Esercitazione sulle Basi di di Definizione
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- Rosalinda Leone
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1 Eserctazone sulle as d d Defnzone ESERIZIO Un bpolo ressto (dodo) ha la seguente equazone: = k [ ] con k 0 nella quale ed sono descrtt dalla conenzone degl utlzzator come n fgura. Stablre se l bpolo è defnto su base tensone e/o su base corrente. Rsoluzone Rcordamo che un componente s dce defnto su base tensone se, mponendo le tenson (n questo caso l alore d ) le corrent sono sempre note unocamente attraerso le caratterstche o le equazon del componente. S può osserare faclmente che l bpolo dato è defnto su base tensone. Infatt osserando l equazone del componente, che è una = f ( ), s può edere che essa rappresenta una funzone unalente coè ad un solo alore della, corrsponde uno ed un solo alore della. Non altrettanto s può dre della = f (). omunque erfchamo cò traccando la caratterstca = f ( ). Supponamo per comodtà k >0. Troamo le radc dell equazone ponendo =0: Posso screre: ( 0+ 00) e ho, ntanto, =0. Per le altre radc arò da / = 5 ( 5) 00 = = 55 = 55 da cu =0 e =0.
2 Qund la funzone s annulla n =0, =0 e =0. Determnamo ora gl eentual massm e mnm della funzone. Intanto calcolamo la derata prma e uguaglamola a zero: d d [ ] = k ( 0) / = = = = = = 0 Qund la derata prma s annulla n: = 4. + = alcolamo la derata seconda per sapere se sono punt d massmo o mnmo: d d d d d d [ ] = k 6 60 [ ] = k < 0concatà erso l basso e qund punto d max. [ ] = k > 0concatà erso l'alto e qund punto d mn. Rcerchamo gl asntot: lm ( ) =± ± potrebbero essere asntot oblqu con: lm f ( x) m = fnto x x e q = lm x [ f ( x) mx] fnto
3 ma lm ( ) = e percò non esstono neanche asntot oblqu. Traccamo l grafco della funzone: /k ome s può notare dalla caratterstca l bpolo è defnto solo su base tensone.
4 ESERIZIO Dato l dodo del precedente eserczo, modfcare come occorre l equazone, se nece delle ed assegnate, s scelgono le arabl come segue: a) b) c) Rsoluzone Nel caso dell eserczo s aea: = k [ ] a) S ha: = =- l equazone denta: = k [ ] b) S ha: =- = l equazone denta: = k [ 0 00 ] c) S ha: =- =- l equazone denta: = k [ 0 00 ]
5 ESERIZIO Per l trpolo d fgura, con la conenzone normale ndcata, le equazon del componente sono: = α = β + γ () doe α, β e γ sono coeffcent not. Determnare le equazon descrtte se le arabl descrtte sono assunte come n fgura a lato. cb c ac a Rsoluzone Faccamo una premessa. Se abbamo un componente generco con n termnal e fssato un morsetto come rfermento (e qund un termnale comune), s assumono come corrent descrtte le corrent n tutt gl altr n- termnal con orentamento entrante nella superfce lmte del componente e come tenson descrtte le tenson fra cascuno de morsett ders dal comune e l comune stesso, orentate secondo le frecce che procedono dal comune al sngolo morsetto. Questa è la conenzone normale o degl utlzzator. Qund per un componente a n termnal arò n- corrent descrtte, n- tenson descrtte e n- equazon descrtte che legano le n- tenson con le n- corrent. Nel nostro caso abbamo un trpolo, qund n=, percò corrent descrtte, tenson descrtte e equazon descrtte. Il secondo nseme d arabl descrtte non rspetta la conenzone degl utlzzator.
6 Dal confronto fra due nsem d arabl descrtte s ha: cb c ac + cb + ac + ac + c + a = c (*) a Rsolendo (*) rspetto a,,, s ha: = = = = c c cb ac a ac Sosttuendo nelle equazon del componente, le (), s ottene: cb ac = α ( a c ) = β ( )+ γ ac a c c le qual s possono rportare ad una forma pù elegante nel modo che segue: cb + β ( a c )+ γ c = α a α c) ac = β a + ( γ - β ) c cb = β a β c + γ c + α a + α c ac = β a + ( γ - β ) c e nfne: cb = ( α β) a + ( α β + γ) c ac = β a + ( γ - β ) c
7 S not che l procedmento per ottenere le (*) è quello pù adatto e pù bree per la trasformazone delle equazon del componente: ogn percorso chuso per le tenson mpega una tensone del prmo nseme d arabl descrtte e due del secondo, n modo tale che le equazon sano rsolbl rspetto a e senza effettuare procedment d sosttuzone. Lo stesso è stato fatto per le corrent. Procedment ders sono pù lungh. S not noltre la maggore semplctà strutturale delle equazon del componente per l prmo nseme d arabl descrtte ( dpende solo da mentre cb e ac dpendono entrambe sa da a che da c. Le scelte d dfferent nsem d arabl descrtte per uno stesso componente, anche se perfettamente equalent dal punto d sta della complesstà delle equazon rsultant.
8 ESERIZIO 4 S consder ancora l trpolo precedente e s assumano per equazon del componente quelle dell nseme (). S determnno le possbl bas d defnzone del componente ne seguent tre cas: ) α, ( β 0, γ 0) ) β, ( α 0, γ 0) ) γ, ( β 0, γ 0) Rsoluzone = α = β + γ () ) per α =0, β 0, γ 0 le equazon del componente dentano: = β + γ una arable che a comunque assegnata è e s può consderare l seguente albero d possbltà: (, ) (, ) base corrente, è possble base msta, è possble ) per β =0, α 0, γ 0 le equazon del componente dentano: = α = γ n questo caso sono edentemente ammesse tutte le bas (tensone, corrente e le due mste). Qund: (, ),(, ),(, ),(, )
9 S osser che n tal caso le equazon sono quelle che possono essere attrbute al seguente modello: α γ oe α e γ rappresentano le resstenze de due resstor ) per γ =0, α 0, β 0 le equazon del componente dentano: = α = β Dalla prma equazone s può edere che sa che possono far parte della base. Se s scegle s ha l seguente albero d possbltà: non lecta, mporrebbe è contraddt tora α = ma anche α. Inoltre β = β che n generale resterebbe ndetermn ata ammssbl e, sono unocamen te determnat e tutte le arabl n goco Sceglendo s ha: non lecta, non è possble fssare arbtraramente e perchè esse deono essere legate dalla = β ammssble, nfatt fssata sono subto note e dalle equazon. Inoltre la corrente è fssata da no. Rassumendo, l componente è defnto sulle seguent bas: (, ) base corrente (, ) base msta
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