Risultati esame scritto Fisica 2-16/02/2015 orali: alle ore presso aula M

Transcript

1 isultati esame scitto Fisica - 6//5 oali: 3--5 alle oe 4. pesso aula M gli studenti inteessati a visionae lo scitto sono pegati di pesentasi il giono dell'oale Nuovo odinamento maticola voto ammesso ammesso 9764 nc 494 nc 587 ammesso 56 nc nc Pe gli studenti del N.O.: possono sostenee l'esame di Fisica solo gli studenti che hanno supeato l'esame di Fisica

2 same di Fisica Coso Inteateneo di Ing. Inomatica e Biomedica 6//5 Poblema Sia dato un ilo conduttoe modellato come in igua. sso è costituito da un tatto di ilo ettilineo di lunghezza semiininita (tatto ), che posegue con un tatto di ilo cuvilineo che pecoe un aco di ciconeenza (tatto ), e che inine temina con un secondo tatto ettilineo di lunghezza semi-ininita (tatto 3). Il tatto e il tatto 3 sono tangenti all'aco di ciconeenza del tatto. Tutto il ilo è pecoso dalla stessa coente continua, con la diezione appesentata dalle ecce in igua. Sapendo che dove il tatto inteseca il tatto 3, i due ili sono ecipocamente isolati (l'intesezione non costituisce un nodo) e non conoscendo nessun paameto del poblema (coente I e aggio della ciconeenza non sono noti), deteminae pe quale angolo θ sotteso al cento dall'aco di ciconeenza si ha campo magnetico, B, nullo al cento della ciconeenza. Poblema Sia dato un sistema di due condensatoi, e, collegati in paallelo come in igua. I condensatoi sono piani, con piaste di uguale supeicie e sepaate dalla stessa distanza h, ma uno di essi (condensatoe, a desta in igua) è pazialmente iempito con una lasta dielettica di costante dielettica elativa. In paticolae la lasta dielettica ha stessa supeicie dei condensatoi ma uno spessoe pai a x h (con <x<). Come appesentato in igua, i due condensatoi sono collegati ad un geneatoe e vengono caicati; dopo il pocesso di caica il geneatoe viene staccato apendo l'inteuttoe T. A questo punto si osseva che la densità di caica sulle piaste del condensatoe vuoto (condensatoe, sulla sinista in igua) è pai a e il campo elettico all'inteno della lasta dielettica è pai a d (/),, dove, è il campo elettico all'inteno del condensatoe vuoto (condensatoe ). Assumendo come noti solo i paameti h, x e, si detemini: ) la d.d.p. V ai capi dei condensatoi; ) la costante dielettica elativa (nel condensatoe il campo elettico d all'inteno del dielettico e quello esteno al dielettico,,, sono legati dalla elazione d, / ); 3) la densità di caica sulle piaste del condensatoe. Poblema 3 Sia dato un cicuito come quello in igua disposto nel piano oizzontale e costituito da due binai conduttoi paalleli sepaati da una distanza l, chiusi a sinista da una baa conduttice igida e issa, e a desta da una baa mobile in gado di scoee sui binai senza attito. La baa a sinista contiene un geneatoe di tensione continua,, oientato come in igua; la baa a desta ha massa m e esistenza elettica, mente il esto del cicuito ha esistenza tascuabile. Tutto il cicuito è immeso in un campo magnetico B, uniome nello spazio e costante nel tempo, pependicolae alla supeicie del cicuito e oientato come in igua (veso l'alto). Inizialmente l'inteuttoe T è apeto e la baa mobile è ema sui binai; all'istante tsec viene chiuso l'inteuttoe T. ) Pe t, la baa mobile possiede velocità costante (la velocità limite v lim ); deteminae l'espessione di tale velocità (in unzione di B, e l) ) Deteminae l'espessione della coente I cicolante nel cicuito in unzione del tempo t, pe t sec (usando i paameti B,, l, m e, olte al tempo t) 3) Pe t, deteminae il endimento meccanico η del cicuito, deinito come il appoto a l'enegia meccanica podotta MCC, e l'enegia totale onita dal geneatoe (η è un isultato numeico)

3 Soluzione poblema Il campo magnetico B geneato da un ilo ininito, pecoso da coente I, ha diezione tangente a una ciconeenza che abbia come cento l'asse del ilo e che giaccia nel piano pependicolae al ilo; il veso di B è tale da vedee il campo magnetico giae in senso antioaio intono alla coente I. Il modulo di B è dato da: I B π dove è la distanza dal ilo ininito. Nel caso del tatto e del tatto 3, abbiamo a che ae con metà ilo ininito, quindi il pecedente valoe di B va diviso pe. Pe quanto iguada la diezione del campo B e B 3 geneati ispettivamente dal tatto e dal tatto 3, essa è pependicolae al piano del oglio nella igua, sia pe B che pe B 3. Il veso di entambi questi campi è entante nel piano del oglio, e quindi essi si sommano. Detta I la coente che cicola nei ili e detto il aggio dell'aco di ciconeenza, si ha che: I I B B3 π 4π I B + 3 B + B3 B π dove B +3 è la somma dei campi B e B 3 (entante nel oglio). Pe quanto iguada l'aco di ciconeenza (tatto ), si ossevi che il campo magentico geneato da una spia cicolae di aggio e pecosa da coente I, al cento della spia è pai a: I B ed è dietto pependicolamente alla spia e con veso tale da vedee la coente I cicolae in senso antioaio intono al campo B podotto. L'ultima omula vale peò pe una spia completa, ovveo con una ciconeenza pai a π; nel caso di un aco di ciconeenza, che sottende un angolo θ al cento, abbiamo solo una azione di questo campo B pai a: θ Iθ B B π 4π Dato il veso della coente I nell'aco di ciconeenza, il campo B è uscente dal oglio e si oppone quindi a B +3. Quindi il campo nel cento della ciconeenza saà nullo quando: B B + 3 I Iθ π 4π θ (ad) 4.6 Soluzione poblema Punto ): Pe la deinizione di potenziale elettico, la d.d.p. V ai capi del condensatoe è data dalla seguente elazione: V,dh, h h

4 dove, è il campo elettico all'inteno del condesatoe (che è uniome a le piaste del condensatoe). Nota la densità di caica supeiciale sulle piaste del condensatoe, il campo elettico geneato all'inteno del condensatoe è il seguente:, da cui segue che la d.d.p. V è la seguente: h V, h Poiché i due condensatoi sono stati caicati in paallelo, questa è anche la d.d.p. ai capi del condensatoe. Punto ): Analogamente a quanto deteminato al punto ), la d.d.p. ai capi del condensatoe saà data dall'integale di linea del campo elettico a le piaste del condensatoe : V dh h dove è il campo elettico all'inteno del condensatoe. Questa volta peò non è uniome all'inteno del condensatoe peché c'è una egione del condensatoe occupata da dielettico con costante. Quindi d nella egione col dielettico, ovveo pe un tatto pai a x h, mente nella estante egione di lunghezza pai a (-x) h si ha che,, con, campo elettico nella egione vuota del condensatoe. Si ha alloa il pecedente integale diviso in due pati: V,dh + d dh ( x ) h xh V h x +, ( ) hx d Suttando la elazione d, e il isultato del punto ), V, h, si ottiene che: h h x ( ) hx, d + d Intoducendo inine che d (/), si ha che:,h,h( x) +,hx ( x) + x x x Punto 3): Come pe il condensatoe, in possimità della piasta non a contatto col dielettico, vale la elazione:,, Pe quanto iguada, sappiamo che, d (/),, che inseita nell'ultima equazione onisce che:,

5 Dato che, / e utilizzando il isultato tovato al punto ) pe, se ne concude che: x x x x Soluzione poblema 3 Punto ): Nel momento in cui l'inteuttoe T viene chiuso, inizia a cicolae coente nel cicuito in senso antioaio in igua. Nella baa mobile si ha alloa coente dal basso veso l'alto, in igua, ed essendo immesa in un campo magnetico B su di essa agisce una oza meccanica di oigine magnetica, F M : F M I l B IBl La oza F M agisce veso desta in igua e poduce il moto della baa. Al moto della baa si associa una vaiazione del lusso del campo magnetico B associato col cicuito, dovuto all'aumento della supeicie del cicuito esposta al campo B (lusso tagliato). Pe la legge dell'induzione di Faaday si ha una oza elettomotice indotta, ind : Φ ( B) Blx dφ [ Blx] d dx Bl xt ind Blv dove Φ(B) è il lusso concatenato col cicuito, x è la coodinata che indica la posizione della baa mobile (a patie da quella issa), e v è la velocità istantanea della baa mobile. Pe la legge di Lenz, ind si oppone alla vaiazione di lusso Φ e ceca di podue un campo magnetico dietto veso il basso, ovveo ind induce coente in senso oaio in igua (opposta alla oza elettomotice ). La legge di Ohm pe il cicuito si scive alloa come: I I ind Blv I Blv Pe quanto iguada la velocità v, essa dipende dal tempo. Inatti la baa è soggetta alla oza F M e il II pincipio della dinamica si scive come segue: ma F m M IBl Bl m B l v m Pe deinizione, la velocità limite si aggiunge quando /. Dall'ultima espessione segue alloa che v lim è data da: Bl B l v m m

6 B l vlim m vlim Bl Bl m Punto ): Nel punto ) è stata tovata un'espessione pe la coente I che dipende dalla velocità istantanea v; sostituendo in questa coente I l'espessione della velocità v dipendente dal tempo, si ottiene la coente I desideata pe t sec. A questo scopo è necessaio isolvee l'equazione dieenziale tovata al punto ) pe la velocità v: Bl B l v m m A Cv con A Bl/m e CB l /m. isolviamo l'equazione dieenziale pe sepaazione di vaiabli e successiva integazione a tsec e un istante geneico t': A Cv A Cv v' A Cv t ' v' t ' ln C ( A Cv) t A Cv' ln Ct' A A Cv' exp( Ct' ) A A v [ exp( Ct) ] C B v( t) [ e ] Bl dove nell'ultimo passaggio sono state sostituite ad A e C le ispettive espessioni. Quest'ultima appesenta la velocità v in unzione del tempo t, e come vediamo pe t si ottiene il valoe limite v lim deteminato al punto ). Sostituendo la v(t) nell'espessione della coente I, si ottiene che: Blv I Bl B I [ e ] Bl B I e

7 che è l'espessione cecata pe la coente I(t); come si vede I pe t. Punto 3): L'unica enegia meccanica podotta è quella della baa mobile. Iniziamente essa è in quiete, mente pe t essa ha la velocità limite, v lim, deteminata al punto ). Petanto l'enegia meccanica podotta, MCC, è data dall'enegia cinetica podotta: MCC mv lim m Bl L'enegia onita dal geneatoe in un intevallo di tempo ininitesimo è data da: d I ( t) Ne segue che l'enegia totale,, onita dal geneatoe si ottiene mediante integazione a tsec e t : d ( t) I e B m e B l m B l B m Bl Il endimento meccanico η cecato è alloa dato da: η MCC m Bl m Bl