L analisi dei dati. Primi elementi. EEE- Cosmic Box proff.: M.Cottino, P.Porta

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1 L analisi dei dati Primi elementi

2 Metodo dei minimi quadrati Negli esperimenti spesso si misurano parecchie volte due diverse variabili fisiche per investigare la relazione matematica tra le due variabili. Spesso tale relazione è lineare, cioè del tipo y=a+bx La curva che meglio approssima i dati sperimentali prende il nome di curva interpolante. Il metodo dei minimi quadrati permette di calcolare le costanti A e B della retta e, più in generale, i coefficienti di qualsiasi polinomio di grado n P(x)=a 0 +a 1 x+a x +..+a n x n.

3 Supponiamo di avere n punti (x i,y i ) rappresentati in un piano cartesiano e di notare che essi si dispongono quasi su di una retta. La retta interpolante è quella che passa il più vicino possibile a tutti i punti senza privilegiarne alcuno. La retta interpolante è quella che rende minima la somma dei quadrati delle distanze tra il punto e la retta. Le formule matematiche per i coefficienti A e B sono: A x i yi xi xi yi n xi yi xi B = ( ) n x ( ) i xi n xi xi = y i

4 La retta interpolante con Excel Le formule precedenti sono calcolate automaticamente dal foglio elettronico Excel usando le funzioni statistiche PENDENZA e INTERCETTA. E sufficiente inserire in due colonne distinte i valori x i e y i, posizionarsi su una qualsiasi altra cella e inserire la funzione prescelta. In alternativa, dal grafico, si può inserire la linea di tendenza e visualizzare la sua equazione.

5 conteggi/minuto 3dic08 50 N = 0,03t+8, minuti

6 LA MEDIA MOBILE Le fluttuazioni casuali sui conteggi rendono difficile l interpretazione dei dati raccolti soprattutto se si vuole analizzare l andamento temporale del flusso dei raggi cosmici in correlazione con altre grandezze fisiche quali la pressione atmosferica. La media mobile permette di smorzare le fluttuazioni casuali di breve periodo e di mettere in evidenza variazioni di lungo periodo dovute a cause fisiche. La media mobile e spesso usata nelle analisi finanziarie, per es. per valutare l evoluzione temporale dei prezzi delle merci, dei volumi di scambio, etc

7 La media mobile si ottiene mediando sempre lo stesso numero di dati partendo dal primo e spostandoci di una posizione ogni volta. La media così ottenuta sostituisce il dato centrale. Ad es. se i nostri dati sono x 1,x,x 3,x 4,x 5,x 6,. Allora vengono sostituiti da: M =(x 1 +x +x 3 )/3 M 3 =(x +x 3 +x 4 )/3 M 4 =(x 3 +x 4 +x 5 )/3 In questo modo vanno persi il primo e l ultimo dato, se la media viene fatta su un numero maggiore di conteggi la perdita di dati risulta più grande.

8 conteggi ogni 10 minuti conteggi

9 La distribuzione normale Una seria analisi statistica di un esperimento ci richiede di fare molte misure. I dati vanno organizzati in modo 8 da formare un istogramma che 7 6 ci dice come si sono distribuite 5 le nostre misure e quante volte si 4 ripete una determinata misura. 3 Sull asse orizzontale si mettono i 1 valori ottenuti e su quello 0 verticale la frequenza con cui compare quel determinato dato

10 Il valore medio delle nostre misure è dato dalla somma di tutti i valori diviso il numero totale dei dati: i i x µ = n Utilizzando le frequenze, la formula precedente diventa: f x i i i µ = n Se si aumenta il numero delle misure l istogramma comincia ad assumere qualche semplice forma definita, nella maggioranza dei casi la curva limite è una curva simmetrica a forma di campana detta gaussiana, centrata sul valor medio.

11 La distribuzione limite è una costruzione teorica, che non può mai essere misurata esattamente: più misure facciamo e più il nostro istogramma si avvicina alla distribuzione limite. Tale distribuzione limite è definita da una funzione f(x). La frazione di misure che cadono in qualunque piccolo intervallo x è uguale all area f(x) x, all area della striscia ombreggiata della figura posta qui sotto. Quest area rappresenta la probabilità che una misura cada nell intervallo x. Dato che la probabilità totale di ottenere un risultato compreso tra - e + deve essere uno, la funzione f(x) deve essere normalizzata a uno, cioè l area sottesa dalla curva deve essere uguale a 1. f(x) x x

12 La funzione matematica che descrive la curva a campana è chiamata distribuzione normale o funzione di Gauss. f µ, σ ( x) = σ ( x µ ) 1 σ e π Il parametro µ ci dice per quale valore di x si ha il massimo della funzione, mentre il parametro σ ci dice l ampiezza della campana a metà altezza. µ è il valor medio della nostra distribuzione di dati, σ la deviazione standard. ( x ) i i µ σ = n 1

13 la probabilità di trovare un valore compreso tra µ σ e µ+σ è. del 68%. 0,0500 µ=35, σ=9 0,0450 µ=40, σ=15 0,0400 0,0350 0,0300 0,050 0,000 0,0150 0,0100 0,0050 0, ,00-0,00 0,00 0,00 40,00 60,00 80,00 100,00 10,00

14 Dati sperimentali con distribuzione gaussiana Se i nostri N dati si distribuiscono attorno al valor medio gaussianamente il valore attendibile della grandezza misurata e il suo errore sono dati dalle seguenti formule: µ εµ=σ/ N G=µ±ε u.m.

15 La distribuzione di poisson Descrive i risultati di esperimenti in cui si contano eventi rari, quali quelli della fisica atomica e nucleare. Ad esempio ogni nucleo radioattivo ha una probabilità definita di decadere in un minuto, noto questo valore e il numero di nuclei nel campione è possibile calcolare il numero medio atteso di decadimenti al minuto. Nondimeno ogni nucleo decade in un istante a caso e il numero di decadimenti in ogni minuto può essere diverso. La distribuzione di Poisson è data da: p µ k µ µ ( k) = e k!

16 La distribuzione di Poisson è discreta, asimmetrica per valori piccoli di µ ma tende a diventare simmetrica al crescere di µ. La deviazione standard è σ= µ. Per valori grandi del valor medio la distribuzione di Poisson è ben approssimata dalla distribuzione di Gauss. distribuzione di Poisson 0,5 0, 0,15 µ=3 µ=8 0,1 0,

17 f conteggi ogni 5 s = 0,6 χ r N

18 freq conteggi ogni 0s f poisson gauss Poli. (gauss) Poli. (poisson) N

19 Il test del chi quadro χ Il test del χ permette di determinare se i miei dati sperimentali seguono una ben determinata legge matematica. Se indico con x i il generico valore sperimentale e con t i il corrispondente valore teorico il χ è dato da: x i t χ ( ) i = i Spesso si usa il χ ridotto, introducendo il numero dei gradi di libertà ν: χ χ r = ν In questo caso l accordo è buono se il χ ridotto è inferiore a 1. t i

20 Angolo solido Ω Estensione allo spazio tridimensionale dell angolo piano. La sua unita di misura è lo steradiante (sr). Uno steradiante è quell angolo solido che corrisponde ad una calotta sferica di superficie pari a R L angolo solido corrispondente a un sfera vale 4π sr.

21 I conteggi misurati vanno sempre riferiti per unità di tempo, di superficie e di angolo solido. Ad esempio: I o = 110 conteggi/s/m /sr Per fare questo è necessario conoscere il fattore geometrico F di un rivelatore (accettanza). F=S. Ω [m. sr] con S=superficie sensibile del rivelatore e Ω= angolo solido sotteso dal rivelatore. Il fattore geometrico dipende dalla distribuzione angolare dei raggi cosmici, in particolare dall angolo di zenit θ. I(θ)=I o cos θ

22 bibliografia J.R. Taylor Introduzione all analisi degli errori Lo studio delle incertezze nelle misure fisiche Zanichelli