Corso di Teoria delle Decisioni

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1 Corso di Teoria delle Decisioni Esercitazioni Lezione 1 15/09/04 Docente: S.Moretti Paradossi in Teoria delle Decisioni Cosa significa paradosso? Definizione dal dizionario Webster An apparently sound argument leading to a contradiction. Perche studiarli? Statistical paradox: It is quite possible to draw wrong conclusions from correlation. For example, towns with a larger number of churches generally have a higher crime rate - because both result from higher population.

2 Paradosso di Simpson A e B reppresentano due farmaci per combattere una malattia terribile. Nel seguente studio sono state considerate 26 persone con tale malattia, alcune sono state trattate con il farmaco A, altre con quello B. I dati raccolti dallo studio sono riportati di seguito 1 uomo trattato con A e guarito. 4 uomini con A non sono guariti. 4 donne trattate con A sono guarite. 5 donne trattate con A non sono guarite. 3 uomini con B sono guariti. 7 uomini con B non sono guariti. 1 donna trattata con B e guarita. 1 donna trattata con B non e guarita. Farmaco A = 1/5=20% Farmaco B =3/10=30% =1/2=50% =4/9=44% Il farmaco B ha una percentuale di guarigione piu alta del farmaco A per gli uomini e il farmaco B ha una percentuale di guarigione piu alta del farmaco A per le donne

3 Farmaco A = 1/5=20% Farmaco B =3/10=30% B ha una percentuale di guarigione piu alta di A per gli uomini =4/9=44% 5 persone sul totale di 14 persone trattate con A sono guarite. =5/14=36% B ha una percentuale di Guarigione piu alta di A per le donne Ma A ha una percentuale di guarigione piu alta di B sul totale della popolazione =1/2=50% 4 persone sul totale di 12 persone trattate con B sono guarite. =4/12=33% giovani Non guariti Non guariti Totale per riga Tasso di guarigione 90% 80% vecchi Non guariti Non guariti Totale per riga Tasso di guarigione 20% 10% combinati Non guariti Non guariti Totale per riga Tasso di guarigione 27.8% 67.3%

4 Come si spiega il paradosso di Simpson in questo caso? La spiegazione potrebbe essere: la malattia e molto piu grave nei vecchi che nei giovani, nel senso che la percentuale di guarigione e sempre molto minore nei vecchi che nei giovani, o meno. Inoltre I pazienti (900) sono quasi tutti vecchi(800 su 900, l 88.9%). Quindi I pazienti guariscono meno di quelli non non per effetto del farmaco ma semplicemente peche sono piu vecchi. Piu in generale quindi, e buona norma considerare tutta l informazione disponibile sulla situazione da modellizzare per rendersi conto di quali associazioni siano sensate e quali associazioni siano spurie. Open Questions: e sempre possibile seguire questa buona norma? Qual e il modo corretto di procedere per l assunzione di un modello statistico? Il paradosso di Simpson segue dal fatto che possa essere soddisfatto il seguente sistema: a/b < A/B, c/d < C/D (a + c)/(b + d) > (A + C)/(B + D). ESERCIZIO 1: Che cosa devono rappresentare le variabili del sistema precedente per spiegare perche ci si puo imbattare nel Paradosso di Simpson (dirlo sull esempio vecchi/giovani)? Nell esempio delle classi di vecchi/giovani e possibile, almeno aritmeticamente, che si presenti il paradosso di Simpson quando il trattamento e efficace sia nei vecchi che nei giovani con una percentuale di guarigione nei del 50% e 95% rispettivamente (modificando opportunamente i dati relativi nelle tabelle in modo che presentino tali percentuali di guarigione)?

5 Una giornata di beneficienza Guadagno dell associazione benefica senza assicurazione Guadagno dell associazione benefica con assicurazione (premio 10, copertura 50) Il presidente considera la tabella di sinistra, l evento garantisce almeno 85 mentre la festa puo garantire soltanto 75. Nota quindi che sarebbe meglio scegliere l evento Il presidente considera la tabella di sinistra, l evento garantisce almeno 110 mentre la festa puo garantire soltanto 115. Nota quindi che sarebbe meglio scegliere la festa Una giornata di beneficienza (2) Guadagno dell associazione benefica senza assicurazione Guadagno dell associazione benefica con assicurazione (premio 10, policy 50) La segretaria dell associazione fa notare che non ci sono differenze tra le due tabelle. In entrambi I casi l evento fa guadagnare 10 in piu nel caso di brutto e 30 in meno nel caso di bello. Quindi non e consistente raccomandare l evento sulla base della tabella di sinistra e la festa sulla base della tabella di destra.

6 Una giornata di beneficienza (3) Bisognerebbe considerare la possibilita di perdita di guadagno (o rimpianto) di un opzione, cioe l ammontare di denaro perso rispetto l alternativa ottima per la circostanza che si presenta Rimpianti Massimo rimpianto Una giornata di beneficienza (4) Ma allora bisogna organizzare la festa che ha un rimpianto massimo piu piccolo? Vada per la festa Il tesoriere chiede se devono assicurarsi o meno Ci si accorge che in realta ci sono 4 opzioni non soltanto 2. Rimpianti Massimo rimpianto senza assicurazione 85(40) 120(30) 40 senza assicurazione 75(50) 150(0) 50 con assicurazione 125(0) 110(40) 40 con assicurazione 115(10) 140(10) 10 Si sceglie di fare la festa facendo l assicurazione.

7 Una giornata di beneficienza (5) Il metodo di decisione scelto e detto del minimax rimpianto. L obiettivo e quello di scegliere l opzione che minimizza il massimo rimpianto. ESERCIZIO 2: Che scelta fareste, sulla base del metodo di minimax rimpianto se vi accorgeste che l assicurazione non e piu valida? Quale tabella utilizzereste per la vostra decisione? ESERCIZIO 3: Scegliere l opzione ottimale secondo il criterio del minimax rimpianto. Da solo In societa con altri Discoteca Discoteca Gelateria Gelateria

8 Indipendenza delle preferenze Si supponga di dover scegliere il proprio pasto da un menu fisso piuttosto limitato quale Primo polenta oppure spaghetti Secondo pesce oppure bistecca Si supponga che io faccia la mia scelta assegnando un punteggio ai singoli piatti, sommando i punteggi e quindi scegliendo il pasto che risulta avere il massimo punteggio. Le mie preferenze per i piatti singoli sarebbero Polenta 10 Spaghetti 8 Pesce 9 Bistecca 2 Quindi i 4 possibili menu che ne seguirebbero sono polenta e pesce 19 polenta e bistecca 12 Spaghetti e pesce 17 Spaghetti e bistecca 10 Sembrerebbe quindi che io preferisca polenta e pesce per il mio pasto. In realta non amo mischiare sapori di mare e con quelli dei monti La ragione per cui il punteggio totale non rappresenta le mie vere preferenze e che all inizio avevo assunto che le mie preferenze per il secondo fossero independenti da quelle per il primo : non e cosi. Solo quando le preferenze sono indipendenti uno riesce ad ottenerle facendo le somme dei punteggi.

9 Money pump Perche la TdD da cosi tanta importanza alla transitivita delle preferenze? Il decisore ha preferenze su R X, dove R rappresentano somme di denaro (in euro) e X={mela, arancia, pera} tali che (0,mela) (0,arancia) ; (0,arancia) (0,pera) ; (0,pera) (0,mela) Per quel che riguarda il denaro le preferenze sono standard, maggiore denaro e meglio. Per afferrare meglio l idea, si assume che le preferenze sui frutti rimangano tali anche dietro pagamento di piccole quote di denaro, per esempio (-0.1,mela) (0,arancia) ; (-0.1,arancia) (0,pera) ; (-0.1,pera) (0,mela) Money pump (2) Se siete cosi fortunati da incontrare un decisore con tali preferenze, accertatevi subito di avere una mela, un arancia e una pera (altrimenti correte a comprarle!) Regalategli un arancia Allora gli si puo dire: guarda io ho una mela, mentre tu hai un arancia. Posso darti una mela purche tu mi dia indietro l arancia, insieme a 0.1 euro. In base alle preferenze del decisore, egli desiderera fare lo scambio. Naturalmente, immediatamente dopo si puo ricominciare: hey, io ho una pera... Con questo money pump voi diventere ricchi a spese del decisore... SPUNTO PER LA RIFLESSIONE: Vi e mai capitato di osservare situazioni reali simili o almeno riconducibili in parte al meccanismo della money pump?