Tema 3. Insiemi, elementi di logica, calcolo combinatorio, relazioni e funzioni

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1 Tema 3 Iniemi, elemeni di logica, calcolo combinaorio, relazioni e funzioni 3.1 Queii di livello bae Si coniderino i egueni enunciai: n è un muliplo di 3 o è un numero pari, e inolre è minore di 20 ; n è un numero pari minore di 20, oppure è muliplo di 3 e minore di 20 (n è un numero naurale). Inerpreare con epreioni iniemiiche i due enunciai Illurare e giuificare (con un conrollo u diagrammi di Eulero-Venn) la formula iniemiica (A B) C = (A C) (B C) Sia p l affermazione ogni numero naurale maggiore di 1 è omma di due numeri dipari. Eprimere l affermazione non p (enza uare epreioni come non è vero che... ). Sabilire poi e p è vera oppure non p è vera In quani modi n perone i poono edere u una panca? Inorno a un avolo circolare? (Due chierameni i riengono indiinguibili olo e ciacun commenale ha lo eo vicino di dera e lo eo vicino di inira) Quane ono le colonne poibili nella chedina del Toocalcio? Nell inieme dei numeri naurali, come i può caraerizzare il ooinieme S = {1, 3, 5, 7, 9}? Con alre parole: rovare una proprieà caraeriica di S, cioè una proprieà che ia vera per ui e oli gli elemeni di S Dai gli iniemi A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, quane ono le applicazioni (le funzioni) di A in B? Quani ono i ooiniemi dell inieme A = {1,2,3,4}? Nello chema della Figura 2, ue le frecce hanno il ignificao di... è maggiore di... ; c è un circoleo vuoo: in queo crivee un numero naurale che ripei le frecce. Manca anche qualche freccia fra i numeri dello chema; racciae le frecce che collegano i numeri crii. 3.2 Queii che richiedono maggiore aenzione Alcune delle domande che eguono poono embrare non maemaiche, perché non i parla di numeri, di figure, di iniemi,... Ma richiedono qualche emplice ragionameno, e quindi ono uili per aggiare le capacià maemaiche. 32

2 Figura Figura Tra le applicazioni di cui i parla nell eercizio 3.1.7, ce ne ono di urieive? di inieive? di biieive? Siano, due egmeni di lunghezza divera ra loro paralleli e non allineai. Diegnae, e eiono, le egueni applicazioni: un applicazione biieiva fra e, un applicazione inieiva di in che non ia biieiva, un applicazione urieiva di u che non ia biieiva, un applicazione che non ia inieiva né urieiva Nella Figura 3 ono egnai alcuni numeri e alcune frecce fra ei (quea vola ue le frecce poibili ono ae racciae). Che coa poono ignificare quee frecce? Nell inieme delle ree del piano, fare un eempio di una relazione d equivalenza. 33

3 3.2.5 Dae le funzioni f,g ali che f (x) = 2x, g(x) = x 2, coruie le funzioni che i oengono componendo g eguio da f (cioè f g), e, ripeivamene, f eguio da g (cioè g f ) In un iola ogni abiane è un cavaliere (e allora dice empre la verià) o un furfane (e allora mene empre). Inconriamo due abiani A, B che ci fanno quee dichiarazioni: A: Io ono un cavaliere B: A è un furfane. A è un cavaliere? e B? Si può ripondere a quee domande? Eprimere enza uare il non la frae Non è vero che Gigi è buono e aeno L inieme {A,C,N,O,R} è caraerizzao dalla proprieà di eere: a) l inieme delle prime 16 leere, ole alcune di ee b) l inieme delle leere della parola ANCONA c) l inieme delle leere della parola ANCORA d) l inieme delle leere della parola ANCORAGGIO Siano p,q due propoizioni; upponiamo che da p i poa dedurre q. Che coa alro i può ceramene dire? a) da (non p) i può dedurre (non q) b) da (non q) i può dedurre (non p) c) da q i può dedurre p d) neuna delle affermazioni precedeni. Scrivere al poo di p e di q due propoizioni maemaiche opporune in modo che dalla prima i poa dedurre la econda. Quale chiameree ipoei? Quale chiameree ei? 3.3 Ripoe commenae Indichiamo con A, B, C ripeivamene, gli iniemi dei numeri pari, dei mulipli di 3, dei numeri minori di 20: le epreioni cercae ono (A B) C e (A C) (B C) Baa oervare i due diagrammi di Eulero-Venn nella Figura 4. In quello di inira A B è rappreenao dalla regione raeggiaa vericalmene, C dalla regione raeggiaa orizzonalmene, e la zona quadreaa rappreena (A B) C. Nel econdo, ono evidenziai (A C) e (B C): la zona raeggiaa in un modo o nell alro rappreena (A C) (B C). I riulai finali ono uguali. L uguaglianza i eprime anche dicendo che l unione di iniemi è diribuiva ripeo all inerezione L affermazione non p è ci ono numeri naurali che non ono omma di due numeri dipari. Ea è vera, menre p è fala (un numero dipari non è omma di due numeri dipari). 34

4 A B A B C C Figura Nel cao della panca, alla fine ci aranno n poi occupai: al primo ci può andare una qualunque delle n perone, al econdo una delle rimaneni n 1: abbiamo finora n(n 1) poibilià. Al erzo poo può andare una delle rimaneni n 2 perone,.... Per l ulimo poo rea una ola poibilià. In uo i modi di ederi ono ani quano il prodoo dei primi n numeri naurali (lo i indica con n!). Inorno a un avolo circolare, facciamo edere una perona in un poo qualiai (che alla fine non arà diinguibile dagli alri, perché il avolo è circolare). Tuo dipende da come le reani n 1 perone i iedono nei reani n 1 poi, e queo può avvenire in (n 1)! modi Ci ono re poibilià per la prima paria, re per la econda: combinandole ra loro abbiamo allora 9 = 3 2 poibilià. Se i iene cono anche della erza paria, i hanno 27 = 3 3 poibilià.... Per ue le 13 parie, le colonne poibili ono Si raa di rovare una proprieà numerica che ia vera per ogni elemeno di S, e per neun alro. Per eempio: S è l inieme dei numeri dipari minori di 10 (oervae che c è nacoa la congiunzione e :... è un numero dipari e inolre è minore di 10 ). Non arebbe correo ripondere ono numeri dipari, perché vi ono numeri dipari che non compaiono in S All elemeno 1 poiamo aociare a, oppure b, oppure c; poi a 2 poiamo aociare a, oppure b, oppure c, e coì via. In uo i hanno 3 4 applicazioni C è il ooinieme vuoo; poi 4 ooiniemi formai da un olo elemeno; poi 6 formai da due elemeni ({1,2},{1,3},...,{3,4}); 4 di re elemeni (ciacuno i oiene eliminando uno dei quaro elemeni); infine A eo. In oale = 16 ooiniemi In bao a inira manca un numero, minore di 3: può raari di 0, di 1 o di 2. Prendiamo per eempio 2: occorre racciare una freccia da 5 a 2 e a 1, da 4 a 3, da 2 a 1. * * * 35

5 3.2.1 Vi ono varie applicazioni urieive di A in B. Ne oeniamo una aociando a 1,2,3,4 ripeivamene a, b, c, c. Non vi ono applicazioni inieive, perché due elemeni di A debbono avere lo eo corripondene. In paricolare, non vi ono applicazioni biieive di A in B Eiono mole applicazioni di ciacuno dei ipi richiei. Ad eempio quelle in Figura 5. applicazione biieiva applicazione inieiva O U A applicazione urieiva (i puni da A a B compreo i proieano da O; gli alri da U) B A applicazione che non è inieiva e neppure urieiva (ui i puni di ono proieai nel puno A) Figura Una poibile ripoa è:... è muliplo di Un eempio poibile è: due ree r, non hanno puni comuni o ono coincideni. 36

6 Un alro poibile eempio è il eguene. Sia P un puno arbirario del piano; due ree r, ono equivaleni e paano enrambe per il puno P oppure e enrambe non lo conengono. Le ree del piano riulano in queo modo uddivie in due clai di equivalenza: le ree paani per P (una clae) e ue le alre (l alra clae) Si oervi che ( f g)(x) = f (g(x)). Poo y = f (x) = 2x, i ha z = g(y) = g( f (x)) = (2x) 2 = 4x 2 : quindi (g f )(x) = 4x 2. Invece ( f g)(x) = 2x A e B ono ceramene di ipo divero, perché fanno affermazioni oppoe. Non i può dire alro: A può eere un cavaliere, e B un furfane; oppure A ha menio, e allora è un furfane, e B ha deo la verià, ed è un cavaliere Negare che Gigi abbia u e due le qualià, vuol dire che gliene manca almeno una, cioè non è buono o non è aeno. È dunque correa la ripoa Gigi è caivo o diaeno. Speo i crede che la ripoa giua ia Gigi è caivo e diaeno : ma non i può preendere che Gigi abbia u e due le qualià negaive Ripoa giua: c). La b) non va bene perché nella parola ANCONA manca la R ; la parola ANCORAGGIO coniene ue le leere A, C, N, O, R, ma coniene anche G e I. Quano alla ripoa a), è vero che l inieme {A, C, N, O, R} i oiene prendendo le prime 16 leere e ogliendone qualcuna, ma non i può dire che in queo modo i oenga olo ale inieme, e quindi non i può dire che eo ia l inieme coì fao (la domanda i poeva formulare anche dicendo rovae una proprieà caraeriica dell inieme {A, C, N, O, R} : quella eprea dalla ripoa a) non i può coniderare caraeriica per il noro inieme, perché non viene preciao quali leere i debbano ogliere) Ripoa giua: b). Infai e i afferma che la ei q è fala, cioè che non q è vera, non può eere vera l ipoei p (alrimeni arebbe vera anche q); quindi da non q egue non p. Eempio: p: Il quadrilaero ABCD è un reangolo ; q: Il quadrilaero ABCD i può incrivere in una circonferenza. Oervae che a) non va bene, come i vede dall eempio: e ABCD non è un reangolo, non i può dire che non ia incrivibile in una circonferenza. Anche c) non va bene, per lo eo moivo. 37