FORMULARIO ALGEBRA E ASSI CARTESIANI (RETTA) n m n m. a a a. n m n m. a a a. a b a b. a a a b. a n =

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1 Poteze volte FORMULARIO ALGEBRA E ASSI CARTESIANI (RETTA) proprietà: ) 2) 3) 4) 5) m m m m m m b 0 per qulsisi Numeri iteri: umero co sego e vlore Somm lgebric: Segi cocordi + +b - - b ddizioe Prodotto lgebrico: Segi cocordi + +b - - b sego + Segi discordi + - b - + b sottrzioe sego del umero mggiore Segi discordi + - b - +b sego - Poteze co umeri iteri: se <0 llor Espoete egtivo ; = sego positivo se è pri sego egtivo se è dispri Numeri rzioli: l divisioe fr umeri turli o è sempre possibile, llor si itroduce il umero b chimto che frzioe, : umertore b: deomitore Operzioi: c c c c d c d b m. c. m.( c, d) / c m. c. m( c, d) / d b c d m. c. m( c, d) U frzioe è riducibile i miimi termii se umertore e deomitore soo divisibili per uo stesso umero Due frzioi soo equivleti se ho lo stesso vlore: (se soo uguli i prodotti i croce), (se soo uguli i corrispettivi umeri decimli.), ( se semplificdo, u divet ugule ll ltr) decimli Frzioe geertrice limitti (se deomitore = potez di 0, 2, 5) Illimitti periodici (co deomitore qulsisi) ) decimle limitto: N è il umero sez virgol, D è u seguito d tti zeri qute soo le cifre decimli 2) decimle periodico: N umero sez virgol - umero sez periodo. D tti 9 qute le cifre del periodo, tti 0 qute le cifre dell tiperiodo

2 Proporzioe: ugugliz fr due rpporti : b = c: d Proprietà fodmetle: d = bc Proprietà del comporre: (+b) : = (c+d) : c Proprietà dello scomporre: ( - b) : = (c - d) : c I problemi co le percetuli L Percetule è u rpporto ceto d esempio 20% è vlore 00 è l elemeto di riferimeto. Il 20% di 20 è 24. Quest proporzioe può essere espress co l seguete L stess proporzioe si può presetre elle tre diverse situzioi:. Quidi si stbilisce u proporzioe i cui il Applicre l percetule del 20% 20 si schemtizz co l tbell 20 x Trovre l percetule che su 20 d 24 si schemtizz co l tbell x 23 Trovre il umero di cui l percetule del 20% è 24 si schemtizz co l tbell Per risolvere i problemi co le percetuli si deve costruire u delle tre tbelle. A volte può cpitre il dto forito o fcci riferimeto direttmete ll tbell percetule d trovre m l suo complemetre, cioè 00 meo l percetule che si ricv direttmete come ell esempio. Trovre l percetule di scoto se u oggetto che costv 20 viee veduto 96. Se si scrive l tbell D cui x = 96 * 00 : 20= 80 No si è trovt l percetule di scoto, m l percetule reltiv quto viee veduto il prodotto, l percetule di scoto srà = 20%. Ovvimete si potev che determire l etità dello scoto = 24 e poi pplicre l tbell. I problemi sopr ceto e sotto ceto possoo essere risolti i due modi. Cosiderimo l esempio : u lvortore dopo l umeto di stipedio del 5% gudg 533. Quto gudgv prim dell umeto? Ci trovimo così el cso di u proporzioe i cui l icogit compre si ell tecedete che el coseguete, per cui v ust l proprietà del comporre 5 : 00 = (533-x) : x (5+00): 00 = (533-x+x) : x 05 : 00 = 533 : x x = : 05 =460 Oppure si potev rgiore el seguete modo: se prgoimo lo stipedio (x) 00 l umeto del 5% più lo stipedio cioè 533 deve essere prgoto 05 (00+5) Perciò si può scrivere l tbell D cui 00 : 05 = x : 533. x x Scorporo dell IVA: (00+22) : prezzo ivto = 00 : prezzo prezzo prezzo ivto Prezzo = prezzo ivto :, Promemori reltivo lle espressioi lgebriche (poliomi) Espressioe letterle: operzioi fr umeri e lettere (che possoo ssumere qulsisi vlore umerico) Costte: letter che ssume sempre lo stesso vlore Vribile: letter il cui vlore o è fisso. Espressioe lgebric: u o più lettere dell'espressioe è vribile, esempi di dichirzioe di vribili F(x): 3x+2, oppure 3x+2x+5 dove x è vribile e è costte. espressioe iter: essu vribile compre l deomitore espressioe frtt: l vribile compre l deomitore o h espoete egtivo. domiio: isieme dei vlori che possoo essere sostituiti ll vribile che permettoo di eseguire tutte le operzioi.

3 Moomio: Espressioe elemetre, prodotto di umeri e lettere di cui lmeo u vribile, che o può mi trovrsi l deomitore; i umeri e le lettere costti soo detti coefficieti. Grdo di u moomio: somm degli espoeti delle sigole vribili. Vlore di u moomio: è il vlore che esso ssume qudo ll/e vribile/i si sostituisce u umero esempio: f(x): 3x... f(2)=3 2=6 Moomi simili: stesse vribili (compreso l'espoete) Somm lgebric di moomi: solo se simili si sommo i coefficieti; ltrimeti si lsci idict Prodotto di moomi: si moltiplico fr loro i coefficieti e per le lettere si pplic l prim proprietà delle poteze (cioè si scrive l letter u sol volt e si sommo gli espoeti) Divisioe: u moomio A è divisibile per u moomio B se esiste u moomio C tle che B C=A (I prtic si dividoo fr loro i coefficieti e per le lettere si sfrutt l secod proprietà delle poteze). Poliomio: somm lgebric di moomi Poliomio ridotto i form ormle: o cotiee termii simili Biomio: composto solo d due termii Triomio: composto solo d tre termii Grdo ssoluto: il mssimo dei grdi dei sigoli moomi Grdo reltivo d u vribile: il mssimo espoete co cui compre l vribile Poliomio ordito: qudo gli espoeti dell vribile vo dl più grde l più piccolo o vicevers Poliomio completo: qudo compioo tutti i grdi dell vribile d quello mssimo fio grdo zero (termie oto) Operzioi fr poliomi Somm lgebric: come per i moomi Prodotto di u moomio per u poliomio: Si pplic l proprietà distributiv (cioè si moltiplic il moomio per ciscu termie del poliomio) Prodotto fr due biomi: Il primo termie per il terzo, il primo per il qurto, il secodo per il terzo e il secodo per il qurto (+b) (c+d) = c+d+bc+bd Prodotti otevoli: Qudrto di u biomio: (±b) 2 = 2 ± 2b + b 2 Differez fr due qudrti : (+b)(-b) = 2 - b 2 Cubo di u biomio: (±b) 3 = 3 ± 3 2 b + 3b 2 ± b 3 Scomposizioe di u triomio come prodotto e somm di due umeri: x 2 + (+b)x+ b = (x+)(x+b) Scomposizioe di u poliomio Mess i evidez: M.C.D. fr i termii; ogi termie viee diviso per esso. Esempio: 9xyz+5x 2 y 2 8 xyz = 3xy(3z+5xy-6z) Uso dei prodotti otevoli Divisioe per u biomio (x-) co l regol di Ruffii Qudrto di u biomio i form geometric: il qudrto di lto +b co re (+b) 2 risult sovrpposto (quidi cogruete) due qudrti, uo di lto co re 2 e l ltro di lto b co re b 2 e due rettgoli di lti e b quidi complessivmete di re 2b. b b

4 ASSI CARTESIANI RETTE Tre equzioi: ) Equzioe geeric y=mx+q; form esplicit x+by+c=0 form implicit i cui x+by = k form ormle 2) Equzioe fscio: proprio y-y = m(x- x) i cui se P2(x2; y2) è u ltro puto. Improprio y= mx+k 3) Equzioe rett psste per due puti A(x; y), B(x2; y2): Le prime due possoo essere utilizzte ell mggior prte dei problemi, l terz solo per problemi co rett psste per due puti. Tutti i problemi si risolvoo co tre codizioi: ) Codizioe di pprteez: U puto pprtiee d u rett se sostituedo l posto di x e y ell equzioe dell rett le coordite del puto, l equzioe stess è verifict. Quidi l cooscez di u puto obblig sostituire sempre le sue coordit ell equzioe dell rett. 2) Codizioe di prllelismo: se y=mx+q e y=mˡ x+q ˡ soo le due rette è m= mˡ 3) Codizioe di perpedicolrità: Sigificto di m (coefficiete golre): segmeto che viee stccto sull prllel ll sse y trccit, dl lto delle x positive, distz dl puto i cui l rett icotr l sse delle x, vete per estremi il puto d itersezioe co l sse x e il puto d itersezioe co l rett. Sigificto di q (ordit ll origie): ordit del puto d itersezioe dell rett co l sse y. Esempio: Equzioe rett per A(2;5) e prllel rett y= -3x+5 ) Equzioe geeric y=mx+q si devoo trovre i due prmetri m e q, servoo due equzioi per scrivere le quli soo ecessrie due codizioi. Nel problem i dti soo: il pssggio per u puto, codizioe di pprteez e l cooscez di u rett prllel, codizioe di prllelismo. Perciò è Dl puto di vist litico il problem è risolto. Procededo lgebricmete col sistem, sostituedo ell prim equzioe l posto di m il vlore -3 si h: 5=-3(2)+q d cui q= L equzioe cerct è y=-3x+ 2) Equzioe fscio proprio y-y = m(x- x ) y-5=-3(x-2) y-5=-3x-6 y=-3x-6+5 y=-3x+. Per trovre le coordite del puto d itersezioe fr due rette si mettoo sistem le equzioi delle due rette (sfruttdo l codizioe di pprteez). Per disegre il grfico di u rett bisog trovre due puti che gli pprtegoo quidi, co l codizioe di pprteez, si f u piccol tbelli x y si sseg x u primo vlore picere e sostituedolo ell equzioe dell rett, si clcol il corrispettivo vlore di y, poi si fiss u secodo vlore e si clcol il corrispettivo vlore di y. SEGMENTI: Distz fr due puti (o lughezz di u segmeto): Coordite puto medio di u segmeto:

5 Equzioi di rette prticolri: Equzioe rett prllel ll sse x: y = q co q ordit del puto d itersezioe dell rett co l sse y. Equzioe sse x: y = 0 Equzioe rett prllel ll sse y: x = h co h sciss del puto d itersezioe dell rett co l sse x. Equzioe sse y: x = 0 Equzioe bisettrice del I e III qudrte: y = x (coefficiete golre m = ) Equzioe bisettrice del II e IV qudrte: y = - x (coefficiete golre m = - ) Equzioe rett geeric psste per l origie degli ssi: y = m x α < 90 α > 90 m > 0 m < 0 m Alcue situzioi Associ d ogi rett il umero dell equzioe che gli corrispode:. b. c. soluzioe : 4; b:3; c: Clcol il coefficiete golre dell rett psste per i puti A e B. Suggerimeti: piuttosto che usre l formul, bst cotre i qudrtii e perciò fre 4/8 = /2 Altro modo di ricvre m: Per qule vlore di m l'equzioe y = mx rppreset u rett che pss per il puto di coordite (3; 2)? Rispost: 2/3 = 4.. Due grdezze si dicoo direttmete proporzioli se il loro rpporto è costte y/x=m oppure y=mx Due grdezze si dicoo iversmete proporzioli se il loro prodotto è costte y*x=k oppure y=k/x