VALUTAZIONE FINANZIARIA IN IPOTESI DI VOLATILITA STOCASTICA DELLA POLIZZA GMWB

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1 UNIVERSITÀ POLITECNICA DELLE MARCHE FACOLTÀ DI ECONOMIA GIORGIO FUÀ Corso di Laurea Magistrale in Scienze Economiche e Finanziarie VALUTAZIONE FINANZIARIA IN IPOTESI DI VOLATILITA STOCASTICA DELLA POLIZZA GMWB Relatore: Chiar.ma Prof.ssa Graziella Pacelli Tesi di Laurea di: Mariangela Scorrano Correlatore: Chiar.mo Prof. Sebastiano Silla Anno Accademico

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3 Indice Introduzione vii 1 L opzione Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit nell ambito di una polizza Variable Annuity Il contratto di assicurazione Le assicurazioni contro i danni Le assicurazioni sulla durata della vita Aspetti di carattere finanziario nelle polizze assicurative La polizza Variable Annuity Il mercato delle polizze variable annuities Descrizione della polizza L opzione GMWB Esempio di funzionamento dell opzione Caratteristiche aggiuntive rispetto alla polizza base Sviluppo e prospettive future La polizza IncomePlus offerta da Manulife Financial Le caratteristiche della polizza iii

4 iv Mariangela Scorrano Esempio di funzionamento della polizza Il modello di valutazione per l opzione GMWB nell ambito di una polizza Variable Annuity Valutazione finanziaria dell opzione GMWB in ipotesi di volatilità deterministica Il valore del VA sub-account La probabilità di rovina Il valore dell opzione GMWB I risultati empirici di Milevsky e Salisbury Valutazione finanziaria dell opzione GMWB in ipotesi di volatilità stocastica La volatilità come processo stocastico Simulazioni numeriche per la valutazione della polizza GM- WB Risultati in ipotesi di volatilità deterministica Il valore del VA sub-account La probabilità di rovina Il prezzo equo dell opzione I valori di α e G che rendono equo il prezzo dell opzione Risultati in ipotesi di volatilità stocastica Il modello di Scott generalizzato Il modello di Heston

5 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB v 3.3 Validità del modello Conclusioni 101 A Elementi di calcolo stocastico 105 A.1 La dinamica dei prezzi dei titoli finanziari: i processi stocastici. 105 B Metodo di Monte Carlo 119 B.1 Introduzione B.2 Metodi Monte Carlo e valutazione di opzioni finanziarie Bibliografia 123

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7 Introduzione Negli ultimi venti anni si è assistito ad una massiccia proliferazione di prodotti derivati di tipo finanziario-assicurativo. Questo genere di strumenti sono reputati molto interessanti in quanto offrono la possibilità di fronteggiare rischi di varia natura (perdite di capitali, mortalità, catastrofi,... ) distribuiti su orizzonti temporali anche molto lunghi (ad esempio 30 anni) pagando un premio il più delle volte modesto o diluito nel tempo. Un esempio di derivato finanziario-assicurativo attualmente molto in auge è l opzione cosiddetta Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit (GMWB), che viene frequentemente associata alle polizze variable annuities. Questogenere di contratto, introdotto per la prima volta negli Stati Uniti agli inizi degli anni Settanta, ha raggiunto ben presto un notevole sviluppo anche in Europa, soprattutto nell ultimo decennio caratterizzato da mercati finanziari bearish e da tassi di interesse relativamente bassi. L opzione GMWB permette di soddisfare esigenze di investimento di medio o lungo periodo e nello stesso tempo offre una discreta copertura al rischio dovuto alla volatilità dei mercati. Infatti, a fronte di un capitale iniziale investito, garantisce all assicurato un flusso di pagamenti futuri indipendente vii

8 viii Mariangela Scorrano dalla performance della polizza sottostante. In particolare, alla stipula del contratto, l assicurato versa un importo di denaro che viene investito in un portafoglio ben diversificato di titoli (per lo più obbligazioni o fondi obbligazionari). I movimenti di tale portafoglio di investimento vengono registrati in un conto, detto Variable Annuity sub-account, opiùsemplicementeva subaccount. L opzione GMWB garantisce all assicurato un ammontare periodico di denaro indipendente dall andamento del mercato e fino alla scadenza del contratto. Tale somma viene prelevata dal VA sub-account se questo registra un saldo positivo, in caso contrario viene comunque garantita dalla compagnia di assicurazione che mette a disposizione del capitale proprio. I prelievi che l assicurato può effettuare non devono eccedere il tetto massimo dato dalla somma di denaro versata inizialmente. Inoltre, alla scadenza della polizza, l assicurato preleverà l importo di denaro eventualmente presente sul conto. Pertanto la durata totale della GMWB sarà determinata dal tasso di prelievo prescelto dal contraente: a parità di investimento iniziale, maggiore è l ammontare di denaro che l assicurato intende prelevare periodicamente, minore sarà la durata della polizza. E chiaro come questo contratto comporti un rischio da parte della compagnia assicuratrice. Infatti, se il portafoglio di titoli sottostante l opzione dovesse registrare delle perdite ingenti ed il saldo del VA sub-account diventasse nullo, allora l assicuratore si troverebbe a dover rimborsare gli importi di denaro prelevati dall assicurato di tasca propria. Pertanto, a fronte di tale rischio, la compagnia di assicurazione richiede all assicurato il pagamento di un

9 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB ix premio. Esso viene solitamente spalmato su tutto l arco temporale di durata della polizza sotto forma di pagamenti (o commissioni) periodici che vengono versati sul VA sub-account. Dunque, il problema principale associato alle opzioni GMWB è proprio la valutazione dell importo equo delle commissioni dovute dal contraente. In particolare, se si indica con v 0 l importo versato inizialmente al tempo t =0,conT la durata della polizza, con r il tasso di interesse, con g il tasso di prelievo scelto dall assicurato (si assume che il tasso di interesse ed il tasso di prelievo siano costanti) e con V T il saldo del VA sub-account alla scadenza del contratto, allora il valore attuale di tutti i flussi di cassa associati al contratto al tempo t =0èdatoda: e rt E Q [V T ]+ v 0g r (1 e rt ) dove E Q [.] indica il valore atteso in condizioni di neutralità al rischio. Il saldo finale del conto V T sarà influenzato, tra l altro, dall ammontare delle commissioni versate dal contraente (come descritto sopra le commissioni vengono versate sul conto). Pertanto, il valore equo di dette commissioni sarà tale da realizzare l equivalenza tra il valore attuale del conto e l importo iniziale versato dall assicurato, ovvero v 0 = e rt E Q [V T ]+ v 0g r (1 e rt ) (1) Il fattore di rischio che maggiormente influenza il valore finale del VA subaccount V T èl andamentodelportafogliodititolisottostantelapolizza. Appare pertanto evidente come, al fine di valutare il valore equo delle commissioni

10 x Mariangela Scorrano dovute dal contraente, sia necessario descrivere la dinamica di tale portafoglio attraverso un modello matematico-probabilistico accurato. In particolare, in una analisi condotta da Milevsky & Salisbury (2006), che costituisce uno dei principali lavori sulla valutazione delle GMWB, si assume che l evoluzione nel tempo del portafoglio sottostante la polizza sia descritto da un moto browniano geometrico. Precisamente, se si indica con S t il valore di tale portafoglio, si ha: ds t = µs t dt + σs t dw t dove i parametri µ e σ rappresentano rispettivamente il tasso di rendimento elavolatilitàdelportafoglio,ew t èunprocessodiwienerstandard(siveda l Appendice A). In particolare, µ e σ vengono considerati costanti da Milevsky esalisbury. Nel presente lavoro di tesi, viene proposta una generalizzazione del modello di Milevsky & Salisbury (2006), in cui la volatilità del portafoglio sottostante, anziché essere ritenuta costante viene descritta mediante un ulteriore processo stocastico. Infatti moltissimi studi empirici sull andamento dei mercati finanziari rivelano che solo il tasso di rendimento può essere ragionevolmente ritenuto costante, mentre è decisamente più realistico assumere che la volatilità evolva nel tempo secondo un processo stocastico a sé stante. Nella fattispecie, nel presente lavoro di tesi, sono stati considerati due diversi modelli stocastici per descrivere la complessa dinamica della volatilità, un modello di Scott generalizzato ed il modello di Heston. Entrambi questi processi stocastici vengono largamente utilizzati per descrivere l evoluzione

11 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB xi nel tempo di diverse grandezze finanziarie in quanto offrono una descrizione particolarmente accurata ed inoltre, in alcun casi semplici (per esempio nella valutazione di opzioni vanilla europee), consentono di ottenere soluzioni in forma chiusa. Nel caso della valutazione dell opzione GMWB, se la volatilità del portafoglio segue il modello di Scott generalizzato o il modello di Heston, non è possibile determinare una espressione analitica esatta del valore atteso del VA sub-account necessario nella formula (1). Pertanto, nella presente tesi, tale valore atteso è stato valutato mediante la simulazione Monte Carlo (Boyle, 1977). Questa tecnica, largamente utilizzata nella normale pratica finanziaria, permette di ottenere risultati ragionevolmente accurati e, al contempo, risulta estremamente semplice da implementare con un normale calcolatore. In particolare, in questo caso, la simulazione Monte Carlo ha consentito di determinare in maniera relativamente semplice (considerata anche la complessità del modello matematico proposto) il valore atteso del VA subaccount. Conseguentemente, utilizzando l equazione (1) è stata ottenuta in maniera semplice una stima piuttosto realistica del premio (ovvero del valore delle commissioni) dovuto dal contraente. Inoltre, dal punto di vista strettamente finanziario, si è potuto riscontrare come la generalizzazione del modello di Milevsky e Salisbury proposta consenta di ottenere risultati sensibilmente più realistici rispetto al modello stesso di Milevsky e Salisbury. Infatti, quando i valori reali del premio sono compresi tra 30 e 50 punti base, il modello di Milevsky e Salisbury fornisce stime del

12 xii Mariangela Scorrano premio comprese tra 73 e 158 punti base. Questo fatto viene espressamente notato da Milevsky e Salisbury i quali riconoscono come il loro modello non fornisca una stima particolarmente realistica dei dati di mercato. Invece, nel presente lavoro, grazie all implementazione dei modelli a volatilità stocastica di Scott ed Heston, sono state ottenute valutazioni del premio intorno ai 35 punti base. Questo sensibile miglioramento delle valutazioni del premio delle GMWB rappresenta, da un punto di vista pratico e applicativo, il risultato principale ottenuto in questa tesi. Si fa inoltre osservare che l analisi condotta nel presente lavoro ha comportato la creazione di un programma di calcolo ad hoc per la valutazione delle GMWB. Tale software è stato realizzato in ambiente MA- TLAB a partire da zero (senza ricorrere a subroutine olibreriegiàesistenti),e amiomodestomododivederecostituisceuninteressanteprodottodellavoro in quanto consente una valutazione delle GMWB pratica e coerente con i dati reali. La tesi è strutturata come segue. Nel capitolo 1, dopo una breve panoramica sulla nozione di contratto di assicurazione, vengono presentate le caratteristiche ed il funzionamento delle polizze variable annuity edell opzione GMWB ad esse associata. Per rendere più agevole la comprensione del funzionamento di tali strumenti finanziari-assicurativi si è deciso di introdurre un esempio numerico e di descrivere un contratto realmente offerto sul mercato americano: IncomePlus di Manulife Financial. Nel capitolo 2 viene inizialmente presentato dal punto di vista matematico

13 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB xiii il modello di Milevsky e Salisbury per la valutazione finanziaria dell opzione GMWB implicita in una polizza variable annuity. Successivamentevienepro- posta la generalizzazione di tale modello in presenza di volatilità stocastica descritta dai modelli di Scott e di Heston. Nel capitolo 3 vengono descritti e commentati i risultati numerici ottenuti utilizzando sia il modello di Milevsky e Salisbury a volatilità costante sia la sua generalizzazione al caso di volatilità stocastica. Nel capitolo 4 vengono brevemente riportate alcune conclusioni insieme ai possibili sviluppi futuri al presente lavoro di tesi. Infine in appendice sono riportate alcune nozioni di calcolo stocastico utili per una migliore comprensione del modello di valutazione proposto.

14 xiv Mariangela Scorrano

15 Capitolo 1 L opzione Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit nell ambito di una polizza Variable Annuity 1.1 Il contratto di assicurazione La vita degli individui è caratterizzata dall incertezza riguardante il loro futuro ed, in particolare, la durata e la qualità della vita umana. Entrambi questi aspetti dipendono principalmente dallo stato di salute e dal benessere economico di ciascuno, elementi che peraltro non sono totalmente indipendenti tra loro. A parità di condizioni esterne, molti eventi futuri possono tuttavia condizionare il corso della nostra vita: può sorgere la necessità di fronteggiare spese mediche improvvise, di salvaguardare il proprio patrimonio da imprevisti, da eventi spiacevoli, o dal mutare delle condizioni economiche. In tutti questi casi 1

16 2 Mariangela Scorrano si può subire una riduzione della ricchezza posseduta e/o del reddito disponibile. L incertezza legata agli eventi che accadono nel corso della vita e che sono in grado di condizionare il livello di benessere delle persone costituisce l essenza del rischio. Il termine rischio identifica non solo situazioni in cui il verificarsi di un futuro evento incerto può comportare esclusivamente una perdita (ad esempio il furto dell auto) ma anche situazioni in cui l incertezza può concretizzarsi in un risultato positivo oltre che negativo, come nel caso di uno speculatore di borsa per il quale, accanto alla possibilità di perdere parte dei propri capitali, vi è anche quella di guadagnare ingenti somme, o come nel caso di un individuo che vince alla lotteria o che riceve una eredità inaspettata. L atteggiamento degli individui nei confronti dei rischi varia in funzione del loro grado di avversione al rischio, ossia in funzione della paura di subire una perdita economica più o meno consistente. Ed è proprio sulla base di questo comprovato e comune atteggiamento psicologico che si fonda l esigenza di cautelasi contro possibili eventi negativi attraverso il controllo o il trasferimento dei rischi a terzi. A questo fine, il primo passaggio è costituito dall individuazione dei rischi a cui potenzialmente ciascuno di noi è soggetto. Se infatti alcuni rischi ci sono molto familiari e ne siamo perfettamente consci, altri restano spesso ignoti fino al momento in cui si manifestano. In secondo luogo, è necessario effettuare una valutazione di tali rischi, il che significa valutare il grado di confidenza associato al loro verificarsi e l entità delle perdite odeidannicuiessipossonodareluogo. Interminieconomici,ilrischiodiperdere un ombrello è infatti ben diverso dal rischio che il proprio appartamento

17 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 3 venga svaligiato. Questa valutazione consente di effettuare una scelta basilare ecioèdecideresecisivuoleesporreomenoalrischioeinchemisura,eciò dipende in primo luogo dal nostro grado di avversione al rischio. Nel caso in cui si decida di non voler correre il rischio, ciascun soggetto si trova di fronte alla possibilità di controllare i rischi al fine di limitarne le potenzialità negative, o di trasferirli ad un altro soggetto. In quest ultimo caso, il trasferimento del rischio avviene attraverso la stipula di un contratto di assicurazione. L art del Codice Civile italiano definisce il contratto di assicurazione come il contratto col quale l assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana. Dunque ricorrendo all assicurazione è possibile trasformare una situazione a rischio in una situazione di sicurezza, quanto meno parziale, dal momento che qualsiasi cosa accada (ovviamente tra quelle previste dal contratto assicurativo) l assicuratore interverrà per ripristinare la situazione economica dell assicurato, anche se non sempre in maniera totale. La funzione principale delle imprese di assicurazione consiste, dunque, nell accollarsi i rischi che gravano sui loro assicurati e nel fornire loro una forma di risarcimento a fronte di una eventuale diminuzione della loro ricchezza o del loro reddito disponibile ovvero della loro capacità di produrre reddito, qualora tali circostanze siano determinate dal verificarsi degli eventi temuti. A fronte di tale impegno, l assicuratore richiede un compenso, detto premio di assicurazione, la cui entità dipende anche dalla modalità scelta per la corresponsione:

18 4 Mariangela Scorrano esso può essere versato in soluzione unica alla stipulazione del contratto (premio unico) o convenientemente rateizzato (premio periodico). In tale seconda ipotesi è introdotto nel contratto assicurativo un nuovo elemento di aleatorietà. Infatti la determinazione del premio deve tener conto anche dell eventualità che il contraente muoia prima del completamento dei pagamenti contrattualmente previsti. Isoggetticoinvoltiinuncontrattoassicurativosono,oltreallacompagnia di assicurazione, autorizzata e vigilata dall Isvap (Istituto per la Vigilanza sulle Assicurazioni Private e di Interesse Collettivo): il contraente: soggettochesottoscrive,pagaipremiepuòesercitaretutti idirittidelcontratto(recesso,riscatto,ecc.); l assicurato: soggetto su cui grava il rischio; se diverso dal contraente deve firmare per accettazione; il beneficiario: coluiafavoredelqualel impresadiassicurazioneètenuta ad erogare la prestazione in caso di sinistro. Queste tre figure possono coincidere in una persona, ma essere anche riferite a persone diverse. Nella prassi si è soliti distinguere gli eventi temuti a seconda che essi siano riconducibili alla durata della vita umana ovvero a tutte le altre circostanze che possono riguardare un soggetto: nel primo caso si parla di contratti (polizze) di assicurazione sulla durata della vita, nelsecondocasodipolizze riguardanti danni a cose e persone. Daunpuntodivistagiuridico,l ordinamentovigente

19 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 5 distingue l attività assicurativa in ramo danni e ramo vita, intendendocome ramo il raggruppamento dei rischi su base omogenea. In particolare, le diverse tipologie di rischio sono raggruppate in rami sulla base dei criteri enucleati nelle direttive comunitarie: i rischi relativi ai danni vengono classificati in diciotto rami omogenei, mentre quelli relativi alla durata della vita umana in sei rami Le assicurazioni contro i danni L assicurazione contro i danni rappresenta un atto di previdenza mediante il quale una parte (l assicurato) trasferisce un alea economica ad un soggetto professionale (l assicuratore). Trattandosi di un atto di previdenza, cioè un mezzo di conservazione del patrimonio, opera nel contesto del principio indennitario (l indennizzo non può superare il danno sofferto), non essendo permesso un arricchimento ovvero una speculazione. Le assicurazioni del ramo danni coprono alorovoltadiversetipologiedirischi,solitamenteraggruppateintregrandi classi: rischi di riduzione del valore dei beni che compongono il patrimonio di un soggetto (individuo o impresa) causata da eventi esterni, quali un furto, un incendio, una calamità naturale, ecc. ; rischi inerenti la persona, segnatamente il rischio che essa possa essere colpita da una malattia o da infortuni, determinando un danno economico identificabile con le spese necessarie per le cure e/o con il minor reddito generato a causa dell inabilità del soggetto colpito dall evento rischioso;

20 6 Mariangela Scorrano rischi legati ai danni materiali o fisici provocati a terzi dalle azioni di un individuo, o di altri soggetti o beni di cui egli è responsabile (ad esempio il proprio cane, la propria domestica o i propri impianti produttivi) per iqualiegliètenutoapagareunrisarcimentocheriduceilsuoreddito disponibile o la sua ricchezza Le assicurazioni sulla durata della vita Le assicurazioni sulla durata della vita umana coprono due tipologie di rischio: il rischio di mortalità o di premorienza, ossialapossibilitàcheunindividuo muoia (prematuramente) privando di una fonte di reddito coloro che gli sopravvivono e che da lui dipendono economicamente, come ad esempio i figli o il coniuge; il rischio di longevità, cioèlapossibilitàcheladuratadellavitadiun individuo ecceda il periodo per il quale egli dispone delle risorse economiche necessarie a fronteggiare le esigenze correnti di una esistenza dignitosa. E usuale ripartire le varie forme di assicurazione sulla durata di vita, offerte sui mercati assicurativi, in tre grandi categorie: assicurazioni in caso di vita: hanno lo scopo di costituire una disponibilità finanziaria in caso di vita ad una certa epoca. Tali assicurazioni prevedono pertanto l erogazione, da parte dell assicuratore, di una prestazione monetaria nel caso in cui ad una specifica età (o data) l assi-

21 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 7 curato sia ancora in vita. E usuale, in queste forme assicurative, che contraente, assicurato e beneficiario coincidano. La loro funzione economica consiste nel garantire che il beneficiario disponga, anche oltre il compimento di un età, che spesso coincide con la cessazione dell attività lavorativa, di un reddito sufficiente a mantenere l abituale tenore di vita. Proprio a sottolineare la finalità previdenziale di questa polizza, vi è la previsione che, in alternativa al pagamento di un capitale predefinito, il beneficiario possa ottenere l erogazione di una rendita, ossiail versamento di somme periodiche. Attraverso l inserimento di una specifica opzione nel contratto è possibile trasformare il diritto a percepire un capitale come prestazione finale di una qualsiasi copertura sulla vita in diritto ad ottenere l erogazione di una rendita. A sua volta la rendita può essere immediata, sel impresadiassicurazioneerogalaprestazione apartiredalmomentodisottoscrizionedelcontratto,odifferita se il pagamento avviene solo a partire da una data successiva a quella di stipula del contratto, a condizione che a quell epoca l assicurato sia ancora in vita. In entrambi i casi la polizza assume le caratteristiche fondamentali di un prodotto di investimento del risparmio con finalità previdenziali: il sottoscrittore affida infatti all impresa di assicurazione la gestione di un certo capitale a fronte di una serie di pagamenti. La rendita, inoltre, può essere temporanea, quandoèstabilitountermineaipagamenti periodici, o vitalizia, sel obbligodell assicurazioneadeffettuare i pagamenti si estingue solo alla morte dell assicurato. Solitamente la rendita

22 8 Mariangela Scorrano ènontemporanea,edunqueèpagabilepertuttaladurataresiduadi vita. Rendite temporanee possono rispondere a scopi specifici, quali ad esempio il supporto finanziario a favore dei figli per i periodi di studio oavviamentoprofessionale,eintalcasol assicuratoedilbeneficiario coincidono mentre il contraente è una persona diversa; assicurazioni in caso di morte: sono stipulate per coprire il rischio di morte (ad esempio del capofamiglia percettore di reddito) e relative conseguenze finanziarie. Hanno pertanto la funzione di evitare che la scomparsa dell assicurato sia causa di difficoltà economiche per le persone che da lui economicamente dipendono, come ad esempio la moglie o i figli. Queste polizze prevedono infatti che l impresa di assicurazione eroghi una somma predeterminata al o ai beneficiari al momento della morte dell assicurato. In tal modo essi si trovano a disporre di un patrimonio che consente loro di compensare l eventuale riduzione del reddito familiare (o del reddito sul quale a qualsiasi altro titolo potevano contare) determinato dalla scomparsa dell assicurato e dal conseguente venire meno di una fonte di reddito. Tale somma, calcolata sulla base di specifiche clausole contenute nella polizza stessa e pertanto nota a priori, viene tuttavia erogata solo se la morte dell assicurato avviene nei termini previsti dal contratto. A questo riguardo le polizze caso morte possono essere a vita intera o temporanee. Nelprimocaso, l assicurazionecoprel intera vita dell assicurato; è pertanto sicuro che prima o poi i beneficiari otterranno il pagamento della somma assicurata, anche se resta l incertezza

23 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 9 sul momento in cui si verificherà l evento che dà diritto alla prestazione. Nella copertura temporanea, invece, il pagamento della somma prestabilita avviene solo a condizione che il decesso dell assicurato si verifichi entro il periodo di vigenza del contratto; se al momento della scadenza della copertura l assicurato è ancora in vita, nulla è dovuto ai beneficiari. Solitamente nelle polizze caso morte vi è coincidenza tra contraente ed assicurato; assicurazioni miste: sonocombinazionidiassicurazionideiduetipiprecedenti, tramite le quali si copre il rischio di morte e contemporaneamente ci si garantisce un capitale o una rendita in caso di vita. Qui beneficiario è, usualmente, il contraente-assicurato in caso di vita e un terzo, ad esempio erede, in caso di morte. Nelle forme assicurative descritte la prestazione dell assicuratore dipende dalla durata aleatoria di vita di un unica testa assicurata. Esistono tuttavia forme assicurative in cui la prestazione è funzione della sopravvivenza di un gruppo di teste, intendendo con ciò che la prestazione può essere legata, ad esempio, alla sopravvivenza di tutte le teste del gruppo, oppure alla sopravvivenza di almeno una, ecc.

24 10 Mariangela Scorrano Aspetti di carattere finanziario nelle polizze assicurative E importante osservare che in un contratto di assicurazione danni il carattere risarcitorio della prestazione dell assicuratore comporta l aleatorietà dell esborso dell assicuratore stesso in un dato periodo di copertura assicurativa: l esborso nel periodo è infatti funzione del numero (aleatorio) di sinistri che colpiscono il contratto e dell entità del danno arrecato da ciascun sinistro. D altro canto, la durata del periodo al quale è riferita la copertura assicurativa è usualmente breve (frequentemente un anno). Ne segue che nelle assicurazioni danni l aspetto finanziario è spesso trascurabile, mentre quello statistico-probabilistico èdellamassimaimportanza. Nelle assicurazioni sulla vita, per contro, le somme da pagare sono prestabilite o almeno determinabili secondo schemi di calcolo prestabiliti, quale ad esempio il collegamento con parametri relativi al costo della vita o al rendimento degli investimenti effettuati dall assicuratore impiegando i premi introitati el aleatorietàriguardailse ed il quando saranno corrisposte. D altro canto, i contratti assicurativi sulla vita sono di durata medio-lunga (spesso anni opiù,ol interadurataresiduadellavitadiunapersona),sicché,accantoad aspetti statistico-probabilistici più semplici, assumono notevole importanza gli aspetti finanziari. Occorre poi segnalare che gli stessi aspetti finanziari introducono elementi di aleatorietà nella gestione dei contratti assicurativi, causati dall incertezza, sulle lunghe durate, del rendimento degli investimenti effettuati dall assicuratore. La valutazione di una polizza sulla durata della vita umana

25 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 11 presenta, pertanto, difficoltà di gran lunga superiori a quella di una polizza del ramo danni. Inoltre, con riferimento ai contratti di assicurazione sulla durata della vita, ulteriori criticità sono sorte negli ultimi anni in seguito alla cosiddetta finanziarizzazione della polizza del ramo vita (Vincenzini, 2003). In effetti, le forme caso morte rappresentano esclusivamente uno strumento assicurativo-previdenziale, atteso che esiste un tipico rischio assicurativo da garantire (il decesso dell assicurato) e che le caratteristiche personali (età e sesso) dell assicurato sono determinanti nella costruzione e nel funzionamento della polizza. Difficilmente si può parlare di investimento finanziario dato che il premio di assicurazione corrisposto è utilizzato per coprire un rischio e per ottenere un indennizzo, e non per ottenere una remunerazione finanziaria (capitale più interesse) del premio stesso. D altra parte, è diversa la logica e la finalità che sottintende ad un operazione del genere rispetto ad un investimento finanziario tipico. Emerge preponderante in questi casi la finalità previdenziale di garantire economicamente le conseguenze, pregiudizievoli della propria o altrui capacità reddituale, di un evento futuro incerto. Nelle forme miste la previsione del rischio e del capitale caso morte fa assumere alle stesse la natura di strumento assicurativo-previdenziale nei termini anzidetti per le forme caso morte; ma la contestuale previsione di un capitale o di una rendita, qualora l assicurato sia in vita ad una certa data, è una peculiarità che aggiunge all operazione caratteristiche decisamente finanziarie: quel capitale o quella rendita finali non saranno altro che il risultato dell inve-

26 12 Mariangela Scorrano stimento dei premi pagati dall assicurato nel corso del rapporto assicurativo. Tuttavia, si tratta di uno strumento ancora essenzialmente assicurativo e solo atipicamente finanziario e ciò per due ordini di motivi: -innanzitutto,lacoperturaassicurativadelrischiomortecomportaovviamente un costo che incide e penalizza il risultato finanziario finale dell investimento. Se, ad esempio, viene corrisposto un premio di $ 2.000, non tutta la somma verrà investita per la costituzione del capitale, o della rendita, finali come avviene nelle operazioni finanziarie tradizionali, ma una parte, inevitabilmente, servirà per pagare e, quindi, garantire il rischio morte; -insecondoluogo,poi,èdasottolineareilruolodeterminantecheassumono in questi tipi di polizze, come del resto in tutte le polizze classiche, gli elementi personali dell assicurato quali l età ed il sesso. E evidente che un assicurato di 50 anni rispetto ad uno di 30 avrà una probabilità di morte superiore e, quindi, subirà un costo assicurativo maggiore per la copertura del rischio morte con conseguente penalizzazione dell investimento finanziario. Sarà minore, infatti, la parte di premio destinata alla capitalizzazione ed alla costituzione del capitale finale (o della rendita). Il discorso è analogo in presenza di due assicurati di sesso diverso, in considerazione della maggiore speranza di vita che hanno le donne rispetto agli uomini. In entrambe le situazioni, ovviamente, il discorso èvalidoladdoveesistanostessopremiopagatoestessaduratacontrattuale. In una qualsivoglia operazione finanziaria volta alla costituzione di un capitale nel tempo, al contrario, è assolutamente indifferente la circostanza che l investitore abbia 50 o 30 anni, o sia di sesso maschile o femminile. Proprio per

27 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 13 questo la polizza vita, nella specie quella mista, viene definita un investimento finanziario atipico. Se nelle forme caso morte l aspetto finanziario è assolutamente inesistente, se nelle forme miste, pur presente, è condizionato dal costo della garanzia caso morte, nelle forme caso vita certamente assume una dimensione più naturale e trova più completa realizzazione. Il premio pagato dall assicurato è interamente destinato alla capitalizzazione, tant è che tali polizze sono state stimate le più idonee per la costituzione di una previdenza integrativa. Quindi, pur mantenendo caratteristiche assolutamente assicurative e previdenziali, la polizza vita (caso vita) assume i connotati e realizza gli obiettivi di uno strumento finanziario, primo tra tutti la capitalizzazione e la remunerazione finanziaria di una somma di denaro, rappresentata dal premio di assicurazione. Anche in questo caso, tuttavia, è bene parlare di investimento o strumento finanziario atipico, in considerazione della presenza ed influenza determinante che anche in questi tipi di prodotto hanno l età ed il sesso dell assicurato. Queste considerazioni hanno portato le compagnie di assicurazione a ridisegnare le strutture ed i principi tecnici di alcune polizze e ad elaborarne delle nuove con il preciso e dichiarato intento di renderle il più possibile finanziarie emenoassicurative. Gliindividuisonodiventatipiùconsapevolidelleopportunità di investimento esistenti al di fuori del settore assicurativo e pertanto richiedono all impresa di assicurazione non solo la protezione contro il rischio di mortalità/longevità, ma anche tutti i benefici di un investimento di capitali. Ed è proprio per soddisfare le esigenze del mercato e per fronteggiare la concor-

28 14 Mariangela Scorrano renza alimentata da altri competitors (banche, ecc.) che il mercato assicurativo sta cambiando ed ha iniziato a sviluppare nuovi prodotti assicurativi ad elevato contenuto finanziario, come i contratti di capitalizzazione, o le polizze index e unit linked. Questeultimesonocontrattidiassicurazionesullavitalecui prestazioni risultano direttamente collegate al valore di mercato di determinate entità di riferimento (indici di borsa, panieri di azioni, tasso di inflazione, quote di Organismi di Investimento Collettivo del Risparmio, quote di fondi interni detenuti dalle imprese di assicurazione, altri valori di riferimento). La polizza di capitalizzazione è il prodotto che rappresenta il punto di arrivo di quella evoluzione che ha portato la polizza vita a divenire, nella sostanza, un vero e proprio strumento finanziario. Tali polizze sono operazioni attraverso le quali un risparmiatore conferisce una data somma di denaro ad un soggetto gestore ed investitore, per poi ritirarla dopo un certo periodo di tempo capitalizzata degli interessi maturati in quel periodo. Lo schema contrattuale prevede, in sostanza, che l impresa di assicurazione, a fronte del versamento di un premio unico, o di un premio unico ricorrente, da parte del contraente, si impegni a corrispondere ad un beneficiario un capitale ed in alternativa una rendita, senza che ci sia alcun vincolo o alcun riferimento alla durata della vita umana. In effetti l impresa pagherà in ogni caso, se non al contraente, ad un beneficiario ed il suo compito è solo quello di remunerare finanziariamente un capitale e non quello di assicurare un rischio.

29 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB La polizza Variable Annuity Nell ambito dei prodotti assicurativo-finanziari particolare interesse rivestono, per il carattere fortemente innovativo e per l imponente sviluppo fatto registrare negli ultimi anni sul mercato assicurativo americano, le cosiddette polizze variable annuities, introdotteperlaprimavoltaneglistatiunitinel Il mercato delle polizze variable annuities Il primo Paese che ha visto una massiccia commercializzazione di polizze variable annuities sono stati gli USA, a cui è seguito il Giappone. Si tratta dunque di economie molto mature e sviluppate. Dopo essere rimasto abbastanza piccolo per diversi decenni, agli inizi degli anni 90 il mercato di questa classe di prodotti ha registrato una rapida crescita. Secondo l American Council of Life Insurers le vendite lorde delle singole variable annuities sono passate da $ 3.5 miliardi nel 1990 a circa $ 63 miliardi nel 1999 e tra il 1996 e il 2004 esse sono più che raddoppiate, passando da $ 51 miliardi a $ 130 miliardi. Le polizze variable annuities stanno ora prendendo sempre più piede anche in Europa: la Francia, la Spagna e la Germania hanno già assistito ad un primo sviluppo del mercato. In Italia, proprio ultimamente, sono stati commercializzati sia da AXA che da Assicurazioni Generali i primi prodotti variable annuity.

30 16 Mariangela Scorrano Descrizione della polizza Una polizza variable annuity èuncontrattofinanziarioofferto tipicamente da una compagnia di assicurazioni attraverso il quale l assicuratore, dietro pagamento di un premio, si impegna a versare una serie di flussi di cassa a favore dell assicurato a date future prefissate. Più precisamente, alla stipula del contratto, l assicurato paga un premio, in unica soluzione o in maniera frazionata, eaffida alla compagnia di assicurazione una somma di denaro che viene investita in un portafoglio ben diversificato di titoli. L impresa di assicurazione ha la possibilità di effettuare diverse tipologie di investimenti, dai più conservativi, caratterizzati da una maggiore componente obbligazionaria, ai più aggressivi, in cui il portafoglio presenta una maggiore esposizione all azionario. L assicuratore, d altra parte, si impegna a versare periodicamente all assicurato dei flussi di cassa fino alla scadenza del contratto. L entità di tali pagamenti è variabile in quanto è legata all andamento del mercato sul quale sono investiti ititolichecompongonoilportafogliosottostante. Ifattorichespingonogli individui a domandare queste polizze sono essenzialmente due: il differimento delle imposte e l offerta di opzioni implicite (Brown & Poterba, 2004). Di seguito si chiariscono questi due concetti. Il primo obiettivo perseguito è, infatti, quello di accumulare ricchezza ad un tasso di rendimento, al netto delle imposte, favorevole. In effetti le polizze variable annuities sono tax deferred, cioègliinteressi,idividendieiguadagni in conto capitale che maturano sui titoli posseduti nel portafoglio sottostante non sono tassati fino al momento in cui l assicurato non effettua i prelevamen-

31 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 17 ti. Questa caratteristica pertanto rende tali polizze particolarmente appetibili per quegli individui già soggetti ad una notevole tassazione o comunque interessati a diluire e posticipare il pagamento delle imposte. E inoltre prevista la possibilità di modificare l allocazione dell investimento iniziale, quindi di trasferire le somme investite da un fondo ad un altro senza che l assicurato sia assoggettato ad alcuna imposta all atto del trasferimento. Tuttavia, quando l assicurato effettua i prelievi, questi sono assoggettati all aliquota prevista sul reddito e non a quella più bassa prevista sui capital gains. Dunque, il differimento delle imposte è una caratteristica che rende tali polizze appetibili solo se queste vengono mantenute dall assicurato per lunghi periodi di tempo, come ad esempio per far fronte al periodo del pensionamento o comunque per raggiungere obiettivi di lungo periodo. Ma ciò che spinge in misura maggiore gli individui ad acquistare queste polizze è l offerta di diverse forme di opzioni implicite (Bauer et al., 2008). Afrontedelpagamentodiulterioricommissioni,lepolizzevariable annuities possono infatti includere: l opzione GMMB (Guaranteed Minimum Maturity Benefit) chegaranti- sce all assicurato una specifica somma di denaro alla scadenza del contratto. Questa garanzia assicura al portafoglio di investimento dell assicurato una protezione contro i movimenti al ribasso del mercato, ma al tempo stesso, la partecipazione ai guadagni registrati sui titoli sottostanti la polizza in caso di movimenti al rialzo. Essa può prevedere ad esempio la restituzione del premio versato nel caso in cui il portafoglio di

32 18 Mariangela Scorrano titoli sottostanti registri una performance negativa durante la vita della polizza oppure un ritorno addizionale proporzionale al premio versato in caso di rialzo. La somma garantita può essere fissa oppure soggetta ad incrementi regolari o dipendenti dall andamento del mercato. l opzione GMDB (Guaranteed Minimum Death Benefit) chegarantisce ai beneficiari indicati nella polizza un capitale minimo in caso di decesso dell assicurato. La garanzia può essere rappresentata semplicemente dal premio versato, oppure, se più elevato, dal valore assunto dal portafoglio di investimento dell assicurato nell ultimo anniversario della polizza. Si tratta dunque di un opzione che rende la variable annuity un prodotto a tutela degli eredi. l opzione GMAB (Guaranteed Minimum Accumulation Benefit) chepre- vede un capitale minimo liquidabile al termine di un periodo prefissato. L assicurato ha inoltre la possibilità di rinnovare il contratto prevedendo un nuovo livello di garanzia, appropriato al valore a scadenza del contratto concluso. Tali polizze possono pertanto essere considerate un ottimo prodotto di investimento a medio-lungo termine. l opzione GMSB (Guaranteed Minimum Surrender Benefit) èunava- riante dell opzione GMMB. Garantisce il valore di riscatto della polizza ad una certa data, che può essere scelta nell ambito di una serie di alternative proposte dalla compagnia di assicurazione.

33 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 19 l opzione GMIB (Guaranteed Minimum Income Benefit) che prevede il pagamento di un importo minimo in forma di rendita vitalizia. l opzione GMWB (Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit) chepre- vede il pagamento di un importo minimo in forma di riscatti parziali programmati. Tale opzione rende pertanto le polizze variable annuities un valido prodotto pensionistico. 1.3 L opzione GMWB Negli ultimi anni si è registrata una notevole attenzione ed una vendita crescente di polizze variable annuites associate alla garanzia GMWB. Queste ultime abbinano alle caratteristiche tipiche di un prodotto assicurativo le possibilità di rendimento in funzione di una equilibrata esposizione ai mercati finanziari e vanno incontro ai bisogni di investimento di medio-lungo periodo sterilizzando irischidivolatilitàdelmercato.ineffetti, esse garantiscono all assicurato un livello minimo di pagamenti periodici da un capitale iniziale investito, indipendentemente dalla performance della polizza sottostante. Permettono, dunque, all assicurato di proteggere il proprio investimento dal rischio di movimenti sfavorevoli del mercato senza tuttavia privarlo della possibilità di beneficiare dei movimenti favorevoli. Più precisamente, si tratta di una polizza variable annuity associata alla garanzia riconosciuta all assicurato di prelevare dal conto acceso inizialmente una somma di denaro, fissa o variabile, a date prestabilite, fino al completo

34 20 Mariangela Scorrano esaurimento del capitale inizialmente investito. Il contratto specifica il tasso al quale l assicurato è autorizzato a realizzare prelievi senza incorrere in penalizzazioni. L opzione GMWB promette la restituzione totale dell investimento iniziale, e questa caratteristica permette di considerare tale polizza un opzione assicurativa. Infatti, nel caso in cui il conto personale dell assicurato (investimento iniziale al netto dei prelievi e delle commissioni assicurative applicate), definito Variable Annuity sub-account (da ora in poi VA sub-account ), dovesse scendere a zero prima della data di scadenza della polizza, la compagnia di assicurazione continuerebbe comunque a garantire all assicurato la possibilità di prelevare la somma stabilita fino al raggiungimento dell ammontare iniziale investito. Al contrario, se il conto dell assicurato dovesse rimanere positivo fino alla scadenza della polizza, l assicurato potrebbe attivare altre opzioni che gli consentirebbero di incrementare la somma prelevabile periodicamente. Pertanto, la somma complessiva garantita all assicurato risulta pari o superiore al premio originario depositato Esempio di funzionamento dell opzione Per rendere più agevole la comprensione della polizza variable annuity associata all opzione GMWB di seguito se ne mostra il funzionamento attraverso il ricorso ad un esempio numerico. Si supponga che l assicurato abbia sottoscritto la polizza il 1 gennaio 1997 eabbiaaffidato alla compagnia di assicurazione una parte dei propri risparmi, versando una somma di denaro pari, per semplicità, a $100. Si ipotizzi, inoltre,

35 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 21 che alla stipula del contratto, al momento di stabilire la tipologia di investimento da realizzare, la scelta sia ricaduta sull indice azionario giapponese Nikkei 225. Si prevede un tasso di prelievo annuale del 7%, che comporta, quindi, la possibilità per l assicurato di prelevare $7 ogni anno fino a che la somma versata inizialmente non sia stata completamente esaurita. Dall importo versato e dal tasso di prelievo fissato rimane determinato il periodo di vigenza del contratto. In questo esempio si ha che la polizza avrà un periodo di vigenza pari a (100/7) = anni. Si noti dunque come il tasso di prelievo prescelto condizioni la durata della polizza: a parità di investimento iniziale, maggiore èl ammontarechesiintendeprelevareperiodicamente,minorerisultaessereil periodo di vigenza del contratto. Considerate le esigenze finanziarie dell assicurato, si ipotizza nell esempio che i versamenti vengano realizzati mensilmente da parte della compagnia di assicurazione per un importo pari a $(7/12)= Per maggiore chiarezza espositiva si è riportato l andamento del valore del conto sottostante la polizza (senza considerare le commissioni applicate per l attivazione dell opzione GMWB) nella tabella 1.1. Essa mostra nella prima colonna il periodo di tempo considerato (gennaio 1997 marzo 2011) suddiviso in mensilità. Nella seconda colonna sono riportati i prezzi storici P registrati dall indice azionario in ciascun periodo; si considerano a questo scopo i prezzi di chiusura registrati il primo giorno di ciascun mese e modificati al fine di tener conto di eventuali dividendi pagati. Nella terza colonna sono stati calcolati i rendimenti mensili r registrati dall indice giapponese. In particolare, indicando

36 22 Mariangela Scorrano con P t il prezzo dell indice al tempo t, dovet rappresenta una delle mensilità comprese nel periodo di vigenza della polizza, e con P t 1 il prezzo dell indice nel periodo immediatamente precedente, il rendimento mensile r dell indice può essere calcolato mediante la formula r =(P t P t 1 )/P t 1.Nellecolonne successive sono poi riportati il valore del VA sub-account prima (Vprima) e dopo (Vdopo) aver effettuato i prelievi, l ammontare dei prelievi periodici in una polizza VA standard (VAs) ed in una polizza VA che prevede l opzione GMWB (GMWB). Ex post si può constatare come la somma investita sia aumentata o diminuita, in base ai rendimenti effettivamente registrati dall indice nel periodo considerato. Al termine del primo mese, ad esempio, in seguito al rendimento negativo registrato dal Nikkei, il valore dell investimento iniziale realizzato dall assicurato scende da $100 a circa $ A tale somma si deve poi sottrarre il prelievo mensile previsto dal contratto pari a $(7/12)= Senza considerare le commissioni applicate, il valore del VA sub-account si riduce dunque a $( ) = $ Al termine del secondo periodo, invece, il rendimento positivo registrato dall indice fa crescere il conto a circa $94.67 (pari a $(94.09( ) ) ) come si può osservare nella seconda riga della colonna Vdopo della tabella 1.1. Tutti i valori della tabella sono stati ottenuti procedendo nel modo descritto fino alla scadenza del contratto. Si noti che, al termine del 115-esimo periodo, più precisamente a Luglio 2006, il valore del conto scende fino a circa $ (si veda la colonna Vprima ). Tale somma, pertanto, non è sufficiente a fi-

37 Valutazione finanziaria in ipotesi di volatilità stocastica della polizza GMWB 23 Tabella 1.1: Esempio di funzionamento dell opzione GMWB t P r Vprima VAs Vdopo GMWB gennaio , , , , ,5833 febbraio , , , , ,5833 marzo , , , , ,5833 aprile , , , , ,5833 maggio , , , , ,5833 giugno , , , , ,5833 luglio , , , , ,5833 agosto , , , , ,5833 settembre , , , , ,5833 ottobre , , , , , giugno ,18 0, , ,5833 0, ,5833 luglio ,81-0, , , ,5833 agosto ,76 0, ,5833 settembre ,58-0, ,5833 ottobre ,39 0, ,5833 novembre ,33-0, ,5833 dicembre ,83 0, , dicembre ,92 0, ,5833 gennaio ,92 0, ,5833 febbraio ,09 0, ,5833 marzo ,1-0, ,5833 (t indica il periodo di vigenza del contratto suddiviso in mensilità, P il prezzo registrato dall indice, r irendimenti,vprimaevdopoilvaloredelva sub-account rispettivamente prima e dopo i prelievi, VAs e GMWB l ammontare prelevabile rispettivamente in una polizza VA standard ed in una polizza VA associata all opzione GMWB)