altro approccio considera le correlazioni tra le caratteristiche della HRTF e l antropometria. Se le misurazioni antropometriche possono venir fatte in tempi brevi, usando tecniche di computer vision, il miglior matching nel database corrisponderá al soggetto che piú assomiglia all ascoltatore. Purtroppo le caratteristiche della HRTF sono molto sensibili a cambiamenti relativamente piccoli, soprattutto per la forma dell orecchio esterno, e trovare il matching migliore nel database rimane ancora un problema aperto. Interpolazione spaziale Le misurazioni acustiche per la creazione di un database di HRTF vengono fatte considerando un insieme finito di posizioni e quando vi è la necessitá di effettuare il rering per posizioni intermedie si ricorre all interpolazione tra i dati presenti. Se la HRTF intermedia venisse ricondotta alla HRTF piú vicina verrebbero generati degli artefatti acustici. Per effettuare l interpolazione direttamente sui campioni delle HRIR si puó utilizzare il metodo bilineare[39]: viene calcolata la risposta di un punto, individuato dalla coppia di valori (θ, φ), come media pesata delle quattro risposte piú vicine, presenti nel database. Se l insieme di HRIR è misurato su una griglia sferica con passo di campionamento spaziale θ grid e φ grid, la risposta all impulso stimata, ĥ, nel punto (θ, φ), puó essere calcolata come: ĥ[n] = (1 c θ )(1 c φ )h a [n] + c θ (1 c φ )h b [n] + c θ c φ h c [n] + (1 c θ )c φ h d [n] (2.1) dove h α [n](α = a, b, c, d) sono le HRIR associate ai quattro punti vicini al punto desiderato. I parametri c θ e c φ sono calcolati come: c θ = θ mod θ grid θ grid, c φ = φ mod φ grid φ grid (2.2)

35 2.1. HRIR E HRTF PERSONALI 27 Figura 2.1: a) interpolazione bilineare delle HRIR; b) interpolazione di zeri per modelli poli-zeri sintetici di HRTF Si possono applicare numerosi miglioramenti a questa tecnica[38], prestando attenzione all introduzione da parte dell interpolazione di artefatti udibili dovuti ai cambiamenti di fase, al sampling rate, etc. L interpolazione puó essere adoperata anche con HRTF sintetiche modellate tramite filtri poli-zeri(v. paragrafo successivo). Nel semplice caso di due filtri FIR H α (z)(α = a, b) con q zeri della forma: q q H α (z) = 1 + b α,k z k = (1 c α,k z 1 ), b α, = 1 (2.3) k=1 k= gli zeri di entrambi i filtri sono ordinati secondo la fase. Il filtro risultante dall interpolazione, Ĥ(z) = q k= (1 ĉ kz 1 ), puó essere ottenuto associando gli zeri per prossimitá angolare e calcolando lo zero come ĉ k = (1 ρ)c a,k + ρc b,k con k = 1,...,q. Esso H α a fase minima, anche il filtro interpolato sará a fase minima. Nel caso di filtri IIR, l interpolazione dei poli e degli zeri diventa piú complicata e necessita di algoritmi specifici per garantire la stabilitá del risultato.

36 28 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF Metodi Numerici In teoria le HRTF potrebbero venir calcolate risolvo l equazione delle onde, soggette alle condizioni al contorno imposte dalla superficie del corpo su cui si infrangono. In pratica una soluzione analitica risulta impossibile e si utilizzano metodi numerici come: ˆ teoria della diffrazione di Kirchhoff nel dominio della frequenza; ˆ boundary-element methods nel dominio della frequenza; ˆ boundary-element methods incrementato dall espansione multipolo; ˆ metodo alle differenze finite nel dominio del tempo; ˆ sintesi differenziale della pressione; ˆ metodi ispirati alla computer graphics basati su ray tracing. Le due principali problematiche che limitano l utilizzo di queste tecniche per ottenere HRTF personali sono: la necessitá di avere delle superfici mesh molto accurate soprattutto per modellare la pinna, e l alto costo computazionale per simulazioni su banda larga. Ci soffermiamo sul metodo alle differenze finite nel dominio di tempo (FDTD) adoperato in [22]. Yee propose, nel 1966, questo algoritmo numerico per risolvere efficientemente il problema al contorno che coinvolge le equazioni di Maxwell (riportate di seguito). E = H t 1 µ (2.4) E = ρ (2.5) H = D t + J (2.6)

37 2.1. HRIR E HRTF PERSONALI 29 B = (2.7) Dalla relazione temporale e spaziale tra il campo magnetico e il campo elettrico, Yee pensó di esprimere il campo attuale utilizzando gli stati passati. Si puó porre quest idea in analogia con una macchina a stati finiti in cui lo stato attuale dipe solamente da quello precedente ed influenzerá solamente lo stato successivo. Nel il periodo storico in cui è stato proposto il metodo, il costo computazionale era insostenibile, ma negli ultimi dieci anni è stato riscoperto grazie alla sua semplicitá e soprattutto grazie all aumento della potenza di calcolo della macchine odierne. L idea alla base del metodo FDTD puó essere facilmente applicata alla propagazione delle onde sonore nello spazio. Per esempio, nella simulazione di campi aperti, dove si vogliono eliminare le riflessioni, è necessario definire la spazio di calcolo per avere delle griglie di calcolo limitate. Vengono introdotte delle condizioni di assorbimento al contorno (Absorbing Boundary Condition, ABC ) all interno dello spazio, che simulano un materiale che genera riflessioni ridotte. I parametri che generalmente si possono decidere e controllare sono: la taglia della griglia spaziale, il passo di campionamento spaziale della griglia, il passo di campionamento temporale (la lunghezza degli incrementi temporali tra uno stato e l altro), il punto di osservazione, il numero di sorgenti sonore, la banda spettrale da analizzare e il tipo di ABC. La scelta di questi parametri influenza notevolmente la performance e l accuratezza della simulazione Modelli Poli-Zeri La HRTF per una certa direzione (θ, φ) puó essere approssimata con un modello poli-zeri o modello ARMA (AutoregRessive Moving Average) con funzione di trasferimento nella seguente forma: H(z) = b + q k=1 b kz k 1 B(z) p k=1 a = (2.8) k kz A(z) dove i coefficienti b k e a k dipono da θ, φ e possono venire individuati da numerosi sistemi di identificazione fino ad oggi utilizzati.

38 3 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF Nel caso di p =, la H(z) è un modello FIR tutti zeri. Una tecnica immediata per ottenerlo consiste nella finestratura della risposta all impulso h(n) corrispondente a H(z). h(n) = 1 N N 1 k= H(e jw k )e jw kn (2.9) il segnale nel tempo sará h(n) = h(n)w(n). La lunghezza di w(n) è inferiore inferiore ad h(n) a seconda dell approssimazione desiderata e, in relazione al tipo di finestra utilizzata, si avranno diversi effetti sulla HRTF. Questo metodo puó essere modificato introduco dei pesi nel dominio della frequenza, in modo da modellare la risoluzione spettrale non uniforme dell orecchio; in modo analogo le frequenze si possono distorcere con metodi di warping, come bilinear warping, che sostituisce un unitá di ritardo con una sezione passa-tutto del primo ordine: z 1 D 1 (z) = z 1 λ 1 λz 1 (2.1) con λ denominato coefficiente di warping. Il procedimento è reversibile, viene chiamato unwarping, e si realizza sostituo λ a λ. In Fig. 2.2 si puó osservare l andamento della curva di warping al variare di λ. Nel caso di q =, la H(z) è un modello IIR tutti poli. Un metodo per calcolare i coefficienti a k che meglio approssimano H(z) è la Linear Prediction. In generale, il design di un filtro approssimatore si riconduce alla minimizzazione di una certa funzione d errore nella forma: E(e jw ) = H(e jw ) H(e jw ) (2.11) da cui possiamo citare alcuni criteri d errore comunemente utilizzati: Least-Squares Error: E{H H} = 1 L 2kπ/LF s ; L 1 k= (H(ω k) H(ω k )) 2 con ω k =

39 2.1. HRIR E HRTF PERSONALI 31 Figura 2.2: Warping delle frequenze per una sezione passa-tutto D 1 (z) del primo ordine al variare di λ. Le frequenze sono normalizzate rispetto alla Nyquist rate. Log-Magnitude responce Error: E log {H H} = 1 L 1 L k= (ln H(ω k) ln H(ω k ) ) 2 criterio di errore guidato da una motivazione percettiva; Weighted Least Square: E{H H} = 1 L 1 L k= (H(ω k) W (e jw ) H(ω k ) ) 2 con W (e jw ) funzione peso per modellare la risoluzione spettrale dell ascoltatore. In Fig. 2.3 è riportata la tabella presentata da Houpaniemi in [37] della tassonomia negli anni 9 per design di filtri che approssimano la HRTF. Come si puó osservare i risultati sono molto variegati. Questo è dovuto all utilizzo, per alcuni di questi studi, di errori spettrali definiti teoricamente o per ispezione visiva, per altri di test d ascolto. 2 Un altra motivazione che re cosí diversi questi progetti risiede nella varietá di tipologie di dati usati 2 Purtroppo non esistono test d ascolto definiti formalmente e che danno un risultato statistico probabilmente uniforme.

40 32 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF Figura 2.3: Tassomania anni 9 dei design di filtri per HRTF binuarali. I filtri con [Study = Empirical?] esibiscono risultati dedotti da test informali nei singoli studi. Le HRTF possono venir equalizzate rispetto alle condizioni di campo vicino oppure rispetto ad un particolare tipo di cuffie e i dati possono riferirsi a un manichino (KEMAR) oppure essere personali o impersonali. Infine puó essere stata applicata o meno una ricostruzione a fase-minima. I ricercatori hanno utilizzato varie tecniche di filter design, sistemi di identificazione e reti neurali per cercare una corrispondenza tra i modelli multiparametro e dati sperimentali. Sfortunatamente, molti dei filtri progettati hanno coefficienti che si legano con funzioni molto complicate dell azimuth e dell elevazione: modelli che hanno un numero sufficiente di parametri per catturare i segnali di localizzazione personali non forniscono vantaggi computazionali significativi Espansioni in serie Sebbene la HRTF possa parere complicata, si puó ipotizzare, su basi fisiche, la sua completa determinazione tramite un insieme relativamente piccolo di pa-

41 2.1. HRIR E HRTF PERSONALI 33 Figura 2.4: Un insieme di dati bidimensionale e due vettori di base (o assi principale) PC1 e PC2 estratti utilizzando la PCA. rametri fisici: il raggio medio della testa, l eccentricitá della testa, il diametro massimo della pinna, la profonditá della conca, ecc. La dimensionalitá della HRTF risulterebbe piccola, nonostante la sua complessitá potrebbe portare ad una visione errata dei parametri. Uno dei metodi che è stato utilizzato per fare chiarezza è la principal component analysis, PCA (anche conosciuta come trasformazione di Karhunue-Loéve) applicata alla HRTF complessa o al logaritmo dell ampiezza della HRTF. Si produce un insieme direzionalmente indipente di funzioni base e un insieme direzionalmente dipente di pesi per combinare le funzioni di base che rappresentano lo spazio dei parametri. Sfortunatamente, nella sintesi real-time, viene richiesto uno sforzo computazionale considerevole; quando vi è un movimento della testa dell ascoltatore o uno spostamento della sorgente sonora, i pesi si relazionano con funzioni complicate a seconda dell azimuth e dell elevazione, che devono venir catalogate in tempi brevi. Per dare un idea piú chiara di come operano questi metodi, spiegheremo brevemente la PCA, procedura statistica molto popolare che permette di ridurre la dimensionalitá di una grande mole di dati e mantenere il piú possibile coerenti le variazioni tra gli stessi.

42 34 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF Si vuole rappresentare un insieme di M vettori a valori reali x 1,...,x M, di dimensione N, attraverso la proiezione dei dati su una linea che passi attraverso la media, di equazione x k = m + a k e, k = 1,..., M (2.12) dove e è un vettore unitario nella direzione della linea, e gli scalari a k corrispondono alla distanza di ogni punto dalla media m = 1 M M k=1 x k. Otteniamo l insieme ottimo di coefficienti a k minimizzando l errore quadratico nella funzione E(a 1,..., a M, e) = = M M (m + a k e) x k 2 = a k e (x k m) 2 k=1 k=1 M M a 2 k e 2 2 a k e T (x k m) + k=1 k=1 k=1 M x k m 2. (2.13) Sapo che e = 1, si pone la derivata parziale rispetto ad a k pari a zero: E(a 1,..., a M, e) a k = 2a k 2e T (x k m), (2.14) i coefficienti ottimi si trovano proiettiamo il vettore x k sulla linea e che passa attraverso la media, otteno: a k = e T (x k m). (2.15) Per trovare la miglior direzione per e definiamo, come prima cosa, la matrice di covarianza dell insieme di vettori, S = 1 M M (x k m)(x k m) T. (2.16) k=1

43 2.1. HRIR E HRTF PERSONALI 35 e cerchiamo di minimizzare l errore, trovando il massimo della funzione f(e) = e T Se, con il vincolo e = 1. Illustriamo brevemente i passaggi algebrici che ci portano a questo risultato: M M M E(a 1,..., a k, e) = a 2 k 2 a 2 k + x k m 2 k=1 k=1 k=1 M M = [e T (x k m)] 2 + x k m 2 k=1 k=1 M M = e T (x k m)(x k m) T e + x k m 2 k=1 = Me t Se + M x k m 2 ; k=1 k=1 (2.17) Ora si puó utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange 3 ed ottenere la seguente funzione di Lagrange e il suo gradiente L(e, λ) = e T Se λ(e t e 1) (2.19) e L(e, λ) = L(e, λ) e = 2Se 2λe (2.2) Concludo, i punti di e che massimizzano f(e) sono quelli che soddisfano: Se = λe, (2.21) 3 Procedimento matematico per trovare gli estremi di una funzione f(x) soggetta ad uno o piú vincoli nella forma g(x) =. Si costruisce la funzione Lagrangiana L(x, λ) = f(x) + λg(x), (2.18) dove λ è uno scalare chiamato moltiplicatore incognito di Lagrange e si cercano gli zeri del gradiente x L(x, λ)

44 36 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF e deve essere un autovettore della matrice di covarianza S, con rispettivo autovalore λ. Il miglior autovettore possibile secondo il criterio della differenza quadratica minima è quello a cui corrisponde l autovalore della matrice di covarianza maggiore che garantisce la massimizzazione di e T Se = λe T e = λ. Il risultato puó essere esteso a proiezioni ad uno scenario multidimensionale. Per una proiezione q-dimensionale attraverso la media dei campioni si otterrá: x = m + q a k,i e i ; (2.22) i=1 dove i coefficienti a k,i si dicono componenti principali. Si procede quindi in maniera analoga al caso unidimensionale proiettando i dati su i q autovettori di S (assi principali) corrispondenti ai q autovalori piú grandi. Se si usano tutti gli autovettori (q = M) si otterranno i dati originali; il numero di assi principali q, necessari ad una adeguata rappresentazione dei dati, è una funzione dell ammontare di ridondanza 4 o correlazione presente nel dataset. Il primo ricercatore che adoperó la PCA sui dati di HRTF fu Martens (1987); descriviamo brevemente un possibile utilizzo della PCA in questo campo. Siano H(θ k, φ k, ω j ) le HRTF su M direzioni θ k, φ k (k = 1...M) e su N frequenze ω j (j = 1...N). Costruiamo M vettori N-dimensionali x k = log H(θ k, φ k, ω j ), in modo da sfruttare percettivamente l approssimazione logaritmica dell ampiezza. Il risultato è composto da un insieme di q basi e i, con e i,j = e i (ω j ), in modo da approssimare la direzione (θ k, φ k ) nella seguente maniera: log H(θ k, φ k, ω j ) q a i (θ k, φ k )e i (ω j ) (2.23) i=1 Gli studi effettuati su questo metodo hanno individuato le prime cinque funzioni base (q=5) come rappresentative dell insieme delle ampiezze delle 4 Piú ridondanza è presente, piú si potrá diminuire q.

45 2.2. MODELLI STRUTTURALI 37 HRTF; il livello di correlazione tra le HRTF sintetizzate e quelle misurate è buono. Tuttavia evidenziamo che le dipenze spaziali e di frequenza sono state disassociate semplificando molto la computazione e che le grandezze antropometriche collegate alle funzioni base sono di difficile misurazione. 2.2 Modelli Strutturali L ultimo approccio che presentiamo è quello che ha guidato le ricerche di questo lavoro. La HRTF puó venir modellata sulla base di un analisi semplificata della fisica della propagazione e della diffrazione delle onde sonore. Possiamo vedere il modello sferico di Lord Rayleigh (v. par ) come un primo passo in questa direzione. Uno dei lavori piú ambiziosi è stato fatto nel 1983 da Genuit, dove rilevó 34 grandezze antropometriche che caratterizzano la forma delle spalle, della testa e della pinna e le usó per approssimare la HRTF come composizione delle corrispondenti funzioni di trasferimento. Da questi studi prese forma il concetto di modello strutturale. Purtroppo la documentazione sul modello di Genuit è scarsa, non sono chiare le relazioni tra alcuni parametri del modello in relazioni alle corrispondenti grandezze antropometriche e non ci sono informazioni per comprere se le 34 grandezze sono necessarie o sufficienti per la determinazione della HRTF. Ma non vogliamo soffermarci sui lati in ombra di questo primo modello, bensí vogliamo sottolineare le caratteristiche importanti che aprono gli orizzonti dello studio dei modelli strutturali. ˆ ogni componente considerata nel modello è ritenuta responsabile di fenomeni fisici significativi e identificati; ˆ il modello è adatto ad applicazioni real-time perché computazionalmente economico;

46 38 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF Figura 2.5: Un modello strutturale proposto da Brown e Duda nel 1998 per approssimare la HRTF. Moduli separati descrivono la schermatura della testa, le riflessioni delle spalle e gli effetti della pinna. ˆ si possono relazionare i parametri del modello con le grandezze corporee, dando la possibilitá di determinare HRTF personali ricavate dall acustica e dell antropometria; ˆ non è un modello a cascata o multi-cammino, ma un modello naturale che si adatta al problema. La HRTF viene modellata come una combinazione di filtri collegati in maniera congruente al meccanismo di ascolto umano: il contributo della testa, del busto, delle spalle e le riverberazioni dovute all acustica della stanza vengono processate indipentemente in parallelo per poi essere incanalate verso il filtro che racchiude le caratteristiche della pinna. Separare gli effetti delle varie componenti anatomiche in strutture indipenti di filtri è un approssimazione euristica che non considera le interazioni tra le onde che si infrangono da una all altra, ma che porta comunque a buoni risultati. Un esempio di modello strutturale sviluppato da Brown e Duda [24] è riportato in Fig Il modello denominato snowman model (v. par ) puó essere visto come un esempio di estensione strutturale del modello sferico di Lord Raylei-

47 2.2. MODELLI STRUTTURALI 39 Figura 2.6: Il modello strutturale snowman, chiamato anche head-and-torso (HAT) model. gh [32]. Un busto sferico è posizionato sotto una testa sferica che considera anche le riflessioni delle spalle. I parametri coinvolti sono solamente quattro (a,h,b, e δ, v. Fig. 2.6) e forniscono una buona approssimazione del comportamento a basse frequenze della HRTF, in quanto non viene considerato il contributo della pinna. I parametri a raggio della testa, b raggio del buto e h altezza del collo sono facilmente misurabili. Il filtro di Brown e Duda che rappresenta l effetto schermante della testa (da cui il nome shadowing filter) è composto da un polo e da uno zero che approssimano la soluzione analitica (formula 1.4) riduco la forza del bright spot (v. par ). La funzione di trasferimento è data da: H(s, θ, a) = ατs + 1 τs + 1 (2.24) dove il parametro α dipe da θ e il costante di tempo dipe da a, con τ = 2a c (2.25)

48 4 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF Siccome H(, θ, a) = 1, il DC gain è db per qualsiasi valore di θ o a. Il parametro α(θ) è il guadagno asintotico per le alte frequenze con formula: α(θ) = con il valore α min =.1 e θ min ( 1 + α ) ( min + 1 α ) ( ) min θ cos π 2 2 θ min (2.26) = 5π/6rad o 15 si raggiunge una buona corrispondenza con i risultati teorici e un bright spot attenuato. Una proprietá fondamentale del shadowing filter è la dipenza della posizione dei poli solo dal raggio della testa dell ascoltatore. Per una testa di grandezza media, raggio di a = 8.75 cm, si ha una frequenza per il polo di f c = 1/2πτ = c/4πa 312Hz. La posizione dello zero varia a seconda dell angolo di osservazione. Ad un angolo θ flat, dove α = 1, lo zero e il polo si cancellano e la risposta in frequenza è piatta. Dall equazione (2.26) si puó ricavare l angolo critico: α min ( 1 θ flat = θ min π sin 1 2 α min ) (2.27) Se α min =.1 e θ min = 15, θ flat Se θ > θ flat, il filtro taglia le alte frequenze, mentre se θ < θ flat le aumenta. La Fig. 2.7.b mostra la famiglia completa delle curve della risposta in frequenza per il filtro sintetico. Il taglio massimo alle alte frequenze è attorno ai 2db (=2log 1 α min ) e avviene a θ = θ min (15 ). Se θ = le alte frequenze sono aumentate di 6db. Quando θ = π la risposta trova qualche difficoltá nell approssimare la soluzione analitica 5. I modi per migliorare questo semplice modello sono numerosi, ne citiamo alcuni: ˆ inserire un fractional delay filter F IT D (θ, z) che considera l ITD; ˆ trattare la testa come un ellissoide; 5 Per avere un fit migliore con la soluzione teorica bisognerebbe utilizzare una equazione per α piú complicata che rerebbe vano lo sforzo di semplificazione del modello.

49 2.2. MODELLI STRUTTURALI 41 Figura 2.7: Risposta in frequenza di un semplice modello di testa sferica del primo ordine al variare dell angolo di osservazione θ. (a) soluzione teorica esatta, (b) approssimazione con filtro sintetico ˆ posizionare i punti d osservazione (le orecchie) in maniera realistica, non per forza lungo il diametro della testa. Per quanto riguarda il busto si puó semplicemente rappresentare la riflessione principale, per mezzo di un ritardo che dipe dall azimuth e dall elevazione τ (t) (θ, φ). Il busto si puó modellare utilizzando un unico filtro a ritardo frazionario: H torso = g (t) F τ (t)(θ, φ, z) (2.28) dove g (t) è il coefficiente di riflessione. Facciamo notare come questo modello sia valido solo per φ > ; se la sorgente sce in elevazione ci sará un punto in cui subentrerá l effetto schermante del busto. Gli effetti della pinna sono molto piú complessi da modellare perché è difficile estrarre i suoi parametri antropometrici dai dati misurati. Nel pros-

50 42 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF Figura 2.8: Modello strutturale per la pinna proposto da Batteau e formalizzato da Watkins simo paragrafo, concluderemo questo capitolo espono i vari modelli per pinna studiati e approfonditi nella letteratura. 2.3 PRTF e antropometria Per PRTF si inte Pinna Related Transfer Function, cioé la risposta in frequenza della pinna isolata dal resto del corpo e dalla testa 6. Negli anni 7 Batteau mostró sperimentalmente che la pinna forniva dei segnali molto importanti per la discriminazione dell elevazione,oltre ad esserlo per l azimuth. Propose un semplice modello dove la parete della conca e l elice (helix o rim) agiscono da riflettori. Le onde riflesse interferiscono con il cammino diretto dell onda sonora produco dei profondi notch nello spettro. Ad ogni prima riflessione è associato un ritardo T rispetto al suono diretto, che produce dei notch spettrali con frequenza 1/T; siccome T varia con l elevazione, anche la frequenza dei notch varia. Possiamo quindi ipotizzare che la forma spettrale e le frequenze dei notch siano i principali segnali per la stima dell elevazione di una sorgente sonora. Nel 1978 Watkins formalizzó il modello proposto da Batteau in un single-delay-and-add system. In Fig. 2.8 possiamo notare come al suono diretto si sommino due riflessioni: riflessione della conca: caratterizzata da un coefficiente di riflessione fisso ρ A e un tempo di ritardo fisso τ A ; quindi una riflessione sempre presente 6 Si puó pensare la pinna montata su un piano infinito.

51 2.3. PRTF E ANTROPOMETRIA 43 e indipente; riflessione dell elice: caratterizzata da un coefficiente di riflessione fisso ρ V e da un ritardo dipente dall elevazione τ V (φ) = d/c, con d la differenza di cammino rispetto all onda diretta e c la velocitá del suono. La formulazione single-delay-and-add fornisce una collezione di frequenze di notch date dall espressione: f n = n(1/2τ(φ)) con n=1,3,5... (v. paragrafo successivo). Watkins dimostró che questo modello ha la capacitá di approssimare bene i dati reali per elevazioni all interno dell intervallo 45. La grande potenzialitá di questo modello è la sua semplicitá, anche se i notch spettrali prodotti si discostano abbastanza dai notch dei dati sperimentali e il coefficiente di riflessione dovrebbe essere dipente dalla frequenza 7. E stato largamente utilizzato in cascata all uscita dell HAT model[4] in modo da ottenere un modello strutturale di HRTF completo, semplice e allo stesso tempo piuttosto efficace. López-Poveda e Meddis [26] estesero il modello di Batteau/Watkins includo l effetto di diffrazione per spiegare la rilevazione delle riflessioni da parte della parete posteriore della conca per sorgenti nel piano mediano, sia laterale che verticale. Utilizzarono misurazioni acustiche su un pezzo di lamiera e calcoli numerici basati sulla teoria della diffrazione di Kirchhoff su una forma cilindrica di conca. Attraverso varie approssimazioni studiarono la pressione di diffrazione associato ad ogni punto della conca, considerando come relazione di base per la funzione di trasferimento della conca: p T p = 1 + p R p (2.29) dove p T è la pressione totale all entrata dell apertura della conca, p R è la pressione di riflessione della parete della conca misurata all entrata dell apertura della conca, e p è la pressione del suono incidente. Al variare dell elevazione e dell azimuth López-Poveda analizzarono il comportamento della HRTF 7 Soprattutto quando la superficie riflettente è piccola rispetto alla lunghezza d onda.

52 44 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF sperimentale in relazione al modello sviluppato. Trovarono tre notch principali: un notch principale associato alla profonditá della conca, un altro meno intenso associato alla crus helias e un ultimo (non individuato dal modello) probabilmente associato al tragus. Tutti e tre i notch hanno un evoluzione della frequenza centrale in base alle variazioni di θ e φ Modelli Strutturali per PRTF In questo paragrafo conclusivo trattiamo tre lavori che hanno maggiormente guidato le idee su cui si basa questa tesi. ˆ Barreto et al. [34][35][36] approfondisce la struttura risonanza piú ritardo e cerca di relazionarne i risultati all antropometria della pinna; ˆ Raykar et al. [25][14] sviluppa un procedimento per l individuazione dei notch piú significativi e cerca di fornirne una mappatura sulla superficie della pinna; ˆ Satarzadeh et al. [21][22] focalizza la sua attenzione sul caso specifico θ = e φ =, forno un modello risonanza piú notch. Barreto et al. ha proposto un modello per la pinna nel quale le trasformazioni del suono che viaggia verso il timpano sono create dalla sovrapposizione di un numero di riflessioni che vengono condizionate dal risonatore conca. Come nel primo modello di Watkins/Batteau i cammini paralleli rappresentano i multipli rimbalzi del suono sulla struttura geometrica della pinna. Diverse traiettorie hanno differenti lunghezze, modellate dai delay τ i. La perdita di energia per ogni riflessione del suono è modellata dal fattore di ampiezza ρ i presente in ogni cammino del diagramma a blocchi. La risonanza puó venir rappresentata con una funzione di trasferimento del II ordine, quindi da due parametri, l angolo e il raggio dei poli nel dominio z. Questo modello richiede in tutto la definizione di 9 parametri da relazionare all antropometria dell orecchio esterno. Barreto procede scompono la HRIR

53 2.3. PRTF E ANTROPOMETRIA 45 Figura 2.9: Diagramma a blocchi del modello di pinna risonanza piú ritardo. nella sovrapposizione di 4 sinusoidi scalate e smorzate 8, in accordo al modello in Fig Ogni sinusoide sará scalata di un fattore ρ i e ritardata con latenza τ i (τ 1 = ). Nel dominio z una singola componente sinusoidale smorzata si puó modellare come un dipolo: X(z) = kz 2 (z p 1 )(z p 2 ) (2.3) dove k è uno scalare e p 1 e p 2 sono poli complessi coniugati. Il corrispondente segnale nel dominio del tempo ha la forma: x i = e din sin(ω d πn) (2.31) con n = 1...N, N è lunghezza del segnale, d i è il fattore negativo di smorzamento e ω d è la frequenza della sinusoide. Vengono proposti due processi di decomposizione dell HRIR in componenti sinusoidali. Il primo [34] è eseguito da un algoritmo sequenziale che racchiude una modellazione del secondo ordine tramite il metodo Steiglitz- McBride (STMCB) su finestre consecutive definite a partire dalla HRIR misurata. Lo scopo del processo sequenziale è quello di restringere l analisi a piú finestre parziali di dati di lunghezze diverse, in modo da trovare quella dove solo una componente sinusoidale (o meglio la sua approssimazione del 8 La risposta di un risonatore ad un impulso fornisce un segnale sinusoidale smorzato.

54 46 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF secondo ordine) è presente. L altro algoritmo[35], procede in maniera diversa e con un costo computazionale inferiore, ma risultati leggermente peggiori. Inizia approssimando la HRIR con un modello 2*N poli utilizzando STMCB, con N numero di componenti sinusoidali da ricercare; vengono calcolate le sinusoidi smorzate candidate considerando ogni coppia di poli coniugati e si sottraggono alla HRIR originale otteno N residui. Il processo si itera fino ad avere un modello del secondo ordine che fornirá N! possibilitá, corrispondenti alle foglie dell albero delle iterazioni. Si sceglierá il cammino che dalla radice (il modello di ordine 6) alle foglie approssima meglio la HRIR 9. La relazione con i parametri antropometrici è stata studiata mediante regressione lineare su 8 parametri al variare dell elevazione. Purtroppo la documentazione riguardante questa fase del lavoro è poco chiara e le grandezze antropometriche considerate sono state individuate tramite scanner 3D. Le informazioni necessarie sono di difficile misurazione e la semplicitá del modello viene vanificata. Raykar et al presenta un lavoro per estrarre automaticamente le frequenze corrispondenti ai notch spettrali. La difficoltá maggiore riguarda la separazione di molti effetti combinati nella HRIR misurata, quali la diffrazione della testa, la spalle, il busto e le riflessioni artificiali 1 delle ginocchia. Vengono sviluppate tecniche robuste di signal processing per individuare solamente in notch dovuti alla pinna. Si utilizzano le seguenti tecniche: residuo di un modello LP (linear prediction), funzione di autocorrelazione finestrata, funzione group-delay, modellazione tutti poli, guidate dalla conoscenza a priori della 9 L algoritmo prevede di non generare l albero delle iterazioni completo; viene introdotta una soglia sull ampiezza del picco iniziale della sinusoide per la quale, al mancato superamento, non viene calcolata la soluzione, interrompo di fatto un ramo per le iterazioni successive 1 Le misurazioni per ricavare i dati del CIPIC database sono state effettuate su soggetti in posizione seduta. Si è potuto notare come nella HRIR apparisse una riflessione molto ritardata (dopo 2 ms dal suono diretto), dovuta alle ginocchia. Questa osservazione non si nota per suoni con elevazione φ > 9, dietro all ascoltatore[25].

55 2.3. PRTF E ANTROPOMETRIA 47 fisica del problema. Le sequenza di operazioni puó essere riassunta in questi passi: 1. determinare l onset iniziale della HRIR e usare la HRIR da quell istante; 2. derivare il residuo trovato come differenza tra la HRIR del passo (1) e il modello LP di ordine 1-12; 3. effettuare la finestratura del residuo usando metá di una finestra Hann di 1. ms circa; 4. effettuare l autocorrelazione del segnale ottenuto al passo (3); 5. effettuare la finestratura dell autocorrelazione utilizzando una finestra Hann di 1. ms circa; 6. calare la funzione di group-delay del segnale ottenuto al passo precedente; 7. individuare i minimi locali utilizzando una soglia sulla funzione di group-delay; La LP analisi rimuove la parte ridondante del segnale, toglio la parte prevedibile. Le operazioni di finestratura sono eseguite per eliminare l effetto della spalle e del busto che si presenta dopo un tempo superiore al 1 ms. La funzione di autocorrelazione di un segnale produce ampiezze decrescenti al di fuori dei picchi (notch), questo comportamento favorisce il calcolo della funzione di group-delay e nello stesso tempo preserva molte delle caratteristiche dell inviluppo spettrale. La soglia utilizzata nella group delay è di -1, in modo da poter eliminare i nulli spurii creati dall operazione di finestratura. Se x(t) è un onda incidente, il segnale misurato all ingresso del canale uditivo (y(t)) sará la somma dell onda diretta e di quella riflessa, come visto in precedenza. Da cui otteniamo: y(t) = x(t) + αx(t τ(φ)) (2.32)

56 48 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF dove α è il coefficiente di riflessione e τ(φ) è il tempo di ritardo dato da: τ(φ) = 2d(φ) c (2.33) con 2d(φ) la distanza corrispondente al ritardo e c la velocitá del suono. La distanza d(φ) dipe dall angolo φ e dalla forma della pinna. Il ritardo τ(φ) causa nello spettro dei notch periodici della frequenza data da: f n (φ) = (2n + 1) 2τ(φ) = c(2n + 1), n =, 1... (2.34) 4d(φ) La frequenza del primo notch nello spettro si ha per n = : f (φ) = c 4d(φ) (2.35) In pratica ci sono una moltitudine di riflessioni all interno della pinna, ogni riflessione genera una serie di notch periodici. Al variare di dell angolo φ la frequenza del notch cambia in accordo con la forma della pinna: avo a disposizione la frequenza f (φ) si puó ricavare la distanza d(φ). Hanno notato che il primo notch appare a causa della riflessione da parte della conca e che al variare dell elevazione ne viene tracciata la forma. Il terzo notch potrebbe essere causato dal crus helias che divide la conca in due parti. Questo lavoro fornisce un idea molto attraente: prere un immagine dell orecchio esterno e con tecniche di computer graphics estrarne le caratteristiche antropometriche che genereranno i corrispondenti notch. Il lavoro di Satarzadeh è centrato sulla HRTF per sorgenti posizionate direttamente di fronte all ascoltatore (θ = e φ = ) e cerca di trovare una soluzione piú semplice possibile che possa racchiudere le caratteristiche piú importanti dal punto di vista percettivo. Il punto di partenza è rappresentato dagli studi di Shaw (v. par ) in cui viene proposto un modello di conca rettangolare con alcune modifiche (chiamato model E), Fig 2.1: ˆ per ridurre l eccitamento verticale della frequenza risonante è stata introdotta una barriera parziale, che rappresenta la crus helais, che è determinata dal valore F;

57 2.3. PRTF E ANTROPOMETRIA 49 Figura 2.1: Modello finale di Shaw, denominato E model. ˆ il terzo modo risonante viene rappresentato introduco un canale simile ad una fossa, che è determinato dai parametri E e C. I parametri A,B e D che rappresentano l altezza totale della conca, F rappresenta la larghezza e C e E rappresentano la lunghezza e il diametro della fossa. Infine il parametro G rappresenta la profonditá della conca. Lo studio del modello è stato condotto utilizzando della simulazioni con il metodo FDTD (v. par ) per elevazioni che variano da 3 a 3 ad intervalli di 5. I risultati ottenuti sono stati usati in relazione ai parametri seguenti: ˆ F 1 frequenza del primo picco; ˆ G 1 guadagno del primo picco; ˆ F 3dbl frequenza del primo punto con threshold di 3db; ˆ F n frequenza del primo notch; ˆ G n differenza tra il guadagno del picco e del notch; ˆ F 2 frequenza del secondo picco;

58 5 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF ˆ G 2 guadagno del secondo picco; Per ogni insieme di possibili input (A-G,φ) sono stati estratti gli output (F 1, G 1, F 3dbl, F n, G n, F 2 e G 2 ) e si sono analizzate le relazioni tra i parametri di input e le loro risposte. La piú grande deviazione standard per ogni output si ottiene per i parametri di input F e G. Questo indica che la larghezza e la profonditá della conca dominano l effetto degli altri parametri antropometrici. Dopo questa fase preliminare di analisi, Sataradeh propone dei sistemi automatici per l identificazione delle caratteristiche spettrali della PRTF: ˆ Group Delay Analysis del cepstrum per l individuazione dei notch piú significativi; viene descritto come metodo robusto rispetto all operazione di finestratura che produce degli spostamenti degli zeri nelle PRTF; ˆ Scale-Space Filtering per individuare le risonanze della PRTF; Il primo viene utilizzato per l identificazione degli zeri dell PRTF, mentre il secondo per i poli. Riportiamo brevemente le due definizioni che stanno alla base dei due metodi. La funzione di group delay è definita come la derivata negativa della fase di una f.d.t rispetto alla frequenza angolare: τ d = d dw arg{h(ejw )} (2.36) La rappresentazione scalata nello spazio, L, di un qualsiasi segnale ψ si ottiene da: 1 L(µ, σ) = ψ(x) 2πσ e (x µ) 2 2 2σ 2 (2.37) La convoluzione con una Gaussiana con deviazione standard σ e media µ sopprimerá le caratteristiche di ψ(x) con una lunghezza minore di σ 11. Viene 11 Le caratteristiche per un segnale monodimensionale sono gli estremi locali.

59 2.3. PRTF E ANTROPOMETRIA 51 Figura 2.11: Modello strutturale proposto da Satarzadeh. cosí proposto un modello strutturale in cui i due modi risonanti principali, associati alla profonditá e alle larghezza della conca, sono in parallelo e connessi in serie ad un comb filter che cerca di tenere conto dei notch piú importanti: ( H(s) = H model (s) = (H depth (s) + H width (s))h comb (s) (2.38) K 1 (s + ω/3) (s + σ 1 jω 1 )(s + σ 1 + jω 1 ) + K 3 (s + ω/4) (s + σ 2 jω 2 )(s + σ 2 + jω 2 ) ) (1 + Γe jwτ ) (2.39) dove Γ e τ rappresentano il coefficiente di riflessione e il tempo di ritardo del comb filter. Le risonanze hanno la forma: H(s) = K 1 (s + K 2 ) s 2 + ω b s + (ω b /2) 2 + ω 2 c (2.4) dove ω c determina la frequenza di risonanza, ω b la banda passante e K 1 e K 2 sono rispettivamente il guadagno della risonanza e la risposta del filtro alla DC. L ultima parte del lavoro di Satarzadeh et al. riguarda la possibilitá di associare i pochi parametri del modello proposto con l antropometria dell orecchio esterno. I parametri trattati sono: Time Delay τ: si vuole utilizzare il tempo di ritardo per identificare la superficie riflettente, che nel caso di questo studio è un solo punto che

60 52 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF causa dei notch periodici (comb filter) nello spettro della PRTF. Sia w la distanza tra il tragus e la superficie riflettente. L onda che passa il tragus si riflette sulla superficie riflettente e ritorna all entrata del canale uditivo percorro una distanza di 2w da cui: w = cτ 2 (2.41) Nel caso di superficie riflettente si avrá un coefficiente di riflessione ρ > e se 2w è metá della lunghezza d onda (o un multiplo dispari di metá lunghezza d onda) verrá prodotto un notch spettrale: 2w = cτ = λ 2 = con f 1 la frequenza del primo notch. c 2f 1 (2.42) τ = 1 2f 1 (2.43) Nel caso di ρ < l onda passa oltre il rim della pinna e incontra la bassa impedenza dello spazio dietro la conca. In questo caso l interferenza distruttiva appare se 2w = λ da cui: τ = 1 f 1 (2.44) Traduco queste formule sull antropometria dell orecchio esterno possiamo osservare come la distanza calcolata per il punto di riflessione sia o la parte posteriore della conca o il contorno dell elice. Questo probabilmente dipe dal flare angle, cioé l angolo tra il piano che contiene la pinna è il piano tangente alla testa nel punto di attacco dell orecchio. Depth Resonance ω 1 : viene utilizzato un modello cilindrico di conca. La caratteristica risonante di un cilindro è conosciuta e la risonanza fondamentale associata alla profonditá è data da: λ max = d +.822r (2.45) 4

61 2.3. PRTF E ANTROPOMETRIA 53 dove d è la profonditá del cilindro e r il raggio. Il termine.822r rappresenta la correzione per un cilindro vuoto dove la risonanza di profonditá è influenzata dalla larghezza del cilindro. Da cui la frequenza massima di risonanza: f max = c 4(d +.822r) (2.46) Width Resonance ω 2 : la risonanza dovuta alla larghezza della conca viene associata, per motivi fisici, al tempo di ritardo τ e in un secondo momento all antropometria. Da osservazioni empiriche la relazione tra ω 2 e τ dipe da quale, tra la conca o l elice sia il principale riflettore. A seconda dei due casi viene preso in considerazione il III o il IV notch del comb filter: Da cui la frequenza di risonanza f width : ω n = 1 + 2nπ, n = 1, 2, 3... (2.47) 2τ f width = { 7 2τ 9 2τ n = 3, conca n = 4, elice (2.48) Da questi tre lavori analizzati emergono ancora piú chiare le due componenti fondamentali che stanno alla base di una modellazione di PRTF: ˆ le risonanze: l orecchio esterno ha delle proprie caratteristica come corpo risonatore; ˆ i notch: l orecchio esterno utilizza la propria personale geometria per fornire dei segnali spaziali;

62 54 CAPITOLO 2. MODELLAZIONE HRIR E HRTF

63 Capitolo 3 Metodologie e strumenti Questo capitolo si pone come agile aiuto per la descrizione delle metodologie e degli strumenti utilizzati in questa tesi per la fase di analisi e di modellazione. Per ogni strumento verranno presentate le caratteristiche piú importanti in relazione allo scopo per cui è stato impiegato. Lo poniamo ad introduzione dei capitoli centrali della tesi, come supporto per la buona comprensione e a completamento dell esposizione. In certi casi, presentando argomenti consolidati, ci limiteremo a semplici richiami teorici, rintracciabili facilmente in letteratura. 3.1 Cepstrum Il metodo del cepstrum (inverso di spec-trum) permette di stimare l inviluppo spettrale di un segnale finestrato x(n), a partire dalla sua trasformata discreta di Fourier X(k) (con k indice delle frequenze discrete). X(k) = N 1 n= Da X(k) viene preso il logaritmo x(n)w kn N = X(k) e jϕx(k), k =, 1,..., N 1 (3.1) ˆX(k) = log X(k) = log X(k) + jϕ x (k) (3.2) 55

64 56 CAPITOLO 3. METODOLOGIE E STRUMENTI ed effettuata la IFFT di ˆX(k), che genera il cepstrum complesso: ˆx(n) = 1 N Ricavata la parte reale di ˆX(k), N 1 k= ˆX(k)W kn N (3.3) ˆX R (k) = log X(k) ; (3.4) ed eseguone la IFFT si ottiene il real cepstrum: c(n) = 1 N N 1 k= ˆX R (k)w kn N (3.5) Quindi il real cepstrum c(n) è la IFFT della log magnitude della FFT di un segnale finestrato x(n). Per generare un cepstrum pesato, la finestra con caratteristiche low-pass si presenta nella seguente forma: { 1 n =, N 1 w LP (n) = 2 1 n < N 1 2 N 1 < n N 1, N 1 N/2 (3.6) La FFT di un cepstrum finestrato c LP (n) è C LP = F F T [c LP (n)] e rappresenta la versione smussata dello spettro X(k) in db. N 1 è il numero di coefficienti cepstrali che contribuiscono alla determinazione dell inviluppo. L avvicinarsi di N 1 a N produce un risultato sempre piú simile a X(K). Il cepstrum è anche utilizzato per estrarre lo spettro stazionario. Nei modelli source-filter permette la separazione di un segnale y(n) = x(n) h(n) nel segnale sorgente x(n) e nella risposta impulsiva h(n) del filtro. La corrispondente relazione nel dominio della trasformata di Fourier diventa Y (e jω ) = X(e jω ) H(e jω ). Riscrivo H(e jω ) = H(e jω ) e H(e jω), si puó ipotizzare fermamente che la risposta in frequenza del filtro sia a valori reali e che la fase sia assegnata al segnale di sorgente.

65 3.1. CEPSTRUM 57 Il cepstrum reale fornisce una stima dell inviluppo spettrale in relazione all ampiezza del segnale, utilizzando la proprietá matematica del logaritmo (log(a b) = log(a) + log(b)): Y (e jω ) = X(e jω ) H(e jω ) log Y (e jω ) = log X(e jω ) + log H(e jω ) (3.7) Separare log H(e jω ) da log X(e jω ) significa separare le variazioni lente del filtro, da quelle rapide della sorgente. Se consideriamo il diagramma di log Y (e jω ) come un segnale nel dominio del tempo, possiamo distinguere due componenti: un oscillazione veloce, dovuta alla struttura armonica, e un andamento piú lento in relazione alle risonanze del filtro (inviluppo spettrale). La separazione della sorgente dal filtro puó essere attuata pesando di applicare al cepstrum (c(n)) due finestre: una lowpass window (w LP (n)) e una highpass window (w HP (n)): c(n) = c x (n) + c h (n) (3.8) c x (n) = c(n) w LP (n) c h (n) = c(n) w HP (n) c(n) = c(n) w LP (n) + c(n) w HP (n) (3.9) I valori di tempo bassi (basse quefrencies) ricavati dal filtraggio passa basso restituiscono l inviluppo spettrale in db, log H(e jω ), e i valori di tmpo alti (alte quefrencies) la stima della sorgente log X(e jω ). Per separare le due componenti si puó usare un metodo basato sulla IFFT: IF F T (log Y (e jω ) ) = IF F T (log X(e jω ) ) + IF F T (log H(e jω ) ) (3.1) La soglia tra le basse e le alte quefrencies è fondamentale per un giusto equilibrio tra sorgente e filtro. Abbassandola si otterrá un inviluppo spettrale piú smussato, mentre alzandola si includeranno alcune armoniche o parziali in piú nell inviluppo.

66 58 CAPITOLO 3. METODOLOGIE E STRUMENTI Figura 3.1: Diagramma riassuntivo per il calcolo del cepstrum. 3.2 Peak Filter La funzione di trasferimento di un filtro shelving del primo ordine a basse frequenze puó essere decomposta come [41]: = 1 + H 2 H(s) = s + V ω c s + ω c ω c = 1 + H s + ω [ c 1 s ω ] c s + ω c (3.11)

67 3.2. PEAK FILTER 59 con V = H(s = ), (3.12) H = V 1, (3.13) V = 1 G/2 (G in db), (3.14) La funzione di trasferimento è composta da un cammino diretto e da un filtro passa basso. Il filtro passa basso del primo ordine è implementato utilizzando una decomposizione passa tutto. Applicando la trasformata bilineare a (3.11) si ottiene: con H(z) = 1 + H [1 A(z)] (3.15) 2 A(z) = z 1 + a B 1 + a B z 1 (3.16) Ripercorriamo lo stesso procedimento per un filtro shelving che taglia le basse frequenze, considerando la seguente decomposizione: H(s) = = 1 + (V 1) } {{ } = 1 + H 2 s + ω c s + ω c /V ω c /V s + ω c /V H [ 1 s ω ] c/v s + ω c /V (3.17) La trasformazione bilineare applicata a (3.17) ritorna la (3.15). La struttura del filtro è identica sia nel caso di boost sia di cut delle basse frequenze. I parametri a B per il boost e a C per il cut hanno le seguenti forme: a B = tan(ω ct/2) 1 tan(ω c T/2) + 1 (3.18) a C = tan(ω ct/2) V tan(ω c T/2) + V (3.19) con ω c pulsazione di taglio. Assemblando assieme (3.15) e (3.16) con la distinzione di a B e a C, appena definita, si ottiene la funzione di trasferimento

68 6 CAPITOLO 3. METODOLOGIE E STRUMENTI Figura 3.2: entrambi del primo ordine. Filtro shelving per le basse frequenze e filtro passa basso, di un filtro shelving per le basse frequenze del primo ordine nel dominio discreto: H(z) = 1 + (1 + a BC) H 2 + (a BC + (1 + a BC ) H 2 )z a BC z 1 (3.2) Con A 1 (z) = A(z) il diagramma in Fig. 3.2 descrive un filtro passa basso del primo ordine e un filtro shelving per la basse frequenze del primo ordine. Un peak filter del secondo ordine puó essere ricavato dalla trasformazione di un filtro shelving del primo ordine da passa basso a passa banda. L aggiunta di un filtro passa banda del secondo ordine oltre al cammino costante diretto (come nel caso precedente) portano come risultato un peck filter. banda: Utilizziamo una implementazione passa tutto per creare un filtro passa H(z) = 1 2 [1 A 2(z)] (3.21) A 2 (z) = a B + (d da B )z 1 + z (d da B )z 1 a B z 2 (3.22)

69 3.3. MODELLI SINUSOIDALI 61 da cui un peak filter del secondo ordine puó essere espresso similmente a (3.15) H(z) = 1 + H 2 [1 A 2(z)] (3.23) I parametri per la banda passante sono a B o a C a seconda che si tratti di un picco (boost) o di un notch 1 (cut). a B = tan(ω bt/2) 1 tan(ω b T/2) + 1 (3.24) a C = tan(ω bt/2) V tan(ω b T/2) + V (3.25) con ω b pulsazione di banda passante ai 3 db. Il parametro che controlla la frequenza centrale è d, e H controlla il guadagno. d = cos(ω c ) (3.26) V = H(e jωc ), (3.27) H = V 1, (3.28) La funzione di trasferimento di un peak(notch) filter a guadagno controllato del secondo ordine ha equazione 3.29 e diagramma rappresentato in Fig H(z) = 1 + (1 + a BC) H 2 + d(1 a BC )z 1 + ( a BC (1 + a BC ) H 2 )z d(1 a BC )z 1 a BC z 2 (3.29) 3.3 Modelli Sinusoidali La modellazione sinusoidale trae origine dalla tecnica di sintesi additiva. L idea guida deriva dal teorema di Fourier cha afferma la possibilitá di modellare una qualsiasi funzione periodica, per mezzo di una somma di sinusoidi di varia ampiezza e dalle frequenze armoniche. Per un suono stazionario, le ampiezze e le frequenze evolvono lentamente con il tempo in maniera continua, dando 1 Si inte un notch a guadagno controllato

70 62 CAPITOLO 3. METODOLOGIE E STRUMENTI Figura 3.3: Peak (Notch) filter e filtro passa banda, entrambi del secondo ordine. origine ad un insieme di oscillatori pseudo-sinusoidali chiamati comunemente parziali. La modellazione sinusoidale descrive un segnale audio x(t) come somma di P parziali. P x(t) = A p (t) sin(φ p (t)) (3.3) p=1 φ p (t) = φ p () + 2π t f p (u)du (3.31) dove A p (t) è l ampiezza modulata e φ p (t) è la fase modulata della parziale p. L equazione (3.3) viene comunemente espressa nel dominio discreto in questo modo: P x(n) = A p (n) sin(φ P (n)) (3.32) p=1 A p (n) A p (3.33) φ p (n) Ω p n + φ p () (3.34) con A p e Ω p considerati costanti all interno di ogni frame di analisi, preso sufficientemente piccolo.

71 3.3. MODELLI SINUSOIDALI 63 Figura 3.4: Porzione di un sistema di analisi sinusoidale. Lo scopo principale dell analisi sinusoidale è la stima degli A p e Ω p lungo il segnale diviso in frame consecutivi. Una porzione di questo procedimento è illustrata in Fig La fase di Time/Frequency Decomposition calcola la STFT (Short-Time Fourier Transform) del segnale audio x(n): X(m, k) = ST F T (x(n, m)) = 1 N N 1 n= w(n)x(n + mh)e jk 2π N n (3.35) dove w(n) è la funzione finestra di lunghezza N (es. una Hamming window), k l indice discreto delle frequenze, m l indice di frame, H il salto in campioni tra un frame e l altro. A seguire la fase di peak detection (par ) seleziona i picchi che corrispondono a sinusoidi stazionarie presenti nel frame m. Infine il partial tracking (par ) raggruppa i picchi lungo i frame consecutivi, creando le tracce per le parziali Peak Detection Il modello sinusoidale assume che ogni spettro della rappresentazione STFT possa essere espresso da un serie di sinusoidi. Per una risoluzione frequenziale che usi abbastanza punti, una sinusoide puó essere descritta dalla sua forma. Teoricamente una sinusoide che è stabile in ampiezza e frequenza ha una rappresentazione ben definita. In pratica raramente le parziali sono perfettamente periodiche, ben spaziate e i picchi sono chiaramente definiti nel dominio della frequenza. Le interazioni tra le diverse componenti rono complicata l individuazione della forma dei picchi.

72 64 CAPITOLO 3. METODOLOGIE E STRUMENTI Una soluzione pratica è quella di trovare piú picchi possibili, vincolando la ricerca con pochi fattori, e ritardando la decisione di quali siano le vere parziali al prossimo passo d analisi (partial tracking). Definiamo un picco come un massimo locale nella risposta in ampiezza di un spettro. Gli unici vincoli imposti sono il range di frequenza e la soglia di ampiezza. A causa della natura campionata dello spettro, ogni picco avrá l accuratezza di mezzo campione 2. La tecnica di zero-padding nel dominio del tempo aumenta il numero di campioni spettrali per Hz e quindi aumenta l accuratezza di un semplici algoritmo di peak detection. Puó venir utilizzato uno schema di interpolazione piú efficace (quadratico, spline, etc.), in modo da investigare i campioni attorno al punto di massimo e raggiungere l accuratezza dello.1 %. Di uguale interesse per questa tesi è lo scenario speculare che coinvolge i minimi locali (notch) per cui possono venire utilizzate le medesime tecniche Partial Tracking Il tracking delle parziali è stato proposto da McAulay e Quatieri per l analisi del parlato nella rappresentazione sinusoidale [15] nel 1986 ed ha avuto una immediata applicazione per molti altri tipi di segnali. Vi presentiamo l algoritmo originale e alcuni miglioramenti successivamente proposti in letteratura per aumentarne l efficacia. L analisi di un segnale tempo variante viene effettuata per frame consecutivi, in altre parole una finestra scorre il segnale determinando il focus dell algoritmo. Se il numero dei picchi fosse costante da frame a frame, l associazione di un picco con il suo successivo si ridurrebbe ad un banale ordinamento in frequenza dei picchi. In pratica i picchi compaiono e scompaiono a causa dei complicati fenomeni acustici presenti nel segnale. Nel caso originale del parlato la posizione dei picchi cambia con il pitch e con la 2 Uno spettro campionato viene rappresentato ad intervalli di f s /N Hz, dove f s è la frequenza di campionamento e N è la taglia della FFT.

73 3.3. MODELLI SINUSOIDALI 65 Figura 3.5: McAulay - Quartieri algoritmo di partial tracking. rapida variazione delle parti vocalizzate o meno. Si puó definire il concetto di nascita e morte di componenti sinusoidali. Supponiamo che nel frame k-esimo siano selezionati N picchi con frequenze ω, k ω1, k..., ωn 1 k e nel frame k+1 M picchi con frequenze ωk+1, ω1 k+1,...ω k+1 M 1 (in generale N M) ordinate in maniera crescente all interno del proprio frame. Il processo che permette di associare ogni frequenze del frame k, ω k n ( n < N), con qualche frequenza del frame k+1, ω k m ( m < M), è descritta da tre passi: 1. si supponga che sia stato trovato un match per le frequenze ω k, ω k 1,..., ω k n 1 e si cerca di trovarlo per ω k n. La Fig. 3.5.a rappresenta il caso in cui tutte le frequenze del frame k + 1 stanno fuori l intervallo di

74 66 CAPITOLO 3. METODOLOGIE E STRUMENTI corrispondenza di ω k n ω k n ω k+1 m, per ogni m (3.36) In questo caso la track associata alla frequenza ωn k viene dichiarata morta: le viene assegnata ampiezza nulla nel frame k + 1 e non viene piú considerata nella prosecuzione dell algoritmo. Questo primo passo viene ripetuto per le tutte le frequenze, continuando da ω k n+1. Se esiste ωm k+1 nel frame k + 1 che sta all interno di ed è la frequenza piú vicina a ωn: k con tutti gli i m. ω k n ω k+1 m < ω k n ω k+1 i < (3.37) Il match si potrá dire definitivo solamente se risulterá il migliore alla fine dell esecuzione dei tre passi. 2. un tentativo ha associato ωn k con ωm k+1 ; se ωm k+1 non ottiene candidati migliori quello che gli è stato associato viene considerato definitivo. Questo caso è illustrato in Fig. 3.5.c in cui ω k+1 m ω k n < ω k+1 m ω k i+1 per i > n (3.38) l analisi per ωn k e ωm k+1 si conclude per proseguire con ωn+1. k Se questa condizione non è verificata ωm k+1 ha un match migliore con ωn+1 k e si creano due sottocasi illustrati in Fig 3.5.d e 3.5.e. Nel primo sottocaso (d) la frequenza minore adiacente a ω k+1 m, ω k+1 m 1, non rientra nell intervallo di corrispondenza di ω k n. In questo caso la traccia associata a ω k n viene dichiarata morta all entrata del frame k + 1. Nel secondo sottocaso (e) la frequenza ω k+1 m 1 giace all interno di di ω k n e viene definito il match. In entrambi i casi viene ripetuto il passo 1 usando ω k n+1 come frequenza da analizzare. 3. quando tutti i picchi del frame k sono stati assegnati a tracce vive o morte, nel frame k + 1 potrebbero rimanere delle frequenze libere. Ipotizziamo che ωm k+1 sia una di queste, possiamo dire che è nata una nuova possibile parziale nel frame k di ampiezza zero.

75 3.4. CIPIC DATABASE 67 Un semplice miglioramento per questo algoritmo introduce due parametri in aggiunta a : E,S. E: se una parziale appena nata non trova una continuazione dopo E frame, viene scartata; questo permette di rimuovere le tracce corte, che potrebbero esser state erroneamente identificate in una fase precedente all applicazione dell algoritmo. S: se una parziale non trova una continuazione nel frame k + 1 ha a disposizione S frame per trovarla, dopodiché viene scartata; questo permette di diminuire le discontinuitá tra picchi erroneamente non individuati. In letteratura sono proposte moltissime altre varianti di questo famoso algoritmo [16][17][18] applicate a diverse tipologie di segnale. In questo lavoro di tesi ne viene implementata la versione base, considerando i frame non temporalmente consecutivi, ma spazialmente adiacenti. Il procedimento resta il medesimo. 3.4 CIPIC Database Il CIPIC Interface Laboratory di U.C. Davis ha misurato le HRTF con un alta risoluzione spaziale per 9 soggetti. Sono stati resi di dominio pubblico (all indirizzo i dati riguardanti 45 soggetti: 43 umani piú due manichini KEMAR (Knowles Electronics Manikin for Acoustic Research 3 )con pinna piccola o grande. In aggiunta alle 125 risposte all impulso per le varie direzioni, il database contiene le informazioni di alcune grandezze antropometriche per ogni soggetto. Vengono inoltre fornite delle utility in Matlab T M per navigare, in modo ordinato, nel database. Questa tesi utilizza le HRTF per sorgenti che provengono direttamente dalla direzione frontale rispetto all ascoltatore. Se la HRIR è finestrata per rimuovere le riflessioni delle spalle che arrivano con ritardo T S, per frequenze al di sopra di 1/T S il risultato è essenzialmente lo stesso di una pinna isolata. 3 Rappresentazione Antropomorfa dell adulto medio, sotto forma di manichino.

76 68 CAPITOLO 3. METODOLOGIE E STRUMENTI Figura 3.6: Posizione dei punti di ripresa, veduta frontale (a) e laterale (b). Questo ci permette di utilizzare i dati del CIPIC HRTF database per studiare gli effetti della pinna soltanto (PRTF) Misurazioni Tutte le misurazioni sono state effettuate su soggetti seduti al centro di un cerchio di raggio 1 m allineato con l asse interaurale. La posizione della testa è lasciata svincolata, ma il soggetto deve mantenerla approssimativamente fissa per non creare discontinuitá spettrali. Lungo il cerchio sono stati montati degli altoparlanti Bose Acoustimass T M dal cono di 5.8 cm di diametro per l emissione di segnali Golay-code. I due canali uditivi del soggetto sono stato bloccati e sono stati posti all ingresso dei microfoni Etymotic Research ER-7C per raccogliere il segnale filtrato. L output dei microfoni è stato digitalizzato a 44.1 khz con una risoluzione di 16 bit. Una finestra Hamming è stata applicata alla HRIR grezza per rimuovere le riflessioni della stanza e il risultato è stato compensato con una ripresa free-field 4 per correggere le caratteristiche spettrali dei trasduttori. La lunghezza di ogni HRIR è di 2 campioni, corrispondenti alla durate di 4.5 ms. La posizione della sorgente sonora è descritta dalle coordinate polari interaurali, angolo di azimuth e di elevazione (θ, φ). L elevazione è stata uniformemente campionata con passo 4 La risposta free-field è stata misurata nella posizione corrispondente al centro della testa, in assenza del soggetto.

77 3.4. CIPIC DATABASE 69 36/64=5.625 da -45 a Per ottenere approssimativamente la densitá uniforme della sfera, l azimuth è stato campionato a -8, -65, -55 e da -45 a 45 con passo di 5, 55, 65 e Antropometria Il CIPIC HRTF database include un insieme di misurazioni antropometriche che possono venir utilizzate per vari scopi: nel nostro caso aiutare a trovare una corrispondenza tra l HRIR e la forma della pinna. L insieme e le specifiche di un insieme di misurazioni antropometriche definite e rilevanti è ancora un problema irrisolto. Soprattutto per quanto riguarda la pinna, dove piccole variazioni possono produrre grossi cambiamenti all andamento della HRTF. Le grandezze misurate traggono spunto dal lavoro di Genuit (v. par. 2.2). Sono definite 24 misurazioni antropometriche: 17 per la testa e per ii busto (Fig. 3.8) e 1 per la pinna (Fig. 3.9). Altri criteri che hanno guidato la scelta di questi parametri sono: ˆ la caratteristica antropometrica sembra avere un influenza significativa sulla HRTF; ˆ la caratteristica antropometrica è facilmente misurabile; Descriviamo le modalitá di misurazione dei vari parametri: ˆ la maggior parte dei parametri è ricavabile da foto digitali ad alta definizione; ˆ i parametri di altezza e circonferenza x 14, x 15, x 16, x 17 sono stati misurati con un metro a nastro. ˆ la profonditá della conca, d 8, e l angolo di attacco della pinna 5, θ 2, sono stati misurati con Polhemus 3D stylus digitizer; 5 L angolo d attacco della pinna è definito in riferimento al piano tangente alla testa, determinato dall acquisizione 3D.

78 7 CAPITOLO 3. METODOLOGIE E STRUMENTI Figura 3.7: Parametri antropometrici.

79 3.4. CIPIC DATABASE 71 ˆ per ogni soggetto vengono anche riportati anche sesso, etá e peso corporeo. In [3] è stato condotto uno studio sull intero database per analizzare la presenza di relazioni tra i vari parametri. In generale sono stati rilevati risultati statistici interessanti, ma con correlazioni deboli tra le coppie di misurazioni. Figura 3.8: Misurazioni testa, busto e spalla.

80 72 CAPITOLO 3. METODOLOGIE E STRUMENTI Figura 3.9: Misurazioni orecchio esterno.

81 Capitolo 4 Analisi della PRTF Questo capitolo è dedicato alla descrizione e alla discussione di una prima versione di algoritmo per la separazione del contributo dei notch dal contributo delle risonanze in una PRTF personale. Queste informazioni sono fondamentali in fase di analisi per poter comprere a fondo il giusto contributo dei fenomeni fisici che coinvolgono l orecchio esterno. Per iniziare il nostro lavoro di analisi su alcuni individui del CIPIC database [3], abbiamo prestato molta attenzione allo studio approfondito dei notch e delle risonanze effettuati da Raykar [25] e Satarzadeh [22] (esposti nel par ). In particolare l interesse per i modelli strutturali, come soluzione costruita ad hoc per il problema della localizzazione del suono, ci ha indirizzato verso una scomposizione netta tra i due fenomeni. In questa breve introduzione vorremmo soffermarci sui pro e i contro dei due lavori proposti, in modo da giustificare alcune scelte guida nella progettazione dell algoritmo. Il lavoro di Raykar ha evidenziato l importanza fondamentale dei notch e la loro relazione con la forma della pinna, confermando il modello singledelay-and-add giá proposto da Watkins. Tuttavia, teno presente cosí tanti notch, il modello risulatante viene appesantito dalla considerazione di un numero elevato di riflessioni che producono a loro volta una serie comb di notch. Il lavoro di Satarzadeh è molto prezioso per la ricerca di un modello sem- 73

82 74 CAPITOLO 4. ANALISI DELLA PRTF plice ed è progettato teno ben presente la conoscenza della percezione acustica dell uomo. Soprattutto è molto completo nella descrizione riguardante la scelta delle risonanze dominanti e della loro relazione con l antropometria dell orecchio, avvalorando gli studi di Lopez-Poveda/Meddis[26]. Purtroppo, oltre a limitarsi alla considerazione della sola direzione frontale del suono, cerca di ricondurre i notch spettrali ad un unica riflessione principale, non trovando dei risultati uniformi. La nostra analisi ha come punto di partenza e di arrivo la struttura di un filtro multi-notch essenziale, composto dalla somma dei notch della PRTF percettivamente importanti. Il processo di calcolo inizia con una stima rozza di notch filter multiplo per arrivare ad un filtro-risultato realistico in frequenze, guadagni e bande passanti. Dal risultato finale si puó ricavare il contributo delle risonanze come sottrazione dalla PRTF. La modellazione dei risultati verrá trattata nel capitolo conclusivo. 4.1 Algoritmo di analisi L algoritmo proposto per l analisi dei dati delle HRTF è di tipo iterativo e utilizza tecniche DSP (Digital Signal Processing). La HRTF presa in considerazione è ottenuta dalla trasformata di Fourier della HRIR finestrata con una Hann window della lunghezza di 1 ms, in modo da escludere gli effetti delle riflessioni ad opera del busto e delle spalle. Inoltre priamo in considerazione il piano mediano (θ = ), variando l elevazione da 45 a 9 ; quindi, in questa situazione, gli effetti dovuti alla testa sono trascurabili. La condizioni di partenza sono le seguenti: ˆ HRTF finestrata, che chiamiamo PRTF (per le considerazioni sopra esposte). ˆ Filtro multi-notch con spettro piatto. L idea di questo algoritmo è che ad ogni iterazione la PRTF verrá compensata con un filtro multi-notch approssimato che andrá a sommare il suo contributo

83 4.1. ALGORITMO DI ANALISI 75 ai filtri creati nelle iterazioni precedenti; quando si arriverá alla convergenza, la PRTF conterrá solamente le risonanze, mentre la somma dei filtri dará il multi-notch filter completo. Cerchiamo di descrivere formalmente il funzionamento dell algoritmo, esprimolo in pseudo-codice, per poi soffermarci sulle scelte di progetto effettuate. Possiamo vedere l algoritmo come suddiviso nelle seguenti fasi: Algorithm 4.1 Algoritmo di analisi, Fasi 1 - Inizializzazione while ci sono notch sotto una certa soglia do 2 - Calcolo del residuo 3 - Ricerca parametri per filtro multi-notch 4 - Costruzione filtro multi-notch 5 - Aggiornamento dello stato while Per comprere e analizzare il comportamento dell algoritmo, descriviamo ogni fase faco riferimento allo pseudocodice di Alg 4.2 e riportando, quando necessario, le righe di codice Matlab T M sviluppate (in Appice B si trovano tutti i sorgenti delle routine implementate) Inizializzazione Nella fase di inizializzazione vengono istanziate le condizioni iniziali dell algoritmo e definiti parametri che influenzano in maniera determinante il risultato finale. Come esposto ad inizio capitolo le condizioni iniziali all ingresso del ciclo iterativo sono: ˆ lo spettro da analizzare è quello della HRTF finestrata per sorgente sonora sul piano mediano; ˆ lo spettro del filtro multi-notch è piatto;

84 76 CAPITOLO 4. ANALISI DELLA PRTF Algorithm 4.2 Algoritmo di analisi, Descrizione formale 1: P RT F HRT F windowed ; { Condizioni iniziali } 2: H multi notch flat spectrum; 3: N ceps,max it,soglia,rid; { Parametri dell algoritmo } 4: it ; 5: nn; 6: while nn > and it max it do 7: CEP S i Re[CEPSTRUM] di P RT F i con N ceps coefficienti cepstrali; 8: RES i P RT F i CEP S i ; {in db} 9: E RESi RES i 2 ; 1: notch P icknotch( P RT F i ); 11: f c, Amp, f b ; { Ricerca parametri per filtro multi-notch } 12: A, B; { Costruzione filtro multi-notch } 13: nn ; 14: for j = 1 to length(notch) do 15: Amp RES i (notch(j)) ; 16: if Amp soglia then 17: fc notch(j); 18: fb ricerca su E RESi ; 19: (b, a) P eack(amp, f c, f b /rid); 2: A A a; 21: B B b; 22: nn nn + 1; 23: if 24: for 25: H i (z) B(z) A(z) ; 26: P RT F i P RT F i 1 /H i ; { Aggiornamento } 27: H multi notch H multi notch H i ; 28: i i + 1; 29: while

85 4.1. ALGORITMO DI ANALISI 77 ˆ nn il numero dei notch rilevati algebricamente dallo spettro da analizzare (P RT F ); ˆ i, numero iterazioni iniziali; I parametri che contribuiscono a tarare il sistema di analisi sono: N ceps : numero di coefficienti cepstrali considerati per la stima dell inviluppo della P RT F i ; rid: fattore di riduzione della banda passante dei notch che compongono il filtro multi-notch in ogni iterazione; max it : limite massimo delle iterazioni effettuate dall algoritmo; soglia: soglia minima per l ampiezza dei notch compensativi da considerare. Ogni parametro ha un effetto ben preciso sulla resa dell algoritmo e verrá esposto nei prossimi paragrafi in relazione alla fase in cui è contenuto Calcolo del residuo Il calcolo del residuo viene posto in relazione al Cepstrum ricavato dalla f.d.t (funzione di trasferimento) presa in considerazione all i-esima iterazione (P RT F i ). Il codice Matlab T M che implementa questo passaggio è il seguente: flog = A HRTF; N1 = 4; cep = ifft(flog); cep cut = [cep(1);2*cep(2:n1);cep(n1+1); zeros(length(cep) N1 1,1)]; flog cut = real(fft(cep cut)); Dove flog rappresenta la log magnitude di P RT F i e N1 è il numero di coefficienti cepstrali. Il procedimento per ricavare il cepstrum è illustrato nel par A seconda della scelta del numero di coefficienti cepstrali per

86 78 CAPITOLO 4. ANALISI DELLA PRTF CEP S i (individuato nel codice Matlab T M da flog-cut) si avrá un inviluppo spettrale piú dettagliato (parte reale del cepstrum). Il numero di coefficienti cepstrali coincide approssimativamente con il numero di picchi con cui viene approssimata la f.d.t (funzione di trasferimento) presa in esame. Da questa osservazione possiamo scegliere il numero di coefficienti in base alle risonanze che cerchiamo alla luce degli studi acustici compiuti negli anni. Teno in considerazioni il lavoro di Shaw possiamo sicuramente individuare una risonanza sempre presente (Modo 1) e due gruppi di risonanze, quelle trasversali (Modi 2 e 3) e quelle orizzontali (Modi 4, 5 e 6) per angoli di elevazioni diverse (v. par ). Quindi per elevazioni prossime allo, potremmo trovare il contributo di 3-4 risonanze (Modo 1, 4, 5 e 6) mentre per altri angoli solamente 2. Questo ci puó guidare nel scelta di 4 coefficienti cepstrali. Il comportamento dell andamento del cepstrum nell evoluzione dell algoritmo verrá esposto in Appice A. Il caso in cui la presenza di un numero di risonanze sia minore di 4, congiunto all utilizzo di 4 coefficienti cepstrali (caso di sovrastima del numero di risonanze), sará inserito in un ottica piú generale, dopo aver spiegato in maniera completa tutto l algoritmo Ricerca parametri per il filtro multi-notch Questa fase è molto delicata e determinante per la bontá dei risultati. Si cercano i valori dei parametri che serviranno alla costruzione del filtro multinotch: frequenza centrale (f c ), ampiezza (Amp) e banda passante (f b ) per ogni notch considerato nell i-esima iterazione. Le frequenze centrali dei notch vengono ricavate sui dati della P RT F i tramite un algoritmo di notch-picking (v. par 3.3.1), con un numero massimo di 2 notch individuabili per ogni iterazione. Le ampiezze dei notch vengono ricavare valutando la risposta in ampiezza del residuo RES i nelle frequenze centrali dei notch: Amp(j) = RES(f c (j), j = 1,...N (4.1)

87 4.1. ALGORITMO DI ANALISI 79 Figura 4.1: Caso 1) E(n) <, E(p l ) >, E(p r ) >, Caso 2) E(n) <, E(p l ) <, E(p r ) <, Caso 3) E(n) <, E(p l ) <, E(p r ) >, Caso 4) E(n) <, E(p l ) >, E(p r ) <. con N numero di notch individuati nella P RT F i. passante dei noth si analizza l energia del residuo: Per stimare la banda E RESi = RES i 2 (4.2) Def. Per Banda Passante (f b ) si inte f = f 2 f 1 dove f 2 e f 1 sono frequenze ai 3db, cioé che possiedono, rispetto al picco/notch di frequenza centrale f c, un energia dimezzata (se si tratta di picco) o raddoppiata (se si tratta di notch). La ricerca delle frequenze ai 3db dipe dal target energetico (e target ) in modo da ottenere: E RESi (f 2 ) E RESi (f 1 ) e target (4.3) Il modo di scegliere e target è fondamentale e viene calcolato a seconda di come si presenta lo spettro del residuo, iterazione dopo iterazione; possiamo riconoscere 4 casi principali: 1. notch sotto i db di energia e picco destro e sinistro sopra i db; (E(n) <, E(p l ) >, E(p r ) > )

88 8 CAPITOLO 4. ANALISI DELLA PRTF 2. notch sotto i db di energia e picco destro e sinistro sotto i db; (E(n) <, E(p l ) <, E(p r ) < ) 3. notch sotto i db di energia, picco destro sopra i db e picco sinistro sotto i db; (E(n) <, E(p l ) <, E(p r ) > ) 4. notch sotto i db di energia, picco destro sotto i db e picco sinistro sopra i db; (E(n) <, E(p l ) >, E(p r ) < ) In Fig. 4.1 riassumiamo graficamente i 4 casi dando un nome alle variabili coinvolte per agevolare la spiegazione. Il seguente frammento di codice viene applicato ai casi 1,3,4. target = ; nenergia = E res2(nftloc(no)); % no db nenergia db = E res(nftloc(no)); if (amp 5) % Caso 1 target = nenergia db + 3; else target = (1 nenergia)/2 + nenergia; target = 1*log1(target); % no db Nel caso il notch abbia ampiezza minore di -5 db si andranno a cercare le frequenze f 2 e f 1 con energia doppia rispetto al notch di riferimento. Per notch di ampiezza maggiore di -5 db si potrebbero ottenere delle energie target in db positive non considerate valide, in quanto l incremento deve mantenersi sotto i db 1. Abbiamo imposto il limite di db di energia come banda-passante di riferimento calcolando l energia target non come 1 Ogni compensazione effettuata da un notch non deve portare la P RT F i al superamento dell inviluppo cepstrale nella banda che coinvolge. Ovviamente ci sono parti di spettro della P RT F i che sono sopra l inviluppo, ma al crescere delle iterazioni si assottigliano per giungere alla convergenza.

89 4.1. ALGORITMO DI ANALISI 81 raddoppio, ma come incremento relativo tra notch e soglia a db. ( (1 E no db ) RES e target = 1log i (f c )) 1 + E no db RES 2 i (f c ) (4.4) I casi 3 e 4 vengono ricondotti al primo in quanto consideriamo, come possibile andamento del notch compensativo, la parte che attraversa gli db per giungere al picco positivo. La differenza rispetto al caso 1 sta nel calcolo della larghezza di banda: Caso 3 f b = 2(f 2 f c ) (4.5) Caso 4 f b = 2(f c f 1 ) (4.6) Come si puó notare dallo spezzone di codice, nel caso 3 non si effettuerá la ricerca di f 1, mentre nel caso 4 quella di f 2, rispettivamente a sinistra e a destra di f c. e max peack db = max([e peak sx e peak dx]); [e min peack db,in] = min([e peak sx e peak dx]); no left = 1; no right = 1; % Caso 3 4 if (e min peack db < ) && (e max peack db > ) if (in == 1) no left = ; elseif (in == 2) no right = ; Il caso 2 è quello piú particolare, perché viene effettuato un cambio di riferimento: viene spostato in corrispondenza del picco piú vicino alla soglia degli db e piú vicino in frequenza a f c ; viene poi individuato e target come nel caso 1, con unico accorgimento il cambio di riferimento, ed infine si effettua la ricerca di f 1 e f 2. Giustifichiamo questo trattamento speciale perché consideriamo il caso 2 come una situazione di passaggio. Vogliamo ottenere

90 82 CAPITOLO 4. ANALISI DELLA PRTF Figura 4.2: Subject 1 left pinna φ = 51 - Contributo dei notch ottenuto alla fine dell algoritmo di analisi. un filtro multi-notch con banda di riferimento a db, approssimativamente piatta (a db) dove non ci sono interferenze da parte dei notch nella PRTF (v. Fig. 4.2). if (e max peack db < ) % Caso 2 e max peack = 1ˆ(e max peack db/1); amp max peack db = 2*log1(sqrt(e max peack)); amp rel = amp amp max peack db; if (abs(amp rel) soglia) % se false,db come riferimento amp = amp rel; if (amp 5) target = amp + 3; else target = (e max peack nenergia)/2 + nenergia; target = 1*log1(target);

91 4.1. ALGORITMO DI ANALISI Costruzione del filtro multi-notch In quest ultima fase i parametri stimati vengono elaborati per la costruzione del filtro multi-notch compensativo, relativo all iterazione corrente. Per prima cosa, viene controllata l ampiezza di ogni notch. Se l ampiezza relativa di un notch è superiore al parametro soglia, viene creato un notch filter (singolo) a guadagno controllato con i tre suoi parametri corrispondenti: Amp, f c e f b. L algoritmo utilizzato implementa un peak filter 2 (v. par. 3.2) del II ordine: (b, a) P eackf ilter(amp, f c, f b /rid) (4.7) dove b e a sono i vettori dei coefficienti del filtro creato. Ogni notch (n k ), che soddisfa la condizione di soglia, possiede la coppia di vettori (b k,a k ) che lo rappresenta. Il filtro multi-notch compensativo (H i ) viene composto dal prodotto delle f.d.t dei notch filter creati e i suoi coefficienti sono la convoluzione dei b (i) k e a (i) k : H i = B(i) A (i) (4.8) B (i) = b (i) 1... b (i) N (4.9) A (i) = a (i) 1... a (i) N (4.1) con N numero di notch considerati nell i-esema iterazione. Il parametro soglia permette di regolare la precisione dell algoritmo nella stima dell inviluppo e il grado di convergenza. si possono considerare notch piccoli. principali: Piú la soglia è bassa piú Aumentare la soglia ha due effetti 1. per arrivare alla convergenza l algoritmo impiega piú iterazioni, in quanto pre in considerazione un numero di notch piú elevato; 2. il filtro multi-notch finale risulta piú affinato; 2 Un peak filter con guadagno negativo viene considerato come un filtro notch a guadagno controllato.

92 84 CAPITOLO 4. ANALISI DELLA PRTF Il parametro rid rappresenta il fattore di riduzione per la banda passante dei notch, considerata nella costruzione dei notch filter. In pratica, questo parametro permette di regolare il numero di notch filter impiegati per la compensazione di un singolo notch, presente nella PRTF. L introduzione di questo parametro è stata resa necessaria analizzando la compensazione effettuata con le bande passanti calcolate alla fase precedente 3. Si è osservato che per notch molto profondi nella P RT F i, il notch compensativo, creato dall algoritmo peak filter, sovrastima la banda passante sopra i 3 db; si ottiene quindi un interferenza del notch compensativo sulle frequenze adiacenti, aumentando il guadagno dove non è richiesto e creando un innalzamento di CEP S i. Questo comportamento provoca un effetto a catena nelle iterazioni successive che cercano di raggiungere la stima dell inviluppo che si è alzata in maniera innaturale. La relazione tra banda passante e peak filter verrá ripreso e approfondito nel capitolo 5. Alzare il fattore di riduzione ha due effetti principali: 1. per compensare un notch della PRTF l algoritmo impiega piú iterazioni, in quanto vengono creati un numero di notch piú elevato; 2. il filtro multi-notch finale risulta piú affinato nell individuazione dei notch, ma con un andamento meno delineato; L andamento seghettato è evidente nella Fig. 4.3 per rid = 4 i i = 4. I risultati al variare di questi parametri verranno esposti e commentati in dettaglio in Appice A Risultato finale Esponiamo a titolo d esempio la seguente situazione, rappresentata dai grafici in Fig. 4.4 e 4.5, dove l algoritmo è tarato con parametri sperimentalmente buoni. ˆ Subject 1, left pinna, φ = 45 ; 3 Si potrebbe pensare di porre rid = 1, in modo da rere neutrale il suo contributo.

93 4.1. ALGORITMO DI ANALISI 85 (a) Situazione iniziale, i =. (b) 4 iterazioni i = 1,..., 4. Figura 4.3: Subject 1 left pinna φ = 45 particolare 6-8 Hz, notch di profonditá -18 db - Prime 4 iterazioni di compensazione di P RT F i al variare del parametro rid.

94 86 CAPITOLO 4. ANALISI DELLA PRTF ˆ N ceps = 4; ˆ soglia = 1 3 ; ˆ rid = 2; ˆ Convergenza dell algoritmo dopo 59 iterazioni; In Fig. 4.4 soffermiamo la nostra attenzione sul grafico del residuo e della sua energia (i due grafici a destra). Possiamo notare come abbiano un andamento approssimativamente piatto nella banda di frequenze 4-16 khz, che corrisponde alla banda di interesse dove agisce la pinna (v. par 1.2.4). Possiamo quindi supporre che il risultato ottenuto dall algoritmo di analisi sia attibile per quel range di frequenze, obiettivo della nostra analisi. Se si desidera ampliare il range di frequenze, è necessario aumentare il numero di coefficienti cepstrali per la rappresentazione dell inviluppo, provocando peró dei risultati contrastanti (come vedremo in Appice A). Re(CEPS i ) Subject: 1 Elevation: 45 RES i = PRTF i CEPS i db db f (hz) x f (hz) x Inviluppo spettrale 2 Energia del residuo 1 1 db 1 PRTF i Enrgy value db 1 2 Re(CEPS i ) f (hz) x f (hz) x 1 4 Figura 4.4: Subject 1 left pinna φ = 45 - Risultati al termine dell algoritmo iterativo di analisi. La Fig. 4.5 contiene i seguenti grafici (da sinistra a destra):

95 4.1. ALGORITMO DI ANALISI 87 ˆ la PRTF iniziale dove sono contrassegnati i notch e le risonanze significative; ˆ il contributo spettrale delle risonanze ricavato dalle compensazioni; ˆ lo stato iniziale e finale dell inviluppo cepstrale; ˆ il contributo spettrale dei notch ricavato dalla somma dei filtri multinotch generati per ogni iterazione; 2 Left HRTF windowed signal Subject: 1 Elevation: 45 2 Contributo spettraledelle risonanze 1 1 db f (Hz) x f (hz) x Evoluzione Inviluppo spettrale 1 db db 2 Contributo spettrale dei notch 1 db BEGIN END f (hz) x f (hz) x 1 4 Figura 4.5: Subject 1 left pinna φ = 45 - Risultati al termine dell algoritmo iterativo di analisi. Come prima cosa possiamo notare nuovamente come l andamento dell inviluppo condizioni la banda di lavoro dell algoritmo. Un osservazione molto importante va fatta in relazione all ultimo grafico: la composizione di tanti filtri multi-notch di compensazione da come risultato un filtro multinotch 4 ; abbiamo avuto una conferma incoraggiante dell idea che ha guidato la progettazione della modalitá di compensazione della PRTF. 4 Riproponiamo brevemente la definizione di filtro multi-notch: tanti notch rappresentati in un unico filtro; l interferenza tra le bande passanti dei notch è minima e lo spettro si presenta approssimativamente piatto al di fuori di esse.

96 88 CAPITOLO 4. ANALISI DELLA PRTF 4.2 Analisi dei dati In questo paragrafo verranno esposti e commentati i risultati ottenuti con l algoritmo d analisi che abbiamo sviluppato. Consideriamo come configurazione di riferimento l algoritmo che possiede i parametri con i seguenti valori: ˆ N ceps = 4; ˆ soglia = 1 3 ; ˆ rid = 2; Per un primo test sul CIPIC database abbiamo scelto 4 soggetti, 3 giá citati nel paper di Raykar et el [25] (Subject 1, Subject 134 e Subject 165 ) e uno utilizzato da Satarzadeh [22] (Subject 48 ), in modo da poter avere dei punti di riferimento. Per ogni individuo sono state analizzate le HRTF dell orecchio sinistro per elevazioni tra i φ = 45 e φ = 9 e θ =. A titolo di esempio, in Fig. 4.6, sono riportati i grafici tridimensionali che contengono separatamente l evoluzione spaziale del contributo delle riflessioni (a) e delle risonanze (b). Ci focalizzeremo prevalentemente sulla banda d interesse dei 1 Notches LEFT hrir Subject: Risonanze LEFT hrir Subject: magnitude elev (gradi) x 1 4 f (hz) magnitude x f (khz) elev (gradi) (a) Grafico 3D, Contributo dei notch in relazione all elevazione (b) Grafico 3D, Contributo delle risonanze in relazione all elevazione Figura 4.6: Subject 1 left pinna - Grafici 3D khz. Cercheremo di interpretare i risultati in modo da dimostrare la valenza del procedimento che è stato assemblato.

97 4.2. ANALISI DEI DATI Analisi dei notch Per l analisi dei risultati ci serviamo innanzitutto di un grafico tridimensionale (Fig. 4.6.a) in cui sull asse delle ascisse c è la frequenza, sull asse delle ordinate l elevazione e sull asse z (secondo la colorbar) l ampiezze in db. Il colore rosso scuro corrisponde ad ampiezze prossime ai db mentre man mano che il colore diventa freddo aumenta la profonditá del notch. Esso il nostro studio interessato ai segnali di localizzazione verticale abbiamo cercato un modo per monitorare l evoluzione spaziale dei notch. A tale scopo abbiamo utilizzato la tecnica di partial tracking, che solitamente viene utilizzata in relazione al tempo (v. par ), nel dominio dello spazio verticale. L idea che ha guidato la scelta di questo strumento è stata la possibilitá di collegare i notch tra loro tracciandoli lungo traiettorie comuni (Fig. 4.6.b). Notches LEFT hrir Subject: 1 1 x 1 4 Notch tracking elev (gradi) Frequency (Hz) x f (hz) Elevation (a) Contributo notch (b) Notch tracking (c) Contributo notch + Notch tracking Figura 4.7: all elevazione. Subject 1 left pinna - Contributo dei notch in relazione Iniziamo considerando il Subject 1. Per questo soggetto possiamo fare almeno 3 osservazioni: ˆ il notch che si sviluppa tra i khz per elevazioni dai 45 ai è piuttosto profondo (-15 db ca) e, secondo l algoritmo d analisi, la sua banda passante è di 1 khz. E molto facile accorgersi, dalla sovrapposizione dei due grafici (Fig. 4.6.c), che per elevazioni dai 45 ai 2 la banda passante è molto piú ampia. Raykar infatti individua 2

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