Esercizi 2. e xy x + y = 0. definisce una ed una unica funzione implicita x = φ(y) nell intorno di (0, 0), se ne calcoli

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1 I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita e scritta dell autore. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. Esercizi () Dopo aver dimostrato che l equazione e xy x + y = 0 definisce una ed una unica funzione implicita φ(x) nell intorno di (, 0), se ne calcoli lo sviluppo di Taylor con resto di Peano al secondo ordine con centro in x =. () Dopo aver dimostrato che l equazione cos x sin y y sin x = 0 definisce una ed una unica funzione implicita φ(x) nell intorno di (0, 0), se ne calcoli lo sviluppo di Taylor con resto di Peano al terzo ordine con centro in x = 0. (3) Verificare che l equazione xe y ye x = 0 ammette altre soluzioni oltre a quelle giacenti sulla bisettrice x = y. (Suggerimento: determinare il segno di f(x, y) := xe y ye x lungo la curva su cui y f si annulla). () A proposito dell esercizio precedente, osservare che il cambiamento di variabili x = (X + Y )/, y = (X Y )/ (una rotazione) trasforma l equazione in una forma tale da consentire di esplicitare X in funzione di Y. (5) Dopo aver dimostrato che l equazione x 3 3x + y + y 3 = 0 definisce una ed una unica funzione implicita x = φ(y) nell intorno di (0, 0), se ne calcoli lo sviluppo di Taylor con resto di Peano al quarto ordine con centro in y = 0. (6) Studiare il luogo delle soluzioni dell equazione precedente. (Suggerimento: per ogni x fissato, lim y + f(x, y) = + e lim y f(x, y) = ; inoltre, y f = y + 3y che si annulla sulle rette y = 0 e y = /3. Le equazioni f(x, 0) = 0 e f(x, /3) = 0 hanno tre soluzioni ciascuna. Individuando il segno di f lungo le rette y = 0 e y = /3 si scopre che l equazione f(x, y) = 0 definisce implicitamente ben sette funzioni ciascuna di classe C sul proprio dominio).

2 (7) Dimostrare che la retta y = x /3 è un asintoto obliquo per quelle funzioni implicite dell esercizio precedente il cui dominio è illimitato. (Suggerimento: determinare il segno di f(x, y) lungo le rette y = x + q per x, per ogni valore del parametro q R). (8) Studiare le soluzioni di x + y + (x + y ) = 0. (Suggerimento: anzitutto individuare la curva lungo la quale y f = 0, poi calcolare il segno di f lungo questa curva). (9) A proposito dell esercizio precedente, osservare che il cambiamento di variabili x = (X + Y )/, y = (X Y )/ (una rotazione) trasforma l equazione in una forma tale da consentire di esplicitare Y in funzione di X. (0) Studiare le soluzioni di f(x, y) := ye x e y x = 0. Sol: il grafico seguente mostra le soluzioni della equazione proposta () Studiare le soluzioni di f(x, y) := e x e y + x y = 0. Sol: il grafico seguente mostra le soluzioni della equazione proposta

3 () Studiare le soluzioni di f(x, y) := x y xy e y x = 0. Sol: il grafico seguente mostra le soluzioni della equazione proposta (3) Studiare le soluzioni con ascissa positiva di f(x, y) := x + y + = 0. xy In particolare, mostrare che l equazione definisce implicitamente un unica funzione y = φ(x) definita su (0, + ) di classe C che tende a quando x 0 +. Verificare inoltre che φ(x) < x per ogni x > 0 e che invece per ogni α > 0, si ha che φ(x) > x α per x sufficientemente grande; unita alla disuguaglianza precedente ciò dimostra che φ(x) = x + o() per x +. () Siano f e φ le funzioni dell esercizio precedente. Studiando il segno di f lungo le curve y = x αx 3/ con α parametro reale, dimostrare che φ(x) = x x 3/ ( + o()) per x +. (Suggerimento: il segno di f(x, x + αx 3/ ) per x sufficientemente grande è positivo quando α > e negativo quando α <, da cui segue la tesi). (5) Mostrare che nella regione (, 0) R l equazione dell esercizio precedente definisce implicitamente due funzioni, entrambe di classe C. (Suggerimento: studiare il segno di f(x, y) lungo la curva y f = 0). 3

4 (6) Verificare che le soluzioni di x 3 y + xz = 0 x sin z + z cos y = 0 in un intorno di (,, 0) costituiscono il grafico di un unica funzione implicita (y, z) = φ(x) di classe C. Fornire poi lo sviluppo di Taylor di φ al secondo ordine in un intorno di x = con resto di Peano. (7) Verificare che le soluzioni di x + z y = 0 z + x y = 0 in un intorno di (,, ) costituiscono il grafico di un unica funzione implicita (x, z) = φ(y) di classe C. Fornire poi lo sviluppo di Taylor di φ al secondo ordine in un intorno di y = con resto di Peano. (8) Verificare che le soluzioni di ze xyz z + x + y = 0 in un intorno di (0, 0, ) costituiscono il grafico di un unica funzione implicita z = φ(x, y) di classe C. Fornire poi lo sviluppo di Taylor di φ al secondo ordine in un intorno di (x, y) = (0, 0) con resto di Peano. (9) Verificare che la relazione x = ye y può essere invertita in modo univoco quando x è sufficientemente grande, verificare poi che detta y = φ(x) la funzione trovata, si ha x x φ(x) x x + x x almeno per x sufficientemente grande. (Suggerimento: per l esistenza di φ basta studiare il grafico di ye y, per le disuguaglianze soddisfatte da φ basta stabilire il segno di f(x, y) lungo le curve y = x x e y = x x + x x, per x sufficientemente grande). (0) Verificare che l immagine dell insieme (x, y) R : 0 < x < y} tramite la mappa (x + y) φ(x, y) = e x + e y è un insieme aperto. (Suggerimento: basta usare il teorema della mappa aperta). () Verificare che l immagine dell insieme (x, y) R : x, y > 0} tramite la mappa (x + y) φ(x, y) = e x + e y non è un insieme aperto. Suggerimento: verificare che φ è una biiezione tra la regione (x, y) R : 0 < x < y} e la regione (u, v) R : e eu / < v < + e eu }, con inversa data da ( ) v e eu ψ + (u, v) = ( ) v+ e eu

5 e che φ è una biiezione tra la regione (x, y) R : 0 < y < x} e la regione (u, v) R : e eu / < v < + e eu }, con inversa data da ( ) v+ e eu ψ (u, v) = ( ) v e eu, mentre la semiretta (x, y) R : 0 < y = x} è in corrispondenza biunivoca tramite φ con la regione (u, v) R : e eu / = v}. Concludere che l immagine di (x, y) R : x, y > 0} tramite φ è l insieme (u, v) R : e eu / v < + e eu } (che non è un aperto). () Verificare che l immagine dell insieme (x, y) R : x + y <, 0 < x < y} tramite la mappa e x+y φ(x, y) = x y è un insieme aperto. (Suggerimento: usare il teorema della mappa aperta). (3) Verificare che l immagine dell insieme (x, y) R : x + y < } tramite la mappa e x+y φ(x, y) = x y non è un insieme aperto. (Suggerimento: seguire il suggerimento del problema 8). () Studiare il luogo delle soluzioni dell equazione f(x, y) := x y 3 + 3xy = 0. (Suggerimento: la derivata parziale y f si annulla sulla curva x = y ; studiare il segno di f lungo tale curva. Per determinare cosa accada vicino ad (0, 0) studiare il segno di f lungo le rette y = mx al variare di m R) (5) Studiare il luogo delle soluzioni dell equazione f(x, y) := y 3 8x 3 + y + y x = 0. (Suggerimento: f C(y / x }) ed f C (y > / x }). L equazione definisce un unica funzione implicita φ : (α, + ) R dove α è l unica soluzione di f(x, / x ) = 0. φ è di classe C in (α, + ) ed è prolungabile con continuità in α, con φ(α) = /α. Dalla espressione φ (x) = xf yf (x,φ(x)) segue che φ (x) = x φ x + φ (3φ + ) φ x + x e quindi lim x α φ (x) = /α ; in particolare, φ è tangente alla curva /x nel punto α. Infine, si dimostra che φ(x) = x + o() per x + ). 5

6 (6) Studiare il luogo delle soluzioni dell equazione f(x, y) := y 3 x y + xe xy = 0. (Suggerimento: f C (R ). L equazione definisce un unica funzione implicita φ : R R ma per il suo studio conviene esplicitare x in funzione di y. Il fatto che f( x, y) = f(x, y) implica che φ è una funzione dispari. φ è continua in R e di classe C (R \ 0}), con lim x 0 φ (x) =. φ non presenta estremanti ed ha la retta y = x quale retta asintotica sia a + sia a ). y x - - 6