Esercizi sullo studio di funzione

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1 Esercizi sullo studio di funzione Seconda parte Come visto nella prima parte, per poter descrivere una curva, data la sua equazione cartesiana esplicita y f () occorre procedere secondo l ordine seguente: 1) Determinare l insieme di esistenza della f () ) Determinare gli eventuali punti di intersezione della curva con gli assi coordinati ) Studiare il segno della funzione ) Ricercare eventuali asintoti della curva 5) Studiare gli zeri e il segno della derivata prima in modo da studiare la crescenza e la decrescenza della curva e i suoi massimi e minimi relativi In questa seconda parte analizzeremo il quarto punto Studieremo le condizioni agli estremi del campo di esistenza che ci porterà a verificare l esistenza di eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui Un asintoto è una retta alla quale la funzione si avvicina indefinitamente senza però mai toccarla o Per verificare l esistenza di eventuali asintoti verticali si studiano il ite destro e il ite sinistro nei punti che non appartengono al campo di esistenza Se il punto c non appartiene al campo di esistenza e si ha c ± f ( ) ± allora la retta verticale c è un asintoto verticale per la funzione o Per verificare la presenza di eventuali asintoti orizzontali si studiano i iti per (qualora abbia senso considerarli) Se e, ± f ( ) k allora la retta orizzontale o Qualora si abbia che y k è un asintoto orizzontale per la funzione ± f ( ) ± allora la funzione non possiede asintoti orizzontali e si cerca di individuare se ne possegga almeno obliqui Un asintoto obliquo sarà una retta del tipo y m q quindi occorrerà trovare m e q Per trovare m si calcola m ± f ( ) 1

2 Esercizio 1 se troviamo ± allora non esistono asintoti obliqui per la funzione e ci fermiamo Se invece questa quantità è finita allora abbiamo trovato m e possiamo procedere a determinare q che sarà dato dalla formula q ± [ f ( ) m] e anche qui, se troviamo ± allora non esistono asintoti obliqui per la funzione e ci fermiamo; se invece questa quantità è finita allora abbiamo trovato q e quindi la retta y m q ottenuta sostituendo i valori di m e q calcolati sarà un asintoto obliquo per la funzione Determinare le condizioni agli estremi del campo di esistenza e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni: 1) y ) y ) y ( 6)( ) ( 8)( ) ) y 6 9 5) y 9 6) 7) y y ) 9 y 9 9

3 Soluzione Gli esercizi sono gli stessi della parte 1 quindi ne sfrutteremo in parte i risultati 1) La funzione è y Scomponendo la funzione di partenza può essere scritta anche nella forma equivalente () y ( )( 1)( 1) C E (, ) ASINTOTI VERTICALI: non ci sono asintoti verticali perché non ci sono valori di che non appartengono al campo di esistenza ASINTOTI ORIZZONTALI Dobbiamo calcolare il ite per e Utilizzando la forma () avremo ( )( 1)( 1) ( )( )( ) quindi a sinistra non c è a lcun asintoto orizzontale, e ( )( 1)( 1) ( )( )( ) quindi neanche a destra c è alcun asintoto orizzontale ASINTOTI OBLIQUI: Calcoliamo m ed eventualmente q Avremo m ± ± 1 1 ± Siccome abbiamo trovato m segue che non esistono asintoti obliqui quindi non ha neanche senso andare a calcolare q ) La funzione è y

4 Il polinomio è già scomposto C E (,0) (0, ) ASINTOTI VERTICALI Dobbiamo calcolare cosa succede intorno a 0 che non appartiene al campo di esistenza Avremo 0 0 e 0 0 Segue che la retta verticale 0, ossia l asse delle y è un asintoto verticale ASINTOTI ORIZZONTALI Dobbiamo calcolare il ite per e 1 1 quindi sia a sinistra che a destra non c è alcun asintoto orizzontale ASINTOTI OBLIQUI: Calcoliamo m ed eventualmente q Avremo m 1 ± ± ± Siccome abbiamo trovato m 1 posso andare a calcolare q e si avrà q ± 1 ± ± 1 0 quindi q 0 e di conseguenza la retta y, che è la bisettrice del primo e terzo quadrante, è un asintoto obliquo per la funzione ) La funzione è ( 6)( ) y ( 8)( )

5 Può esserci utile la versione compatta Quindi avremo () 9 18 y 1 C E (,0) (0,) (,8) (8, ) ASINTOTI VERTICALI Dobbiamo calcolare cosa succede intorno a 0, e 8 che non appartengono al campo di esistenza Avremo ( 6)( ) ( 8)( ) 0 ( 6)( ) ( 8)( ) 0 e ( 6)( ) ( 8)( ) 0 ( 6)( ) ( 8)( ) 0 Segue che la retta verticale 0, ossia l asse delle y è un asintoto verticale ( )( 1) ( ) ( 6)( ) ( 8)( ) 0 e ( )( 1) ( ) ( 6)( ) ( 8)( ) 0 Segue che la retta verticale è un asintoto verticale ( )( 5) 8 0 ( ) ( 6)( ) ( 8)( ) 8 e ( )( 5) 8 0 ( ) ( 6)( ) ( 8)( ) 8 Segue che la retta verticale 8 è un asintoto verticale ASINTOTI ORIZZONTALI Dobbiamo calcolare il ite per e ± ± ± 1 0 quindi la retta orizzontale y 0, ossia l asse, è un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra ASINTOTI OBLIQUI Siccome sia a destra che a sinistra abbiamo trovato un asintoto orizzontale, non possono esistere asintoti obliqui ) La funzione è 6 9 y 5

6 Scomponendo la funzione può essere scritta anche nella forma equivalente () ( ) y ( )( ) C E (, ) (,) (, ) ASINTOTI VERTICALI Dobbiamo calcolare cosa succede intorno a e che non appartengono al campo di esistenza Avremo ( ) 5 ( )( ) ( ) 0 e ( ) 5 ( )( ) ( ) 0 Segue che la retta verticale è un asintoto verticale ( ) 1 ( )( ) 0 ( ) 1 e ( )( ) 0 Segue che la retta verticale è un asintoto verticale ASINTOTI ORIZZONTALI Dobbiamo calcolare il ite per e ± 6 9 ± quindi la retta orizzontale y 1, è un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra ASINTOTI OBLIQUI Siccome sia a destra che a sinistri abbiamo trovato un asintoto orizzontale, non possono esistere asintoti obliqui 5) La funzione è y 9 Scomponendo la funzione di partenza otteniamo la forma equivalente () ( )( ) y ( )( ) 6

7 C E (, ) (,) (, ) ASINTOTI VERTICALI Dobbiamo calcolare cosa succede intorno a e a che non appartengono al campo di esistenza Avremo ( )( ) ( )( ( )( ) 6 0 ( )( ) ( )( ( )( ) 6 0 ) ) Segue che la retta verticale è un asintoto verticale ( )( ) ( )( ( )( ) 0 6 ( )( ) ( )( ( )( ) 0 6 ) ) Segue che la retta verticale è un asintoto verticale ASINTOTI ORIZZONTALI Dobbiamo calcolare il ite per e quindi sia a sinistra che a destra non c è alcun asintoto orizzontale ASINTOTI OBLIQUI: Calcoliamo m ed eventualmente q Avremo m ± 9 ± 9 ±

8 Siccome abbiamo trovato m 1 posso andare a calcolare q e si avrà q ± 1 9 ± 9 9 ± 6 9 ± ± 6 0 quindi q 0 e di conseguenza la retta y, che è la bisettrice del primo e terzo quadrante, è un asintoto obliquo per la funzione 6) La funzione è y Scomponendo il numeratore la funzione di partenza può essere scritta anche nella forma equivalente ( ( 5 10 )( ( 5 10 ) () y C E (, ) ASINTOTI VERTICALI Siccome il campo di esistenza è l insieme di tutto l asse non ci sono asintoti verticali ASINTOTI ORIZZONTALI Dobbiamo calcolare il ite per e ± ± quindi la retta orizzontale y 1, è un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra ASINTOTI OBLIQUI Siccome sia a destra che a sinistri abbiamo trovato un asintoto orizzontale, non possono esistere asintoti obliqui 7) La funzione è 15 y 9 8

9 Scomponendo la funzione di partenza può essere scritta anche nella forma equivalente () ( 5)( ) y ( )( ) Dopo aver studiato il campo di esistenza, che è C E (, ) (,) (, ) è possibile semplificare ottenendo così la funzione nella forma equivalente () 5 y ASINTOTI VERTICALI Dobbiamo calcolare cosa succede intorno a e a che non appartengono al campo di esistenza Avremo e 0 Segue che la retta verticale è un asintoto verticale e Segue che in corrispondenza del punto non c è un asintoto verticale ma la funzione tende sia a destra che a sinistra al valore y Se non avessimo operato la semplificazione all inizio saremo giunti allo stesso risultato applicando il Teorema di De l H ôpital, infatti avremo avuto Teorema di De L' Hôpital ASINTOTI ORIZZONTALI Dobbiamo calcolare il ite per e ± ± 1 quindi la retta orizzontale y 1, è un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra Allo stesso risultato saremo giunti senza la semplificazione iniziale 8 6 9

10 ASINTOTI OBLIQUI Siccome sia a destra che a sinistri abbiamo trovato un asintoto orizzontale, non possono esistere asintoti obliqui 8) La funzione è 9 y 9 9 Scomponendo la funzione di partenza può essere scritta anche nella forma equivalente () ( )( ) y ( ) C E (, ) ASINTOTI VERTICALI Siccome il campo di esistenza è l insieme di tutto l asse non ci sono asintoti verticali ASINTOTI ORIZZONTALI Dobbiamo calcolare il ite per e ± ± quindi la retta orizzontale 1 y, è un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra ASINTOTI OBLIQUI Siccome sia a destra che a sinistri abbiamo trovato un asintoto orizzontale, non possono esistere asintoti obliqui 10

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