Movimento nei fluidi : prima parte Applicazioni della meccanica dei fluidi

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1 In questa sezione vi sono argomenti he non fanno normalmente parte di un orso tradizionale di Fisia. Si tratta di una breve esursione nei viini ampi della biologia e della zoologia: appliazioni delle leggi della Meania ad aluni problemi di interesse per queste sienze, on partiolare riguardo alla desrizione di alune aratteristihe del movimento dei fluidi e nei fluidi. Viene anhe presentato il metodo delle dimensioni, uno strumento di studio molto utile per la formulazione di leggi empirihe per tutte le disipline. Prerequisiti per lo studio e la omprensione degli argomenti qua trattati sono il apitolo 5 del libro di testo (meania dei fluidi) e i paragrafi.3 e.5 (analisi dimensionale e ordini di grandezza) Movimento nei fluidi : prima parte Appliazioni della meania dei fluidi E noto he la vita sul pianeta Terra è basata sulla presenza di aqua, e quindi di un fluido, e he la stragrande maggioranza delle speie, sia animali he vegetali, vive in eosistemi a base fluida (aria o aqua). È sempre grazie a sistemi fluidi he gli organismi riesono a trasportare, sambiare e assimilare ossigeno e sostanze nutritive. La onosenza della meania dei fluidi è quindi essenziale per lo studio delle speie viventi e dell ambiente in ui vivono. In questa prima parte degli appunti presentiamo alune onsiderazioni sulle leggi di base del omportamento dei fluidi, o del omportamento degli animali in relazione ai fluidi, allegando aluni esempi di appliazioni elementari. Faremo uso di appropriate tenihe a metà strada tra la matematia, la fisia e le sienze della Natura. Non si tratterà omunque di analisi profonde ed esaustive, ma solo di esempi sul modo di affrontare i problemi he si possono inontrare nella riera sientifia. ) La irolazione del sangue e i apillari Nel nostro orpo un erto volume di sangue, pompato dal uore, ese dal ventriolo sinistro e ominia il suo viaggio nell arteria più grande he abbiamo, l aorta. Se non onsideriamo per sempliità i asi in ui il sangue si aumula momentaneamente in qualhe organo, si ha he il medesimo volume di sangue deve ontemporaneamente transitare anhe nelle miriadi dei vasi più sottili e minuti: i apillari. Dagli studi sperimentali dei fisiologi sappiamo he l aorta ha un diametro di ira.5 m e he al suo interno transita /0 di litro di sangue al seondo, mentre il diametro tipio di un apillare è pressappoo uguale al diametro di un globulo rosso, he è di ira 7 µm (7 0-6 m); in esso la veloità del sangue è solo di mezzo millimetro al seondo, ioè v = m/s.

2 π π Da questi dati, utilizzando l equazione di ontinuità possiamo riavare alune informazioni fisiologihe. Riordiamo innanzitutto he la portata di un fluido in un ondotto è definita ome il prodotto Q = A, dove A è la sezione del ondotto e v la veloità del fluido he vi sorre; l equazione di ontinuità per un fluido inompressibile si srive: A = A poihé la massa totale di fluido he passa in diversi punti nell unità di tempo è sempre la stessa. Riaviamo subito dai dati forniti he la portata del flusso sanguigno nell aorta vale Q = 0. dm 3 /s = 0-4 m 3 /s, e quindi he la veloità del sangue nell aorta è 3 Q 0 m /s v = = = 0.04 m/s, A m 4 essendo la sezione dell aorta A = (0.05 m /) = m. 6 La sezione di un apillare risulta invee A = (7 0 m /) = m = 38.5 µm, mentre la portata di un apillare sarà Q = A = m m/s =.9 0 m /s ( = 9. pl/s) Osserviamo he si tratta di una portata estremamente piola!! ( pl = 0 - litri = 0-5 m 3 ) Vogliamo ora valutare il numero N dei apillari del nostro orpo; possiamo usare l equazione di ontinuità, onsiderando he la sezione totale di tutti i apillari sarà ovviamente N volte la sezione del singolo apillare A : A = N A A m 0.04 m/s 9 N = = = A m m/s e ioè ben 5. miliardi di apillari! Questa dovrebbe essere in realtà una stima per difetto; il numero dei apillari del nostro orpo è siuramente assai maggiore, perhé soltanto una parte di essi è aperta e funzionante. Un esempio visibile di attivazione improvvisa dei apillari si ha, per esempio, quando appare un diffuso rossore sulle guane. In ondizioni normali di riposo, quando solo una minoranza dei apillari risulta aperta, l area totale delle loro sezioni è omunque maggiore di più di 400 volte rispetto alla sezione dell aorta, ome si verifia dai dati preedenti. Dal fatto he in tubi rigidi di diametri diversi la veloità media del flusso del liquido è inversamente proporzionale all area della sezione (equazione di ontinuità), si dedue la relativa lentezza del flusso sanguigno entro i apillari. Tale lentezza è funzionale al ompletamento degli sambi he hanno luogo tra il sangue e i tessuti. ) La orrente filtrante nelle spugne Sia data una spugna del volume dell ordine di 00 m 3 (ioè on diametro ompreso tra 5 e 6 m). L aqua, aspirata da pori disposti su tutta la superfiie orporea, entra in numerose amere flagellate, di ira 40 µm di diametro, ollegate tra loro per lo più in parallelo. Vi sono ira 3000 amere flagellate per mm 3. Il moto dei flagelli (lunghi 5 µm) spinge l aqua alla veloità di ira 50 µm/s. Alla fine l aqua ese dalla spugna da un apertura di m (osulo), posta in alto. A quale veloità ese l aqua dall osulo?

3 Il numero totale delle amere flagellate: 3000 amere/mm 3 00 m 3 = 300 x 0 6 La sezione di una amera flagellata: π r = π (0 µm) = 57 µm La sezione totale di tutte le amere flagellate: A = 300 x µm = 3800 m Utilizzando l'equazione di ontinuità riaviamo la veloità in usita v : A 3800 m 50 v = = = 9 m/s A µm/s m veloità deisamente elevata rispetto al moto dell aqua irolante nella spugna. E infatti neessario he l aqua espirata dall osulo venga allontanata il più possibile dalla spugna per evitare he essa venga filtrata (e quindi respirata) un altra volta. 3) Il numero di Reynolds e il movimento nell aqua Come viene spiegato in dettaglio più avanti, il numero di Reynolds è un parametro adimensionale aratteristio (per il onetto di adimensionalità vedi la seonda parte), utilizzato per desrivere il movimento di fluidi in ondotte, o il movimento di orpi he si trovano immersi in un fluido; esso è definito da: ρ d Re = η dove ρ è la densità del fluido, η il suo oeffiiente di visosità, v rappresenta la veloità del fluido o del orpo immerso, e infine d è una dimensione aratteristia della ondotta, o del orpo immerso. L utilità di questo parametro risiede nel fatto he ha un arattere universale: esso è in grado di desrivere fenomeni fisii simili, anhe se questi si manifestano su sale di grandezza enormemente differenti (questo è il osiddetto prinipio di similarità, he deriva dalla sua natura di parametro adimensionale, ioè di numero puro privo di dimensioni fisihe). Il numero di Reynolds deriva da rierhe sperimentali, ed è quindi stato formulato empiriamente. È anhe possibile tentare di dedurlo teoriamente dalle leggi fondamentali della meania, ad esempio onfrontando i diversi di tipi di forza he gioano un ruolo nel moto dei fluidi, ma i risultati trovati valgono solo per asi partiolari e soprattutto non si spingono fino a desrivere il regime turbolento, he a tutt oggi rappresenta anora un terreno di riera avanzata. Conentrandoi in partiolare sul aso he i interessa, ovvero sui orpi in movimento nei fluidi, si ha he se Re < 000 lo sorrimento del fluido intorno al orpo è laminare e molto regolare; all opposto se Re > 000 si manifestano fenomeni di turbolenza, dapprima deboli e poi via via più forti, on formazione di irregolarità nel flusso, vortii e mulinelli. Il valore del numero di Reynolds può variare di parehi ordini di grandezza (fino a 0 8 in ampo aeronautio) e la turbolenza diventa in realtà spiata solo ben oltre valori dell ordine di 0 5. Le questioni di base he un animale aquatio si trova ad affrontare, sono (a) in he modo muoversi nell ambiente fluido senza onsumare troppa energia, oppure (b) ome sfruttare al meglio, dal punto di vista evolutivo, le aratteristihe dei diversi tipi di flusso. Un fattore he gioa un ruolo molto importante è la forza di attrito visoso he si manifesta tra gli strati fluidi, ovvero tra lo strato di fluido viino al orpo e la superfiie del orpo stesso, e he dipende dal oeffiiente di attrito visoso η proprio del fluido. Gli studi effettuati su questo argomento portano ad affermare le seguenti regole generali: ) nel regime laminare, in ui gli strati fluidi rimangono ben aderenti al orpo, la forza di attrito visoso (quantifiabile ome la perdita di quantità di moto per unità di tempo di un oggetto in movimento nel fluido, F = dp / dt) risulta partiolarmente effiae nella sua azione di frenamento;

4 ) nel regime turbolento, a ausa della formazione di pioli vortii, lo strato fluido aderente all oggetto risulta di spessore ridotto rispetto al aso laminare, e opre una superfiie inferiore, on notevole diminuzione della forza di attrito visoso; 3) bisogna omunque evitare he il regime divenga troppo turbolento, perhé in tal aso si avrebbe la ompleta separazione vortiosa dello strato fluido dal orpo, on aumento dell attrito a ausa delle forti variazioni loali di veloità (pensiamo a quando un aereo entra in una zona temporalesa!) Altri importanti fattori da onsiderare per uno studio quantitativo sono la rugosità della superfiie del orpo e la sua forma geometria: sferio, ilindrio, o on profilo aerodinamio (del tipo di quello mostrato in figura ). Tutti questi elementi interagisono in realtà in modo omplesso ed è quindi diffiile trovare qualhe risultato appliabile in generale. Fig.: Esempio di profilo aerodinamio, partiolarmente effiae nel minimizzare l attrito per il moto nei fluidi, e molto utilizzato in Natura. Fig.: Coeffiiente di attrito per il frenamento di un orpo in movimento. (a) forma ilindria; (b) profilo aerodinamio (da Vogel, 994).

5 Nella figura osserviamo un esempio della omplessità del problema: in funzione di Re (in sala logaritmia, Log(Re), per omprendere diversi ordini grandezza sullo stesso grafio) per la zona in ui il regime è turbolento, favorevole quindi al movimento, viene mostrato il oeffiiente di attrito (analogo al oeffiiente di attrito noto dalla Meania) per un ilindro e per un orpo on profilo aerodinamio, nei due asi di superfiie lisia o rugosa. Si osservi ome il profilo aerodinamio ha un oeffiiente d attrito di ira due ordini di grandezza inferiore rispetto al ilindro, il he giustifia il fatto he i pesi tendono ad avere una forma aerodinamia (ome del resto aerei, navi ed automobili). Inoltre, mentre per questo profilo la rugosità della superfiie è siuramente peggiorativa, quando si va verso Re più elevati (ovvero alte veloità), nel aso del ilindro si ha lo strano effetto di un minimo dell attrito intorno a Re 0 5 per una superfiie rugosa. E questo il aso delle palle da tennis e da golf, he per l appunto hanno Re di questo valore; era infatti stato notato da tempo he le palle da tennis pelose viaggiano meglio di quelle lise, ome del resto le palle da golf vanno più lontano se hanno quei pioli affossamenti sulla superfiie. Come ultima osservazione sulla omplessità di questi studi, non bisogna dimentiare he il oeffiiente di visosità è fortemente dipendente dalla temperatura, per ui oggetti e animali possono trovarsi in ambienti e assumere omportamenti ben diversi anhe solo per variazioni di temperatura di una deina di gradi. Ad esempio, la irolazione del sangue è molto influenzata dalla temperatura (pensiamo agli animali in letargo!). Passiamo ora a alolare il numero di Reynolds in qualhe esempio di animale aquatio, 3 per trarne utili osservazioni. Riordiamo he per l aqua la densità è ρ = 0 Kg/m 3, e il oeffiiente di visosità alla temperatura di 0 0 C è η = 0-3 N s/m. Consideriamo i seguenti tre animali he nuotano alla veloità di una lunghezza orporea al seondo, e il aso di una balena he nuoti a m/s. Protozoo di 0 µm he va a 0 µm/s Copepode di mm he va a mm/s Pese di 0 m he va a 0 m/s Balena di 30 m he va a m/s Il alolo del numero di Reynolds i fornise: Protozoo: Re = = 0 = Copepode: Re = Pese: Re = 0 4 = 0000 Balena: Re = Come si vede, il numero di Reynolds può spaziare su ben ordini di grandezza, andando da un animale uniellulare alla balena. Gli effetti della visosità dell aqua, per un protozoo, sono 0000/0.000 e ioè 0 8 = 00 milioni di volte maggiori he per un pese lungo 0 m. L aqua appare ome se fosse un fluido poo visoso per un natante di grandi dimensioni, ome la balena, he pratiamente si muove in un regime molto turbolento. Ma per un batterio o un protozoo l aqua appare ome un fluido relativamente molto visoso, e infatti tali mirorganismi non sono in grado di provoare turbolenze. Un protozoo he si muove nell aqua ha la stessa sensazione he avremmo noi qualora i trovassimo a nuotare in un ipotetio lago di siroppo o di miele. Intorno a un protozoo he nuota non si formano vortii né una sia a poppa, ma il flusso del fluido intorno al suo orpo risulta perfettamente laminare. L arresto di un iliato o di un flagellato è sempre improvviso e immediato, dati i

6 bassi valori del numero di Reynolds del suo ambiente. E stato alolato he un batterio, quando essa di muovere il flagello, si ferma dopo aver perorso, per inerzia, non più dello spazio equivalente al diametro di un atomo di idrogeno! I pesi invee tendono ad avere numeri di Reynolds piuttosto alti, nella regione in ui riesono a minimizzare le forze di attrito visose e a sfruttare al meglio la forma aerodinamia per il movimento veloe. Un natante di grandi dimensioni (balena, nave), e quindi on grandi numeri di Reynolds, ha addirittura un problema opposto: il frenamento dell attrito visoso è osì poo effiae nel moto turbolento he esso deve essare la propria attività propulsiva alune entinaia di metri prima di arrivare al punto di arresto. È possibile esplorare una gran quantità di altre aratteristihe zoologihe legate al movimento nei fluidi e al numero di Reynolds, ma per esse rimandiamo ai testi speializzati. Presentiamo soltanto un ultima osservazione: un tempo i fitti ventagli di setole dei pioli animali, per es. dei opepodi, venivano interpretati quali strumenti di filtrazione per la attura, a sopo alimentare, dei mirorganismi plantonii. Ma il numero di Reynolds risulta troppo basso perhé tali filtri mirosopii possano funzionare, poihé non vi è la neessaria miroturbolenza per un effiae passaggio e riambio dell aqua attraverso le setole; osì, oggi si è fatta strada l ipotesi he i iuffi di setole dei opepodi funzionino ome semplii palette per la presa diretta dell alimento.