Alcune primitive. Francesco Leonetti (1) 5 giugno 2009

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1 Alcune primitive Francesco Leonetti ) 5 giugno 009 Introduzione La risoluzione di alcune equazioni differenziali ci ha mostrato come sia importante la capacità di trovare le primitive di funzioni assegnate. Consideriamo bx) per x I 0, 3).) e cerchiamo una sua primitiva. A tal fine ci chiediamo se esistono A R e B R tali che A x + B x 3 per ogni x I 0, 3)..) Per rispondere al quesito trasformiamo la somma a secondo membro in un unica frazione: A x + B x 3 Ax 3) + Bx Ax 3A + Bx A + B)x 3A..3) Adesso imponiamo che la frazione al secondo membro della.3) uguagli la frazione al primo membro della.): otteniamo il sistema { 0 A + B.4) 3A ) Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata, Università di L Aquila, 6700 L Aquila, Italy.

2 F. Leonetti La seconda equazione ci dà A /3; sostituiamo il valore trovato nella prima ed abbiamo B /3. Quindi 3 x + 3 x 3 3 x ) x 3 3 x + )..5) 3 x Poichè x > 0 per x I, si ha Inoltre 3 x > 0 per x I, quindi Dunque Allora x x))..6) 3 x 3 x))..7) x + 3 x x)) + 3 x)) x) 3 x)) )) x.8) 3 x Quindi )) x 3 3 x P x) 3 x 3 x Il caso generale 3 x + ) )) x 3 x 3 3 x )) x 3.9) 3 x Sia α 0, + ); consideriamo la funzione bx) ) è una primitiva di bx) xx 3) per ogni x I 0, 3).0) in I 0, 3). per x I 0, α)..)

3 Alcune primitive 3 e cerchiamo una sua primitiva. A tal fine ci chiediamo se esistono A R e B R tali che A x + B x α per ogni x I 0, α)..) Per rispondere al quesito trasformiamo la somma a secondo membro in un unica frazione: A x + B x α Ax α) + Bx Ax αa + Bx A + B)x αa..3) Adesso imponiamo che la frazione al secondo membro della.3) uguagli la frazione al primo membro della.): otteniamo il sistema { 0 A + B αa.4) La seconda equazione ci dà A /α; sostituiamo il valore trovato nella prima ed abbiamo B /α. Quindi α x + α x α α Poichè x > 0 per x I, si ha Inoltre α x > 0 per x I, quindi Dunque x ) x α α x + )..5) α x x x))..6) α x α x))..7) x + α x x)) + α x)) x) α x)) )) x.8) α x

4 4 F. Leonetti Allora α x + ) )) x α x α α x )) x α.9) α x Quindi )) x α α x per ogni x I 0, α).0) P x) ) x α α x è una primitiva di bx) xx α) 3 Un altra situazione in I 0, α). Consideriamo ora un altra situazione. Calcoliamo la derivata di e x senx): Ora calcoliamo la derivata di e x cosx): e x senx)) e x senx) + e x cosx). 3.) e x cosx)) e x cosx) e x senx). 3.) Sommando membro a membro le due uguaglianze il termine e x senx) viene eliminato: e x senx)) + e x cosx)) e x cosx) 3.3) quindi e x senx) + e x cosx)) e x cosx) 3.4) ) e x senx) + e x cosx) e x cosx) 3.5) allora la funzione P x) e x senx) + e x cosx))/ è una primitiva di bx) e x cosx) nell intervallo, + ). Se sottraiamo membro a membro le due uguaglianze contenute nelle 3.) e 3.) il termine e x cosx) sparisce ed abbiamo e x senx)) e x cosx)) e x senx) 3.6)

5 Alcune primitive 5 quindi e x senx) e x cosx)) e x senx) 3.7) ) e x senx) e x cosx) e x senx) 3.8) allora la funzione P x) e x senx) e x cosx))/ è una primitiva di bx) e x senx) nell intervallo, + ). Usiamo la stessa tecnica per le primitive di e x cosx) e e x senx): calcoliamo la derivata del prodotto e x senx) ) e x senx) + e x cosx) 3.9) poi dell altro e x cosx) ) e x cosx) e x senx). 3.0) Adesso sommiamo membro a membro le due uguaglianze ottenute: il termine e x cosx) scompare ed abbiamo e x senx) ) + e x cosx) ) e x senx) 3.) quindi e x senx) + e x cosx) ) e x senx) 3.) ) e x senx) + e x cosx) e x senx) 3.3) allora la funzione P x) e x senx) + e x cosx))/ ) è una primitiva di bx) e x senx) nell intervallo, + ). Adesso sottraiamo membro a membro le uguaglianze contenute nelle 3.9) e 3.0): il termine e x senx) scompare ed abbiamo e x senx) ) e x cosx) ) e x cosx) 3.4) quindi e x senx) e x cosx) ) e x cosx) 3.5) ) e x senx) e x cosx) e x cosx) 3.6) allora la funzione P x) e x senx) e x cosx))/ è una primitiva di bx) e x cosx) nell intervallo, + ).

6 6 F. Leonetti 4 Applicazioni Consideriamo l equazione differenziale y x) yx) + senx) x, + ). 4.) Essa è lineare non omogenea con coefficiente ax) e termine noto bx) senx). Una primitiva di ax) è Ax) x. Una primitiva di e Ax) bx) e x senx) è Qx) e x senx) e x cosx))/. Allora tutte le soluzioni della 4.) sono date da [ ] e yx) e Ax) [Qx) + c] e x x senx) e x cosx) + c senx) cosx) + ce x 4.) al variare della costante c in R. Consideriamo quest altra equazione differenziale: y x) yx) + cosx) x, + ). 4.3) Essa è lineare non omogenea con coefficiente ax) e termine noto bx) cosx). Una primitiva di ax) è Ax) x. Una primitiva di e Ax) bx) e x cosx) è Qx) e x senx) e x cosx))/. Allora tutte le soluzioni della 4.3) sono date da [ ] e yx) e Ax) [Qx) + c] e x x senx) e x cosx) + c senx) cosx) + ce x 4.4) al variare della costante c in R. Consideriamo quest altra equazione differenziale: y x) yx) 3 y x). 4.5) Essa è a variabili separabili. Guardiamo quando si annulla il secondo membro: per yx) 0 e per yx) 3. Allora la funzione costante yx) 0 è una soluzione dell equazione differenziale 4.5) e la funzione costante yx) 3 è un altra soluzione. Supponiamo che yx) /3)y x) 0 e dividiamo ambo i membri della 4.5) per yx) /3)y x); otteniamo yx) 3 y x) y x). 4.6)

7 Alcune primitive 7 Cerchiamo una primitiva della funzione /y /3)y ); facciamoci aiutare dalla formula.0): per prima cosa trasformiamo la nostra funzione così y 3 y y 3 y) 3 y3 y) 3 yy 3) 3) yy 3) ; 4.7) adesso usiamo la.0) con α 3 ed abbiamo )) y 3) 3) yy 3) 3 3) )) y 3 y 3 3 y )) y 4.8) 3 y quindi Allora )) yx) 3 yx) Inoltre )) y y. 4.9) 3 y 3 y yx) 3 y x) y x). 4.0) x). 4.) L equazione differenziale 4.6) e le due formule 4.0), 4.) danno luogo alla catena di uguaglianze )) yx) 3 yx) yx) 3 y x) y x) x) 4.) quindi )) yx) x) 4.3) 3 yx) ) yx) x + c. 4.4) 3 yx) Adesso ricaviamo yx): la funzione inversa del logaritmo è l esponenziale; applichiamo tale esponenziale ad ambo i membri della 4.4): l uguaglianza 4.4) ci dà e 3 yx)) e x+c 4.5)

8 8 F. Leonetti Visto che l esponenziale è l inversa del logaritmo, abbiamo e z) z, quindi Moltiplichiamo ambo i membri per 3 yx): Portiamo a sinistra tutti i termini contenenti yx): Ora dividiamo per + e x+c ) ed otteniamo yx) 3 yx) ex+c. 4.6) yx) 3 yx))e x+c. 4.7) + e x+c )yx) 3e x+c. 4.8) yx) 3ex+c. 4.9) + ex+c Facciamo la verifica: calcoliamo la derivata della funzione yx) appena trovata y x) 3ex+c + e x+c ) 3e x+c e x+c + e x+c ) 3e x+c + e x+c ). 4.0) Adesso calcoliamo yx) 3 y x) quando yx) è data dalla 4.9): yx) 3 y x) Dunque y x) 3e x+c + e ) 3e x+c 3ex+c ) 3e x+c x+c 3 + e x+c + e x+c 3 + e ) x+c 3e x+c + e x+c e x+c 3e x+c + e x+c + e x+c + e x+c ). 4.) 3e x+c + e x+c ) yx) 3 y x), x R; 4.) quindi la formula 4.9) ci fornisce infinite soluzioni della 4.5), una per ogni scelta della costante c.