Appunti di Analisi Matematica 2

Transcript

1 Corso di Lure in Sttistic Mtemtic e trttmento Informtico dei Dti Appunti di Anlisi Mtemtic Frncesc Astengo Università di Genov, A.A. 6/7

2 Questi sono lcuni ppunti che ho preprto durnte lo svolgimento delle lezioni del corso di Anlisi nell A.A. 6/7. Alcune prti sono trtte d precedenti dispense del Prof. Sverio Giulini. Ci srnno numerosi errori e srò grt chi vorrà segnlrmeli. Buono studio.

3 Indice Cpitolo. Polinomi di Tylor e convessità. Confronto locle di funzioni. Derivte di ordine successivo 3 3. Formul di Tylor con resto di Peno 5 4. Formul di Tylor con resto di Lgrnge 5. Concvità e convessità 3 6. Il metodo delle secnti e il metodo di Newton o delle tngenti 7 7. Polinomi di interpolzione 8. Esercizi 7 Cpitolo. Serie numeriche 9. Brevi richimi sulle successioni 9. Le serie numeriche 3 3. Serie termini non negtivi Approssimzioni 4 5. Serie ssolutmente convergenti 4 6. Serie di Leibniz Esercizi 46 Cpitolo 3. Serie di funzioni 47. Serie di Tylor 47. Serie di funzioni e serie di potenze Esercizi 5 Cpitolo 4. Il clcolo integrle 53. Clcolo di ree 53. I teoremi fondmentli Clcolo di primitive 6 4. Il metodo dei trpezi Integrli impropri 7 6. Appliczioni lle serie numeriche 8 7. Esercizi 84 Bibliogrfi 89 i

4

5 CAPITOLO Polinomi di Tylor e convessità In questo cpitolo completimo lo studio del grfico di un funzione ggiungendo le informzioni su convessità e concvità. Rimndimo l corso di Anlisi per l definizione di limite, di derivt, le derivte delle funzioni fondmentli e i teoremi fondmentli sui limiti (d es. limittezz locle, permnenz del segno, confronto) e sulle funzioni derivbili (d es. Rolle, Lgrnge, Hôpitl).. Confronto locle di funzioni Sino f e g due funzioni definite sullo stesso intervllo I e si x un punto di tle intervllo, oppure un estremo, eventulmente nche ±. Definizione.. Si dice che f = O(g) x x (e si legge f è O-grnde di g per x tendente x ) se per un opportun costnte M > e un intorno V di x f(x) M g(x) x V, x x. In termini più semplici, l condizione vuol dire che vicino l punto x l funzione f si può controllre con l funzione g. Osservimo che se lim x x f(x)/g(x) esiste finito, llor f = O(g) per x x, per il teorem di limittezz locle. ZEsempio.. Utilizzndo l osservzione è immedito verificre che Invece x non è O(x ) per x. x = O(x ) x = O(x) sin x = O(x) x = O(sin x) x + x x x.

6 Cpitolo Un esempio più difficile si ottiene confrontndo le funzioni e sin x per x + : siccome sin x per ogni x, si h sin x = O(), x +, (nche se non esiste lim x + sin x/). Invece non è O(sinx), x +, perché in ogni intervllo del tipo (, + ) ci sono (infiniti) punti in cui il seno si nnull. Definizione.. Si dice che f = o(g) x x (e si legge f è o-piccolo di g per x tendente x o nche f è trscurbile rispetto g per x tendente x ) se esiste un funzione h, definit su I tle che f(x) = g(x) h(x) x I, e lim x x h(x) =. In termini più semplici, l condizione vuol dire che vicino l punto x l funzione f è molto più piccol dell funzione g. Osservimo che se g(x) lmeno in un intorno di x, l condizione divent equivlente richiedere che lim x x f(x)/g(x) =. Ovvimente, se f = o(g) per x x, llor f = O(g) per x x. ZEsempio.. È immedito verificre che x = o(x ) x = o(x) sin x = o() log x = o(x) x + x x π x +. Invece x non è o(x ) per x. Se f e g sono entrmbi infinitesimi per x x, dire che f = o(g) per x x signific che g h ordine di infinitesimo mggiore di quello di f; f = O(g) per x x signific che g h ordine di infinitesimo mggiore o ugule quello di f. L utilizzo del simbolo o-piccolo è comodo d esempio qundo si vogliono clcolre limiti. Inftti, si può fcilmente controllre che i termini trscurbili si possono eliminre, come prescritto dl Teorem.3 (Principio di eliminzione dei termini trscurbili). Se h = o(f) e k = o(g) per x x, llor f(x) + h(x) lim x x g(x) + k(x) = lim f(x) + o(f) x x g(x) + o(g) = lim f(x) x x g(x).

7 . Derivte di ordine successivo 3 ZEsempio.4. Clcolre lim x + x +sin(log x) x. L funzione è sicurmente definit per x >, quindi h senso clcolrne il limite +. Inoltre, per x +, = o(x ) e sin(log x) = o(x ). Quindi x + sin(log x) lim x + x = lim x + x + o(x ) x + o(x ) = lim x + x x =.. Derivte di ordine successivo Si f un funzione derivbile in tutti i punti di un intervllo perto I. Allor, per ogni punto x in I sppimo cos signific f (x). Possimo quindi pensre ll derivt f come un nuov funzione definit sull intervllo I e chiederci se quest nuov funzione si ncor derivbile in qulche punto di questo intervllo. Se f risult derivbile in x, l derivt di f in x si chim derivt second (o di ordine due) di f in x e si denot con f (x ). In questo cso, si dice che f è derivbile due volte in x. L usule derivt f tlvolt si chim nche derivt prim. Ovvimente il procedimento si può iterre: se f è un funzione derivbile in tutti i punti di un intervllo perto I, llor è definit in I l funzione f e possimo chiederci se quest funzione risult su volt derivbile in qulche punto dell intervllo I. L derivt dell derivt second di f si chim derivt terz di f e si indic con f. E così vi, si prl (qulor esistno) di derivt qurt f IV, quint f V,.... Un derivt di ordine n (generico) si indic col simbolo f (n). Definizione.3. Si dice che f è un funzione di clsse C n su un intervllo I (in simboli f C n (I)) se f è derivbile n volte in tutti i punti dell intervllo I e l derivt di ordine n è continu in I. Si dice che f è un funzione di clsse C su un intervllo I se f h derivte di ogni ordine in tutti i punti dell intervllo I. (Qundo l intervllo è chiuso, negli estremi sinistri si considerno le derivte sinistre e negli estremi destri si considerno le dervte destre) Siccome un funzione derivbile è nche continu, vlgono le inclusioni C (I) C (I) C (I)... C (I). ZEsempio.5. L funzione f(x) = sin x è derivbile in tutti i punti del suo dominio R e f (x) = cosx. Anche f è derivbile in tutti i punti del suo dominio R; quindi f è derivbile ovunque due volte e f (x) = (cos x) = sin x. Ripetendo lo stesso rgionmento,

8 4 Cpitolo f (x) = cosx e f IV (x) = sin x = f(x). Quindi f è derivbile di ogni ordine in ogni punto e le sue derivte sono ciclicmente quelle scritte. L funzione sin x è in C (R). Un conseguenz dell regol di Hôpitl ci permette di stbilire bbstnz fcilmente se un funzione definit congiungendo trtti di funzioni derivbili è derivbile nei punti di giunzione. Inoltre ci mostr che l derivt di un funzione non può vere discontinuità slto. Proposizione.6 (corollrio dell regol di Hôpitl). Si x un punto dell intervllo perto I e si f continu in I e derivbile in I \ {x }. Se esiste lim f (x) = l x x e è finito, llor f è derivbile in x e f (x ) = l. Vicevers, se f è derivbile in I, llor f non può vere discontinuità slto in I. Dimostrzione. Siccome f è continu in x, il limite del rpporto incrementle in x si present in form indetermint / ; l derivt dell funzione denomintore è e per ipotesi esiste lim x x f (x). Quindi per l regol di Hôpitl cioè f è derivbile in x e f (x ) = l. lim f(x) f(x )x x = lim f (x) = l, x x x x Vicevers, si f derivbile in tutti i punti di I, in prticolre x e supponimo che esistno lim f (x) = l x x + lim f (x) = l. x x Voglimo mostrre che l e l sono finiti e uguli f (x ). Per ipotesi f (x ) = lim f(x) f(x )x x. x x + D ltr prte il limite dell rig precedente, utilizzndo l regol di Hôpitl come prim, deve nche essere ugule lim f (x) = l. x x + Quindi f (x ) = l e l è finito. Anlogmente rgionndo su x x l è finito e ugule f (x ). ZEsempio.7. Utilizzndo il corollrio, mostrimo che l funzione { x x g(x) = x x < è derivbile un sol volt in x =. si ottiene che nche

9 .3 Formul di Tylor con resto di Peno 5 L funzione g, continu su R, è nche derivbile un volt in tutti i punti x e l su derivt è { g x x > (x) = x x <. Siccome g è prolungbile per continuità nche in x =, llor g è derivbile nche in e g () =. L funzione { g x x (x) = x x < è continu, derivbile se x e quindi g è senz ltro derivbile due volte se x e { g x > (x) = x <. Siccome g h un discontinuità slto in x =, g non è derivbile in x =, quindi g non è derivbile due volte se x =. Quindi g C (R) e g C (R). Considerimo or h(x) = L funzione h è derivbile in x =, perché D ltr prte, se x, h(x) h() lim x x { x sin x x x = = lim x x sin x = quindi h () =. e quindi non esiste lim x h (x). h (x) = x sin x cos x L esempio dell funzione (derivbile ovunque m con derivt discontinu in x = ) h mostr che un derivt può vere punti di discontinuità di second specie. 3. Formul di Tylor con resto di Peno Sinor bbimo visto due livelli di pprossimzione per un funzione f in un intorno del punto x interno l dominio di f: Livello f continu f(x) = f(x ) + o() con x x Livello f derivbile f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + o(x x ) con x x. Ci si chiede se è possibile migliorre il livello di pprossimzione qundo l funzione è più regolre. L ide che si può seguire è l seguente: l livello si è pprossimt l funzione con il miglior polinomio di grdo possibile, e cioè con l costnte f(x ); l livello si è scelt come funzione pprossimnte il miglior polinomio di grdo, cioè f(x )+f (x )(x x ), dove

10 6 Cpitolo il termine migliore signific che, usndo un qulsisi ltro polinomio di grdo, pssnte per (x, f(x )), il resto srebbe ndto come (x x ) e non più velocemente. Tuttvi pprossimre con un polinomio di primo grdo, che grficmente corrisponde un rett, ci permette di vere informzioni sul crescere e decrescere (locle) dell funzione, m non sul ftto che il suo grfico si concvo verso l lto o verso il bsso (le rette inftti non presentno concvità ). Si possono estendere questi risultti usndo come funzione pprossimnte un polinomio di grdo superiore l primo, in modo di vere più informzioni? L rispost quest domnd è, come vedremo desso, ffermtiv. Definizione.4. Si f un funzione definit su un intervllo I e si x un punto di I in cui f è derivbile lmeno n volte. Il polinomio T n,x (x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x ) + + f(n) (x ) (x x ) n! n! n f (k) (x ) = (x x ) k k! k= si chim polinomio di Tylor di grdo n dell funzione f centrto nel punto x. Osservimo che il polinomio di Tylor è crtterizzto dll vere in comune con l funzione f il vlore di tutte le derivte fino ll ordine n nel punto x, ovvero: f(x ) = T n,x (x ), f (x ) = T n,x (x ), f (x ) = T n,x (x ),..., f (n) (x ) = T (n) n,x (x ). Nei prossimi esempi ricvimo i polinomi di Tylor delle funzioni esponenzile, seno, coseno centrti in x =. Qundo un polinomio di Tylor è centrto in si chim nche polinomio di McLurin e si indic più brevemente con T n. ZEsempio.8. ) Inizimo dll funzione esponenzile f T T T 3 T 4 T 5 f(x) = e x e x =. Tutte le derivte sono uguli: f (n) (x) = e x e f (n) () = per ogni n. Quindi T n (x) = + x + x + + xn n!

11 .3 Formul di Tylor con resto di Peno f T T 3 T b) f(x) = sin x e x =. Le derivte sono: f (x) = cosx, f (x) = sin x, f (x) = cosx, f (iv) (x) = sin x, f (v) (x) = cosx, f (vi) (x) = sin x, f (vii) (x) = cosx, f (viii) (x) = sin x, e così vi. Ne segue che f (n) () = se n è pri, mentre vle lterntivmente + o se n è dispri e quindi T n+ (x) = x x3 + + ( ) n xn+. 3! (n+)! Si osservi che gli unici termini che sono diversi d sono quelli reltivi lle potenze dispri (e inftti l funzione seno è un funzione dispri) f T T 4 T c) f(x) = cosx e x =. Le derivte: f (x) = sin x, f (x) = cosx, f (x) = sin x, f (iv) (x) = cosx, e così vi. Ne segue che f (n) () = se n è dispri, mentre vle lterntivmente + o se n è pri. Infine T n (x) = x + + ( ) n xn.! (n)! Si osservi che gli unici termini che sono diversi d sono desso quelli reltivi lle potenze pri (e inftti l funzione coseno è un funzione pri). Il significto del prossimo teorem è il ftto che il polinomio di Tylor è quell unico polinomio di grdo n che meglio pprossim l funzione f vicino l punto x. Ricordimo che l notzione o(x x ) n indic un funzione che, per x x è un infinitesimo di ordine mggiore di n. Teorem.9 (Formul di Tylor con resto di Peno). Si f un funzione definit su un intervllo I e si x un punto di I in cui f è derivbile lmeno n volte. Allor f(x) T n,x (x) = o(x x ) n x x. Vicevers, se p è un polinomio di grdo n tle che f(x) p(x) = o(x x ) n per x x, llor p = T n,x. Dimostrzione. Occupimoci solo del cso n =. Il rgionmento nel cso generle è nlogo. In questo cso l funzione f è derivbile in un intorno di x e l funzione derivt è ulteriormente derivbile nel punto x.

12 8 Cpitolo Verifichimo inizilmente che f(x) T,x (x) è un infinitesimo di ordine mggiore di per x x. Questo equivle verificre che o, equivlentemente, che f(x) T,x (x) lim =, x x (x x ) f(x) f(x ) f (x )(x x ) (.) lim = f (x ). x x (x x ) D ltr prte, il limite d clcolre si present in form indetermint. Inftti lim f(x) f(x ) f (x )(x x ) = x x lim (x x ) = x x e l derivt del denomintore è (x x ) se x x. Quindi per l regol dell Hôpitl il limite che desiderimo clcolre è ugule f (x) f (x ) lim x x (x x ) = lim x x f (x) f (x ) x x = f (x ), perché quest ultimo limite è il limite del rpporto incrementle di f e f è derivbile in x. Quindi nche il limite di prtenz vle f (x ), ovvero vle (.). Verifichimo or che l scelt di T,x è ottimle, ovvero che se p(x) è un polinomio di grdo tle che f(x) p(x) = o(x x ) per x x, llor necessrimente p = T,x. Per comodità, ordinimo il polinomio p secondo potenze di (x x ), ossi p(x) = (x x ) +b(x x )+c. Si h quindi = lim x x f(x) p(x) (x x ) = lim x x f(x) (x x ) b(x x ) c (x x ) = lim x x f(x) b(x x ) c (x x ), (.) lim x x f(x) b(x x ) c (x x ) = Siccome il denomintore tende per x x, ffinché vlg (.), l unic spernz è che nche il numertore tend per x x. Questo ccde solo se c = f(x ). A questo punto, come prim possimo pplicre l regol dell Hôpitl e concludere che, se esiste, deve vlere nche il f (x) b lim x x (x x ).

13 .3 Formul di Tylor con resto di Peno 9 Di nuovo, siccome il denomintore tende, deve tendere nche il numertore, ossi b = f (x ). A questo punto, siccome f è derivbile in x, = lim x x f (x) f (x ) (x x ) = f (x ). Abbimo quindi determinto i coefficienti, b, c univocmente e ottenuto che p = T,x. Quindi d esempio con le derivte seconde si può rrivre d un secondo livello di pprossimzione. Inftti se l funzione f è derivbile due volte nel punto x si h che f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x )(x x ) + o(x x ), dove, l solito, o(x x ) indic un errore che, per x x è un infinitesimo di ordine mggiore di. A questo punto il polinomio pprossimnte di secondo grdo rppresent l prbol che più si vvicin l comportmento del grfico dell funzione f nei pressi del punto (x, f(x )), e è crtterizzto dll vere, nel punto x, lo stesso vlore, l stess derivt prim e l stess derivt second dell funzione f. È quindi nturle che le proprietà di convessità di tle prbol si riflettno sulle nloghe proprietà dell funzione f. Questo è proprio quello che succede. Vedimo un spiegzione teoric di qunto ppen ffermto nel cso prticolre in cui l funzione h derivt prim null in x e derivt second positiv. Il polinomio pprossimnte diviene f(x ) + f (x )(x x ), il cui grfico è un prbol con il minimo proprio in x ; è nturle ritenere che nche f presenti un punto di minimo reltivo in x e inftti, rccogliendo (x x ) f(x) f(x ) = f (x )(x x ) + o(x x ) = (x x ) ( f (x ) + o(x x ) (x x ) Siccome (x x ) e, per x x il termine in prentesi tond tende f (x ) >, llor per il teorem di permnenz del segno possimo ffermre che esisterà un intorno di x in cui il termine in prentesi tond è non negtivo. Questo vuol dire quindi che in tle intorno di x si h f(x) f(x ), cioè f(x) f(x ), ossi il punto x è di minimo reltivo per f. ZEsempio.. Si f l funzione f(x) = +x cos x. Dire se è un punto di estremo reltivo per f e specificrne il tipo. Scrivimo il polinomio di Tylor di f centrto in x = di ordine. Esso è ). x + x = x. Il grfico di f in un intorno dell origine ssomigli quello dell prbol x in un mssimo reltivo. che present Pertnto è un punto di mssimo reltivo.

14 Cpitolo ZEsempio.. Si f l funzione f(x) = +x cosx +. Si desider determinre il segno di f in un intorno di. Il primo polinomio non nullo di f è quello di ordine 4 e è dto d ) ( x + x 4 ) ( x + x4 + = 4 x4. Quindi il grfico di f ssomigli vicino quello di x4, che present un minimo in e ltrove è positiv. Possimo quindi concludere che esiste un intorno di in cui f(x). Un ltr ppliczione importnte dei polinomi di Tylor è l essere un criterio utilissimo per poter clcolre limiti. ZEsempio.. Clcolre cosx x lim. x x 4 Scrivimo il polinomio di McLurin del numertore di grdo più piccolo possibile, m in modo che il polinomio non si nullo. In questo cso si vede fcilmente che occorre scegliere grdo 4 e Pertnto il limite d clcolre è cosx x = 6 x4 + o(x 4 ). 6 lim + o(x 4 ) x x 4 = 6. ZEsempio.3. Clcolre, l vrire di R l ordine di infinitesimo di Scrivimo i primi due termini di McLurin f(x) = e x cosx log( + x). f(x) = ( )x + ( + ) x + o(x ). Se, cioè se, l funzione f si comport come il polinomio di primo grdo ( )x, quindi è un infinitesimo di ordine uno. Se =, cioè se =, l funzione f si comport come il polinomio di secondo grdo 3 x, quindi è un infinitesimo di ordine. In tutti gli esempi considerti si è pres l origine come punto inizile. Null viet, ovvimente, di utilizzre, second delle esigenze, punti diversi dll origine come centro del polinomio. sin x+x π ZEsempio.4. Clcolre lim x π. Occorre conoscere il polinomio di Tylor di sin x (x π) 3 centrto in π e scrivimo quello di grdo 3. Clcolndo qulche derivt, ottenimo T 3,π (x) = x + π + 6 (x π)3.

15 .4 Formul di Tylor con resto di Lgrnge Quindi sin x + x π x + π + lim = lim (x 6 π)3 + x π + o(x π) 3 x π (x π) 3 x π (x π) 3 = lim x π (x π)3 6 (x π) = 3 6. Al polinomio di Tylor si potev nche rrivre conoscendo quello centrto in x =. Inftti, utilizzndo le formule di trigonometri sin x = sin(x π + π) = sin(x π); inoltre se x π, llor y = x π. D ltr prte, se y, sin y = y y 3 /6 + o(y 3 ). Quindi sostituendo ( sin x = sin(x π) = sin y = y ) 6 y3 + o(y 3 ) = (x π) + 6 (x π)3 + o(x π) 3. Per l unicità del polinomio di Tylor, T 3,π (x) = (x π) + 6 (x π)3. Con Mple si ottiene lo sviluppo (=polinomio+resto) di Tylor di f centrto in x di grdo n con il comndo tylor(f(x), x = x, n). Qulor si desideri convertirlo un polinomio (per esempio, per poterlo disegnre) immettere il comndo convert(sviluppo di f(x),polynom). Ad esempio lo sviluppo di Tylor dell funzione esponenzile centrto in x = di grdo 3 e il rispettivo polinomio si ottengono coi comndi > sviluppo:= tylor(exp(x),x=,4); sviluppo := + x + x + 6 x3 + O(x 4 ) > polinomio:= convert(sviluppo,polynom); polinomio := + x + x + 6 x3 Si noti che Mple doper il resto in form O-grnde. 4. Formul di Tylor con resto di Lgrnge Qundo si desider vere stime su un intervllo prefissto, non un intervllo misterioso intorno x, è più utile utilizzre l seguente form del resto, più quntittiv. Questo è utile, d esempio, qundo si vuole fornire un stim numeric dell errore. Più precismente, (nche se non nelle ipotesi migliori possibili)

16 Cpitolo Teorem.5 (Formul di Tylor con resto di Lgrnge). Si f un funzione di clsse C n+ su un intervllo I e sino x e x due punti di I. Allor esiste un punto ξ, compreso tr x e x tle che f(x) T n,x (x) = f(n+) (ξ) (n + )! (x x ) n+. Ne segue fcilmente che l errore soddisf l seguente stim f(x) T n,x (x) x x n+ (n + )! mx f (n+) (t). t (x,x) ZEsempio.6. Approssimre il numero e con un numero rzionle meno di 4. Possimo pensre che e = e, ovvero e = f() dove f è l funzione esponenzile f(x) = e x. Quindi pprossimimo f() con un polinomio di McLurin di grdo opportuno T n clcolto in. L errore commesso srà f() T n () e, per il Teorem.5 sul resto di Lgrnge, con x =, x =, f() T n () (n + )! mx t (,) et 3 (n + )!. Nell ultimo pssggio bbimo usto il ftto che < e < 3. Occorre quindi trovre n in 3 modo che < 4 e non è difficile pensre che bst scegliere n = 7. Quindi, meno (n+)! di 4, e T 7 () = ! + 4! + 5! + 6! + 7! = Dimostrzione. Dimo un ide dell dimostrzione nel cso n =. Si f di clsse C sino fissti due punti distinti x e x in I (il cso in cui x = x è bnlmente vero per qulsisi punto ξ I). Scrivimo l funzione g, differenz tr f e l funzione il cui grfico è l prbol pssnte per i punti (x, f(x)), (x, f(x )) e vente come tngente in quest ultimo punto un rett di coefficiente ngolre f (x ). In formule g(t) = f(t) ( (t x ) + b (t x ) + c ) t I dove, come è fcile clcolre, c = f(x ) b = f (x ) = f(x) f(x ) f (x )(x x ) (x x ).

17 .5 Concvità e convessità 3 Siccome f è di clsse C e un polinomio nche, nche g è di clsse C. Inoltre, per l scelt ftt, g(x ) = g(x) = g (x ) = ; per il teorem di Rolle (o quello di Lgrnge) possimo dire che esiste un punto z tr x e x tle che g (z) =. Applicndo di nuovo il teorem di Rolle (o di Lgrnge) g, possimo dire che esiste un punto ξ compreso tr x e z (quindi tr x e x) tle che g (ξ) =. Clcolimo g : g (t) = f (t) ( (t x ) + b ) quindi g (t) = f (t). Dire che g (ξ) = signific quindi che f (ξ) = = f(x) f(x ) f (x )(x x ) (x x. Riordinndo i ) termini si ottiene l tesi f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (ξ) (x x ). Un ltr importnte ppliczione dell formul di Tylor con resto di Lgrnge è llo studio degli intervlli di convessità e concvità di un funzione. 5. Concvità e convessità Un funzione f si dice convess (concv) su un intervllo I se il suo grfico present l concvità verso l lto (risp. verso il bsso), cioè se comunque scelti due punti x e x in I, nell intervllo di estremi x e x il grfico di f st sotto (risp. sopr) l rett congiungente i due punti (x, f(x )), (x, f(x )). Nell figur è illustrt l situzione nel cso di un funzione convess. f(x) secnte secnte Si può dimostrre che un funzione convess o concv in I è necessrimente continu nei punti interni ll intervllo I. M se f è derivbile l definizione di convessità (risp. concvità) è equivlente richiedere che comunque scelti un punto x in I, il grfico di f sti, nell intervllo I, sopr (risp. sotto) l rett tngente l grfico nel punto (x, f(x )).

18 4 Cpitolo f(x) tngente f(x) tngente f convess f concv Osservimo or che dt un generic prbol di equzione y = x + bx + c, il suo grfico present l concvità verso l lto o il bsso second che il segno di si positivo oppure negtivo. Inoltre l derivt second di f(x) = x + bx + c è f (x) =. Possimo quindi ffermre che per le prbole l concvità è rivolt verso l lto o il bsso second che l derivt second si positiv o negtiv. Questo ftto h vlidità generle, non solo per le prbole. Teorem.7. Si f è derivbile due volte in I. Sono equivlenti: ) f (x) per ogni x in I b) f è convess in I. E nlogmente l concvità è quivlente f (x) per ogni x in I. Dimostrzione. D ) segue b) : questo ftto è conseguenz dell formul di Tylor con n = e resto in form di Lgrnge, ossi del Teorem.5. Si x un punti rbitrrio dell intervllo e mostrimo che il grfico dell funzione f st l di sopr di quello dell rett tngente f in x. Inftti l differenz tr f e il polinomio di Tylor del primo ordine, che ltro non è che l rett tngente, è del tipo f(x) (f(x ) + f (x )(x x )) = f (ξ)(x x ), dove ξ è un punto nell intervllo di estremi x e x. Per ipotesi f (ξ). Allor, poiché nche (x x ), si h Quindi f è convess. f(x) (f(x ) + f (x )(x x )). D b) segue ) Supponimo che f si convess in I. Allor per ogni x in I si h (.3) f(x) f(x ) + f (x )(x x ).

19 .5 Concvità e convessità 5 D ltr prte per l formul di Tylor con n = e resto in form di Peno, ossi per il teorem.9, f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x )(x x ) + o(x x ). Per ssurdo, se fosse f (x ) <, llor esisterebbe un intorno di x in cui il grfico di f ssomigli quello dell prbol f(x )+f (x )(x x )+ f (x )(x x ), che h concvità rivolt verso il bsso. M llor non potrebbe vlere l (.3). I punti in cui cmbi l convessità sono detti punti di flesso e, più precismente: si dice che x è punto di flesso scendente se il grfico dell funzione st sotto quello dell rett tngente prim di x e invece st sopr quello dell rett tngente dopo x. Si dice che x è punto di flesso discendente se il grfico dell funzione st sopr quello dell rett tngente prim di x e invece st sotto quello dell rett tngente dopo x. f(x) tngente f(x) tngente flesso scendente flesso discendente Un conseguenz di qunto visto è che Corollrio.8. Si f è derivbile due volte in x. Se x è un punto di flesso llor f (x ) =. ZEsempio.9. Se f (x ) =, non è detto che x si un punto di flesso, come mostr l esempio di f(x) = x 4 con x =. Quello che rimne vero è che il grfico ssomigli quello del polinomio di Tylor centrto in x. Quindi se f è derivbile tre volte e f (x ) =, f(x) f(x ) + f (x )(x x ) + 6 f (x )(x x ) 3 Il grfico dell cubic secondo membro h un flesso scendente in x se f (x ) > ; discendente se f (x ) <. (Indecidibile se f (x ) =, dovremmo scrivere un ltro termine del polinomio di Tylor).

20 6 Cpitolo ZEsempio.. Studire il grfico di f(x) = 5x + x log x. Innnzi tutto, l funzione è definit per x >. Clcolimo i limiti gli estremi del dominio: lim f(x) = lim x + x + x ( 5 + log x) = +, lim f(x) =, x + perché il logritmo h ordine di infinito minore di /x per x +. Allor f è prolungbile in un funzione g continu: bst porre { f(x) x > g(x) = x =. L funzione f è compost di funzioni infinitmente derivbili e quindi infinitmente derivbile per x >. L derivt prim, per x > è f (x) = 8x + 4x log x = 4x( + log x). Allor f (x) = se e solo se log x =, cioè x = e. Inoltre f (x) < se x (, e ), f (x) > se x (e, + ). Notimo nche che lim x + f (x) =, quindi g è nche derivbile in e l su derivt in è. Pertnto f è decrescente su (, e ] e crescente su [e, + ) e present un minimo (ssoluto) in x = e ; f(e ) = e 4. Siccome f è continu, per il Teorem dei Vlori Intermedi l immgine di f contiene tutti i vlori in [ e 4, + ). Infine, per determinre intervlli di concvità e convessità, studimo il segno dell derivt second: f (x) = log x = 4(log x ). Quindi f (x) = per log x =, cioè per x = e; f (x) > per x > e; f (x) < per < x < e. Possimo concludere che f è convess sull intervllo [e, + ) e concv su (, e]. Il punto e è un punto di flesso scendente Nell figur in rosso bbimo disegnto l rett tngente l grfico di f nel punto e.

21 .6 Il metodo delle secnti e il metodo di Newton o delle tngenti 7 6. Il metodo delle secnti e il metodo di Newton o delle tngenti Molto spesso non è possibile determinre in modo estto le scisse dei punti in cui un funzione si nnull: d esempio nel cso dell funzione f(x) = x+e x è immedito che i limiti l tendere di x e + sono rispettivmente e + e che l funzione è strettmente crescente (f (x) = + e x > ), quindi esiste un unico punto in cui l funzione si nnull. M qunto determinrlo esplicitmente, è tutt un ltr questione; possimo, loclizzrlo un po meglio, tr e, d esempio, osservndo che f( ) = + e = e f() = ; possimo giungere stbilire quli sono le prime cifre decimli del punto in cui l funzione si nnull, con il metodo di dicotomi introdotto nel teorem degli zeri, m è un metodo molto lento: necessit, in questo cso, di pssggi per rrivre 3 cifre decimli estte! Il nostro scopo in quest sezione srà di introdurre metodi ssi più efficienti per l determinzione numeric (pprossimt) degli zeri di un funzione. Entrmbi i metodi richiedono che l funzione mnteng lo stesso tipo di convessità nell intervllo preso in considerzione e permettono in genere di pprossimre con molt velocità il punto in cui l funzione si nnull. Illustreremo per primo il metodo delle secnti. Supponimo, d esempio, che l funzione si continu, convess e tle che f() < e f(b) >. L equzione dell rett che pss per gli estremi (, f()) e (b, f(b)) del grfico è y = f(b) + f(b) f() (x b). b Tle rett tgli l sse delle x in un punto in cui l funzione ssume ncor vlore negtivo, l cui sciss x si può fcilmente trovre, ponendo y = nell precedente equzione, e cioè x = b b f(b). f() f(b) A questo punto si ripete l operzione con l nuov coppi di punti (x, f(x )) e (b, f(b)) e si ottiene il nuovo punto x = b x b f(x f(b). Si procede ) f(b) in tl modo, ottenendo l successione di punti x n = b x n b f(x n ) f(b) f(b) x x x 3 b che tende ssi rpidmente l punto in cui f si nnull: nell figur sottostnte si vedono i primi tre punti dell successione pprossimnte. Possimo pensre x =. Nello stesso modo si oper nel cso di f continu, concv e tle che f() > e f(b) <.

22 8 Cpitolo Negli ltri due csi (cioè funzione f convess e tle che f() > e f(b) < oppure f concv e tle che f() < e f(b) > ) si lsci fisso il primo estremo e l successione che si ottiene doperndo lo stesso metodo è definit induttivmente d x 3 x x b x n = con x = b. x n f(x n ) f() f() Considerimo or il cso delle soluzioni dell equzione f(x) = x + e x =. Tle funzione h derivt second e x > e f( ) = + e < e f() = > : è dunque convess e dobbimo pplicre l prim delle due formule dte, tenendo come punto fisso il secondo estremo. Si notino le prime due ssegnzioni: scrivimo. e. (il punto dopo l cifr!) perché intendimo vere come output cifre decimli. Provte vedere cos succede senz il punto. > :=-.: b:=.: f:=x->x+exp(x): > x[]:=: for n from to do x[n]:=b-f(b)*(x[n-]-b)/(f(x[n-])-f(b)); end do; x := x := x 3 := x 4 := x 5 := x 6 := x 7 := x 8 := x 9 := x := Come si vede dll rispost di Mple i vlori si stbilizzno ssi rpidmente: l terzo psso le prime tre cifre decimli sono estte, l settimo sono già sei (con il metodo di dicotomi servirebbero rispettivmente e pssi per ottenere l stess precisione). Chi frequenterà il corso di Clcolo Numerico, quntificherà l ordine di convergenz di quest successione.

23 .6 Il metodo delle secnti e il metodo di Newton o delle tngenti 9 Logicmente molto simile è il metodo delle tngenti (o di Newton) che, come dice il nome, sfrutt l tngente invece dell secnte. Anlogmente l cso precedente, si prte dll rett tngente l grfico nel primo estremo se f è continu, convess e tle che f() > e f(b) <, oppure continu, concv e tle che f() < e f(b) >. L equzione dell rett tngente è y = f() + f ()(x ) che tgli l sse delle x in un punto in cui l funzione ssume vlore positivo, l cui sciss si può fcilmente trovre, ponendo y = nell precedente equzione, e cioè x = f(). A f () questo punto si ripete l operzione prtendo dl punto (x, f(x )) e si ottiene il nuovo punto x = x f(x ) f (x e così vi, ottenendo l successione di punti ) x n = x n f(x n ) f (x n ) che, come si può osservre nell figur sinistr, converge in modo estremmente veloce. Negli ltri due csi (cioè f concv e tle che f() > e f(b) < oppure convess e tle che f() < e f(b) > ) si prte dl secondo estremo x = b f(b) m poi l formul coincide: f (b) Gurdte l figur destr. x n = x n f(x n ) f (x n ). = x x x b x x b = x Tornimo ll equzione f(x) = x + e x =. L figur è tipo quell destr, quindi come già detto dovremo prtire dl secondo estremo. > :=-.: b:=.: f:=x->x+exp(x): > g:=d(f): Digits := 3; > x[]:=b:

24 Cpitolo for n from to do x[n]:=x[n-]-f(x[n-])/g(x[n-]); end do; x :=.5 x := x 3 := x 4 := x 5 := x 6 := x 7 := x 8 := x 9 := x := Al qurto psso si ottiene prticmente il vlore estto, se ci limitimo gurdre cifre come prim; per vedere qulche differenz tr le vrie pprossimzioni ne richiedo 3, m simo l limite dell precisione di Mple (si noti che le ultime tre pprossimzioni sono d considerrsi errte, perché per costruzione l successione (x n ) deve essere decrescente, mentre x 8 < x 7 ). In generle ( meno che f non si nnulli nello zero cercto) il metodo di Newton converge più rpidmente. Tuttvi il metodo di Newton richiede che ogni psso si vlutino si f si l su derivt, mentre il metodo delle secnti richiede solo vlutzioni dell funzione f. Questo comport che in prtic il metodo delle secnti poss essere più veloce. 7. Polinomi di interpolzione Se, come spesso ccde, l funzione f h derivte di qulsisi ordine in tutti i punti dell intervllo I, si possono scrivere i polinomi di Tylor di ogni grdo. Ci spettimo che ll umentre del grdo migliori il livello dell pprossimzione; m, in genere e come vedremo negli esempi, questo ccde solo vicino l punto x. In ltre prole, osservndo i grfici dell esempio.8, l crescere di n non solo miglior il grdo di pprossimzione, m nche si estende l regione in cui tle pprossimzione è buon. Nel prossimo esempio vedimo come l pprossimzione dei polinomi di Tylor per lcune funzioni è un ftto semplicemente locle. ZEsempio.. Si f(x) = /( x) e x =.

25 .7 Polinomi di interpolzione Le derivte sono: f (x) = ( x), f (x) = ( x) 3, f (x) = 3 ( x) 3, f (iv) (x) = 4! ( x) 4, e così vi f (n) (x) = n! ( x) n+. Ne segue che f() =, f () =, f () =, f () = 3!, f (n) () = n! e T n (x) = + x + x + x x n. Un ltro esempio è dto dll funzione g(x) = log( + x), che h polinomio di Mclurin T n (x) = x x + x ( )nxn n!. Nelle figure che seguono, sinistr vedete l situzione per f destr per g f T T T 3 T 4 g T T T 3 T Come si può vedere dlle figure precedenti, il grdo di pprossimzione peggior sensibilmente l crescere di n qundo x è l di fuori dell intervllo [, ]. Si potrebbe essere indotti pensre che questo comportmento dipende dl ftto che le funzioni f e g tendono infinito per x..5 h T T 4 T 6 Non è un buon spiegzione! Gurdte questo esempio: or sostituimo x nell funzione f l posto dell vribile x, ottenimo che il polinomio di Tylor di h(x) = /( + x ) è.5 T n (x) = x + x 4 x ( ) n x n Anche questi polinomi funzionno bene solo se < x <, nche se l funzione h è infinite volte derivbile.

26 Cpitolo Un spiegzione spero esuriente seguirà qundo prleremo di serie e serie di Tylor. Per or ccontentimoci di pensre che se voglimo pprossimre trmite polinomi l funzione h(x) = /(+x ) su tutto l intervllo [, ], il polinomio di Tylor non è l migliore soluzione, perché tle polinomio cess di fornire buone pprossimzioni l di fuori dell intervllo [, ]. Un soluzione può essere quell dei polinomi interpolnti che vedremo in quest sezione. Si f : [, b] R un funzione e sino ssegnti n + punti distinti, che indichimo con x,...,x n, dell intervllo chiuso e limitto [, b]. Per cpire meglio come può essere ftto il grfico di f, cerchimo di pprossimre l funzione f con un polinomio P pssnte per i medesimi punti, ossi tle che P(x i ) = f(x i ) i =,,..., n. Siccome le funzioni polinomili sono molto più fcili d trttre, questo procedimento dovrebbe, in qulche cso, semplificrci l vit. Per comodità, supponimo che x < x < < x n. Teorem.. Esiste un unico polinomio P di grdo n tle che Questo polinomio è dto d P(x i ) = f(x i ) i =,,..., n. P(x) = dove gli n + polinomi L i sono definiti d L i (x) = n f(x i ) L i (x) i= n k= k i e costituiscono un bse dei polinomi di grdo n. x x k x i x k Dimostrzione. I polinomi L i sono di grdo n e verificno { se i = j, L i (x j ) = se i j. Quindi i polinomi L i sono n + e inoltre sono linermente indipendenti. Siccome i polinomi di grdo n sono uno spzio vettorile di dimensione n +, llor i polinomi L i costituiscono un bse dei polinomi di grdo n. Cerchimo llor un polinomio di grdo n tle che P(x i ) = f(x i ) per ogni i =,,..., n. Necessrimente n P(x) = c i L i (x) per certi coefficienti reli c i e inoltre P(x i ) = f(x i ) ccde se e solo se c i = f(x i ). i=

27 .7 Polinomi di interpolzione 3 Oppure, più semplicemente, un polinomio P di grdo n h l form n P(x) = i x n per certi coefficienti reli i. Richiedere che P(x i ) = f(x i ) è equivlente richiedere che gli i sino soluzioni del sistem linere n i= i x n = f(x ). n i= i x n n = f(x n ) che in form mtricile si scrive x... x n M = Y dove M =... = x n... x n n i=. n f(x ) Y =. f(x n ) Non è difficile provre che il determinnte di M vle i<j (x j x i ) e quindi è diverso d zero se i punti x i sono distinti. M llor il sistem h un unic soluzione, che è il polinomio interpolnte cercto. ZEsempio.3. Considerimo sull intervllo [, ] l funzione f(x) = e x. ) Scelti i punti, scrivimone il polinomio interpolnte di grdo ; b) scelti i punti,, scrivimone il polinomio interpolnte di grdo ; c) scelti i punti,,, scrivimone il polinomio interpolnte di grdo 3. ) Cerchimo il polinomio P di grdo dell form + x in modo che { f( ) = e = P ( ) = f() = = P () = quindi = = e e P (x) = + ( e )x. b) Cerchimo il polinomio P di grdo dell form + x + x in modo che f( ) = e = P ( ) = + = f() = = P () = quindi = e /e f() = e = P () = + + = + e+/e e P (x) = + e /e x + ( + e+/e )x. c) Cerchimo il polinomio P 3 di grdo 3 dell form + x + x + 3 x 3 in modo che f( ) = e = P 3 ( ) = + 3 = f() = = P 3 () = = e quindi 6 e 3 e f() = e = P 3 () = = e + e f() = e = P 3 () = = 6 e e + 6e.

28 4 Cpitolo e P 3 (x) h l (orribile) espressione + ( e 6 e 3 e ) x + ( e + e) x + ( 6 e e + 6e) x 3. I grfici dell funzione e dei tre polinomi trovti sono: f(x)=e x P (x) P (x) P 3 (x) Dll esempio ftto, l pprossimzione sembr migliorre l crescere del numero di punti scelti. M qunto buon è l pprossimzione ottenut? Inizimo rgionre dl cso più semplice: quello in cui sceglimo due punti x e x e pprossimimo l funzione con il suo polinomio P interpolnte di grdo uno, che è l rett pssnte per i punti (x, f(x )) e (x, f(x )). Sppimo che l differenz f(x) P(x) è null per x = x, x e desiderimo or vlutre l differenz f(x) P(x) per un ltro x in [, b], che pensimo fissto. Approssimimo l funzione (ignot) dell vribile t f(t) P(t) considerndo il suo polinomio interpolnte P di grdo due per i punti x, x, x, ossi il polinomio P(t) = (t x )(t x ) (f(x) P(x)). (x x )(x x ) Imitndo l dimostrzione del Teorem di Lgrnge, introducimo un nuov funzione usiliri g x dell vribile t, che coincid con l differenz tr l funzione f(t) P(t) e il suo

29 .7 Polinomi di interpolzione 5 polinomio interpolnte P(t), ossi g x (t) = f(t) P(t) (t x )(t x ) (f(x) P(x)). (x x )(x x ) L funzione g x h l stess regolrità di f e è null nei punti x, x, x. Se supponimo che f si di clsse C, pplicndo due volte il teorem di Rolle, possimo concludere che esiste un punto c in (, b) tle che g x (c) =. Siccome l derivt second di un polinomio di grdo uno è zero, si h g x (t) = f (t) P (t) P (t) = f (t) (f(x) P(x)). (x x )(x x ) Allor dire che esiste un punto c in (, b) tle che g x(c) = vuol dire che esiste un punto c in (, b) tle che f (c) = (f(x) P(x)), (x x )(x x ) o nche f(x) P(x) = (x x )(x x ) f (c). L ultim equzione scritt vle nche nei csi x = x, x (si riduce ll identità = ). Rissumendo, bbimo verificto che: Teorem.4. Dti due punti distinti x e x dell intervllo [, b] e un funzione f di clsse C sull intervllo [, b], possimo formre il polinomio P interpolnte di grdo uno e per ogni x in [, b] esiste un punto c in (, b) tle che f(x) P(x) = (x x )(x x ) f (c). In prticolre quindi possimo stimre l errore commesso con f(x) P(x) (x x )(x x ) mx f (c). c [,b] In generle vlgono: Teorem.5. Supponimo che f si di clsse C n+ sull intervllo [, b]. Allor per ogni x in [, b] esiste ξ in [min(x, x ), mx(x, x n )] tle che f(x) P(x) = (x x ) (x x n ) (n + )! f (n+) (ξ). Corollrio.6. Si f un funzione di clsse C n+ sull intervllo [, b]. Allor f(x) P(x) (x x ) (x x n ) (n + )! mx x [,b] f(n+) (x).

30 6 Cpitolo M l dimostrzione di questi risultti non ggiunge lcun ingrediente interessnte. Riprendimo l esempio.3: notimo che le derivte dell funzione esponenzile sono limitte sull intervllo [, ] e inoltre l distnz tr x e ciscuno dei punti prescelti x j è l più 4. Allor l differenz tr e x e un suo polinomio interpolnte P n di grdo n si controll in questo modo: e x P n (x) 4n+ (n + )! mx e x M 4n+ x [,b] (n + )!. Siccome il fttorile h ordine di infinito superiore 4 n ne concludimo che P n (x) e x qundo n. ZEsempio.7. In generle non è detto che l pprossimzione migliori in tutti i punti! Considerimo l funzione f(x) = + x su [, ] e interpolimol considerndo punti equispziti di unità, unità, / e quindi polinomi di grdi, 4, 8 rispettivmente. Con Mple with(curvefitting): > :=PolynomilInterpoltion([-,,],[/5,,/5],x): > p:=collect(,x); > b:=polynomilinterpoltion([-,-,,,],[/5,/,,/,/5],x): > p4:=collect(b,x); > c:=polynomilinterpoltion([-, -3/, -, -/,, /,, 3/, ], [/5, 4/3, /, 4/5,, 4/5, /,4/3, /5],x): > p8:=collect(c,x); > plot([/(+x^),,b,c],x=-..); In questo modo ottenimo e, dulcis in fundo, P (x) = 5 x + P 4 (x) = x4 3 5 x + P 8 (x) = x x x x +

31 .8 Esercizi 7 Nel disegno, il grfico dell funzione f è quello in nero e il polinomio di grdo due è in blu Ci ccorgimo che il polinomio P 8 (quello in rosso), in vicinnz degli estremi e, pprossim l funzione peggio del polinomio di grdo 4 (quello in verde). Questo strno comportmento prende il nome di fenomeno di Runge. Questo ftto negtivo può essere superto con un scelt opportun dei punti per cui fr pssre il polinomio interpolnte, m questo esul dgli scopi che ci simo prefissi. In sintesi, il metodo or descritto permette di descrivere il grfico di un funzione in un certo intervllo fissto, purché l funzione si sufficientemente regolre. Adopereremo i polinomi interpolnti nel clcolo di integrli definiti. 8. Esercizi. Studire il segno di f(x) = e x + log x e in un intorno di.. Clcolre l ordine di infinitesimo di cos(x) + log( + 4x ) per x. 3. Si h(x) = sin(x ) + log( e x ), con R. Clcolre lim x h(x) x 4 l vrire di R. 4. Si f(x) = log(cosx) + 3 sin (αx). Per quli vlori di α l funzione f(x) è un infinitesimo di ordine 3 per x? Per quli vlori di α l funzione f(x) h un minimo oppure un mssimo in? 5. Si f(x) = e x tg x. ) Determinre il dominio di f e i limiti gli estremi del dominio. b) Determinre mssimi e minimi (ssoluti e reltivi) di f su tutto il dominio. c) Determinre l immgine di f. d) Disegnre uno (o più) grfici qulittivi di f con Mple. e) Dire qunte soluzioni h l equzione f(x) = e pprossimre quell nell intervllo ( π, π )

32 8 Cpitolo meno di 4. f) Dire se esiste ed eventulmente clcolre lim x ± f(x). 6. Si f(x) = x e x x + 6. ) Determinre il dominio di f e i limiti gli estremi del dominio. b) Determinre mssimi e minimi (ssoluti e reltivi) di f. c) Determinre l immgine di f. d) Disegnre uno (o più) grfici qulittivi di f con Excel o MtLb. e) Approssimre meno di / l rdice dell equzione f(x) = con x [, ]. 7. Sino R e f(x) = e x x. ) Determinre il dominio di f e i limiti gli estremi del dominio, l vrire di R. b) Approssimre meno di 4 gli zeri di f con =. c) Determinre il dominio di g(x) = log(e x x). d) Determinre il numero di zeri di f l vrire di R. 8. Si b R e f(x) = + bx sin x cosx. Studire il segno di f in un intorno di, l vrire di b R. 9. Si f(x) = log x + log x. ) Determinre il dominio di f e i limiti gli estremi del dominio. b) Determinre gli intervlli di monotoni di f. c) Determinre gli intervlli di concvità e di convessità di f.

33 CAPITOLO Serie numeriche. Brevi richimi sulle successioni Ricordimo che un successione rele è un funzione definit d N, eventulmente privto di un numero finito di elementi, R Solitmente si indic un successione con l list dei suoi vlori: ( n ) n N. Il vlore n si chim n-esimo termine dell successione. Grficmente possimo rppresentre un successione come in figur. Un successione importnte in probbilità è l successione geometric di prmetro p, con < p <. In formule, è l successione i cui termini sono p n con n. Penste di lncire ripetutmente un monet e che l probbilità che esc test in un singolo lncio si p. Ovvimente il risultto di un lncio non influenz il successivo. Il termine p n rppresent l probbilità di vere esttmente n volte test in n lnci consecutivi. Si ( n ) n N un successione e si ϕ : N N un successione di numeri nturli strettmente crescente. Indichimo con n k = ϕ(k). Allor l successione ( nk ) k N si chim successione estrtt o sottosuccessione dell successione dt. In prtic, questo signific scegliere, senz vrirne l ordine, infiniti termini dell successione di prtenz, immgzzinndoli in un nuov list. Ad esempio, immginimo di scegliere per primo il termine e immgzzinimo questo vlore come primo termine ponendo b =. Or operimo un second scelt; sono nostr disposizione tutti i termini prtire d 3 ; sceglimo d esempio e ponimo b =. Or operimo un terz scelt; sono nostr disposizione tutti i termini prtire d ; sceglimo d esempio e ponimo b 3 =. E così vi. L successione estrtt è l b, b, b 3,... ZEsempio.. Si ( n ) n N l successione definit d n = cos(nπ/4). Come list di elementi l successione è,,,,,,,,,,,... Si n k = k. Allor l estrtt, cosiddett di posto pri è l successione,,,,,,.... 9

34 3 Cpitolo Se invece n k = k + stimo considerndo l cosiddett estrtt di posto dispri, ovvero l successione:,,,,,... Supponimo or che lim n = l. n Ovvimente selezionndo infiniti termini dll successione ( n ) n N, purché rispettndo l ordine, non si vri il crttere dell successione, ossi nche lim n n k = l. In figur, immginimo di scegliere dll successione ( n ) n N (che converge ) i termini circolettti di verde Anche i termini circolettti di verde tendono zero. Può invece succedere che un successione non bbi limite, mentre un su estrtt lo bbi. Un successione che non h limite è n = cos(nπ/4) definit nell esempio.. Considerte n k = + 4k. È fcile controllre che ( nk ) k N è l successione costntemente null, quindi convergente ( ). In sintesi: se ( n ) n N è un successione che h limite l (finito o infinito) llor il limite di un su qulsisi estrtt è ncor ugule l.. Le serie numeriche Per comodità, solitmente in qunto segue le successioni srnno definite su N \ {}, ossi prtire d.

35 . Le serie numeriche 3 Dt un successione ( n ) n, possimo formre un ltr successione, che indicheremo solitmente con (s n ) n, delle somme przili o delle ridotte, dove s = s n = n k = + + n. k= Il termine s n, in cui sommimo i primi n termini dell successione ( n ), si chim ridott di ordine n. Grficmente, possimo pensre ll ridott di ordine n, d esempio 3, come ll re dell regione disegnt nell figur sinistr (o equivlentemente in quell destr): è l somm di tre rettngoli, tutti di bse e ltezze rispettivmente,, 3. Al solito, i pllini rossi indicno il grfico dell successione Or immginimo di voler spere se continundo sommre le ree di questi rettngoli ottenimo un poligono di re finit oppure no. Un ltr motivzione llo studio delle somme infinite deriv dll probbilità. Pensimo di comprre ogni nno un biglietto dell lotteri. Se l lotteri stmp e vende un milione di biglietti ogni nno, l probbilità che il nostro veng estrtto è pri p = 6 (supponendo che l lotteri si onest, ossi che tutti i biglietti bbino l stess probbilit di essere estrtti). L probbilità di vincere esttmente l prim volt che cquistimo il biglietto è ovvimente p; di perdere il primo nno m vincere il secondo nno è più piccol e precismente ( p)p; l terzo nno è ( p) p; e così vi, l probbilità di prim vincit ll ennesimo nno è ( p) n p. Quindi l probbilità che si vinc entro l ennesimo nno è l somm di tli probbilità. In formule, T è l vribile letori che misur l nno in cui si vince e bbimo detto che P(T = n) = ( p) n p P(T n) = n ( p) k p. k= Come è fcile controllre, l probbilità di ver vinto entro l ennesimo nno ument. Supponendo di continure imperterriti tentre l sorte, ci chiedimo cos può ccdere qundo n divent molto grnde.

36 3 Cpitolo Ci ccorgeremo di un risultto sorprendente: sicurmente vinceremo. Il problem è il tempo medio di ttes per l vincit (ossi il vlore tteso di T) che è E(T) = n P(T = n) = n ( p) n p. n= Scopriremo che è finito, m pri un milione di nni (il che dovrebbe bstre sconsiglire dllo spendere i soldi del biglietto). n= Definizione.. Si dt un successione rele ( n ) n. Un serie è un somm formle n. n= Si dice che quest serie è convergente e h per somm s R se l successione delle ridotte (s n ) converge s. Se l successione delle ridotte diverge, nche l serie si dice divergente. Se l successione delle ridotte non h limite, l serie si dice indetermint. Non tutte le successioni in generle prtono dll indice. Se bbimo un successione che prte dll indice p, con p N dell form ( n ) n p, l serie n h lo stesso significto di b n, dove b n = p+n. n= ZEsempio.. L serie geometric di rgione : si consideri l successione definit d L serie geometric di rgione è n = n n N. n= (.) s = = s = + n=p =. L successione delle ridotte è dt d n n n=... s n = n k= = n n n. Più in generle, dto x R, possimo considerre l serie geometric di rgione x, dt d x n = x n, dove, se x =, ponimo =. n= n= È fcile notre che, nel cso x =, l successione delle ridotte è s n = n, pertnto divergente. Quindi l serie geometric di rgione diverge. Se invece x, llor n s n = k= x n = xn x. Quindi, ricordndo che se x < si h lim n x n =, ottenimo che l serie geometric di rgione x, con x <, è convergente e h per somm. Inoltre, se x >, llor si x k=

37 . Le serie numeriche 33 h lim n x n =, quindi l serie geometric di rgione x, con x >, è positivmente divergente. Se invece x, l successione (x n ) non h limite, quindi l serie geometric di rgione x, con x, è indetermint. Rissumendo: se < x < x x n = se x n= indetermint se x. ZEsempio.3. Le serie telescopiche. Studire l convergenz di =. Quindi l ridott di ordine n divent n(n+) n n+ n n ( s n = k(k + ) = k ) k + k= ( = = ) + k= ( 3 ) + ( 3 4 ) + + n= ( n ) n +. Si noti che n(n+). n + Quindi l serie dt è convergente e h somm. Questo esempio è il prototipo di un clsse di serie che si chimno serie telescopiche. Un serie che si poss scrivere come (b n b n+ ), dove (b n ) è un successione rele si dice n= telescopic. Per un tle serie l ridott di ordine n risult n (b k b k+ ) = b b n+, k= perché tutti gli ltri ddendi si elidono. Quindi, se esiste finito lim n b n = l, l serie telescopic è convergente e h somm b l. Teorem.4. Si n un serie convergente. Allor n= lim n =. n Dimostrzione. Si l R l somm dell serie, ovvero, dett (s n ) l successione delle ridotte, si h lim n s n = l. M llor per n n = s n s n l l =.

38 34 Cpitolo Questo criterio ci iut stbilire fcilmente qundo un serie non converge, come nel prossimo esempio. In quello successivo invece vedimo che ci possono essere serie non convergenti il cui termine generle è infinitesimo. ZEsempio.5. Dire se è convergente n= n sin ( n). Siccome lim n sin n ( ) = n l serie dt non converge. ZEsempio.6. L serie rmonic: si consideri l successione definit d n = n n =,,.... L serie rmonic è. Notimo che potrebbe essere un serie convergente, perché n= n lim n =. Tuttvi, questo non è sufficiente: mostrimo che l serie rmonic diverge. n L successione delle ridotte è dt d s = = s = + n... s n = k. L successione delle ridotte è monoton crescente, quindi o diverge positivmente o converge. Per ssurdo, se l serie rmonic fosse convergente, ossi per un certo l finito lim s n = l, n llor ogni estrtt dell successione delle ridotte dovrebbe vere limite l. In prticolre considerimo due estrtte: s n e s n+. Si dovrebbe vere D ltr prte, lim (s n n+ s n) = l l =. s n+ s n = = n+ k= n+ k= n + n k ( n+ n ) n+, dove bbimo minorto l ultim somm col termine più piccolo per il numero degli ddendi. M llor k k= = lim (s n+ s n) lim ( n+ n ) n n = n+ k k=???? Abbimo ottenuto un ssurdo. Allor l serie rmonic diverge.